TEORÍA DE FUNCIONES
Mathema
Prof.: Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 1
Historia de la Función
En matemáticas se usa el término función para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.
El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia
n
x de la variable x.
En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.
Recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió
la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x x1, 2,…,xk.
Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, pueden ser números reales o complejos.
La expresión y= f x( ), leída "y es función de x" indica la interdependencia entre las variables x e y; f x( ) se da normalmente
en forma explícita, como 2
( ) 3 5
f x =x − +x , o mediante una regla expresada en palabras, como f x( ) es el primer entero
mayor que x para todos aquellos x que sean reales. Si a es un número, entonces
( )
f a es el valor de la función para el valor x=a. Así, en el primer ejemplo,
2
(3) 3 3.3 5 5
f = − + = ,
2
( 4) ( 4) 3( 4) 5 33
f − = − − − + = ; en el
segundo ejemplo, f(3)=f(3,1)=f( )π =4.
La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. Trataremos de explicar el concepto de función en las matemáticas de nuestros días: Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X , y la variable y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de
Y . Por ejemplo, X puede ser el conjunto de los doce signos del zodíaco e Y el conjunto de los enteros positivos. Sea P el conjunto de todos los posibles pares ordenados ( , )x y y sea F un subconjunto de P con la propiedad de que si ( ,x y1 1) y
2 2
( ,x y ) son dos elementos de F, entonces si y1≠y2 implica que x1≠x2 esto es, F contiene no más de un par ordenado con una x dada como primer elemento. (Si
1 2
x ≠x , sin embargo, puede ocurrir que
1 2 y =y ).
Por tanto, una función queda ahora definida como el conjunto F de pares ordenados, con una condición señalada, y se escribe F X: →Y. El conjunto X1 de las x que aparecen como primer elemento de los pares ordenados de F se denomina
dominio de la función F ; el conjunto Y1 de las y que aparecen como segundo elemento de los pares ordenados se denomina rango de la función F. De esta manera, {(Piscis, 7), (Sagitario, 4), (Capricornio, 4)} es una función en la que
X = conjunto de los doce signos del zodíaco e Y= conjunto de los enteros positivos; el dominio son los tres signos mencionados y el rango son 4 y 7.
El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet consideró que 2
3 5
y=x − +x era una función; hoy en día, se considera que
2
3 5
y=x − +x es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de la función; así, la relación anterior determina que (3,5), (−4,33) son dos de los infinitos elementos
de la función.
PROBLEMAS
1. Sea f ={(x;3), (2; 2
x ), (1;4), (2;1)} una función, halle el valor de x.
Rpta:
−
1
2. Calcule el valor de
ab
si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función: f={(2;5), ( 1;3)− ,(2; 2
a b
−
)
, ( 1;− b−a), 2(a+b a; )}.
Rpta: 88
3. Si f es una función tal que
f : +→ , además f ={(7; x), (7;2x), (x x;4 ), ( 2
;
x x), ( 3
;
x x)}. Determine el cardinal del rango.
Rpta: 3
4. Si el conjunto de pares ordenados:
2 2 2
(1; ), 2; , (3; ), (3; )
⎧ ⎛ ⎞ ⎫
⎪ ⎪
=⎨ ⎜ + + ⎟ + − ⎬
⎪ ⎝ ⎠ ⎪
⎩ ⎭
a b c
f a a b c
bc ac ab
representa una función, calcule el valor de f(2).
Rpta: 3
5. Sea ( ) 5 1
2
= − +
−
f x x
x una
función real de variable real, entonces su dominio es
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Mathema
Prof.: Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 2 6. Sean las funciones
4 2
( )= 9−
f x x ; ( ) 5
2
+ =
− x g x
x y
5 3 2
( )= +4 +3 − +2
h x x x x x .
Determine
Dom(f )∩Dom(g)∩Dom(h).
7. Halle el dominio de la siguiente función
2
2
2 1
( )
9 4
+ +
= −
x x
f x
x
.
Rpta: −3/ 2; 3/ 2
8. Halle el dominio de la función
( )
f x = 1− 1−x .
Rpta: [0;1]
9. Halle el dominio de la función
( )
f x = 1 3 2 3 1
5
6 1
− + − − + +
−
− −
x x
x x
x .
Rpta: [1;2]
10. Sea la función f x( )= 2
4x−x , halle Ran(f )∩Dom(f ).
Rpta: [0;2]
11. Halle el rango de la función
h
dadapor 2 4
( ; ) / 2
2
⎧ ⎫
=⎨ ∈ > ∧ + − ⎬
⎩ ⎭
h x y x x
x
Rpta: [6;+∞
12. Halle el dominio de la función g dada
por 6
( )= − 2−
g x x x.
13. Si el dominio de la función
4 2 8
2
3 4
( )
21 4
− −
=
− +
x x
f x
x
es el intervalo
; ]∪[ ;
a b p q , halle el valor de + + +
a b p q.
Rpta: 3
14. Si x> −3; determine el intervalo en que
varía la función ( ) 2 6 10 3
+ +
= +
x x
f x
x .
Rpta: [2;+∞
15. Dado la función f D: f ⊂ → tal
que 2
2
1
( )= + −1
f x x
x .
Halle Dom( )f \Ran( )f
Rpta: −∞ −;1 {0}
16. Halle el rango de la función f sí 2
2
1 ( )
1
+ + =
− +
x x
f x
x x .
Rpta:
[
1/ 3; 3]
17. Halle el rango de la curva de Agnesi
dada por ( )= 23 2 2
+ a f x
x a ; a≠0.
18. Halle el menor valor que toma la
función f x( )=x x( + +2) 2 si el
dominio es A= / 1 1 1 1
⎧ ∈ − < < ⎫
⎨ − ⎬
⎩x x ⎭.
Rpta: 1
19. Calcule Dom(f )∩Ran(f ) de la
función
2
3 ; [ 2;3
( )
; 3 5
⎧ ∈ −
⎪ = ⎨
≤ < ⎪⎩
x x
f x
x x .
20. Halle el rango de la siguiente función.
f = 2
; / ( 4) 0
2
⎧⎛ ⎞ − > ⎫
⎨⎜ − ⎟ ⎬
⎝ ⎠
⎩ ⎭
x
x x x
x .
21. Dada la función f tal que
( )=2 | |−
f x x x. Determine el conjunto A={x∈ / f x( ) [0,1]∈ }.
Rpta:
[
−1/ 3; 1]
22. Dada la función h A: → ; A⊂ +, tal
que ( ) 2 2
= − x h x
x y Ran(h)= 1;+∞ . Halle el conjunto
A
.
Rpta: 1, 2
23. La resistencia de una cuerda que
sostiene un peso
x
está dada por lafunción f x( )=x(12−2 )x . ¿Para que peso la resistencia es máxima?
Rpta: 3
24. Halle el rango de la función
2
9 ; 5 3
( ) | 3 | 2 ; 0 5
3 16
; 6
5
⎧
⎪ − − ≤ ≤ −
⎪
=⎨ + − < ≤
⎪ −
⎪ >
− ⎩
x x
f x x x
x
x x
.
Rpta: [0;6]
Nota:
El concepto de función es muy importante en matemática, y en general en la ciencia. En física, biología y química se utilizan gráficos tales como x
y=e , y=Ln x( ),
y=ax+b, 2 y=x .
Demanda y oferta de un bien
En un mercado de competencia, la cantidad comprada de un determinado bien o servicio depende del precio del mismo. Esta relación entre el precio unitario
P del producto y la cantidad demandada o comprada Q, se denomina ecuación de la demanda y su representación grafica es la curva de la demanda CD.
Análogamente, la cantidad de un bien o de un servicio que los productores colocan en el mercado para su venta, es la oferta de ese producto y la misma depende del precio. Esta relación entre el precio unitario
P del producto y la cantidad ofrecida S se denomina ecuación de la oferta y su representación gráfica es la curva de la oferta CO. Estas ecuaciones son validas para un periodo de tiempo determinado. En economía es usual representar el precio
P en el eje de las ordenadas y las cantidades demandadas Q u ofrecidas S en el eje de las abscisas.
La gráfica en rojoCD representa la relación entre la demanda y el precio, dada por la ecuación Q + 2P - 20 = 0.
La grafica en verde CO representa la relación entre la oferta y el precio de ese mismo producto, dada por la ecuación 2S – P - 10 = 0.
Observemos las graficas
Demanda: Es “lineal” y se representa por un segmento pues P≥0 y Q≥0. Es decreciente, lo cual se debe a que los consumidores tienden a comprar cantidades menores cuando los precios aumentan (a mayor precio hay menor demanda).
Oferta: Es “lineal” y se representa por una
Prof.: C Las do denom el punt la ofer es el p esas ec el sistem Sabien (unidad ¿Sabía Thoma (1766-británic poblac expone tanto alimen linealm
25. Si
8 e val
26. Sea
neg
f R
27. Si
inte ent es
28. Bos
Christiam Huer os gráficas se minado el punt
to en donde se ta (Qe=Se) y
precio de equil cuaciones esto
ma
e
e
Q + 2
2S - P
⎧ ⎨ ⎩
ndo que Qe=
des del produc
as que…?
as Robert Ma
1834), econom co, afirmó qu ción
encialmente, la provisión tos lo mente.
f es una func e intercepto co or de f(0)+f
a f una func gativa, tal que = 3;4 . Halle
la gráfica de ercepta al eje X tonces la long
squeje la gráfic
rtas R. cortan en el o de equilibrio e igualan la de el precio en e librio P. En el se obtiene res
e
e
P - 20 = 0
P - 10 = 0
Se. Resulta Q
cto), Pe=6.
althus mista ue la crece en n de hace
ción lineal de p on el eje y, 5
( 1)− + (1)
f f .
ión lineal de p
f
D = 1;2 y
e f x( ).
Rpt
( )
g x =4(x− X en los punto gitud del segm
ca de la funció
TEO
punto E o. Este es emanda y ese punto l caso de solviendo
Qe=Se=8
pendiente 5, halle el
pendiente
a: − +x 5
2)( 3)
− x+ os P y Q, mento PQ ón 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3
ORÍA DE FU
www.xhu
f : →
29. Dado f x(
grafica es hacia arrib cuantos pu X.
30. Las gráfica
se cortan determine puntos.
31. En 2, so
se toman abscisas so 2+ 2 +
x m x
distancia |P
32. Determine
función correspond
33. Señale la
(
( )=
f x x
34. Indique la
función. h(
35. Esboce la
2
( )= .s
f x x
36. Grafique
2
4
= −
y x
R
37. Halle el ran
38. Grafique f
NCIONES
uertas.blogspo / 5
( )= −2
f x x
)
x =ax2+bx− una parábola ba, se pide que untos corta est
as de 2+ =
x y
en 2 punto la distancia
obre la recta y dos puntos on las raíces d
2
5 0
− =
m . H
PQ|.
el vértice de g, cuya dencia es g x( )
a grafica de
)
2 1 3 − + −x +a gráfica de 4 4
( )x = x− +1
a gráfica de
1 sgn⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠x .
la función
| | 3x + .
Rpta:
ngo de f x( ) |=
( ) |= − +1| |
f x x
Rpta:
ot.com 2
5 2 6
− −
x .
6; a≠0 cuy
a que se abr e determine e ta gráfica al ej
5 ∧ x+ =y 5
os, según ell entre estos
Rpta: 2
2003
= m,
∀
m
P y Q cuya de la ecuació Halle la meno
Rpta:
la grafica de l regla d =| 2x+ +1| 1.
Rpta: ( 1/ 2; 1−
e la funció
(
x− −1 3−xe la siguient
1.
e la funció
f dada po
|x+2 |−|x−2
Rpta: [ 4, 4−
2 | 5
− − x . ya re en je 5 lo 2 2
m
as ón or 4 la de 1) ón)
2 te ón or | 4]39. Graf
40. Esbo ( )
φ x
41. Graf
42. Graf
43. Indiq ( )
g x
44. Dete
( )
f x
45. Dete
( )
f x
46. Resu
+ x
47. ¿Qué
ecua
A)E
B) T
C) N
D) T
in
E) E
48. Dada
de e prop
I. Tie
fique la función
Rp
ozar la gráfi 2
)=x −x.sgn(x
fique la función
fique la función
Rpta:
que la gráfi
)=x x| | 1− .
ermine la gráfic
4 4 1( ) 10 ⎛ + = ⎜⎜ − ⎝ x x U x
ermine la grá
4 2 3 2 ( 13 ) 2 9 − + = + − x x
x x x
uelva la siguien
16
=
x .
é podemos a ación 3x−10
El conjunto solu iene dos soluc No tiene solució Tiene infinitas s
ntervalo 4;9 / 2
l conjunto solu
a la ecuación el valor de ver posiciones:
ene 4 solucion
Mathe
n 3
( )= | −
f x x
pta:
ica de la
).
n ( )=sgn⎛⎜
⎝ f x
x
n f x( )= +x |x
ica de la
ca de la función 2 2 3) 4 9 ⎞ − + ⎟⎟ + ⎠ x x .
áfica de la
36) 18 + − x x . nte ecuación. Rpta afirmar acerca =x ?
ución es
[
4;9 /iones. ón.
soluciones en e
]
2 .
ución es unitari Rpta: 2 2 = + x x
rdad de las sig
es.
ema
3 1| 1 − − . función 2 2 9 − ⎞ ⎟ − ⎠ x x . | x . función n funcióna: [8;9
a de la
Prof.: C
II.
III. [
49. Ha
(
f
50. Ha
(
f
51. Da
(
f
Ha
52. Da
grá R
53. Gra
R
54. Gra
55. Ha
A
Christiam Huer Una solución e
1/ 2; 2 .
. El conjunto s
1;0 [3;4
− ∪ .
alle el domi
1 )
2 1
− =
− − x x
x x
alle el rang
2 )
2
−
= x
x ; x
da la función 2
1 ; )
3 ;
⎧ − ∈
⎪ = ⎨ ⎪⎩
x x
x
x alle la gráfica de
da la siguiente áfica.
={ 2
( ; )x y ∈
afique la relaci
={ 2
( ; )x y ∈
afique y> |x
alle la gráfica de
={ 2
( ; )x y ∈
rtas R. esta en el inter
olución es
Rpt
inio de la 2
2
− x
x.
Rpta: [−
go de la
2;1]
∈ −
x .
Rp
[0; 2
0
∈ <
e la función |f
e relación R;
/ x− ∈y +}.
Rpta:
ión / 2
1
< +
y x ∧
Rpta:
2 | 1
− + .
Rpta:
e la relación / y<x ∧ y
TEO
rvalo de
ta: FFV
función
1;1] {0}
− −
función
pta: {0;1}
( ) |
f x .
; halle su
1 2
≥
y }.
> y x}.
5
5
5
5
6
6
ORÍA DE FU
www.xhu
56. Grafique la
S={( ; )x y
57. Dada las re
A={( ; )x y
B={( ; )x y Grafique A
58. Grafique la
A={( ; )x y ∈
59. Grafique la {( ; )
= ∈
R x y
60. Dada la rel
ψ ={( ; )x y Halle el conjunto P
61. Dada la ( )=
f x mx
ecuación Determine grafica de la circunfer
NCIONES
uertas.blogspo Rpta:
a relación 2
)∈ / | 2x+y
Rpta:
elaciones 2
)∈ / 2≤
y x
2
)∈ / |y|≥x ∩
A B.
Rpta:
a relación
2 ∈ /
| |
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y x
Rpta:
a siguiente rela 2
/ | 3 |
∈ x−y
lación definida
)∈ × / |y
número de P={( ; )x y ∈ψ /
función f y la circun
es (x−2
los valores de f tenga punt rencia.
ot.com
|<3
y }.
2} 2 x }.
2
≤x ∨ (0;0)}
ación
| | | 4
+ x+y ≤ x
a por
| | |<
y x ; | | 3x< elementos de / x y, ∈ }.
Rpta:
definida po nferencia cuy
2 2
) +(y+1) =1
m
para que l tos comunes e}.
|
x
3.
el
8
or ya
1.
la en
62. Halle
gráfic
1
R=
2
R =
63. Sean
A= B= La gr
64. Dada
U=
N=
I={ Indiq
65. Sean
1
R=
2
R =
grafiq
66. Graf
f =
67. Graf
( ;
f x
68. En la
A=
Indiq
69. Sea l
e el área de
cas de
={ 2
( ; )x y ∈ /
={ 2
( ; )x y ∈ /
n las relaciones
{ 2
( ; )x y ∈ /
{ 2
( ; )x y ∈ / ráfica de (A∪
R
as las relacione
={ 2
( ; )x y ∈ /
={ 2
( ; )x y ∈ /
{ 2
( ; )x y ∈ / x que la gráfica d
Rpta:
n las relaciones
={ 2
( ; )x y ∈ /
={ 2
( ; )x y ∈ / que R1
∪
R2.fique la relación
( ; ) /x y y 2
⎧⎪ =
⎨ ⎪⎩
fique el dom
; ) 1
+ =
− −
x y
y
x
a siguiente rela
2 2
( ; )x y /
x ⎧
∈ ⎨ ⎩
que la gráfica d
Rpta
la región del p
Mathe
Rpta: 4
3
− <
intersección
| |x −|y|≤2}
|y| 1≤ }.
s 2> x y},
1
− <
y x }.
)
∪ C
B es
Rpta:
es
| |x +|y|≥ 2
2 2
2
+ <
x y } e
2 2
1
≤
x y }.
de U∩ ∩N I.
s 3≤ ≤
x y x} y
3 ≤ ≤
x y x },
n
13 2
5 x .sgn x
x ⎡
− ⎢
⎣
minio de la
−y .
ación
2 2
1 1
|
8 x
y ≤ ∧
+ de A.
a:
plano
ema
4 0
< <m
de las
y
2},
e
.
100
2 1
x⎤⎫
− ⎪
⎬ ⎥ − + ⎪⎦⎭
función
|+|y| 4< ⎬⎫
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Mathema
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R = { 2
( ; )x y ∈ / x+2y≤1} y
2 0={( ; )∈
C x y /(x−1)2+y2−2y+ =1 r2 Halle el menor valor de r para qué
0∩ ≠ ∅
C R ; r∈ .
Rpta: 2 5 / 5
70. Señale el mayor valor de n (n∈ ) para que el conjunto solución del sistema
2
2 2
⎧ + > + ⎪
⎨ ≤ ⎪⎩
y x x
y n
sea el conjunto vacío.
Rpta: 1
71. Grafique la siguiente relación.
R=
{
2 2}
( ; )x y ∈ / x − ≥ ⇒ <y 1 y 1 .
Rpta:
72. Dada las funciones ( ) ( 2) 2
− =
− x x f x
x ;
( )=
g x x. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
i) las funciones son iguales. ii) Rg−Rf = −{ 2}.
iii) Dg−Df ≠φ.
73. Dada las funciones {(3; 2),(1;0),(2;3),(4;1)}
= −
f y
{(6;3),(1;2),(4;0),(3; 1)}
= −
g ,
Halle la función 2+ f f
g.
Rpta: {(1;0), (3;6)}
74. Si f + =g {(1;2),(2;4),(3;6)} y {(1;2),(2;2),(3;2)}
− =
f g ,
halle 2 2
( − )
Ran f g .
75. Dadas las funciones f x( )= ax−b;
( )= −
g x a bx; 0< <b a, determine el dominio de f+g.
76. Dado las funciones ( )= + +3 | 2 |
f x x x ; x∈ −1;1 y
2
6
; 2;0
2 ( )
| | ; [0;1
⎧ + ∈ −
⎪ = ⎨
⎪ + ∈
⎩ x
x g x
x x x
.
Halle el rango de (f+g x)( ).
77. Dada la función
5 4 3 2
( )= + + + + +1
f x x x x x x
Grafique H, si ( ) ( ) ( ) 2
+ −
= f x f x
H x .
78. Dadas las funciones f x( )= x−1 y
( )= +1
g x x , grafique f g.
79. Dadas las funciones ( ) | |=
f x x ; x∈ −2;6] y
( )=
g x x; x∈ −5;2].
Grafique f
g y luego indique su rango. Rpta: {−1;1}
80. Dadas las funciones f y g con regla de correspondencia 2
( )=2 − −1
f x x x ;
5,3]
∈ −
x , g x( )=2x−2; x∈ . Halle
la grafica de 2f g .
81. Dadas las funciones f x( )= −x | |x ;
( )= +| |
g x x x , determine el rango de
( )
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ g
x
f .
Rpta: {0}
82. Sean f y g: 1;+∞ → funciones
definidas por 2
( )= −| |
f x x x ;
2
( )= −1
g x x . Halle el rango de f g/ .
Rpta: 1;+∞
83. Dadas las funciones
f ={(1;2), (2;3), (3;4), (4;5)} y g={(2;3), (3;4), (4;5), (5;1)}.
Halle f g e indique la suma de los elementos del dominio.
Rpta: 10
84. Dada las funciones
{( 2;0),(1; 4),(3;1),(5;2)}
= − −
f y
{( 2;1),(0;3),(1;4),(2;0),(4;5)}
= −
g .
Halle f g.
85. Dada las funciones {(3;6),(5;9),(8;4)}
=
g y
{(3;9),(5;12),(8;7)}
=
h . Determine una
función
f
tal que f h=g.Rpta: {(9;6), (12;9), (7;4)}
86. Sean las funciones g={(1;2), (2;0), (4;5), (3;−1)} y f g={(1;4), (4;7),
(3;1)}. Calcule la suma de elementos del dominio de la función f .
Rpta: 6
87. Sean las funciones ( )=2 −1
f x x ; x∈ −
[
3;5 y2
( )= −3
g x x ; x∈
[
2;3 .Halle (f g x)( ) indicando su dominio.
Rpta:
[
2; 2 288. Dada las funciones f x( )= 1−x y
2
( )= 4−
g x x , halle Df g.
89. Sean las funciones
:[3;+∞ →
f / 1
( )=( −2)−
f x x y
( )
g x ={ 1
( ;2x +x−) / 2x≥1}.
Halle (g f)( )x .
90. Dadas las funciones:
f ={(2;1), (
−
2
;3), (1;5), (−
3
;4), (7;8)} y g={(3;−
2
), (−
3
;1), (7;2), (2;4)}. Calcule el valor de1
2 2
( )(3) 3 ( 3) ( )(2)
(7). (7)
−
⎡ + − − + ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
f g g f g
f g .
91. Sean las funciones f y g tales que
1 ( )
1
+ =
− x f x
x ; g x( )=2x.
Halle la función (f g x)( ) (si existe)
Rpta: 2 1
2 1
x x + −
92. Dadas las funciones ( )=2 −1
f x x ; x∈ −5;3 ,
2
( )=
g x x ; x∈ −1;4 .
Halle el rango de f g.
93. Halle la función g f, si
( )= +1
f x x; x∈ +∞[9; y
( )= −2
g x x ; x∈ 3;10].
Rpta: x−1; x∈[9;81]
94. Si f:[3;+∞ → ; ( ) 1
2
= − f x
x ;
:[1/ 2;+∞ →
g ; g x( )=2x+1
x . Halle la función g f.
TEORÍA DE FUNCIONES
Mathema
Prof.: Christiam Huertas R. www.xhuertas.blogspot.com 6 95. Dada las funciones f x( )=4x+3 y
1 ( )
2
= −
g x x m, halle el valor de m tal
que g f =f g; ∀ ∈x .
Rpta: 1/2
96. Sean F G, : 1;
[
+∞ → ; funcionesdefinidas por 2
( )= −| |
F x x x y
( )=
G x x; entonces la gráfica de la función composición G F es aproximadamente
97. Sean las funciones ( ) 2 ; 0
1 ; 0
< ⎧⎪
= ⎨
− ≥
⎪⎩
x x
h x
x x
y g x( )= x+1; − ≤ <1 x 2. Determine
g h si existe.
98. Calcule el máximo valor de b para que
la función ( ) 32 ; 2
4 2 ; 2
+ ≤
⎧⎪ = ⎨
+ + > ⎪⎩
x b x
f x
x x x sea inyectiva.
99. Si f: →B es una función suryectiva tal que f x( ) |= −x a|−x. Determinar a de modo que el rango de la función sea
[ 3;− +∞ .
100. Si la función f:A→[0;1] donde
2
( )= +2 +1
f x x x es suryectiva, halle el conjunto A.
Rpta: [ 2; 0]−
101. Sea la función f:[1;4]→[ ; ]a b , tal que 2
( )= −2 +3
f x x x . Demostrar que f es inyectiva y hallar los valores de a y b para que f sea biyectiva.
102. Si la función f:[5; ]b →[ ;72]a / 2
( )= −8 +7
f x x x es biyectiva, halle el valor de a+b.
103. Si la función f:[ 1;4]− → −[ 2;3] es
lineal, biyectiva y decreciente; calcule el valor de f∗(2).
104. Respecto a la función ( )=2−| |x
f x ,
indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
i) es una función acotada. ii) es monótona.
iii) no tiene inversa.
105. Dada las funciones {(1;4),(3;1),(2;5),( 1;0)}
= −
f y
{(1;8),(2;7),(4;1),( 1;2)}
= −
g .
Halle f∗ f+g g∗.
106. Dada la función
{(2;3),(3;5),(1;7),(4; 1)}
= −
f . Halle
∗ +
f f si existe.
Rpta: {(3;7)}
107. Halle la función inversa de
( )= +1
f x x en caso exista.
108. Sea f una función biyectiva tal que
5 5
∗⎛ − ⎞ =
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
m
f b
m . Halle el conjunto
solución de la inecuación ( ) 4 5
− ≤
− m f b
m .
109. Dada la función 5
( )= −1
f x x , halle
( )
∗ f x .
110. Dada la función f x( )=2x−1; 1;4
∈ −
x , halle el dominio de f∗.
111. Sea la función 2
( )= −2 −1
f x x x ;
[1;
∈ +∞
x . Halle f∗( )x .
Rpta: f∗( )x = +1 x+2
112. Halle la función f∗ si existe, donde
( )=(| − | 1+ + ) −
f x x b x b x; b∈ .
Rpta: ( ) 2 2
( 1)
∗ = −
+ x
f x b
b
113. Si f∗ es la función inversa de f , donde f∗( )x =2x+1; x∈1;3]. Calcule
( )
Dom f .
114. Dada la función 2
( )= + +9
f x x x
con x∈ −[ 4;4]. Halle f∗ si existe.
115. La inversa de la siguiente función
4 3 5
( ) | 2 5 | | 2 | | 3 |
2
x
f x = x− − x− − x− + −
esta dado por
116. Halle la inversa de la función
2
( )= − +4 +4 −2
f x x x x x x
117. Halle si existe la función inversa de
2
( )= +5 −1
f x x ; x≤ − 10.
118. Si f es una función biyectiva donde
3 1 2
∗⎛ ⎛ + ⎞ ≤⎞ ⎜ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟
⎝ ⎠
x
f f
x . Halle el mayor valor de x.
119. Determine la función inversa de
( )=2 +6 −1
f x x x ; x∈ +∞[5; si
existe.
120. Sea la función
3 2
( )= +3 .sgn 2 − +2 3 −7
F x x x x x .
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
i) La función es inyectiva. ii) la función no tiene inversa. iii) la función es suryectiva.
121. Si f es una función tal que
( )= | | 1−
f x x x ; grafique f∗.
122. Dada la función f tal que
6 ( )
3
+ =
− mx f x
x n, halle el valor de
m n
.
, siI) Dom f( ∗)= −{2}