Representaciones globales y clases algebráicamente extensibles /

y

Clases Algebraicamente Extensibles

Miguel Campercholi

ÍNDICE GENERAL

1. Clases Algebraicamente Extensibles 1

1.1. Introducción . . . 1

1.2. Definiciones y Resultados Básicos . . . 2

1.3. Los Primeros Casos . . . 6

1.3.1. Álgebras de Boole . . . 6

1.3.2. Reticulados Distributivos . . . 7

1.3.3. Álgebras de Stone . . . 8

1.3.4. Semireticulados . . . 10

1.3.5. Variedades Finitamente Generadas de Grupos Abelianos . . . 11

1.4. Álgebras de Kleene Generalizadas . . . 12

1.4.1. Una Clase Determinante para_K . . . 14

1.4.2. El Reticulado de Subclases AE de_K . . . 29

1.4.3. Las Variedades_VP ER yVN EW . . . 36

1.5. Variedades con Discriminador . . . 38

1.5.1. Variedades de la FormaV(A) conA Primal . . . 41

1.5.2. Álgebras Monádicas . . . 41

1.5.3. P-álgebras . . . 43

1.6. Intersección de Subálgebras . . . 45

2. MS-álgebras 52 2.1. Representaciones Globales . . . 53

2.1.1. Representación Global en _MS . . . 53

2.1.2. Representación Global en _M . . . 55

2.2. Caracterización de las MS-álgebras Permutables . . . 56

2.3. La Variedad de las MS-álgebras Permutables . . . 62

2.4. Sistemas de Congruencias en MS-álgebras con Esqueleto Per-mutable . . . 64

Preliminares

Suponemos que el lector está familiarizado con los conceptos básicos de álgebra universal, teoría de modelos y teoría de reticulados distributivos. Referencias bibliográficas clásicas en estos campos son por ejemplo los libros [5], [16], [7] y [3].

Detallamos a continuación las definiciones básicas y convenciones no-tacionales que utilizaremos. Un álgebra será un modelo de un lenguaje de primer orden sin símbolos de relación. Cada vez que consideremos una clase de álgebras supondremos, sin mencionarlo explícitamente, que todas las ál-gebras de la clase son modelos de un mismo lenguaje. Sea_Cuna clase de álge-bras. ConI(_C),S(_C)yH(_C)denotaremos las clases de imágenes isomórficas, subálgebras e imágenes homomórficas de álgebras en_Crespectivamente. Es-cribiremosP(_C)(resp.P_U(_C)) para referirnos a la clase de productos directos (resp. ultraproductos) con factores en _C. Usaremos _CSI (resp. _CS) para de-notar la clase formada por las álgebras subdirectamente irreducibles (resp. simples) en _C. Con V(_C) denotaremos la variedad generada por _C, y con Q(_C) la cuasivariedad generada por _C. Recordamos que V(_C) = HSP(_C)

y Q(_C) = ISP P_U(_C). Si _C es finita, digamos _C = _{A1, ...,An}, y O es un operador de clases, usualmente escribiremosO(A1, ...,An)en lugar deO(C). Sea A un álgebra. Escribiremos _∇A para denotar la congruencia uni-versal de A, y ∆A para denotar la congruencia diagonal o trivial de A. Tanto el conjunto como el reticulado formado por las congruencias de A será denotado con Con(A). Dos congruencias θ, δ _∈ Con(A) permutan

si θ _∨δ = _{(a, b) _∈ A2 : hay c _∈ A tal que (a, c) _∈ θ y (c, a) _∈ δ_}. Diremos que A es de congruencias permutables (o sólo permutable) cua-lesquiera dos congruencias deApermutan. DefinimosΣ(A,_C)como el con-junto _{θ _∈ Con(A) :A/θ _∈I(_C)_}. A lo largo de este trabajo utilizaremos los numerales en negrita (1,2,3, ...) para denotar diferentes álgebras, depen-diendo del contexto. En todos los casos ndenotará un álgebra que tiene al

CAPÍTULO 1

Clases Algebraicamente

Extensibles

1.1.

Introducción

Un gran afluente de nuevas e interesantes estructuras algebraicas resul-ta de considerar expansiones de estructuras conocidas. Es decir, tomar una clase de estructuras y estudiar la clase que resulta de añadir nuevas opera-ciones sobre algunos o todos los miembros de la clase original. Es de esperar que buena parte de las propiedades que hacían atractiva a la clase de partida serán heredadas por la nueva clase, convirtiéndola en un interesante objeto de investigación. Las formas de elegir las nuevas operaciones son muy di-versas y provienen a su vez de distintas motivaciones. Pero casi siempre las operaciones a ser añadidas tienen una fuerte conexión con las operaciones ya existentes. Una posible forma de elegir una nueva operación es la siguien-te. Supongamos que _C es una clase de álgebras y sean tl(x1, ..., xn, y) y sl(x1, ..., xn, y),l = 1, ...k, términos. SiA es un miembro de C tal que para cadaa_∈An _{el sistema de ecuaciones}

t1(a, y) = s1(a, y) ..

.

tk(a, y) = sk(a, y)

cuenta con una única solución y _∈ A, nos encontramos con una operación n-aria enA, definida implícitamente por este sistema. Debe notarse además que el sistema de ecuaciones determina de manera natural una subclase de C, a saber la subclase formada por las álgebras en las que el sistema tiene siempre una única solución. Para ilustrar esto consideremos por ejemplo la

clase_SG de todos los semigrupos, y el sistema de ecuaciones

xy = 1.

Claro está que la subclase de _SG formada por los semigrupos para los que la ecuación de arriba cuenta siempre con una única solución es la clase de los grupos. Otro ejemplo proviene de considerar la variedad _D01 de los reticulados distributivos acotados, y el sistema de ecuaciones

x_∨y = 1

x_∧y = 0.

Nuevamente, la clase determinada por este sistema es una clase familiar: la clase de los reticulados Booleanos.

Un problema que surge de lo expuesto es el siguiente:Dada una clase de álgebras C y un sistema de ecuaciones S, encontrar la subclase de C para cuyos miembros S cuenta siempre con una única solución.

Otro interesante problema relacionado con el anterior es:Dada una clase de álgebras_Cencontrar todas las subclases de_Cque pueden ser determinadas (en el sentido de la discusión anterior) por un sistema de ecuaciones.

Es el segundo de estos problemas el que estudiaremos en este capítulo, en la forma de un problema de axiomatizabilidad. Más precisamente, es-tudiaremos el problema de la axiomatizabilidad por sentencias de la forma

(_∀∃!Veq).

1.2.

De

fi

niciones y Resultados Básicos

Definición 1 Sea _L un lenguaje de primer orden sin símbolos de relación. Una sentencia será llamada una Definición Ecuacional de Función (DEF) en el lenguaje _L si es de la forma

∀x1, ..., xn∃!z1, ..., zm k ^

l=1

sl(x, z) =tl(x, z)

dondepl, ql son L-términos, n≥0 y m≥1.

Sea ϕ la DEF en el recuadro anterior, la Unicidad deϕ es la sentencia

U(ϕ) =_∀x_∀z_∀y à _k

^

l=1

sl(x, z) =tl(x, z)_∧

k ^

l=1

sl(x, y) =tl(x, y)

!

→z=y,

y la Existencia de ϕ es la sentencia

E(ϕ) =_∀x_∃z k ^

l=1

sl(x, z) =tl(x, z).

Diremos que un álgebra A satisface ϕ, en símbolos A²ϕ, si y solo si

En un contexto en el cual no haya ambigüedad respecto del lenguaje de una DEF, no lo mencionaremos explícitamente.

Definición 2 Diremos que una clase de álgebras _C es Algebraicamente Extensible (AE) cuando haya un conjunto de DEFs, digamos Γ, tal que

C=M od(Γ).

Sean_C y_S clases de álgebras con_{S ⊆C}. Diremos que_S es unasubclase AE de_C si_S es axiomatizable por DEFs relativamente a_C (i.e. si hay una clase AE_S˜tal que_S=_C∩S˜). Nótese que es posible que_S sea una subclase AE de_C sin ser _S misma una clase AE.

El problema que estudiamos en este capítulo es el siguiente:

Problema 3 Dada una variedad _V caracterizar todas las subclases AE de

V.

En las secciones subsiguientes presentamos soluciones a este problema para diversas variedades. Pero antes necesitaremos introducir algunos con-ceptos básicos y definiciones.

Nuestra primera observación es que las identidades pueden escribirse como DEFs. Por ejemplo, la identidad

t(x1, ..., xn)≈s(x1, ..., xn)

es equivalente a la sentencia

∀x1, ..., xn_∃!z1 z1 =x1_∧t(x1, ..., xn) =s(x1, ..., xn).

De esto podemos concluir que las clases ecuacionales son clases AE.

Es claro que una DEF define implícitamente una función en cada álgebra que la satisface; a continuación damos una definición precisa de esta función, e introducimos nuestra manera de denotarla.

Definición 4 Sea ϕ = _∀x1, ..., xn_∃!z1, ..., zm Vk_l=1sl(x, z) = tl(x, z), y sea

A un álgebra que satisfaceϕ. La función definida porϕen A es el mapeo

An _→ Am

a _7→ el únicob_∈Am tal queVk_l=1sl(a, b) =tl(a, b).

Escribiremos [ϕ]A _{para denotar esta función, y con [ϕ]}A

j denotaremos la

composiciónπj◦[ϕ]A, dondeπj :Am →Aes laj-ésima proyección canónica,

para j= 1, ..., m.

Lema 5 Sea ϕ=_∀x1, ..., xn∃!z1, ..., zm Vkl=1sl(x, z) =tl(x, z).

(1) Sea _{Ai : i ∈ I} una familia de álgebras tal que Ai ² ϕ para todo i_∈I, y sea P=Q_i∈IAi. Entonces P²ϕ y

[ϕ]P_j (p1, ..., pn)(i) = [ϕ]Ai_j (p1(i), ..., pn(i))

para cadai_∈I,j = 1, ..., m, y cualesquiera p1, ..., pn∈P.

(2) Supongamos A²ϕ y sea B_∈S(A). Entonces B ²ϕ sii [ϕ]A(Bn)_⊆

Bm.

(3) SiA²ϕyθ_∈Con(A)es tal queA/θ²U(ϕ), entonces[ϕ]A₁ , ...,[ϕ]A_m

preservan θ. I.e.θ_∈Con((A,[ϕ]A₁ , ...,[ϕ]A_m)).

Prueba. Rutina.

Si bien el siguiente lema no es más que una sencilla observación, es con mucho el lema más veces aplicado en este capítulo.

Lema 6 Sea ϕ una DEF. Si A²ϕy B_∈H(A)_∩IS(A) entoncesB²ϕ.

Prueba. Obsérvese que para cualquier DEF ϕ se tiene que E(ϕ) es una fórmula positiva y U(ϕ) es una fórmula universal. Por lo tanto E(ϕ) es preservada por epimorfismos yU(ϕ) es preservada por embeddings.

Como se verá a lo largo de este capítulo, hay un tipo de representación que ha sido clave en nuestro estudio de la axiomatizabilidad por DEFs: la representación de un álgebra como producto subdirecto global. SeaΠ_{Ai : i _∈ I_} un producto directo de álgebras. Para x, y _∈ Π_{Ai : i ∈ I} el

ecualizador de x ey es el conjunto

E(x, y) =_{i_∈I :x(i) =y(i)_}.

Definición 7 (Krauss y Clark [15]) SeaA_⊆Π_{Ai :i∈I}un producto

subdirecto. Diremos queA es globalsi existe una topología τ enI tal que:

(G1) E(x, y)∈τ, para todox, y∈A.

(G2) A emparcha sobre τ, i.e. para cada colección de conjuntos abiertos {Fr :r∈R}⊆τ y cada familia indexada de elementos{xr :r∈R}⊆ A que cumplen

∪{Fr :r∈R}=I

y

Fs_∩Ft_⊆E(xs, xt), para todo s, t_∈R,

Si _C es una clase de álgebras escribiremos Glo(_C) para denotar la clase de todos los productos subdirectos globales con factores en_C.

La propiedad enunciada en el lema a continuación es la que hace de los productos subdirectos globales una herramienta clave para nuestro trabajo.

Lema 8 (Volger [20]) Supongamos A _⊆ Π_{Ai : i ∈ I} es un producto

subdirecto global, sea ϕ una DEF. Si Ai ² ϕ, para todo i ∈ I entonces A²ϕ.

Cuando se estudia la axiomatizabilidad por un tipo determinado de sen-tencias relativo a una clase de álgebras_C, en muchas ocasiones suele reducirse el problema encontrando una subclase (substancialmente mas chica)D_⊆C que contenga toda la información relativa a los axiomas en consideración.

Definición 9 Sea _C una clase de álgebras. Una clase D _{⊆ C} es determi-nante para_C, si para cualesquiera dos DEFs ϕ₁, ϕ₂ en el lenguaje de _C se tiene que

M od(ϕ₁)_∩D=M od(ϕ₂)_∩D_⇒M od(ϕ₁)_∩C =M od(ϕ₂)_∩C.

Proposición 10 (Vaggione) Sea _Q una cuasivariedad, y sean ϕ₁ y ϕ₂

DEFs en el lenguaje de_Q. Supongamos queM od(U(ϕ₁))_∩QyM od(U(ϕ₂))_∩

Q son cuasivariedades finitamente generadas, y supongamos además que para cada álgebra finita A_∈Q se tiene

A²ϕ_{1 ⇔}A²ϕ₂.

Entonces

M od(ϕ₁)_∩Q=M od(ϕ₂)_∩Q.

Corolario 11 Sea_Quna cuasivariedad tal que todas sus subcuasivariedades son finitamente generadas. Entonces las álgebrasfinitas de _Q son una clase determinante para _Q.

Encontrar una DEF que distinga dos álgebrasfinitas concretas puede ser extremadamente complicado. El siguiente resultado nos ha sido útil en esa tarea.

Proposición 12 (Vaggione) SeaA un álgebra simple que genera una va-riedad de congruencias distributivas. Son equivalentes:

(1) V(A) tiene congruencias principales ecuacionalmente definibles.

(2) Hay una DEFϕ tal que para todo a, b, c, d_∈A

[ϕ]A(a, b, c, d) =

½

1.3.

Los Primeros Casos

En esta sección presentamos la solución del Problema 3 en las siguientes variedades: álgebras de Boole, reticulados distributivos, álgebras de Stone, semireticulados y variedades de grupos Abelianosfinitamente generadas. Los primeros tres ejemplos fueron descubiertos por D. Vaggione [19] y son los que nos impulsaron a investigar el problema en otras variedades. Decidimos incluir las pruebas de estos ejemplos ya que resultan una introducción ade-cuada para que el lector se familiarice con las ideas y herramientas que serán empleadas en este capítulo.

1.3.1.

Álgebras de Boole

Remitimos al lector a [3], donde encontrará una definición e información básica acerca de las álgebras de Boole. Con_B0 denotaremos la variedad de las álgebras de Boole. Se sabe que (_B0)SI = I(2), por lo cual B0 = V(2). Necesitaremos la siguiente propiedad conocida del álgebra de Boole de dos elementos.

Lema 13 Seann_≥0yf : 2n_→2una función cualquiera. Hay un término

s(x1, ..., xn) en el lenguaje de B0 tal quef =s2.

Teorema 14 (Vaggione [19]) Las subclases AE de _B0 son:

{elementos triviales de _B0} y_B0.

Prueba.Sea_C=M od(Σ)_∩B0,dondeΣes un conjunto de DEFs. Supong-amos que hay un elemento no trivialBen_C; entonces2_∈H(B)_∩IS(B)_⊆C

(Lema 6). Sea ϕ = _∀x1, ..., xn_∃!z1, ..., zm Vk_l=1sl(x, z) = tl(x, z) una sen-tencia en Σ. Por el Lema 13 tenemos términos p1(x), ..., pm(x) tales que p2_j = [ϕ]2_j, paraj= 1, ..., m. Luego

2² k ^

l=1

sl(x, p1(x), ..., pm(x))_≈tl(x, p1(x), ..., pm(x)),

y así

B0² k ^

l=1

sl(x, p1(x), ..., pm(x))_≈tl(x, p1(x), ..., pm(x)).

En particular esto nos dice que

B0 ⊆M od(_{E(ϕ) :ϕ_∈Σ_}).

Además como2 _∈M od(_{U(ϕ) :ϕ_∈Σ_}), y como toda álgebra de Boole es isomorfa a una potencia subdirecta de 2, obtenemos que

B0 ⊆M od({U(ϕ) :ϕ∈Σ}).

1.3.2.

Reticulados Distributivos

Para consultar la definición y/o sobre propiedades básicas acerca de los reticulados distributivos (acotados) remitimos al lector a [3]. Denotaremos con_D(_D01) la variedad de los reticulados distributivos (acotados). Del si-guiente teorema de representación obtendremos inmediatamente clases de-terminantes para las variedades_D y_D01.

Teorema 15 (Vaggione [18]) Sea L un reticulado distributivo (acotado) y seaΣ=Σ(L,_{1,2,3_}) (Σ=Σ(L,_{2,3_}). El mapeo

L _→ Π_{L/θ:θ_∈Σ_}

x _{7→ h}x/θ:θ_∈Σ_i

es un embedding cuya imagen es un producto subdirecto global, considerando enΣ la topología de los ecualizadores.

Lema 16 (Vaggione [19])

(1) La clase_{2,3} es determinante para la variedad _D.

(2) La clase_{2,3_} es determinante para la variedad _D01.

Prueba.Daremos solamente la prueba de (2) ya que la de (1) es muy similar. Seanϕ₁ yϕ₂ dos DEFs tales que

M od(ϕ₁)_∩{2,3_}=M od(ϕ₂)_∩{2,3_};

y supongamosL_∈D01 satisfaceϕ₁. Si L es trivial es inmediato queL²ϕ₂ por lo que supondremos que_|L_|≥2. Entonces2∈H(L)_∩IS(L), y el Lema 6 nos dice que 2²ϕ₁; luego 2²ϕ₂. En particular tenemos que

D01=ISP(2)²U(ϕ₂).

Surgen ahora dos casos, dependiendo de si 3 es imagen homomórfica de L o no. Si 3 ∈ H(L) entonces 3 ² ϕ₁, y luego _{2,3} ² ϕ₂. Aplicando el Teorema 15 y la Proposición 8 obtenemosL _∈Glo(2,3) ²ϕ₂. Por último, si3_∈/ H(L) el Teorema 15 nos dice queL_∈Glo(2), y por la Proposición 8 tenemosL²ϕ₂.

Teorema 17 (Vaggione [19])

(1) Las subclases AE de _D son:

{álgebras triviales en _D},

(2) Las subclases AE de _D01 son:

{álgebras triviales en _D01},

{reticulados Booleanos_} y _D01.

Prueba.(2) En virtud del Lema anterior, las subclases AE de_D01están en correspondencia con las de_{2,3}, y como2∈H(3)_∩IS(3) el Lema 6 nos dice que las únicas posibles subclases AE de_{2,3_}son:

∅,_{2} y_{2,3}.

Además las sentencias

ϕ_∅ = _∃!z z=z

ϕ_{2} = _∀x_∃!z x_∧z= 0, x_∨z= 1

ϕ_{2,3} = _∀x_∃!z x=z

muestran que las tres clases efectivamente son subclases AE de _{2,3}.

1.3.3.

Álgebras de Stone

Un álgebra (L,_∧,_∨,_∗,0,1) es un álgebra de Stone si (L,_∧,_∨,0,1) es un reticulado distributivo acotado, y _∗ es una operación unaria en L que cumple:

1∗ _≈0 0∗ _≈1

x_∧(x_∧y)∗_≈x_∧y∗

x∗_∨x∗∗_≈1.

Las primeras tres identidades dicen que ∗ es la operación de pseudo-complementación enL; i.e.a∗ es el mayor elementobde Ltal queb_∧a= 0. Para una exposición más detallada de las propiedades de las álgebras de Stone véase por ejemplo [3]. Con_B1denotaremos la variedad de las álgebras de Stone. Los únicos (salvo isomorfismos) subdirectamente irreducibles de B1 son2 y3. Por lo tanto_B1 tiene sólo una subvariedad propia, a saber

B0=V(2) =_{álgebras de Boole_}.

Nótese que, como cada miembro de_B1−B0 tiene una subálgebra isomorfa a3, las únicas subcuasivariedades de _B1 son sus subvariedades.

Teorema 18 (Vaggione [18]) Sea L un álgebra de Stone y sea

Σ=Σ(L,_{2,3,4_}). El mapeo

L _→ Π_{L/θ:θ_∈Σ_}

x _{7→ h}x/θ:θ_∈Σ_i

es un embedding cuya imagen es un producto subdirecto global, considerando enΣ la topología de los ecualizadores.

ParaL_∈B1 seaD(L)el conjunto de los elementos densos de L, i.e.

D(L) =_{a_∈L:a∗ = 0_}.

Obsérvese que D(L) siempre es un filtro, y que los elementos densos son exactamente los de la formaa_∨a∗. Definimos

REL=_{L_∈B1 :D(L) es relativamente complementado}.

Teorema 19 (Vaggione [19]) Las subclases AE de _B1 son:

{álgebras triviales en _B1}⊂B0⊂REL⊂B1.

Prueba.En primer lugar obsérvese queRELpuede axiomatizarse relativa-mente a_B1 con la DEF

∀x, y_∃!z (x_∨x∗_∨y)_∧z=x_∨x∗, (x_∨x∗_∨y)_∨z= 1.

Haremos uso de queREL=Glo(2,3), propiedad probada en [18].

Supongamos _C = M od(Σ)_∩B1, donde Σ es un conjunto de DEFs. Si C ⊆B0 entonces o bien _C = _{álgebras triviales en _B1} o _C =_B0 (Teorema 14). Por esto podemos asumir que L pertenece a _C−B0. Por el Lema 6 tenemos

{2,3_}⊆H(L)_∩IS(L)_⊆C,

y de esto se sigue que

REL=Glo(_{2,3_})_⊆C.

1.3.4.

Semireticulados

Un semireticulado es un álgebraS= (S;_∧) que satisface: x_∧(y_∧z)_≈(x_∧y)_∧z

x_∧y_≈y_∧x x_∧x_≈x.

Un álgebra S = (S;_∧,0,1) es un semireticulado acotado si (S;_∧) es un semireticulado ySsatisface:

x_∧1_≈x x_∧0_≈0

x_∧x_≈x.

Con _S (resp. _S01) denotaremos la variedad de los semireticulados (resp. acotados). Es un hecho conocido que el único (salvo isomorfismos) miembro subdirectamente irreducible de_S01 es2; y lo mismo es vale para S.

Lema 20 La clase _{2_} es determinante para _S01.

Prueba. Nótese que todo semireticulado acotado no trivial tiene una sub-álgebra isomorfa a 2, y tiene a 2 como imagen homomórfica. Luego, por el Lema 6, sólo necesitamos probar que para toda DEFϕse tiene

2²ϕ_⇒S01²ϕ.

Supongamosϕes una DEF tal que2²ϕ. Como_S01es localmentefinita y no tiene sub-cuasivariedades propias, por el Corolario 11 basta con ver que todos los miembros finitos de _S01 satisfacen ϕ. Además, al tener que 2 ² U(ϕ), es claro que _S01 ² U(ϕ). Por esto es suficiente con probar que ϕ vale en todas las álgebras libresfinitamente generadas de_S01. SeaF_S01(v1, ..., vn)el álgebra libre de_S01generada porv1, ..., vn. Es un ejercicio de rutina verificar que

F_S01(v1, ..., vn)∼=1⊕2n,

donde 1_⊕2n es el semireticulado acotado que se obtiene al agregar un nuevo elemento mínimo a 2n. Esto nos dice que (F_S01(v1, ..., vn),∨) es un

reticulado distributivo acotado, que por el Teorema 15 es isomorfo a un producto subdirecto global con factores en_{(2,_∨),(3,_∨)_}. Por la Proposición 8, cada DEF (en el lenguaje de_D01) que vale en_{(2,_∨),(3,_∨)_}también debe valer en(F_S01(v1, ..., vn),∨). Además, como3 ∈H(2

3₎

∩IS(23), el Lema 6 implica que 3²ϕ, y como_∨ no ocurre enϕ se sigue que (3,_∨)²ϕ. Por lo tanto

F_S01(v1, ..., vn)²ϕ.

Teorema 21 Las subclases AE de _S01 son:

{elementos triviales de _S01} y _S01.

El caso no acotado se obtiene fácilmente del teorema anterior.

Corolario 22 Las subclases AE de _S son:

{elementos triviales de _S} y _S01.

1.3.5.

Variedades Finitamente Generadas

de Grupos Abelianos

Consideraremos a los grupos como modelos del lenguaje_{+,₋,0_}, donde

−es una operación unaria. Sean_≥2y sea_Gnla variedad de todos los grupos Abelianos que satisfacen la identidad

nx_≈x.

Recordamos al lector que (_Gn)SI = I({Zpk : pk divide a n}), y que todo miembro de_Gn es una suma directa de grupos en(_Gn)SI. Además, si

G=M

i∈I Gi

entonces

G²ϕ_⇔Gi ²ϕpara todoi∈I.

De estos hechos se obtiene sin dificultades la prueba del siguiente resultado.

Lema 23 La clase (_Gn)SI es determinante para Gn.

Con la ayuda del lema anterior resulta sencillo dar una solución al Prob-lema 3 para las variedades_Gn.

Teorema 24 Las subclases AE de _Gn son exactamente sus subvariedades.

Prueba. Gracias al Lema 23 sólo debemos probar que para cada DEFϕ, hay una identidadψtal que

M od(ϕ)_∩(_Gn)SI =M od(ψ)∩(Gn)SI.

1.4.

Álgebras de Kleene Generalizadas

Un álgebra A = (A;_∧,_∨,−) será un álgebra de Kleene generalizada si

(A;_∧,_∨)es un reticulado distributivo y−es una operación unaria en Aque cumple:

x_∨y_≈x_∧y

x_∧y_≈x_∨y

x_≈x

x_∧x_≈x_∧x_∧(y_∨y).

Sea _K la variedad de las álgebras de Kleene generalizadas. Un álgebra de Kleene es un álgebra A = (A;_∧,_∨,−,0,1), para la cual(A;_∧,_∨,−) _∈K, y Asatisface las identidades

0_∧x_≈0

0_≈1.

Denotaremos la variedad de las álgebras de Kleene por_K01. Las clases_Ky K01 están estrechamente emparentadas. Por ejemplo ambas tienen aI(2,3) como su clase de subdirectamente irreducibles [3]. También es claro que cada miembrofinito de _Kes el reducto de un álgebra en_K01. Sin embargo hay importantes diferencias. Los reticulados de subcuasivariedades de_Ky de K01son notablemente distintos; el primero es una cadena de cinco elementos mientras que el otro es infinito [2]. En el libro [3] el lector podrá encontrar resultados básicos acerca de las álgebras de Kleene. Sea_Bla subvariedad de Kaxiomatizada por x_∨x_≈y_∨y; nótese que _Bes equivalente a la variedad de las álgebras de Boole.

A lo largo de esta sección haremos un intensivo uso de la dualidad de Priestley para álgebras de Kleene; si bien incluimos a continuación un detalle de las propiedades básicas de esta dualidad, se espera cierta familiaridad por parte del lector con estos conceptos.

Salvo por los Lemas 28 y 30, todas las aplicaciones de la dualidad en esta sección son para álgebrasfinitas. Para el caso infinito sólo necesitaremos la correspondencia entre congruencias y conjuntos defiltros primos. Por estas razones presentaremos la dualidad únicamente para álgebras finitas, y la representación de congruencias para el caso general.

SeaA_∈K. EscribiremosX(A)para denotar el poset defiltros primos de A, ordenado por la inclusión de conjuntos (utilizaremos la misma notación para el universo de este poset). SeagA la función

X(A) _→ X(A)

p _{7→ {}x_∈A:x /_∈p_}

gA invierte orden,

gA◦gA es la función identidad y

gA(p)⊆p o p⊆gA(p), para todop∈X(A).

Para cadaa_∈A definimos

σ(a) =_{p_∈X(A) :a_∈p_}.

Seaτ la topología en X(A) generada por

{σ(x) :x_∈A_}∪{X(A)₋σ(x) :x_∈A_}

(si Aesfinito esta topología es la discreta). Sea

F =_{F _⊆X(A) :F es cerrado en(X(A), τ) ygA(F) =F}.

Como_F es cerrado bajo intersecciones arbitrarias resulta ser un reticulado respecto del orden de la inclusión. Un subconjunto F de X(A) pertenece a _F sii F = Fcl _∪g

A(Fcl), donde Fcl es la clausura topológica de F en

(X(A), τ). El mapeo

F → Con(A)

F _7→ θF ={(x, y) :σ(x)∩F =σ(y)∩F}

es un anti-isomorfismo de reticulados, cuya inversa está dada por

θ_7→F(θ) =_{p_∈X(A) :para cada (x, y)_∈θ, x_∈p siiy_∈p_}.

Otra propiedad que necesitamos mencionar es que para cada θ _∈ Con(A)

las estructuras(X(A/θ), gA/θ)y(F(θ), gA|F(θ))están naturalmente

identi-ficadas.

ParaAfinita, eldual deAserá el par(X(A), gA). Las siguientes propiedades serán aplicadas sin ser citadas:

(1) U _⊆X(A) es un conjunto creciente sii U =σ(a) para algún a_∈A.

(2) La topologíaτ (definida arriba) es la topología discreta, y por lo tanto los subconjuntos deX(A)en correspondencia con las congruencias de Ason exactamente los preservados porgA.

(4) Supongamos(X, g)es tal queX es un poset finito,g:X_→X es una función que invierte orden,g_◦g=Idyg(x)_≤xox_≤g(x), para todo x_∈X. Entonces los subconjuntos crecientes de X forman un álgebra de Kleene generalizada en la cual _∧ es la intersección, _∨ es la unión, y la negación de Kleene está dada por D = g(X₋D). Más aún, el dual de esta álgebra es (X, g). Recíprocamente, si A es un miembro

finito de_K, entonces el álgebra de Kleene generalizada que se obtiene al realizar el proceso anterior a(X(A), gA) es isomorfa a A.

(5) Dos congruencias deA, digamosθyδ, permutan sii para cualesquiera a, b_∈Ase cumple que(σ(a)_∩F(θ))_∪(σ(b)_∩F(δ))es creciente.

Para más detalles sobre la dualidad para álgebras de Kleene véase [8]. Cuando no haya riesgo de confusión escribiremos simplementeg en lugar de gA.

El siguiente resultado de representación es nuestro punto de inicio en el estudio las subclases AE de_K. SeaD el álgebra de Kleene generalizada de la Figura 1.1.

Figura 1.1:D

Teorema 25 (Vaggione) Sea A_∈K, y sea

Σ=Σ(A,_{1,2,3,4,5,D_}). El mapeo

A _→ Π_{A/θ:θ_∈Σ_}

x _{7→ h}x/θ :θ_∈Σ_i

es un embedding cuya imagen es un producto subdirecto global, considerando enΣ la topología de los ecualizadores.

1.4.1.

Una Clase Determinante para

_K

Nos abocaremos en esta sección a encontrar una clase determinante para la variedad _K. Como veremos más adelante el mayor escollo para arribar a dicha clase es encontrar una clase determinante para Q(4). Resolvemos este subproblema en dos etapas. Primero encontramos una clase de álgebras

concluimos que la clase_{2,4,6,P_} (donde Pes el álgebra de Kleene gene-ralizada de la Figura 1.2) es determinante para_W, y por lo tanto paraQ(4). Una vez resuelto este problema, dado que el reticulado de subcuasivariedades de _Kes muy simple, no hace falta mayor esfuerzo para probar el resultado principal de esta sección

Figura 1.2:P

Teorema 26 La clase D_K=_{2,3,4,5,6,D,P_} es determinante para _K.

Daremos la prueba del Teorema 26 al final de la sección.

Comenzamos nuestro estudio con una caracterización de los duales de las álgebras en Q(4). Ya que trabajaremos intensivamente con álgebras en esta cuasivariedad dicha caracterización resultará de gran utilidad.

Definición 27 Sea A_∈K, definimos

q(A) =_{q _∈X(A) :q_⊆g(q), q ₆=g(q)_}.

Lema 28 Sea A _{∈ K}. Entonces A _∈ Q(4) sii para cada q _∈ q(A) hay

p_∈X(A) que satisface p=g(p) y q_⊂p_⊂g(q).

Prueba. (_⇐) Sea θ _∈ Σ(A,3). Entonces F(θ) = _{q, g(q)_}, con q _∈ q(A). Por hipótesis hay unfiltrop_∈X(A) tal queq _⊂p_⊂g(q). Si tomamos δ=

θ_{p,q,g(q)}, tenemos que δ _⊆θ y δ _∈Σ(A,4). Luego para cada θ _∈Σ(A,3)

hay una congruenciaδθ _∈Σ(A,4), tal que δθ _⊆θ. De esto se obtine que el mapeo

A _→ Y

θ∈Σ(A,3)

A/δθ× Y

θ∈Σ(A,2) A/θ

a _7→ (_ha/δθ:θ∈Σ(A,3)i,ha/θ:θ∈Σ(A,2)i)

es un embedding subdirecto.

Definición 29 Sea _W =_{A_∈Q(4) :A es finito y_|q(A)_|≤2_}.

Lema 30 Sea A_∈K.

(1) Si A _∈ Q(4) entonces para cada θ _∈ Σ(A,_{1,2,3,4,5,D_}) hay δ _∈

Σ(A,_W) tal que δ_⊆θ.

(2) Si δ1 y δ2 son elementos minimales de Σ(A,W) entonces δ1 ∨δ2 ∈

Σ(A,_W).

Prueba. (1) Como1,2,4_∈W, podemos suponer sin pérdida de generali-dad que θ _∈ Σ(A,_{3,5,D_}). Obsérvese que tanto 5 como D se embeben subdirectamente en3_×3; luego hayθ1, θ2 ∈Σ(A,3) tales que θ=θ1∩θ2. Por un razonamiento análogo al de la prueba del lema anterior podemos encontrar δ1, δ2 ∈ Σ(A,4) tales que δi ⊆ θi, i = 1,2. Es sencillo ver que δ1∩δ2∈Σ(A,W), luego podemos tomar δ=δ1∩δ2 ⊆θ.

(2) Como(X(A/θ), g_A/θ) y (F(θ), g_A|F(θ)) son isomorfos, tenemos que una congruenciaδestá enΣ(A,_W)si y solo siF(δ)esfinito,_|q(A)_∩F(δ)_|≤ 2, y para cada q _∈ q(A) _∩ F(δ) hay un p _∈ F(δ) tal que q _⊆ p =

gA(p)⊆gA(q). Supongamos δ1 yδ2 son elementos minimales de Σ(A,W). Como F(δ1 _∨δ2) = F(δ1) _∩ F(δ2), es claro que F(δ1 _∨δ2) es finito y que _|q(A)_∩F(δ1∨δ2)| ≤ 2. Sea q ∈ q(A)∩F(δ1)∩F(δ2). Al estar δ1 en Σ(A, Q(4)) por el Lema 28 sabemos que hay p _∈ F(δ1) que cumple q _⊆ p= gA(p) ⊆gA(q). Este p debe estar en F(δ2) pues si no tendríamos que δ = θ_{F(δ2)∪{p} ∈} Σ(A,_W) con δ _⊆ δ2 y δ 6= δ2, lo cual contradice el hecho de queδ2 es minimal.

Lema 31 Sea A un álgebra finita en Q(4) y seaϕ una DEF. Entonces

A²ϕ_⇔H(A)_∩W ²ϕ.

Prueba.(_⇐) SiA _∈W no hay nada que probar, así que supondremos que A_∈/ _W. Sea

ϕ=_∀x1, ..., xn_∃!z1, ..., zm k ^

t=1

pt(x, z) =qt(x, z)

y supongamosH(A)_∩W ²ϕ. ComoA_∈/ _Btenemos que 4_∈IS(A), y esto implica que

Q(4)²U(ϕ).

Seana1, ..., an_∈A, veremos que hay b1, ..., bm _∈A tales queVk_t=1pt(a, b) =

qt(a, b). Por el Teorema 25 podemos suponer que A ⊆Qi∈IAi es un pro-ducto subdirecto global con factores en_{1,2,3,4,5,D}. SeaM el conjunto formado por los elementos minimales deΣ(A,_W). Para cada δ _∈M defi ni-mos

Uδ= \

Debe notarese que siδ_∈M, como A/δ satisface ϕ, haybδ₁, ..., bδ_m∈A tales que

(pt(a1, ..., an, bδ1, ..., bδm), qt(a1, ..., an, bδ1, ..., bδm))∈δ,

parat= 1, ..., k.

Sea j _{∈ {}1, ..., m_}, queremos aplicar la propiedad de emparche (G2) de la Definición 7 al sistema

{Uδ:δ ∈M};{bδj :δ∈M}.

En consecuencia necesitamos verificar que este sistema satisface todas las propiedades requeridas. Ya que todas las congruencias enM sonfinitas, es claro que cada Uδ es abierto en la topología de los ecualizadores. Además nótese que para todoi_∈I vale que

i_∈Uδ⇔δ⊆θi={(a, b)∈A:a(i) =b(i)}

y

θi ∈Σ(A,{1,2,3,4,5,D}).

Estos dos hechos en combinación con el punto (1) del Lema 30 implican que [

δ∈M

Uδ=I.

Supongamosδ, γ_∈M y sea i0 _∈Uδ∩Uγ. Queremos ver que i0 ∈E(bδj, b γ j), o equivalentemente que (bδ_j, bγ_j) _∈ θi0. Por (2) del Lema 30 tenemos que

A/δ_∨γ_∈W, y por lo tanto

A/δ_∨γ²ϕ.

Luego hay un única soluciónz al sistema de ecuaciones

pt(a/δ∨γ, z) =qt(a/δ∨γ, z), t= 1, ..., k,

y al ser (bδ₁/δ_∨γ, ..., bδ_m/δ_∨γ) y (bγ₁/δ _∨γ, ..., bγm/δ_∨γ) dos soluciones de este sistema, necesariamente

(bδ₁/δ_∨γ, ..., bδ_m/δ_∨γ) = (bγ₁/δ_∨γ, ..., bγ_m/δ_∨γ).

Además, comoi0 ∈Uδ∩Uγ, tenemos que δ∨γ⊆θi0, por lo cual

(bδ₁, bγ₁), ...,(bδ_m, bγ_m)_∈θi0.

Ahora podemos tomarbj como la solución del sistema de emparche

paraj= 1, ..., m. Es sencillo verificar que b1, ..., bm satisfacen

k ^

t=1

pt(a, b) =qt(a, b).

Notamos que una consecuencia directa del lema anterior es que _W es una clase determinante para _{A _∈ Q(4) : A es finito_}, luego aplicando el Corolario 11 obtenemos:

Corolario 32 La clase _W es determinante para Q(4).

La tarea que emprendemos a continuación es la de encontrar una subclase

finita de_W que también sea determinante para Q(4).

Lema 33 Sea A un álgebra y sea ϕ una DEF. Supongamos A ² U(ϕ) y supongamos que existen θ, δ_∈Con(A) con las siguientes propiedades:

A/θ²E(ϕ) y A/δ ²E(ϕ)

A/(θ_∨δ)²U(ϕ)

θ_∩δ=∆A

θ y δ permutan. Entonces A²ϕ.

Prueba. Sea

ϕ=_∀x1, ..., xn_∃!z1, ..., zm k ^

l=1

pl(x, z) =ql(x, z),

y seana1, ..., an∈A. Por hipótesis existen b1, ..., bm, c1, ..., cm∈A tales que para1_≤l_≤k

(pl(a, b), ql(a, b))∈θ

y

(pl(a, c), ql(a, c))∈δ.

Ahora, como A/(θ_∨δ)²U(ϕ) y

(pl(a, b), ql(a, b)),(pl(a, c), ql(a, c))∈θ∨δ, 1≤l≤k,

tenemos

(b1, c1), ...,(bm, cm)_∈θ_∨δ =θ_◦δ.

Luego hayd1, ..., dm _∈A que cumplen

Por último obsérvese que

(pl(a, d), ql(a, d))∈θ∩δ=∆A, 1≤l≤k.

Nuestro primer paso es dividir _W en varias subclases que estudiaremos por separado. Recuerdesé que q(A) = _{q _∈ X(A) : q _⊆ g(q), q ₆= g(q)_}, definimos:

W0 = {A ∈ W : para todo p ∈ X(A)−q(A) existe q ∈ q(A) tal que q_Ãp_},

W1 ={A∈W :|q(A)|= 1}∩W0,

W2 ={A∈W :q(A) es una cadena de2 elementos}∩W0, W3 =_{A_∈W :q(A) es una anti-cadena de 2elementos_}∩W0.

Lasfiguras que presentamos a continuación describen esquemáticamente los duales de las álgebras en las clases que acabamos de definir.

q ) (q g q ) (q g ) (q g ′ q′ q ) (q g ) (q g ′ q′

Dual de un álgebra en_W1 Duales de álgebras en _W2

q

) (q

g g(q′)

q′ q

) (q

g g(q′)

q′ q

) (q

g g(q′)

q′

Duales de álgebras en _W3

En la siguiente serie de lemas ϕ es siempre una DEF. Recordamos al lector que Pes el álgebra en la Figura 1.2.

Lema 34 Si P²ϕentonces _W1 ²ϕ.

Prueba. SeaA_∈W1, y supongamos q(A) =_{q_}. Entonces

donde

Y =_{p_∈X(A) :q_Ãp=g(p)_Ãg(q)_}.

Nuestro razonamiento será por inducción en el cardinal de Y. Si _|Y_| = 1

entoncesA ∼=4 ∈H(P)_∩IS(P) y podemos aplicar el Lema 6. Si _|Y_|= 2

entoncesA∼=P. Supongamos_|Y_|≥3, y seanp1, p2_∈Y,p1₆=p2. Definimos

F1 =X(A)−{p1}yF2=X(A)−{p2}.

Probaremos que θF1 yθF2 permutan. Sea

(a, b)_∈θF1 ∨θF2 =θX(A)−{p1,p2}

y sea

U = (σ(a)_∩F1)_∪(σ(b)_∩F2).

Como U _∩F1 = σ(a)∩F1 y U ∩F2 = σ(b)∩F2, basta con ver que U es un conjunto creciente. Supongamos r _∈ σ(a)_∩F1 y r à s, veremos que necesariamentes_∈U. Sis_∈F1 entoncess_∈σ(a)_∩F1 _⊆U. Sis /_∈F1 (i.e. s=p1) entoncesr =q. Ahora, como

(a, b)_∈θX(A)−{p1,p2} ⊆θ{q}

tenemos que

a_∈q_⇔b_∈q.

Luego

b_∈q_⊆p1 =sys∈σ(b)∩F2 ⊆U.

Notamos que A/θF1,A/θF2 ∈ W1, lo que por hipótesis inductiva implica

que

A/θF1 ²ϕyA/θF2 ²ϕ.

Además, como 4 _∈ IS(P) tenemos que Q(4) ² U(ϕ), y al saber que A y A/(θF1 ∨θF2) pertencen a Q(4), aplicando el Lema 33 obtenemos que

A²ϕ.

SeaL el álgebra de Kleene generalizada en la Figura 1.3.

Lema 35 Si L²ϕ entonces_W2 ²ϕ.

Prueba. SeaA_∈W2. Supongamosq(A) =_{q0, q_}, conq0 _Ãq. Claramente

X(A) =_{q, q0, g(q), g(q0)_}∪Y _∪Y0,

donde

Y =_{p_∈X(A) :q_Ãp=g(p)_Ãg(q)_}

y

Y0 =_{p_∈X(A) :q0_Ãp=g(p)_Ãg(q0)_}.

Obsérvese queq0_Ãq_Ãg(q)_Ãg(q0) y por lo tantoY _⊆Y0.

Caso (i): Y0₋Y =_∅. Ya que la prueba de este caso es muy similar a la del Lema 34 la dejamos al lector.

Caso (ii): Y0₋Y ₆= _∅. Sean F1 =X(A)₋(Y0₋Y) y F2 = X(A)₋

{q, g(q)_}. Veremos que θF1 y θF2 permutan. Fijamos (a, b) ∈ θF1 ∨θF2 =

θ_Y∪{q0,g(q0)}. Probaremos que U = (σ(a) ∩F1) ∪(σ(b) ∩F2) es creciente. Sean r _∈ U y s _! r. Supongamos r _∈ σ(a)_∩ F1. Si s _∈ F1 entonces s _∈ σ(a)_∩F1 ⊆ U. Si por lo contrario s /∈ F1, tenemos s ∈ Y0 −Y, y r debe ser igual a q0_{. Ahora, (a, b) ∈ θ}

{q0_} lo cual dice que b ∈ q0, y por lo

tantob_∈s. Luegos_∈σ(b)_∩F2_⊆U. Supongamos r_∈σ(b)_∩F2. Sis_∈F2 tenemos s_∈σ(b)_∩F2 ⊆U, así que supondremos que s /∈F2. Se sigue que s_∈{q, g(q)_}. Sis=q entoncesr =q0_{, y como (a, b)∈θ}

{q0_} obtenemos que

a_∈q0 _⊆q. Esto nos dice ques_∈σ(a)_∩F1 _⊆U. En el caso de ques=g(q)

hay dos posibilidades: o bienr=q0, y repetimos el razonamiento de arriba, or_∈Y. Pero en este caso nuevamente tenemos que(a, b)_∈θY ⊆θ_{r}, y así

a_∈r _⊆s. Por lo tantos_∈σ(a)_∩F1 _⊆U.

El Lema 6 nos dice queP²ϕ, y al pertenecerA/θF2 aW1, por el Lema

34 tenemos que A/θF2 ²ϕ. Nótese que si definimos Y1, Y10 ⊆X(A/θF1) de

la misma forma que definimos Y0, Y para A, entonces Y₁0₋Y₁0 =_∅. Luego, por el Caso (i), A/θF1 ²ϕ. La prueba concluye aplicando el Lema 33 a A,

θF1 yθF2.

Lema 36 Si P²ϕentonces _W3 ²ϕ.

Prueba. Sea A _∈W3. Supongamos q(A) =_{q, q0_}, con q y q0 incompara-bles. Entonces

X(A) =_{q, q0, g(q), g(q0)_}∪Y _∪Y0,

donde

Y =_{p_∈X(A) :q_Ãp=g(p)_Ãg(q)_}

y

Consideremos primero el caso en el queq_*g(q0_{). DefinimosF1 ={q, g(q)}∪}

Y yF2 =_{q0, g(q0)_}∪Y0. Es fácil ver que

A∼=A/θF1×A/θF2.

Ahora, comoA/θF1,A/θF2 ∈W1 por el Lema 34 sabemos que A/θF1 ²ϕy

A/θF2 ²ϕ. LuegoA²ϕ, y concluimos la prueba de este caso.

Supongamos ahora queq_⊂g(q0)yY_∩Y0 ₆=_∅. TomamosF1={q, g(q)}∪ Y y F2 = {q0, g(q0)}∪Y0. Veremos que θF1 y θF2 permutan. Sea (a, b) ∈

θF1∨θF2 =θY∩Y0. Una vez más probaremos queU = (σ(a)∩F1)∪(σ(b)∩F2)

es creciente. Supongamos r _∈ σ(a)_∩F1 y sea s ! r. Si s ∈ F1 entonces s _∈ σ(a)_∩F1 ⊆ U, por lo cual asumiremos que s /∈ F1. Entonces se da s=g(q0)os_∈Y0. Además nótese quer _∈F1yr_Ãsimplica quer_∈{q_}∪Y. Supongamos s=g(q0). Si r =q, como para todo p _∈ Y _∩Y0, se tiene que

(a, b) _∈θ_{p}, podemos concluir que b_∈p_⊆s. Luego s_∈σ(b)_∩F2 ⊆U. Si r _∈ Y, como r _Ãg(q0), tenemos que r _∈ Y _∩Y0. Por ello, el hecho de que

(a, b) _∈ θ_{r} implica b∈ r ⊆s. En conclusión s∈ σ(b)∩F2 ⊆U, y por lo

tanto θF1 y θF2 permutan. La prueba de esta caso se termina aplicando el

Lema 33.

El único caso que falta considerar es q _Ã g(q0) y Y _∩Y0 =_∅. Sea X˜ =

X(A)_∪{p_}, conp /_∈X(A). Extendemos el orden deX(A)porq < p < g(q)

y q0 _{< p < g(q}0_{). Definimos ˜g : ˜X → X}˜ _{por ˜g(p) = p y g˜(t) = gA(t)}

para todo t _∈ X(A). Sea A˜ el álgebra de Kleene generalizada cuyo dual es( ˜X,˜g). Observamos que A˜ _∈W3, y por el caso resuelto inmediatamente antes que este sabemos queA˜ ²ϕ. Notamos también que A∼=A˜/θ_X(A), lo cual implica que A²E(ϕ). La última observación es que4 _∈IS(P), y así Q(4)²U(ϕ).

A continuación, en los Lemas 37, 38 y 39, resolvemos tres pequeños pro-blemas de preservación que surgen en la prueba del Lema 40. Cabe men-cionar que para probar los primeros dos de estos tres lemas utilizamos una técnica que involucra las funciones asociadas a una DEF. Esta técnica ha probado ser de gran utilidad, permitiéndonos resolver problemas que se re-sistían a los métodos empleados hasta ahora.

Necesitamos introducir una notación antes de probar nuestro siguiente lema. Sea f :An _→A una función cualquiera, escribiremos f _×f _×f para denotar el mapeo

(A_×A_×A)n_→A_×A_×A

((x1, y1, z1), ...,(xn, yn, zn))7→(f(x1, ..., xn), f(y1, ..., yn), f(z1, ..., zn)).

Lema 37 Si _{6,P_}²ϕentonces L²ϕ.

Prueba. Supongamos que contrariamente al enunciado existe una DEF

ϕ=_∀x1, ..., xn_∃!z1, ..., zm^ l

tal que _{6,P_} ² ϕ y L ₆²ϕ. Nótese que por el Lema 6, como 4 _∈ H(6)_∩

IS(6), tenemos que4²ϕ.

Definimos los siguientes subconjuntos de 43:

S₆1 =_{(0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(2,2,2),(2,2,3),(3,3,3)_}

S2

6 ={(0,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(2,2,2),(2,3,2),(3,3,3)} SP =_{(0,0,0),(1,1,1),(1,2,1),(2,1,2),(2,2,2),(3,3,3)_}

SP×4 ={(0,0, k),(1,1, k),(2,1, k),(2,2, k),(3,3, k) :k= 0,1,2,3}

SL={(0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,2,1),(2,1,2),(2,2,2),(2,2,3),(3,3,3)}. El lema 5 nos dice que4×4×4²ϕ, y además:

[ϕ]4_j×4×4 = [ϕ]4_{j ×}[ϕ]4_{j ×}[ϕ]4_j j= 1, ..., m

[ϕ]4_j×4×4((S₆i)n)_⊆S₆i i= 1,2,j= 1, ..., m

[ϕ]4_j×4×4((SP)n)⊆SP j= 1, ..., m

[ϕ]4_j×4×4((SP×4)n)⊆SP×4 j= 1, ..., m

[ϕ]4_j0×4×4((SL)n)_6⊆SL para algún 1_≤j0 _≤m.

Como4 _∈IS(6) es claro que 4 ²U(ϕ), y al pertenecer L a Q(4) tenemos que L ² U(ϕ). Luego L ₆² E(ϕ). Obsérvese que entonces, para cualquier subconjunto_{a1, ..., ak}de generadores deL, modificandoϕadecuadamente podemos construir una DEFϕ0 tal que

ϕ0 =_∀x1, ..., xk∃!z1, ..., zm ^

j

p0_j =q_j0,_{6,P_}²ϕ0

y

L₆²ϕ0.

Más aún podemos construir ϕ0 de manera que la existencia falle cuando x1 =a1, ..., xk =ak.

Ya que_{(0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,2,1)_}es un conjunto de generadores de la subálgebra de43 isomórfica aLy con universoSL, por el razonamiento anterior podemos suponer quen= 4y

[ϕ]4_j×4×4

0 ((0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,2,1))∈/ SL.

Veremos que esto no es posible. Para facilitar la lectura de la prueba deno-taremos conF a [ϕ]4_j×4×4

0 y conf a[ϕ]

4 j0.

Supongamos(x, y, z)_∈43 _{es tal que}

F((0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,2,1)) = (x, y, z).

Entonces

f(0,1,1,1) = x, f(0,1,1,2) = y,

Afirmación (i) (x, y, z)₆= (1,2,0).Si por el contrario

F((0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,2,1)) = (1,2,0),

entonces

(0, v,0) =F((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1),(1,2,1))_∈SP

y como (0, v,0)debe estar en SP

v=f(0,0,1,2) = 0.

Pero de esto se obtiene que

(2,0,2) =F((0,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(2,2,2))_∈S₆2,

lo cual es una contradicción ya que(2,0,2)_∈/ S2 6.

Afirmación (ii) (x, y, z)₆= (2,1,3).Razonaremos nuevamente por el absur-do. Supongamos

F((0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,2,1)) = (2,1,3).

Entonces

(3, v,3) =F((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1),(1,2,1))_∈SP,

por lo cual

v=f(0,0,1,2) = 3.

Pero de esto concluimos que

(1,3,1) =F((0,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(2,2,2))_∈S₆2

arribando a una contradicción.

Nuestra prueba concluye con un análisis por casos, en el cual veremos que cualquiera sea el valor que tomax, necesariamente(x, y, z)_∈SL.

Casox= 0. Nótese que

(0,0, z) = (x, x, z) =F((0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,1))_∈S₆1,

y por lo tantoz= 0. Ahora, comoSL⊂SP×4 tenemos que(0, y,0)∈SP×4. Luegoy= 0y

(x, y, z) = (0,0,0)_∈SL.

Caso x = 3. Usando el mismo razonamiento que en el caso anterior se

Casox= 1. Como

(1,1, z) =F((0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,1))_∈S₆1

obtenemos quez_∈{0,1_}. Además de

(1, y,1) =F((0,0,0),(1,1,1),(1,1,1),(1,2,1))_∈SP

obtenemos quey_∈{1,2_}. Luego

(x, y, z)_∈{(1,1,0),(1,1,1),(1,2,0),(1,2,1)_},

y por (i) sabemos que(x, y, z)₆= (1,2,0), lo cual produce(x, y, z)_∈SL.

Casox= 2. De

(2,2, z) =F((0,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,1))_∈S₆1

se sigue quez_∈{2,3_}, y como

(2, y,2) =F((0,0,0),(1,1,1),(1,1,1),(1,2,1))_∈SP

tenemosy _∈{1,2_}. Por lo tanto

(x, y, z)_∈{(2,1,2),(2,1,3),(2,2,2),(2,2,3)_},

y (ii) dice que(x, y, z)₆= (2,1,3). Luego (x, y, z)_∈SL.

Sean T y R las álgebras de Kleene generalizadas de las Figuras 1.4 y 1.5.

Figura 1.4: T Figura 1.5: R

Lema 38 (1) Si T²ϕ entoncesR²ϕ.

Prueba.(1) Supongamos por el contrario que hay una DEFϕtal queT²ϕ yR₆²ϕ. ComoRes 3-generado podemos suponer queϕtiene tres variables cuantificadas universalmente (ver la prueba del Lema 37). Nótese además que deT²ϕ, por el Lema 6, obtenemos que4²ϕ, y por lo tanto4_×4²ϕ. Definimos los siguientes subconjuntos de4_×4:

ST =4×4−{(0,3),(3,0)}

SR=4×4−{(0,3),(3,0),(2,0),(0,2),(3,1),(1,3)}

S4 ={(0,0),(1,0),(2,3),(3,3)}.

El Lema 5 dice que para j= 1,2,3

[ϕ]4_j×4 = [ϕ]4_{j ×}[ϕ]4_j

[ϕ]4_j×4((S4)3)⊆S4

[ϕ]4_j×4((ST)3)⊆ST.

Ahora, comoR₆²ϕy_{(1,0),(2,1),(3,2)_}es un conjunto de generadores de R, podemos asumir que

[ϕ]4₁×4((1,0),(2,1),(3,2))_∈/ SR.

Supongamos

[ϕ]4₁×4((1,0),(2,1),(3,2)) = (3,1).

Entonces

[ϕ]4₁×4((0,0),(1,0),(2,3)) = (1, y)_∈S4,

y debe ser quey = 0. De esto obtenemos que

[ϕ]4₁×4((1,0),(2,0),(3,3)) = (3,0)_∈/ST,

lo cual es una contradicción. Los casos restantes producen contradicciones en la misma forma, y son dejados al lector.

(2) es una consecuencia inmediata de (1) vía el Lema 6, ya que P _∈ H(R)_∩IS(R).

SeaGel álgebra de Kleene generalizada de la Figura 1.6.

Lema 39 Si 4²ϕ entoncesG²ϕ.

Prueba. El dual deG es_{q, g(q), p, q0, g(q0)_}, dondeq_Ãp=g(p)_Ãg(q) y q0 _Ãp =g(p) _Ãg(q0). Sean F1 =_{q, g(q), p_} yF2 = _{q0, g(q0), p_}. Veremos queθF1 yθF2 permutan. Para esto fijamos (x, y)∈θF1∨θF2, y probaremos

queU = (σ(x)_∩F1)_∪(σ(y)_∩F2)es creciente. Sear_∈σ(x)_∩F1, y tomamos s_!r. El único caso no trivial surge de suponer que s=g(q0). Si ese es el caso entonces r _{∈ {}p, q_}. Ahora, como (x, y) _∈ θF1 ∨θF2 = θ{p} y x ∈ p,

tenemos que y _∈p. Luegos_∈σ(y)_∩F2, y por lo tanto U es creciente. La prueba concluye aplicando el Lema 33 a G,θF1 yθF2.

Hemos recolectado toda la información necesaria para la prueba de nues-tro siguiente resultado.

Lema 40 La clase DQ(4) ={2,4,6,P} es determinante para W.

Prueba. Seanϕ₁ yϕ₂ dos DEFs que cumplen

M od(ϕ₁)_∩DQ(4)=M od(ϕ2)∩DQ(4).

SupongamosA∈W es tal queA²ϕ₁, veremos queA²ϕ₂. Si Aes trivial esto es inmediato, así es que supondremos_|A_|≥2. Supongamos4 ₆²U(ϕ₁). Entonces 4 _∈/ IS(A), y necesariamente A _{∈ B}. Además, como A es no trivial tenemos2_∈H(A)_∩IS(A), y el Lema 6 produce

2_∈M od(ϕ₁)_∩D_Q(4)=M od(ϕ₂)_∩D_Q(4).

Obsérvese queA_∈B implica que,A es isomorfa a un producto subdirecto global con factores en_{1,2_}, luego por la Proposición 8 tenemos A²ϕ₂.

Supongamos4²U(ϕ₁). Esto dice queU(ϕ₁)vale en todoQ(4). Debere-mos considerar varios casos.

Caso A _∈W1. Si A ∼= 4 claramente A ²ϕ2. Si A no es isomorfa a 4, es fácil ver queP_∈H(A). AsíP²ϕ₁ y luegoP²ϕ₂. Por último, el Lema 34 implicaA²ϕ₂.

Caso A _{∈ W2}. Nótese que toda álgebra en _W2 tiene a 6 como imagen homomórfica. Si A ∼=6 es inmediato que A² ϕ₂. Por otro lado, siA ₆∼=6 entonces P _∈ H(A). Luego _{6,P_} ² ϕ₁, y por lo tanto _{6,P_} ² ϕ₂. El Lema 37 dice entonces queL ²ϕ₂, y aplicando el Lema 35 obtenemos que W2 ²ϕ₂.

Caso A _{∈ W3}. Si P _∈ H(A), entonces P ² ϕ₁. Por lo tanto P ² ϕ₂, y vía el Lema 36 obtenemos _W3 ² ϕ2. Supongamos que P 6∈ H(A), y que q(A) =_{q, q0_}, conq yq0 incomparables. Tenemos entonces que

donde

Y =_{p_∈X(A) :q < p=g(p)< g(q)_}

e

Y0 =_{p_∈X(A) :q0< p=g(p)< g(q0)_}.

El hecho de queP_6∈H(A)nos dice que_|Y_|=_|Y0_|= 1. Luego, siY_∩Y0 ₆=_∅, entoncesA∼=G, y el Lema 39 concluye la prueba de este caso. Supongamos entonces que Y _∩Y0 = _∅. Surgen ahora dos subcasos dependiendo de si q < g(q0) o no. Siq < g(q0), entonces A∼=T, y podemos aplicar el Lema 38 para obtener queP²ϕ₁. LuegoP²ϕ₂, y por el Lema 36 tenemos_W3 ²ϕ2. Siq₆< g(q0) es fácil ver queA∼=4_×4, por lo queA²ϕ₂. Esto concluye la prueba del casoA_∈W3.

Observamos que_W0 =_W1∪W2∪W3, por lo que el único caso que nos resta considerar esA∈W−W0. Se puede ver sin mayores dificultades que siA _∈W−W0 entonces existenA0 ∈W0 yB ∈B tales queA∼=A0×B. Además, como estamos bajo la suposición de que Q(4) ² U(ϕ₁), tenemos queA²ϕ₁ implicaA0 ²_ϕ

1 yB²ϕ1. Usando los casos anteriores podemos ver que A0²ϕ₂ yB²ϕ₂. LuegoA²ϕ₂.

El Lema anterior en conjunción con el Corolario 40 producen:

Corolario 41 La clase DQ(4) ={2,4,6,P} es determinante para Q(4).

Necesitamos ahora enfocar brevemente nuestra atención en las subcua-sivariedades de_K.

Proposición 42 (Adams y Dziobiak [2]) Las subcuasivariedades de _K forman la siguiente cadena de 5 elementos:

{´algebras triviales en _K}⊂B⊂Q(4)_⊂Q(2×3)_⊂K.

Corolario 43 Sea ϕ una DEF que tiene un modelo no trivial en _K. En-tonces

M od(U(ϕ))_{∩K 6}=Q(2_×3),

y por lo tantoM od(ϕ)_∩Kes una de las siguientes clases:

{álgebras triviales en K_} B

Q(4)

K.

producto subdirecto global con factores en _{1,3,5,D_}. Como cada uno de estos factores satisface_∃!z z =zla Proposición 8 implica queA²_∃!z z =z. De esto obtenemos que3_∈IS(A), y se sigue que _K⊆M od(U(ϕ)).

Estamos finalmente en condiciones de dar la prueba del resultado prin-cipal de esta sección.

Prueba del Teorema 26. Supongamosϕ₁ yϕ₂ son DEFs en el lenguaje de _K, que satisfacen

M od(ϕ₁)_∩D_K=M od(ϕ₂)_∩D_K.

Sea A _{∈ K} tal que A ² ϕ₁. Obsérvese que, por el Corolario 43, o bien M od(U(ϕ₁))_∩K está contenido en Q(4) o coincide con _K. Supongamos M od(U(ϕ₁))_∩K⊆Q(4). Entonces, comoD_Q(4)⊆D_K, tenemos que

M od(ϕ₁)_∩D_Q(4)=M od(ϕ₂)_∩D_Q(4).

Luego, del hecho de queA_∈Q(4)y el Corolario 41 se desprende queA²ϕ₂. Consideremos el caso en que _{K ⊆}M od(U(ϕ₁)). En este caso tenemos que H(A)²ϕ₁. En particular

H(A)_∩{2,3,4,5,D_}²ϕ₁,

por lo cual

H(A)_∩{2,3,4,5,D_}²ϕ₂.

Ahora, el Teorema 25 nos dice que A es isomorfa a un producto subdi-recto global con factores en H(A)_∩{1,2,3,4,5,D_}, y podemos aplicar la Proposición 8 para obtener queA²ϕ₂.

1.4.2.

El Reticulado de Subclases AE de

_K

Como ya hemos visto, la clase D_K=_{2,3,4,5,6,D,P_}concentra toda la información necesaria para determinar las subclases AE de _K. La tarea que nos queda entonces es encontrar las subclases AE deD_K. Hacemos esto en el Teorema 47, con ayuda de los Lemas 44 y 45. A pesar de que D_K es una clase pequeña de álgebrasfinitas, el determinar cuales subconjuntos de D_K son axiomatizables por DEFs no es un problema sencillo.

Para el primer lema de esta sección necesitamos introducir la siguiente notación. SeaA un conjunto yf :An_→A una función. Escribiremosf_×f para denotar la función

(A_×A)n_→A_×A

Lema 44 Seaf : 3n_→3un función cualquiera, y seaF =f_×f. Definimos los siguientes subconjuntos de 3_×3 :

S2={(0,0),(2,2)}, S1

4 ={(0,0),(0,1),(2,1),(2,2)}, S₄2=_{(0,0),(1,0),(1,2),(2,2)_}, S₅1=_{(0,0),(0,1),(1,1),(2,1),(2,2)_},

S₅2=_{(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,2)_},

SD={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.

Entonces:

(1) Si F((S2)n) ⊆ S2 y F((SD)n) ⊆ SD entonces F((S4j)n) ⊆ S j

4 para

j= 1,2.

(2) Si F((S₅j)n)_⊆S₅j para j = 1,2 entonces F((SD)n)⊆SD.

(3) Si F((S₄j)n)_⊆S₄j para j = 1,2 entonces F((SD)n)⊆SD.

Prueba. (1) Probaremos que F((S₄1)n) _⊆ S₄1. Supongamos que esto no se cumple, i.e. que existen (a1, b1), ...,(an, bn)_∈S₄1 tales que

F((a1, b1), ...,(an, bn))∈/ S41. Entonces, comoF((SD)n)⊆SD, tenemos que

F((a1, b1), ...,(an, bn))∈{(1,0),(1,1),(1,2)}

y por lo tanto

f(a1, ..., an) = 1.

De (ai, bi) _∈ S₄1 se desprende que ai _∈{0,2_}, y esto dice que (ai, ai) _∈S2, parai= 1, ..., n. Pero entonces

F((a1, a1), ...,(an, an)) = (1,1)∈/ S2,

lo cual es una contradicción.

(2) Veremos que negar este enunciado produce un absurdo. Supongamos que hay(a1, b1), ...,(an, bn)∈SD tales que

F((a1, b1), ...,(an, bn))∈{(0,2),(2,0)}= 3×3−SD.

Analizaremos el caso en queF((a1, b1), ...,(an, bn)) = (0,2). Sean

(a0₁, b1), ...,(a0n, bn) los pares que se obtienen al reemplazar en

(a1, b1), ...,(an, bn) cada par de la forma (1,0) por (0,0), y cada par de la forma (1,2)por (2,2). Después de estos reemplazos tenemos que

(a0₁, b1), ...,(a0_n, bn)_∈S₅1.

Luego, como

obtenemos

f(a0₁, ..., a0_n) = 2. (*)

Sean(a1, b0₁), ...,(an, b0_n) los pares que se obtienen al reemplazar en

(a1, b1), ...,(an, bn) cada par de la forma (0,1) por (0,0), y cada par de la forma (2,1)por (2,2). Un razonamiento análogo al de arriba produce

f(b0₁, ..., b0_n) = 0. (**)

Observamos que

a0₁ =b0₁, ..., a0_n=b0_n,

por lo cual

(a0₁, b0₁), ...,(a0_n, b0_n)_∈S₅1.

Pero (*) y (**) dicen que

F((a0₁, b0₁), ...,(a_n0 , b0_n)) = (2,0)_∈/ S₅1,

lo cual es una contradicción.

El casoF((a1, b1), ...,(an, bn)) = (2,0)es análogo.

(3) Supongamos que hay (a1, b1), ...,(an, bn)_∈SD tales que

F((a1, b1), ...,(an, bn))∈{(0,2),(2,0)}= 3×3−SD.

Veremos que no es posible que

F((a1, b1), ...,(an, bn)) = (0,2)

(el caso F((a1, b1), ...,(an, bn)) = (0,2)es similar). Sean (a1, b0₁), ...,(an, b0_n)

los pares que se obtienen al reemplazar en(a1, b1), ...,(an, bn) cada par de la forma (0,1)por (0,0), cada par de la forma (2,1)por (2,2), y cada par de la forma(1,1)por(1,0). Nótese que

(a1, b01), ...,(an, b0n)∈S42,

y como

F((a1, b01), ...,(an, b0n)) = (0, f(b01, ..., b0n))∈S42,

obtenemos

f(b0₁, ..., b0_n) = 0.

Es claro que(bi, b0i)∈S24, parai= 1, ..., n, luego

F((b1, b0₁), ...,(bn, b0_n)) = (2,0)

es una contradicción.

Lema 45 Sea ϕuna DEF.

(1) Si 2²ϕ y D²ϕ entonces4²ϕ.

(2) Si 5²ϕ entoncesD²ϕ.

(3) Si 3²ϕ y 4²ϕ entoncesD²ϕ.

Prueba. (1) Sea

ϕ=_∀x1, ..., xn_∃!z1, ..., zm ^s(x, z) =t(x, z).

Ya queD²ϕy3_∈H(D)_∩IS(D), el Lema 6 nos dice que3²ϕ. Aplicando (1) del Lema 5, obtenemos que

[ϕ]3_{j ×}[ϕ]3_j = [ϕ]3_j×3,

y por (2) del mismo lema obtenemos

[ϕ]3_j×3((S2)n)_⊆S2

y

[ϕ]3_j×3((SD)n)⊆SD, j= 1, ..., m.

Luego el punto (1) del Lema 44 dice que

[ϕ]3_j×3((S₄1)n)_⊆S₄1, j= 1, ..., m,

y por esto

[ϕ]3×3((S₄1)n)_⊆S₄1.

La prueba concluye aplicando (2) del Lema 5.

(2) y (3) se obtienen del Lema 44 de una manera análoga a la del punto (1).

Presentamos a continuación las DEFs que nos servirán para axiomatizar las subclases AE de_K.

Definición 46 Sean:

ϕ_{T RI} = _∃!z z=z

ϕ_K = _∀x_∃!z z=x

ϕ_{F IX} = _∃!z z=z

ϕ_B = _∃!z z=z_∨z

ϕ_Q(4) = _∀x_∃!z (x_∧x)_∨z=x_∨x

ϕ_{N EW} = _∀x1, x2∃!z z_∨z=x1∨x1

z_∧((x1_∨x1)_∧x2)_∨(x1_∧x1))_≤((x1_∨x1)_∧x2)_∨(x1_∧x1)

z_∨((x1∨x1)∧x2)∨(x1∧x1))≥((x1∨x1)∧x2)∨(x1∧x1)

ϕ_{P ER} = _∀x1, x2_∃!z z_∨z=x1∨x1

z_≤((x1_∨x1)_∧x2)_∨(x1_∧x1)

z_∨((x1_∨x1)_∧x2)_∨(x1_∧x1)_≥((x1_∨x1)_∧x2)_∨(x1_∧x1)

Es necesario hacer algunos comentarios sobre las sentencias recién definidas. La sentencia ϕ_B es equivalente a la identidadx_∨x _≈y_∨y, y es por lo tanto un axioma para la clase_B.

La sentenciaϕ_Q(4)es equivalente a su unicidad, U(ϕ_Q(4)). Es un axioma paraQ(4) [2].

La sentencia ϕ_RCD vale en un álgebra de Kleene generalizada A sii el intervalo[a_∨a, a_∨a_∨b]es Booleano para todoa, b_∈A. Esto es lo mismo que decir que elfiltroD(A) =_{x_∨x:x_∈A_}es relativamente complementado. ParaA_∈Kse tiene queA²ϕ_{N EW} sii para cada intervalo[a_∧a, a_∨a]

y cadab_∈[a_∧a, a_∨a], existe un únicoc_∈[a_∧a, a_∨a], que tiene accomo su complemento en ese intervalo, y satisface

c_∧b_≤b_≤c_∨b.

Es fácil verificar que 4²ϕ_{N EW} pero36²U(ϕ_{N EW}).

Al igual queϕ_{N EW}, la sentenciaϕ_{P ER}equivale a la existencia y unicidad de un elemento complementado en cada intervalo de la forma [a_∧a, a_∨a], que satisface ciertas ecuaciones. Es un hecho interesante que la existencia de estos elementos para un álgebra de_Kes equivalente a que el álgebra sea de congruencias permutables. No es difícil ver que las únicas álgebras en D_K que son de congruencias permutables son2 y 3.

Teorema 47 Las subclases AE de D_K=_{2,3,4,5,6,D,P_} son:

∅,_{2_},_{3_},

{2,3_},_{2,4_},_{3,D_},

{2,4,6_},_{2,4,P_},_{3,5,D_}, {2,4,6,P},

{2,3,4,D,P_}, {2,3,4,5,6,D,P_}.