CAPÍTULO 1
DERIVADAS
DE
FUNCIONES
INTRODUCCIÓN
El objetivo de este capítulo es determinar las derivadas de las funciones trascendentes, funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente), la función logaritmo y la función exponencial.
Los conceptos y demostraciones no se presentan de una manera rigurosa, ni totalmente apegada a los fundamentos del análisis, sin embargo se desarrolla de tal manera que el lector maneje con suficiente confianza y soltura el concepto de derivada en las funciones antes mencionadas y su operatividad.
En el capítulo se proporcionan argumentos en las deducciones debidamente ordenadas, de modo tal que el lector adquiera desde el principio una formación disciplinada, formal y crítica. Del mismo modo, se considera que el lector ya está familiarizado con los conceptos de límite y de la derivada, la derivada de las funciones algebraicas elementales; así como que el alumno ya opera las reglas de derivación básicas (derivada de una suma, derivada de un producto, derivada de un cociente) y la regla de la cadena. Es importante que se tengan bases firmes en Álgebra, Geometría y Trigonometría, en particular el manejo de las unidades de ángulos y conocimiento de as gráficas de las funciones de seno, coseno y tangente. Se presentan nociones introductorias acerca de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, ya que el estudio de estos es más extenso y se requiere de herramientas de cálculo más adelantadas.
Evidentemente el tema aquí tratado no es nuevo en modo alguno y se puede encontrar en todos los libros de cálculo diferencial e integral. Sin embargo, cuando alguien abre un libro, se encuentra de inmediato ante un cúmulo de conocimientos presentados de manera escueta y altamente sintetizados, no es el caso de este texto ya que se explican todos y cada uno de los procedimientos requeridos.
DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO
Iniciamos aquí el estudio de la parte central de nuestro tema. Deseamos determinar las derivadas de las funciones trigonométricas para ello, utilizaremos la expresión
df x
( )
dx
: en particular, las derivadas de las funciones seno y coseno,; esto es;d
(
sen x
)
y
d
(
cos
x
)
dx
dx
.Antes de tratar de obtener alguna de las derivadas mencionadas, debemos estudiar el siguiente límite:
x 0
lim
sen x
1
x
→
=
Para determinar este límite, primero construyamos una tabla donde se puede ver en forma más ó menos evidente el comportamiento de
x
sen x
cuando x tiende a cero:
( )
.
rad
x
-0.1 -0.01 -.0001 0 0.001 0.01 0.1 1x
x
sen
0.9983 0.999998 0.9999 . 0.99999 0.99998 0.99833 0.84147De esta tabla se puede observar que conforme x tiende a cero por la izquierda y por la derecha,
x
sen x
tiende a 1. Intuitivamente, entonces, podemos decir que:
x 0
lim
sen x
1
x
→
=
Otra manera de concluir que
x 0
lim
sen x
1
x
→
=
es la siguiente.la siguiente desigualdad se cumple:
x
x
x
sen
≤
≤
tan
que equivale ax
x
sen
x
x
sen
cos
≤
≤
……….(1)En la desigualdad (1) suponemos que la siguiente desigualdad se cumple
(
)
0
,
90
2
x
π
ó sea x menor de
ο< <
ya que nos interesan las condiciones en las que los valores dex
está muy cercana a cero.Observar que la desigualdad (1) contiene las siguientes afirmaciones:
( )
( )
2
3
cos
sen x
sen x
x
y
x
x
≤ − − −
≤
− − −
En particular, la desigualdad (3) está bien definida, ya que
x
≠
0
y también2
x
≠
π
, por locos
x
≠
0
.Ahora, al dividir las expresiones (2) y (3) entre
senx
se obtiene1
x
senx
≤
……….(4) y1
cos
x
senx
≤
x
……….(5)Al tomar los recíprocos (las desigualdades cambian) en las ecuaciones (4) y (5), se tiene
1
senx
x
≥
……….(6) ysenx
cos
x
x
≥
x
……….(7)Como
x
≠
0
, entonces las divisiones involucradas están bien definidas. Las expresiones (6) y (7) permiten construir la siguiente doble desigualdadcos
x
senx
1
x
≤
≤
………(8)El término intermedio en la desigualdad es precisamente la función en estudio y cuyo límite se quiere calcular.
Ahora,
0
lim cos
1
x→
x
=
ya quecos 0 1
=
, entonces cuandox
→
0
, la función( )
senx
f x
x
=
esta limitada por ambos lados por
1
, esto es:0
1 lim
1
xsenx
x
→≤
≤
DERIVADA DE LA FUNCION
f x
( )
=
senx
De acuerdo a la definición de derivada y utilizando la notación de Leibnitz
0
( )
(
)
( )
lim
xdf x
f x
x
f x
dx
∆ →x
+ ∆ −
=
∆
para
f x
( )
=
senx
se tiene0
(
)
lim
xdsenx
sen x
x
senx
dx
∆ →x
+ ∆ −
=
∆
Utilizando la relación trigonométrica
2 cos
2
2
sen
α
−
sen
β
=
α β
+
sen
α β
−
el límite se convierte en:0 0
2
cos
2 cos
2
2
2
2
2
lim
lim
2
x xx
x
x
x
x
x
x
x
x
sen
sen
dsenx
x
dx
∆ →x
∆ →∆
∆
+ ∆ +
+ ∆ −
+
=
=
∆
∆
0 0 0cos
2
2
2
lim
lim cos
lim
2
2
2
x h xx
x
x
x
sen
sen
dsenx
x
x
x
x
dx
∆ → → ∆ →∆
∆
∆
+
∆
=
∆
=
+
∆
En donde 0 02
lim cos
cos lim
1
2
2
x xx
sen
x
x
x
x
∆ → ∆ →∆
∆
+
=
=
∆
Por lo tanto: 0 02
lim cos
lim
cos
2
2
x xx
sen
dsenx
x
x
x
x
dx
∆ → ∆ →∆
∆
=
+
∆
=
Concluimos quecos
dsenx
x
dx
=
DERIVADA DE LA FUNCION
f x
( )
=
cos
x
De acuerdo a la definición de derivada0
( )
(
)
( )
lim
xdf x
f x
x
f x
dx
∆ →x
+ ∆ −
=
∆
para
f x
( )
=
cos
x
se tiene0
cos
cos(
)
cos
lim
xd
x
x
x
x
dx
∆ →x
+ ∆ −
=
∆
Utilizando la relación trigonométrica
cos
cos
2
2
2
sen
α β
sen
α β
α
−
β
= −
+
−
el límite se transforma en:
0 0
2
2
cos
2
2
2
2
2
lim
lim
2
x xx
x
x
x
x
x
x
x
sen x
sen
sen
sen
d
x
x
dx
∆ →x
∆ →∆
∆
+ ∆ +
+ ∆ −
−
+
−
=
=
∆
∆
0 0 0cos
2
2
2
lim
lim
lim
2
2
2
x x x
x
x
x
sen x
sen
sen
d
x
x
sen x
x
h
dx
∆ → ∆ → ∆ →∆
∆
∆
−
+
∆
=
∆
= −
+
Además: 0 02
lim
lim
1
2
2
x xx
sen
x
sen x
senx
x
∆ → ∆ →∆
∆
+
=
=
∆
Por lo tanto: 0 0cos
2
lim
lim
2
2
x xx
sen
d
x
x
sen x
senx
x
dx
∆ → ∆ →∆
∆
= −
+
∆
= −
Finalmentecos
d
x
senx
dx
= −
DERIVADA DE LA FUNCION
f x
( )
=
sec
x
;La derivada de la función secante
f x
( )
=
sec
x
se obtiene a partir de la relación trigonométrica1
( )
sec
cos
f x
x
x
=
=
impar
2
n
x
≠
π
n
La derivada se obtiene utilizando la fórmula para derivar una función cociente, recordémosla
[
]
2( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
df x
dg x
d
g x
f x
g x
dx
dx
dx
g x
−
=
En nuestro caso( )
1
( )
cos
f x
g x
≡
x
, entonces:1
1
cos
sec
cos
d
x
d
d
x
x
dx
dx
=
dx
=
[
]
(
)
2 2cos
1
cos
cos
cos
cos
d
x
senx
senx
dx
x
x
x
x
−
− −
=
=
dondetan
cos
senx
x
x
=
y1
sec
cos
x
=
x
. Por lo tantosec
tan sec
d
x
x
x
dx
=
DERIVADA DE LA FUNCIONf x
( )
=
csc
x
La derivada de la función cosecante
f x
( )
=
csc
x
se obtiene a partir de la relación trigonométrica1
( )
csc
f x
x
senx
=
=
Nuevamente hacemos uso de la fórmula para derivar una función cociente, esto es:
[
]
2( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
df x
dg x
d
g x
f x
g x
dx
dx
dx
g x
−
=
En nuestro caso( )
1
( )
f x
g x
≡
senx
, entonces:1
1
csc
d
senx
d
d
senx
dx
dx
=
dx
=
[
]
2 2cos
cos
1
dsenx
x
x
dx
sen x
senx senx
senx
−
−
=
= −
donde
cos
x
cot
anx
senx
=
y1
csc x
senx
=
. Por lo tantocsc
cot
csc
d
x
anx
x
dx
= −
DERIVADA DE LA FUNCION
f x
( )
=
tan
x
La derivada de la función tangente
f x
( )
=
tan
x
se obtiene a partir de la relación trigonométrica( )
tan
cos
senx
f x
x
x
=
=
La derivada se obtiene al utilizar la fórmula para derivar una función cociente, esto es:
[
]
2( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
df x
dg x
d
g x
f x
g x
dx
dx
dx
g x
−
=
En nuestro caso( )
( )
cos
f x
senx
g x
≡
x
, entonces:[
]
(
)
(
)
2 2 2 2 2cos
cos
cos
cos
tan
cos
cos
cos
cos
cos
senx
dsenx
d
x
d
x
senx
x
x
senx
senx
d
x
x
dx
dx
x
sen x
dx
dx
x
x
x
−
−
−
+
=
=
=
=
donde
cos
2x
+
sen x
2=
1
y1
2sec
2cos
x
=
x
. Por lo tanto 2tan
sec
d
x
x
dx
=
DERIVADA DE LA FUNCION
f x
( )
=
cot
x
La derivada de la función cotangente
f x
( )
=
cot
anx
se obtiene a partir de la relación trigonométricacos
( )
cot
x
f x
x
senx
=
=
La derivada se obtiene utilizando la fórmula para derivar una función cociente, esto es:
[
]
2( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
df x
dg x
d
g x
f x
g x
dx
dx
dx
g x
−
=
En nuestro caso
( )
cos
( )
f x
x
g x
≡
senx
, entonces:[
]
(
)
(
)
2 2 2 2 2cos
cos
cos
cos
cos
cot
cos
x
d
x
dsenx
d
senx
x
senx
senx
x
x
d
x
senx
dx
dx
sen x
x
dx
dx
senx
sen x
sen x
−
−
−
−
−
=
=
=
=
donde
cos
2x
+
sen x
2=
1
y1
2csc
2x
sen x
=
. Por lo tanto(
2 2)
2 2 2cos
cot
1
csc
sen x
x
d
anx
x
dx
sen x
sen x
−
+
=
= −
= −
REGLAS PARA DERIVAR LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Si la función
u
es función de la variable independientex
, y la funcióng x
( )
es la función compuestag x
( )
=
f u x
(
( )
)
=
(
f
u
)( )
x
, entonces al aplicar la regla de la cadena se tiene:( )
d f u x
(
(
( )
)
)
( )
dg x
df u du
dx
=
dx
=
du
dx
; por lo tanto:( )
( )
cos ( )
dsen u x
du x
u x
dx
=
dx
2cot ( )
( )
csc
( )
d
u x
du x
u x
dx
= −
dx
cos ( )
( )
( )
d
u x
du x
senu x
dx
= −
dx
sec ( )
( )
sec ( ) tan ( )
d
u x
du x
u x
u x
dx
=
dx
2tan ( )
( )
sec
( )
d
u x
du x
u x
dx
=
dx
csc ( )
( )
csc ( ) cot
( )
d
u x
du x
u x
anu x
dx
= −
dx
Ejemplo 1.1. Encontrar la derivada de la función
f x
( )
=
cos 2
x
Solución.d
cos 2
x
sen x
2
d x
2
sen x
2
( )
2
2
sen x
2
dx
= −
dx
= −
= −
Ejemplo 1.2. Encontrar la derivada de la función
f x
( )
=
2
x
2+
sen x
5
Solución.(
2)
2( )
2
5
2
5
5
4
cos 5
4
cos 5
5
4
5 cos 5
d
x
sen x
d x
dsen x
d x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
dx
dx
+
=
+
=
+
=
+
=
+
Ejemplo 1.3. Encontrar la derivada de la función
y
x
2sen
2
x
= − −
Solución. 2 22
2
2
2
2
cos
d
x
sen
d sen
d
dx
x
x
x
x
dx
dx
dx
x dx
− −
= −
−
= − −
la derivada 1 2 22
2
2
2
d
d x
x
x
dx
dx
x
− −=
= −
= −
Por lo tanto 2 2 22
2
2
2 cos
2
2
2
2
cos
2
cos
2
d
x
sen
d
x
x
x
x
x
x
dx
x dx
x
x
x
− −
= − −
= − −
−
=
+
Ejemplo 1.4. Encontrar la derivada de la función
( )
tan
senx
g x
x
=
Solución. Como
tan
cos
senx
x
x
=
podemos escribir1
( )
cos
cos
senx
senx
senx
g x
senx
senx
x
x
=
=
=
cos x
senx
=
cos x
la derivada de la función
g x
( )
es:( )
tan
cos
senx
d
dg x
x
d
x
senx
dx
=
dx
=
dx
= −
Ejemplo 1.5. Encontrar la derivada de la función
h x
( )
=
x
2tan
x
−
senx
Solución.(
) (
)
2 2tan
tan
( )
d x
x
senx
d x
x
dh x
dsenx
dx
dx
dx
dx
−
=
=
−
…(+) la derivada(
)
2tan
d x
x
dx
es la derivada de un producto, entonces aplicamosdu v
dv
du
u
v
dx
⋅ =
dx
+
dx
se tiene(
2)
2( )
2 2 2 2 2tan
tan
tan
sec
tan
2
sec
2 tan
d x
x
d
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
=
dx
+
dx
=
+
=
+
Al sustituir en (+) tenemos:(
2)
2 2tan
( )
sec
2 tan
cos
d x
x
dh x
dsenx
x
x
x
x
x
dx
=
dx
−
dx
=
+
−
Ejemplo 1.6. Encontrar la derivada de la función
y
=
x
csc
x
−
2 tan 3
x
Solución.
dy
d x
(
csc
x
2 tan 3
x
)
dx
csc
x
d
2 tan 3
x
dx
dx
dx
dx
−
=
=
−
La derivada del producto
x
csc
x
es(
)
csc
csc
csc
csc cot
csc
csc
cot
1
dx
x
d
x
dx
x
x
x
x
anx
x
x
x
anx
dx
=
dx
+
dx
= −
+
=
−
+
Por lo tanto(
)
2csc
2 tan 3
3
csc
cot
1
2 sec 3
dy
dx
x
d
x
d x
x
x
anx
x
dx
=
dx
−
dx
=
−
+ −
dx
Finalmente(
)
2csc
cot
1
6 sec 3
dy
x
x
anx
x
dx
=
−
+ −
Ejemplo 1.7. Encontrar la derivada de la función
f x
( )
=
sen
3(2
x
2)
Solución. Para encontrar la derivada de la función dada, utilizamos la regla de la cadena, en su expresión 1
( )
( )
( )
n ndf
x
df x
nf
x
dx
dx
−=
.( )
( )
(
( )
2)
( ) ( )
3 2 2 2 22
2 2 22
2
3
2
3
2
cos 2
d sen
x
dsen
x
d x
sen
x
sen
x
x
dx
=
dx
=
dx
Por lo tanto( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2 2 2 2 2 2 22
3
2
cos 2
4
12
2
cos 2
dsen
x
sen
x
x
x
xsen
x
x
dx
=
=
EJERCICIOSEncontrar las derivadas de las siguientes funciones
1.1
1
cot
8
4
y
=
an x
1.61 cos
senx
y
x
=
+
1.2ρ
=
sen
θ
1.7( )
1
tan
2
g x
=
x senx
⋅
1.3tan
cot
2
2
x
x
y
=
+
an
1.82
cos 2
asen x
y
x
=
a
constante
1.4f x
( )
=
tan
(
ax b
+
)
; , constantes
a b
1.9h t
( )
=
sen t
3⋅
cos
t
1.5
2
33
r
=
sen
ϕ
1.102
1
4
x
y
sen x
+
=
Ejercicio 1.11. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva
y
=
3
sen x
2
enx
=
0.25
radianes.Ejercicio 1.12. Comprueba las siguientes derivadas
a)
y
=
sec ax
.
a
sec
ax
tan
ax
.
dx
dy
=
b)
y
=
tan(
ax
+
b
).
a
sec
2(
ax
b
).
dx
dy
+
=
c)
s
=
cos ax
3
.
3
a
sin
3
ax
.
dx
ds
−
=
d)
s
=
cot(
2
t
2+
3
).
=
−
4
t
csc
2(
2
t
2+
3
).
dt
ds
e)
f
(
y
)
=
sin
2
y
cos
y
.
f
I(
y
)
=
2
cos
2
y
cos
y
−
sin
2
y
sin
y
.
f)
F
(
x
)
=
cot
25
x
.
F
I(
x
)
=
−
10
cot
5
x
csc
25
x
.
g)
F
(
θ
)
=
tan
θ
−
θ
.
F
I(
θ
)
=
tan
2θ
.
h)
f
(
φ
)
=
φ
sin
φ
+
cos
φ
.
f
I(
φ
)
=
φ
cos
φ
.
k) DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
Recordemos algunos resultados de logaritmos, los cuales son fundamentales para el desarrollo de esta sección
LOGARITMO BASE
a
Consideremos un número real
a
que sea mayor que uno, y un número real positivo arbitrariob
. Esto esa b
,
∈
ℝ
,a
>
1
yb
>
0
.ℝ
conjunto de los números reales.En la siguiente expresión
a
x (elevar el númeroa
a una potenciax
) establezcamos la siguiente pregunta; ¿Cuál debe ser el valor dex
para quea
x=
b
?En la expresión
a
x, al númeroa
(fijo) se le denomina base y al númerox
exponente del númeroa
.El número
x
se le denomina LOGARITMO DEL NUMEROb
EN LA BASEa
y se escribe de la siguiente manera:log
ax
=
b
Ejemplo 1.8. ¿Cuál es el logaritmo de 100 en la base 10?
Solución. Queremos encontrar
x
=
log 1000
10 . Esto es, se quiere determinar el valor dex
de tal manera que10
x=
1000
.Observar que el valor de
x
es3
, ya que10
3=
10 10 10 1000
x
x
=
, esto es10
log 1000
3
x
=
=
Ejemplo 1.9. ¿Cuál es el logaritmo de 64 en la base 2?
Solución. Queremos encontrar
x
=
log 64
2 . Esto es, se quiere determinar el valor dex
de tal manera que2
x=
64
.
Observar que el valor de
x
es6
, ya que2
2=
2 2 2 2 2 2
x x x x x
=
64
, esto es2
log 64
6
x
=
=
LOGARITMO COMUN O BASE 10
al logaritmo de base 10 se conoce como logaritmo común o vulgar.
Se puede construir una función de tal manera que a cada número positivo
x
le corresponda su logaritmo de basea
, es decir( )
log
af x
=
x
A esta función se le llama FUNCION LOGARITMO DE BASE
a
, cuyo dominio son todos los números reales positivos y su rango todos los números reales.Por otra parte, una vez seleccionada la base
a
, se puede construir una función de tal manera que a cada número realx
le corresponde el númeroa
x, esto es, se tendrá la función( )
xf x
=
a
A esta función se le llama FUNCION EXPONENCIAL DE BASE
a
, cuyo dominio son todos los números reales y su rango los números reales positivos.EL NÚMERO
e
Recordemos al número
e
, que es utilizado como la base de los logaritmos NATURALES O NEPERIANOS (En honor a Neper).¿Qué es el número
e
?Para responder, recordemos el límite visto en el tema de sucesiones. La función
f
:
ℕ
→
ℝ
(ℕ
son los números naturales yℝ
los números reales), definida por la regla de correspondencia1
( )
1
nf n
n
= +
Y que al realizar una tabla con los primeros valores tenemos:
n
1 2 3 4 5 6 ……….( )
f n
2.0 2.25 2.370 2.441 2.48832 2.5216.. ………. Además ellim 1
1
n n→∞n
+
corresponde al númeroe
, esto es:1
lim 1
2.71828...
n n→∞n
+
=
Este número es un número irracional ya que es un número cuya expresión decimal es un número infinito y no periódico.
Vamos a definir las funciones exponencial y logarítmica con la base particular
e
, esto esDefinición. La función LOGARITMO NATURAL se define como
f x
( )
=
log
ex
=
ln x
y la FUNCION EXPONENCIAL ESf x
( )
=
e
x.DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO
Inicialmente, por simplicidad conviene encontrar la derivada de la función logaritmo natural
( )
f x
=
In x
.De acuerdo a la definición de derivada de una función, se tiene:
0
( )
(
)
( )
lim
xdf x
f x
x
f x
dx
∆ →x
+ ∆ −
=
∆
Sustituyendo la función
f x
( )
=
Inx
, en la expresión para obtener la derivada, se tiene::
0 0 0
(
)
( )
(
)
lim
lim
lim
x h x
dInx
ln x
x
ln x
ln x
x
lnx
dx
∆ →x
→x
∆ →x
+ ∆ −
+ ∆
=
=
−
∆
∆
∆
Recordemos que
x
es un número real positivo, entonces la expresión la vamos a multiplicar y dividir porx
[
]
0 0 0
1
(
)
1
lim
lim
lim
(
)
x h x
dlnx
ln x
x
lnx
x
x
ln x
x
lnx
dx
x
∆ →x
→x
x
∆ →x
+ ∆
= ⋅
−
=
+ ∆ −
∆
∆
∆
Y haciendo uso de las siguientes propiedades de logaritmos
( )
p
lna
=
p lna
yln
a
lna lnb
b
=
−
tenemos:
[
]
0 0 0
1
1
1
lim
(
)
lim
lim
x x x x x
dlnx
x
x
x
x
x
x
ln x
x
lnx
ln
ln
dx
x
x
x
x
x
x
x
∆ ∆ → ∆ → ∆ →+ ∆
+ ∆
=
+ ∆ −
=
=
∆
∆
En la expresión anterior podemos establecer lo siguiente:
Si
∆ →
x
0
, entoncesz
x
x
=
→ ∞
∆
ya quex
es fijo respecto a∆
x
, por lo tanto la expresión0 0
1
1
1
1
1
lim
lim
1
lim
1
x x x z x x x z
dlnx
x
x
ln
ln
ln
x
dx
x
x
x
x
z
x
∆ ∆ ∆ → ∆ → →∞
+ ∆
=
=
+
=
+
∆
Por otro lado una de las propiedades de límites establece lo siguiente:
Si f(x) es una función continua, entonces
lim ( )
( )
lim
x→a
f x
=
f
x→ax
; en nuestro caso, la funciónlogaritmo natural es continua por lo tanto al aplicar esta propiedad a
1
1
lim
1
z zln
x
→∞z
+
se tiene1
1
1
1
1
1
lim
1
lim 1
z z zln
ln
zlne
x
→∞z
x
→∞z
x
x
+
=
+
=
=
Observar que el limite encerrado por los corchetes (paréntesis cuadrado) es similar al límite establecido para una sucesión, pero en este caso
z
es una variable no natural, sin embargo, el comportamiento del límite es análogo al del caso de la sucesión1
1
n
n
+
. Finalmente, concluimos que1
dlnx
dx
=
x
DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL
Inicialmente, por simplicidad conviene tener la derivada de la función exponencial con base
e
. La función a derivar esf x
( )
=
e
x; consideremosInf x
( )
=
x
. Al derivar en ambos lados de la expresión se tiene:( )
1
dlnf x
dx
dx
=
dx
=
por lo tanto al aplicar la regla de la cadena en el lado izquierdo de la expresión se tiene:
1
( )
1
( )
df x
f x
dx
=
de donde( )
( )
df x
f x
dx
=
, pero( )
xf x
=
e
por lo tanto:( )
( )
x xdf x
de
f x
e
=
=
=
, es decir x xde
e
=
DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMICA Y EXPONENCIAL DE BASE
a
a) Derivada de la función
( )
xf x
=
a
, número real positivo.El procedimiento más simple para encontrar la derivada de la función
f x
( )
=
a
x es procediendo de la siguiente manera:Obtener el logaritmo natural de ambos lados de la expresión
( )
( )
xlnf x
=
lna
=
x lna
Ahora derivar ambos lados de la expresión; en el lado izquierdo de la expresión se utiliza la regla de la cadena
( )
1
( )
( )
dlnf x
df x
dx
=
f x
dx
y la derivada del lado derecho esdxlna
lna
( )
1
dx
=
, por lo tanto:1
( )
( )
df x
lna
f x
dx
=
de donde:( )
( )
df x
f x Ina
dx
=
pero( )
xf x
=
a
por lo tanto x xda
a Ina
dx
=
b) Derivada de la función logaritmo de base a
f x
( )
=
log
ax
, número real positivo. Procedemos de la siguiente manera:Se tiene que
f x
( )
=
log
ax
,
entoncesa
f x( )=
a
logax=
x
, esto es:( ) f x
x
=
a
Al obtener la derivada en ambos lados de la expresión se tiene:
( ) ( )
( )
1
f x f xda
df x
a
lna
dx
dx
=
=
Observar que en el lado derecho se aplicó la expresión para derivar una función del tipo
( )
xDespejando
df x
( )
dx
se tiene ( )( )
1
f x
df x
dx
=
a
lna
; por lo tanto:( )
log
a1
x
df x
d
x
dx
=
dx
=
a lna
Utilizando la relación de cambio de base para logaritmoslog
log
a ay
lny
e
=
se tiene:log
1
1
log
log
a x x a ad
x
a
dx
a lna
a
e
=
=
perolog
aa
=
1
por lo tantod
log
ax
log
xae
dx
=
a
En resumen podemos establecer las siguientes reglas de derivación
u u
de
du
e
dx
=
dx
1
dlnu
du
dx
=
u dx
u uda
du
a Ina
dx
=
dx
log
alog
ad
u
e du
dx
=
u
dx
Ejemplo 1.10. Derivar la función
( )
5xf x
=
e
Solución
Al aplicar la fórmula correspondiente y la regla de la cadena se tiene:
( )
5 55
5 55
5
x x x xde
d x
e
e
e
dx
=
dx
=
=
Ejemplo 1.11. Derivar la función
2 3 x
e
y
x
=
SoluciónLa función tiene la estructura de un cociente, entonces aplicamos 2
u
du
dv
d
v
u
v
dx
dx
dx
v
−
=
a la función dada.( )
( )
2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 6 32
3
x x x x xe
de
dx
d x
d
x
e
x e
e
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
−
−
=
=
(
)
(
)
2 2 2 2 3 2 2 2 3 6 6 42
3
2
3
2
3
x x x x xe
d
x e
x
e
x
x e
x e
x
dx
x
x
x
−
−
−
=
=
=
Ejemplo 1.12.. Derivar la función
y
=
In x
(
2+
1
)
Solución
Al aplicar la fórmula correspondiente se tiene:
(
2)
(
2)
( )
2 2 21
1
1
1
2
2
1
1
1
dIn x
d x
x
x
dx
x
dx
x
x
+
+
=
=
=
+
+
+
Ejemplo 1.13. . Derivar la función
y
=
e
sen x3Solución
3
3
3
33
3cos 3
3cos 3
sen x
sen x sen x sen x
de
dsen x
d x
e
e
x
xe
dx
dx
dx
=
=
=
Ejemplo 1.14. . Derivar la función
y
=
log
a(
3
x
2−
5
)
Solución
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2 2 2 2log
3
5
1
3
5
1
6
3
5
3
5
ad
x
d
x
x
dx
x
Ina
dx
x
Ina
−
−
=
=
−
−
(
)
(
)
(
)
2 2 2log
3
5
6
6 log
3
5
3
5
a ad
x
x
x
e
dx
x
Ina
x
−
==
=
−
−
Ejemplo 1.15. . Derivar la función
2 3x
y
=
a
Solución( )
2 2 2 2 3 2 33
3 36
6
x x x xda
d x
a
Ina
a
Ina
x
x a
Ina
dx
=
dx
=
=
Ejemplo 1.16. . Derivar la función
y
=
x
xSolución
Para realizar esta derivada encontramos el logaritmo natural de ambos lados de la expresión
Ahora, derivamos en ambos lados de la expresión
1
dIny
dInx
dx
x
Inx
x
Inx
dx
=
dx
+
dx
=
x
+
Por otro lado1
dIny
dy
dx
=
y dx
Por lo tanto1
dy
1
x
Inx
y dx
=
x
+
Finalmente:
dy
y x
1
Inx
x
xx
1
Inx
dx
x
x
=
+
=
+
EJERCICIOS
Encontrar las derivadas de las siguientes funciones
1.
1
log 8
4
y
=
x
2.1
Inx
y
Inx
=
+
3.ρ
=
e
2 x3 4.1
2 1( )
2
xg x
=
e
−⋅
senx
5.log
2
2
x
x
y
=
In
+
6. 23log 2
log 2
x
y
x
=
7.f x
( )
=
a
2x−5; constante positivo
a
8.( )
2
3
5
x
h t
In
x
−
=
9.r
=
3
xe
−2x2+5 10. 3 35
x xe
x
y
e
−
=
Ejercicio. Comprobar las siguientes derivadas
1.
sin
2x
sin
2
x
.
dx
d
=
10.
cos
2sin
.
t
a
t
a
t
a
dt
d
=
2.
cos
3x
26
x
cos
2x
2sin
x
2.
dx
d
−
=
11.
sin
1
2
cos
1
.
2 3 2θ
θ
θ
θ
=
−
d
d
3.
.
2
cot
2
csc
2
csc
2 2 2t
t
t
t
dt
d
−
=
12.
e
sine
sincos
x
.
dx
d
x x=
4.
.
2
cos
2
sin
2
cos
s
s
a
s
a
ds
d
−
=
13.
d
sin(
Inx
)
cos(
Inx
)
.
dx
=
x
θ
θ
d
=
−
d
=
sec
2(log
x
)
6.
d
(ln cos )
x
tan .
x
dx
= −
15.
sin
3
sin
3
cos
3
.
2 3
θ
θ
θ
a
a
dx
d
=
7.
(ln tan 2 )
2
.
sin 2 cos 2
d
x
dx
=
x
x
16.
d
α
sin(cos
α
)
=
−
sin
α
cos(cos
α
).
d
8.
d
(ln sin
2x
)
2 cot .
x
dx
=
17.
sec
sin
cos
.
1
tan
x
x
x
x
dx
d
+
=
−
9.
(
e
cos
mx
)
e
(
a
cos
mx
m
sin
mx
).
dx
d
ax ax−
=
Ejercicio. Efectuar las siguientes derivadas
