Journal of Economics, Finance and Administrative Science

(1)

Milanesi, Gastón S.

L

A TASA INTERNA DE RETORNO

PROMEDIO BORROSA

:

DESARROLLOS

Y APLICACIONES

Journal of Economics, Finance and Administrative

Science

2016, vol. 21, pp. 39-47

Milanesi, G. S. (2016). La tasa interna de retorno promedio borrosa:

desarrollos y aplicaciones. Journal of Economics, Finance and

Administrative Science. En RIDCA. Disponible en:

http://repositoriodigital.uns.edu.ar/handle/123456789/5293

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(2)

Journal

of

Economics,

Finance

and

Administrative

Science

w w w . e l s e v i e r . e s / j e f a s

Artículo

La

tasa

interna

de

retorno

promedio

borrosa:

desarrollos

y

aplicaciones

Gastón

S. Milanesi

1

DepartamentodeCienciasdelaAdministración,UniversidadNacionaldelSur,Argentina

i n f o r m a c i ó n

d e l

a r t í c u l o

Historiadelartículo:

Recibidoel12deabrilde2015 Aceptadoel30dediciembrede2015 CódigosJEL: G30 G31 Palabrasclave:

Tasainternaderendimientopromedio

Matemáticaborrosa

Tasainternaderendimientopromedio

borrosa

r

e

s

u

m

e

n

Eltrabajointroducelatasainternaderendimientopromedio(TIRP)dentrodelmarcodelamatemática borrosa(fuzzy)comométodoalternativoparaestimarrendimientosensituacionesdeambigüedad.Enla primerapartesedesarrollalaTIRPysuversiónborrosacomoalternativaparadeterminarrendimientos bajosituacionesdeambigüedad.Seguidamente,conuncasohipotético,seilustralaconsistenciaconel valoractual(VA)enelordenamientodeproyectosfrenteasituacionesconﬂictivas.Encasode incerti-dumbresedemuestralaequivalenciadelaTIRPcalculadasobrelosﬂujosdefondosesperadosocomo TIRPesperada.Finalmente,ycomomedidaparaestimarrendimientospromediosensituacionesdifusas, seplantealaTIRPborrosa,comparandoresultadosconlosmétodosVAyTIRborrosa.

The

fuzzy

average

internal

rate

of

return:

development

and

applications

JELclassiﬁcation:

G30 G31 Keywords:

Averageinternalrateofreturn

Fuzzymathematics

Fuzzyaverageinternalrateofreturn

a

b

s

t

r

a

c

t

Thepaperintroducestheaverageinternalrateofreturn(AIRR)intothemathematicfuzzy’sframe,like alternativemethodforestimatingreturnsinambiguitysituations.Inthefirstpartitisdevelopedthe AIRRanditsfuzzyversionlikeanalternativeofreturndeterminationunderambiguitysituations.Next, withahypotheticalcase,theconsistencywiththepresentvalue(PV)intheprojectsrankingatconflictive situationsisillustrated.Incaseofuncertainty,theequalitybetweentheAIRRestimatedovertheexpected cashflowsorasexpectedAIRRisshowed.Finally,andlikeameasurementforestimatingaveragereturns invaguesituations,itissetoutthefuzzyAIRR,comparingresultswiththefuzzyPVandIRRmethods.

1. Introducción

Elpresentetrabajodesarrollalatasainternaderetorno pro-medio,TIRP(averageinternalrateofreturn,AIRR)borrosa,como unmétodoalternativoparaladeterminacióndelrendimiento pro-medioendecisionesdeinversiónyﬁnanciamiento(Magni,2010) encondicionesdeambigüedad.Sondoslosaspectosquereúnela

Correoelectrónico:milanesi@uns.edu.ar

1_Doctor_en_Ciencias_de_la_{Administración,}_Universidad_Nacional_del_Sur,_profesor

titulareinvestigadordelDepartamentodeCienciasdelaAdministración,

Universi-dadNacionaldelSur,BuenosAires,Argentina.

medidapropuesta:porunlado,informarrendimientossin colisio-narconelcriteriodelvalorpresente,VA(presentvalue,VA),ypor otroeltratamientodelaambigüedaddedatoseinformación.A partirdesuscaracterísticasestructuralesyanatomíamatemática, laTIRPresuelvelosclásicosinconvenientesquelatasainternade retorno,TIR,(internalrateofreturn,IRR)presentafrenteal crite-riodelVAa_._El_otro_aspecto_consiste_en_la_adaptación_del_modelo_o

criterioempleadoasituacionescaracterizadasporlaambigüedad

a_Entre_ellas_se_pueden_citar_los_problemas_de_múltiples_tasas_de_rendimiento

(Hazen,2003,2009),ordenamientodeproyectosmutuamenteexcluyentes,

pro-yectosmutuamenteexcluyentesconescalasdeinversióndiferentesentama ˜noy

efectosdereferenciacomosonaditividaddelvalor,diferenciasderesultadosentreel

http://dx.doi.org/10.1016/j.jefas.2015.12.001

(3)

40 G.S.Milanesi/JournalofEconomics,FinanceandAdministrativeScience21(2016)39–47

ofaltadedatos,propiadecontextoscorrespondientesamercados incompletosb_._En_estos_casos,_el_riesgo_del_proyecto_no_se_puede

inferira partir dela volatilidaddeun activoﬁnanciero; conse-cuentemente,losriesgospierdensucondiciónde“mercado”yse transformanen“privados”(SmithyNau,1995)c_._En_tales

condi-ciones,laambigüedadovaguedadenladisponibilidaddedatoses normayrestricciónenlaseleccióndelmodeloaimplementarenla valuaciónfinanciera.Endichascircunstancias,setornadificultosa laimplementacióndelasclásicasydiferentesmétricas probabi-lísticasutilizadasen lacuantificacióndelgradodeexposición a laincertidumbre(riesgo)dela inversión(Munenzon,2010).Así escomonaceeltratamientodelaincertidumbredesdelalógica borrosa(fuzzy)(Zadeh,1965;DuboisyPrade,1980).Emergecomo alternativacomplementariaalenfoqueprobabilístico,adaptando losmodelosfinancierosa lalógicadelasmatemáticas borrosas

(Buckley,1987;ChiuyPark,1994,1998;CarlssonyFuller,2001;

FulleryMajlender,2003;Rebiaz,2007;Guerra,MagniyStefanini,

2014).

Losdosaspectosindicadosmotivaneldesarrollodelpresente trabajointroduciendolamedidaTIRPd_en_el_marco_de_la

matemá-ticaborrosa (fuzzy).Laestructuradeltrabajoeslasiguiente:en lapróximasecciónsedesarrollalaTIRPylaTIRPborrosa.Enel anexoseexponenlasprincipalesoperacionesconnúmeros borro-sos.Utilizandouncasohipotético,seestudiaelcomportamientode laTIRPenelordenamientodeinversionesexcluyentesdediferentes tama ˜nosysuconsistenciacomomedidaderendimientoscalculada apartirdeﬂujosdefondosesperadosocomoesperanza matemá-ticadeTIRPdeterminísticas.Finalmente,esimplementadalaTIRP borrosa,comparandoresultadosobtenidosconaquellosarrojados porloscriteriosVAyTIRborrosa.

2. Latasaderendimientopromedio(TIRP)

Lasucesión decapitales aplicadosa una inversióna lolargo del tiempo se nota como ct= (c0,c1,c2...cT−1), mientras que

xt= (x0,x1,x2...xT) representalacorrientedebeneﬁciosfuturos

asociadosalos recursoscomprometidosenlainversión. Conse-cuentemente,elresultadodeunainversión,enelinstantetpuede expresarsedelasiguientemanera:

Rt=ct−ct−1+xt (1)

Dondeeltérminoct−1representaelcapitalinvertido(prestado)

enelperiodo [t−1],cteselcapitalenelperiodo[t]yxteselﬂujode

fondos(beneﬁcio)generadoporelcapitalenelrespectivoperiodo.

valoresperadocorrespondientealaTIRestocásticaylaTIResperadadelainversión

(Magni,2013;Guerraetal.,2014).

b _Cuando_se_evalúan_nuevas_inversiones,_por_ejemplo_tecnologías_novedosas,

asig-naciónderecursosaproyectosdeinvestigaciónydesarrollo,inversiónenactivos

realesdecapitalcerrado,empresasdebasetecnológica,entreotras,elcomún

deno-minadorconsisteenlanocompletituddelmercadodecapitales.Dichasituación

setraduceenlainexistenciadeactivosﬁnancierosquerepliquenlavariabilidadde

losﬂujosdefondosesperadosdelainversiónencuestióny,porlotanto,permitan

estimarelriesgodelproyecto,conocidocomoriesgodemercado,yaqueelmismo

esinferidoindirectamentedelavolatilidaddeuntítulotranzadoenelmercadode

capitalesconcorrelaciónperfectaalosﬂujosdefondosdelproyectoestudiado.

c _Los_autores_clasiﬁcan_a_los_riesgos_de_un_proyecto_en_{“mercado”}_y_{“privados”.}

Elpreciodelosprimerossurgedelavolatilidad(desvío)delacarteraﬁnanciera

gemelaquereplicalosmovimientosesperadosenlosﬂujosdefondosdelproyecto.

Lossegundossonaquellosenlosquenoexistenactivosﬁnancierosréplicas,

pro-ductodequeelmercadodecapitalesnocumpleconlacondicióndecompletitud

requerida.Consecuentemente,nohaydisponibleinformacióndemercadoparasu

cuantiﬁcación.

d _Para_una_completa_descripción_y_desarrollo_de_las_ventajas_de_la_TIRP_respecto_de

laTIRysuconsistenciaconelVAN,verMagni(2010,2013).Otroenfoquealternativo

bajolalógicaborrosaeintervalossepuedeencontrarenGuerraetal.(2014).

Porlotanto,Rtrepresentaelresultadodelperiodoe,sujetoalas

siguientescondiciones,Magni(2010):

a)Elcapitalcorrespondientealperiodotsurgedelproductoentre el capital delperiodo anterior ysu tasa de rendimiento (rt)

menoselﬂujoobeneﬁciototalgeneradoporlainversión(xt)

segúnlasiguienteexpresión:

ct=ct−1(1+rt)−xt (2)

b)Sesupone queel valor inicialde lacorriente decapital (c0)

representalainversióninicialdelacorrientedeﬂujosdefondos generadosporlainversión:

c0=−x0 (3)

c)Elvalordelcapitalinvertidoalﬁnaldelavidadelainversiónes cT=0.Enelhorizonteﬁnal(T)noseproyectacrecimientocomo

consecuenciadereinvertir,asumiendoqueestaserecupera ínte-gramentesiendosuvalorxT.Porlotanto:

cT=cT−1(1+rT)+xT=0 (4)

d)Latasaderendimientoperiódicacorrespondientealainversión bajoestudiosurgedelcocienteentreelresultado(Rt)yelcapital

delperiodoanteriorgeneradordelmismo (ct−1):

rt=Rt

⁄

ct−1 (5)

lógica que supone el modelo es la siguiente: el capital al comienzodecada periodo,aplicadoa lainversión,experimenta incrementosenfuncióndertyxt,(ecuaciones2y5).Eneseorden

deideas,laTIRP,adiferenciadelaTIR,segregalaevolucióndela corrientedecapitales(c)yﬂujosdefondosgeneradosporel pro-yecto(x).Suponiendounacorrientedecapitales

c0,c1...,cT−1,

se puedeplantearlasiguienteigualdad:

VA

x/k

=

T

t=1(Rt−kct−1)(1+k)

−t ₍₆₎

En la ecuación anterior, el término (Rt−kct−1) expresa las

gananciasextraordinariasdelainversión,comoladiferenciaentre elbeneﬁcioesperadodelperiodoylasgananciasnormales, calcu-ladascomoelproductoentreelrendimientodemercadokpara inversionesderiesgosimilaralasestudiadasyelcapitalinicialct−1.

Elconceptoprecedentedalugaral grupodemodelosde valua-cióndeempresasconocidocomoGananciasResiduales(Residual Income);(PrattyGrabowski,2008;Fernández,2014).Sict−1 /= 0

paracada_t=1,2...._Tsepuedendeﬁnirlasgananciasenexceso porunidaddecapitalinvertido,apartirdertcomolatasade

ren-dimientoperiódica(ecuación5):

VA

x/k

=

T

t=1ct−1(rt−k)(1+k)

−t ₍₇₎

Elmargen (rt−k) midelasgananciasresidualesporunidadde

capital invertido,esta expresiónse conocecomotasa de rendi-mientoresidual(TRR).ParaobtenerlaTIRPsedebeestimarlatasa derendimiento constante

rp

,que reemplazandoen cada una delastasasperiódicas(rt)arrojaelvalorpresentedelproyecto VA

x/k

.Desdeelpuntodevistaformal,elargumento matemá-ticoenelqueseapoyaestamedidaderendimientoestádadoporel

e_En_otras_palabras,_puede_asimilarse_al_ﬂujo_de_fondos_total_de_la_inversión,_donde

xtrepresentalosﬂujoslibresyCt−Ct−1lainversiónincrementalencapitaldetrabajo

(4)

conceptodemediadeChisini;(GrazianiyVeronese,2009)f_,_a_partir delasiguienteigualdad:

T t=1ct−1(rt−k)(1+k) −t₌

T t=1ct−1

rp−k

(1+k)−t (8) Despejando,seobtiene: rp=

T t=1rtct−1(1+k) −t

T t=1ct−1(1+k)−t =

T t=1rtct−1(1+k) −t VA

c/k

(9) Elvalordelamediarpeselpromedioponderadodelos

ren-dimientosperiódicosrt,ylasponderacionesdeestosseexplican

porelvaloractualdeloscapitalescomprometidos.Estamediase conocecomoTIRPg_._La_regla_decisoria_es:

a)siVA

c/k

>0elproyectoesunainversiónyseaceptasiempre querp>k

b)siVA

c/k

<0elproyectoesunainversiónyseaceptasiempre querp<k.

Considerandolacorrienterepresentativadeganancias residua-lesapartirdelasecuaciones6y9searribaalasiguienteexpresión:

VA

x/k

=

rp−k

T t=1ct−1(1+k) −t₌rp−k 1+kVA

c/k

(10)

Porserunamedia,laTIRP(rp)novaríaantecambiosenla

mag-nituddelcapitalintermedio(c),enlamedidaenqueelvaloractual deloscapitalesVA

c/k

semantengainvariante.Despejandola ecuación10enfunciónderpsearribaalaformaoperativadela

tasa:

rp=k+VA1

x/k

VA

c/k

(11)

LaexpresiónanteriorindicaquelaTIRPeslasumaentreelcosto delcapitalyelrendimientonetoincrementalporunidaddecapital invertido.Alternativamente,laecuación11sepuedeexpresarcomo

f _La_primera_noción_del_concepto_media_se_debe_a_Cauchy_(1821),_quien_la_deﬁnió

comoaquelvalorintermedioentreelmáximoymínimodeunavariableestadística,

estadeﬁniciónesconocidacomolacondicióninternadeCauchy.Elconceptodemedia

querecibióespecialatencióneseldeChisini(1929),dondelamedia (M) deuna

variablealeatoria(X)esaquelvalorque,respectodeotrafunción(f)deﬁnidaenla

dis-tribucióndefrecuenciade(X),dejainvarianteelvalorde (M),esdecirf (x1,...xn)=

f (M,...M),paratodox1,...xneneldominiodef.Porejemplo,paralatípicamedia

aritméticaseseleccionalafuncióninvariantef(x1,...xn)=

n i=1pixiyseimpone larestriccióndeque

n i=1pixi=

n i=1Mxi;dondeM=

n i=1pixi/

n i=1pi;

repre-sentandolamediaaritméticaponderadaparalasvariablesxiconpesopi.Enelcaso

delamediageométricaf(x1,...xn)=

n

i−1xiaplicandolarestriccióndeinvarianza

setiene

n

i−1xi=

n i−1M=M

n_, _donde_M₌

n n

i=1xi.Finalmente,lamedia

armónicasetienef(x1,...xn)=

n i=1pi/xidonde

n i=1pi/xi=

n i=1pi/xi;donde M=

n i=1pi

n

i=1pi/xi;eslamediaarmónicaponderadaconpesopi;Iurato,2012;

GrazianiyVeronese(2009)

g_La_TIRP_se_diferencia_de_la_propuesta_de_Hazen_(2003,₂₀₀₉₎_debido_a_que_en

laprimeraelmargenresidualesrepresentadopor(rp−k)ynoporladiferencia

(rt−k).Esto,productodequelaTIRrtessustituidaporlamediaTIRPrp.LaTIRPes

unafunciónhiperbólicadeVA(c/k)yseasociaconinﬁnitascombinacionesdeﬂujos

decapital,generandolamismarpparatodovalorpresenteVA(c/k)∈R.Adiferencia

delaTIR,larpestádeﬁnidaparacualquiervalordect−1∈R,lart=cctt−1+xt−1noestá

deﬁnidaparact−1=0.

elcocienteentreelvaloractualdelasgananciasdelproyectoyel valoractualdelﬂujodecapitalesdelmismo:

rp=

T

1Rt(1+k)

−(t−1)

VP

c/k

(12)

Proyectosmutuamenteexcluyentes:laTIRPpermiteenmendar unadelasprincipalesfalenciasquetienelaTIRenelordenamiento deproyectosmutuamenteexcluyentesdediferentemagnitud.Esto esasíyaquelaTIRP esunamedidaderendimientosquesurge de lamediade una sucesión decapitales yﬂujos, coincidentes conelresultado quearrojael criteriodelvalorpresente (ecua-ción10).Paraexplicaresteconcepto,considérensedosproyectos, conﬂujosde fondos (X) ey; corrientede capital c (rx_), _{c (r}y_{) y}

rx_,_ry_el_valor_presente_de_estos_es_VA

_x/k

₌_VA

_{c (r}x₎_/k

rx_−k

1+k y

VA

y/k

=VA

c (ry_)/k

ry_−k

1+k;respectivamente.Elcriteriode

elec-ciónempleadoporlaTIRdeterminaqueamayorrendimientomejor ordenamientorecibe elproyecto. Noobstanteestamedida pre-sentaseriasinconsistenciasconelordenamientodelmétodoVA enelcasodeproyectosexcluyentesdediferentetama ˜no.LaTIRP resuelvelainconsistenciaindicadalograndocongruenciaconel cri-teriodeevaluacióndelVA.Enelcasodediferentesmagnitudesen lasinversionesdelproyecto,seprocedeaescalarlamedida.Eneste casosedebeestimarelvaloractualdelcapital(Pi)correspondiente

alosxiproyectosi=1,2...n.Adicionalmente,sedebedeﬁnirla

magnituddecapitalcomparable (B),ounidadmínimadeinversión. Lamedidaestándar,conocidacomoETIRP

rp,i(B)

: rp,i(B) =k+P_Bi

ra,i−k

(13)

Donderp,irepresentalaTIRPdelproyectocongruenteconel

cri-teriodeordenamientodelVAdebidoaquecumplelacondición max1≤i≤nVA

xi/k

=max1≤i≤nrp,i(B).El resultadodebe

interpre-tarsecomoelrendimientomedioponderado,ajustadoporunidad decapitalcomparable (B).

Proyectosriesgosos:uninconvenientedelaTIR,queamenudo es pasado por alto, se presenta cuando se analizan alternati-vasdeinversiónriesgosas.Enestoscasosnoexisteconcordancia entreelresultadoobtenidoalcalcularelvaloresperadodelaTIR estocásticah_;_{E [r (x)] y}_aquel_de_calcular_la_TIR_de_los_ﬂujos_de

fon-dosesperadosdelainversióni_;_{r [E (x)].}_La_pregunta_emergente_es

lasiguiente:¿sedebeprimerodeterminarelvaloresperadodela corrientedeflujosdefondosyluegocalcularlaTIRosedetermina laTIRparacadacorrientedeflujosdefondosyluegoseestimael valoresperadodelaTIR?Cabedesatacarquelosdiferentes pun-tos devista parael análisisconducen a distintosresultados. La inconsistencianosepresentaenlaTIRP,yaquelaecuación10 tra-bajaconcocientesdelVPdeflujosycapital,laTIRPporlotanto E

rp(x)

=rp[E (x)].

3. Latasaderendimientopromedioborrosa(TIRPB)

AcontinuaciónsedesarrollalaTIRPyETIRPadaptándolaala lógicaborrosa,conelobjetodeutilizarestamedidaderentabilidad enaquellassituacionesdondesepresentavaguedadoambigüedad

h_Suponiendo_que_x₌_(x

1,x2,...xn)sonlosﬂujosdefondosestocásticosylos

ﬂu-josdefondosesperadossonE (x) = (E (x1),E (x2),...E (xn)),porlotantoelvalor

esperadodelaTIRestocásticaesE[r(x)].

i_Surge_primero_de_computar_el_valor_esperado_de_los_ﬂujos_de_fondos_E(x)_y_sobre

(5)

dedatosj_._En_el_Anexo₁_son_expuestas_las_operaciones_básicas_con

númerosborrosostriangulares(ecuacionesa1.1hastaa1.9). Adaptandolaecuación11alanomenclaturadelalógicaborrosa, seplantealaTIRP:

rp= ˜k+

VP1

˜x/˜k

VP0

˜c/˜k

(14)

Enlaecuaciónanteriorlasvariablesborrosas,fuentede ambi-güedad,estánconstituidasporlosﬂujosdefondosborrosos, ˜xt₌

xt

1(˛) ;xt2(˛)

.,tasadeactualizaciónborrosa ˜kt₌

_kt

1(˛) ;kt2(˛)

y corrientedecapitalborrosa ˜ct₌

_ct

1(˛) ;ct2(˛)

.Alaversión expan-didadelaecuación14 searribatrabajandoconlasoperaciones indicadasenelAnexo1,delasiguientemanera:

[rp,1(a);rp,2(a)]=

⎡

⎢

⎣

k t=0 1 (a)+

n t=0 xt 1(a) (1+kt 2(a)) t

×(1+kt=1 1 (a)) 1

n t=0 ˜ct 2(a) (1+ ˜kt 1(a)) t

;kt=02 (a)+

n t=0 xt 2(a) (1+kt 1(a)) t

×(1+kt=1 2 (a)) 1

n t=0 ct 1(a) (1+kt 2(a)) t

⎤

⎥

⎦

(15)

LaTIRPBesunnúmerotriangularborroso(NBT)conintervalo

rp,1(˛) ;rp,2(˛)

.

Conformefuedesarrolladoenlaexpresiónanterior,enelcaso deproyectosmutuamenteexcluyentescondiferentesmagnitudes, esmenesterestandarizarlaexpresión,calculandolaETIRP. Deﬁ-nidaunamagnituddecapitalbase (B) yalternativasexcluyentes (i=1,2,...n)laETIRPBes: ˜rp,i(B) = ˜kt=0+ ˜ Pi B

˜ra,i− ˜kt=0

(16)

Enlaecuaciónanteriorvaloractualdeloscapitalesdelproyecto ( ˜Pi)esunNBT,conformesurgedelaecuación15,siendoBlamedida

deescala.

Enlasecuaciones14y15r

pesunNBTrespectodelcualsepuede

conocersuvalorpuntualmedio(crispmeanvalue).Estese deter-minacalculandoloscoeﬁcientesε [0,1];resolviendolasiguiente integraldeﬁnida: E

r

p

=

1 0

(1−) rp,1(˛) +rp,2(˛)()

d˛ (17)

El coeﬁciente es conocido como índice ponderado de “pesimismo-optimismo”;(Yoshida,Yasuda,Nakagami yKurano, 2006).PorserunNBT,laecuación17sereducea:

= AD

AI+AD (18)

DondeADrepresenta eláreaderechadeltriángulo,esdecir, valores superiores al punto medio “optimismo”; y AI el área izquierda“pesimismo”.Conelíndicesecalculaelvalormedio delaTIRPB(VMTIRPB): E

r

p

=

(1−) rp,1(˛) +rp+rp,2(˛)()

2 (19)

j _Un_interesante_tratamiento_sobre_las_diferencias_que_existen_entre_el

enfo-queprobabilístico(probabilidades)yborroso(posibilidades)puedeencontrarse

enFornero(2012)LostrabajosseminalessobrelógicafuzzycorrespondenaZadeh (1965)yDuboisyPrade(1980).

Nosedebeconfundirconunamedia,yaqueelíndiceincorpora elsesgodeláreademayorvalor(AD;AI)delNBT.

4. LaTIRPyTIRPfuzzyenproyectosexcluyentes

EnlapresentesecciónseilustraelcomportamientodelaTIRP frentealaTIRysuconsistenciaconelcriteriodelVAenelcasode inversionesexcluyentesdedistintotama ˜no.Tambiénseprocedea compararlaconsistenciaentreelvaloresperadodelaTIRPylaTIRP delosﬂujosdefondosesperadosdelproyecto.

Finalmente, sepresenta elfuncionamiento delmodeloen la seleccióndeproyectosexcluyentesensuversiónborrosa, perti-nenteeninversionesencontextosdondeimperalavaguedadyfalta dedatos.

4.1. Proyectosmutuamenteexcluyentesdediferentesescalas

La tabla 1 contiene corrientes de ﬂujos (x) y de capital (c)

correspondientes a dos alternativas de inversión mutuamente excluyentes(AyB)conlaparticularidaddetenerdiferentesescalas. Suponiendounatasadecostodecapital(k)del5%,el ordena-mientodelasalternativasaplicandoloscriteriosdevaloractual (VA)y TIR (r)es el siguiente:VPa=$165,10; VPb=$85,26;

[elec-ción;A>B]ra=17,87%,rb=26,97%[elección;B>A].Seguidamente

seestimólaTIRPylaTIRPestandarizadamediantelasecuaciones 11y13.Comoescalaounidaddecapitalcomparable(B)sedeﬁnela sumade$100.Enlatabla2sepresentanlosresultadosobtenidos. Conformeseobservaenlatabla,sibienlarppresentalos

mis-mosproblemasquelarcuandolostama ˜nosdelosproyectosson diferentes,dichasituaciónseresuelveescalandolamedidaa tra-vésdeladeterminacióndeunidaddecapitalcomparable(B).Los resultadosarrojadosporlaETIRP(erp)devuelvenunordenamiento

consistenteconelcriteriodelVA,enestecasoA>B. 4.2. LaTIRPesperadaversuslaTIRPdelosﬂujosdefondos esperadosdelproyecto

SeleccionadoelproyectoA,seexpondrá laconsistenciaenel cálculodeﬂujosriesgosodeterminandolaTIRPesperadaylaTIRP

Tabla1

Flujosdefondosydecapital

t xa xb ca cb 0 −800 −400 800 400 1 700 500 140 80 2 100 10 47 3 50 −0,65 4 200

Elaboracióndelautor.

Tabla2

Valoractual,TIRP,ETIRP

Pi VA(xi/k) VA(ci/k) k rpi (ec.11) erpi (ec.13)

A 165,1 975,40 5% 22,77% 178,36%

B 85,26 323,81 5% 32,65% 94,52%

(6)

Tabla3

Flujosdefondosyescenariosdelproyecto

Escenarios 0 1 2 3 4 p(x) r

Optimista −800 750 800 200 500 0,3 72,38%

Base −800 700 100 50 200 0,5 17,87%

Pesimista −800 100 0 0 0 0,2 −87,50%

E(xt) −800 595 290 85 250

delosﬂujosdefondosesperados.Paraellosesuponentresposibles

escenarios(optimista,base,pesimista).Tantolasprobabilidadesde

ocurrenciaasociadaacadaescenario,corrientedeﬂujos,tasasde

rendimientoporescenarioyﬂujosdefondosesperadosseexponen

enlatabla3.

Enestecaso,laTIResperadaesigualaE [r (x)] =30%×72,38%+ 50%×17,87%+20%×−87,50%=13,10%.Encambio,latasade rendimiento de los ﬂujos de fondos esperadoses de r [E (x)] = 25,68%.Sibienenestecasolatasadelcostodelcapital(5%)es menoralasdosmedidasobtenidas,sepuedenpresentar situacio-nesconfusascuandoE [r (x)] >k>r [E (x)] ;E [r (x)] <k<r [E (x)], yaqueE [r (x)] /=r [E (x)] ;13,10% /=25,68%.

EnelcasodelaTIRP,existeconsistenciaentrelasmedidastasa esperadaytasadelosﬂujosdefondosesperada.Latabla4ilustra loscálculosparaelproyectoAenlostresescenariospropuestos, suponiendounacorrientedecapitalc0=800;c1=242,96c2=186,37

c3=169,68.

La E

rp(x)

=30%×136,76%+50%×22,77+20%− 72,25%=38,07%.Enelcasodelarp[E (x)],estasedeterminaa

partir delascorrientesesperadasdeﬂujosde fondos(tabla 5); E(x)=x1=595;x2=290;x3=85;x4=250.

LaE

rp(x)

=rp[E (x)] =38,07% y, porlotanto, noconduce

a situaciones ambiguas para tomar la decisión de aceptación-rechazo.

4.3. ElcasodelVA,TIR,TIRPyETIRPborrosafrenteaproyectos excluyentes

En el cálculo de la tasa borrosa es menester determinar mediante juiciosdeexpertosel intervalo devariabilidad delos ﬂujosdefondosy,consecuentemente, corrientede inversiones. En este caso se supone que el intervalo que explica la varia-bilidad correspondiente a xi y consecuentemente ci está dado

por[˛1=1-;a=;˛2=1+;˛1=0,7;a=0,3;˛2=1,3].Apartirde

allísedeﬁnecomocomoNBT(Anexo1,ecuación1)a

∀

˛ ∈ [0;1]→

x˛

xi,1(˛) ,xi,2(˛)

;c˛

ci,1(˛) , ci,2(˛)

;k˛

ki,1(˛) , ki,2(˛)

. EnelAnexo2seexponenlosvalorescorrespondientesalos˛ -cortesdelasvariablesborrosas,ﬂujo,capitalesytasade actuali-zación

˜x; ˜c; ˜k

.

Tabla4

TIRPesperada

Escenarios VA(x/k) VA(c/k)) rp p(x)

Optimista 1224,03 975,40 136,76% 0,3

Base 165,1 975,40 22,77% 0,5

Pesimista –704,76 975,40 –72,25% 0,2

Tabla5

TIRPdelosﬂujosdefondosesperados

E(VA(x/k)) VA(c/k) rp[E(x)]

306,51 975,40 38,07%

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 –138,42% –110,83% –82,39% –53,08% –22,87% 8,26% 40,32% 73,33% 107,33% 142,33% 17 8,36% 215,43% 253,58% 292,82% 333,19% 374,71% 417,40% 461,30% 506,43% 552,81% 600,48%

Figura1. NBTcorrespondientealaETIRPdelproyectoA(elaboracióndelautor).

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 –78, 4 7% –59, 2 8% –40, 5 4% –22, 2 2% -4,33% 13 ,14% 3 0 ,20% 4 6 ,87% 6 3 ,14% 7 9 ,02% 9 4 ,52% 109, 6 6 % 124, 4 2 % 138, 8 2 % 152, 8 7 % 166, 5 7 % 179, 9 2 % 192, 9 4 % 205, 6 2 % 217, 9 7 % 229, 9 9 %

Figura2. NBTcorrespondientealaETIRPdelproyectoB(elaboracióndelautor).

ConlasoperacionesparaNBTexplicadasenelAnexo1seobtiene

elvaloractualborroso:

VP=

n t=0 xt 1(˛)

1+kt 2(˛)

t,

n t=0 xt 2(˛)

1+kt 1(˛)

t

(20)

LaTIRborrosaseestimaconlasiguienteecuaciónk_:

˜r =

−I+

n t=0 xt 1(˛) (1+r)t,−I+

n t=0 xt 2(˛) (1+r)t

(21)

ParalaestimacióndelasmedidasTIRPyTIRPestándarfueron utilizadaslasecuaciones14,15y16;losvalorescorrespondientes paraalfa-cortesdelosproyectosAyBsepresentanenlatablas6

y7.

Lastablasanterioresexponenlosresultadoscorrespondientes alNBTdecadaunadelasmétricasempleadas,siendolaETIRPB consistenteconelcriteriodeordenamientodelVA,talcual aconte-cióconsuversióndeterminística(tabla2).Enlatabla8seordenan losresultados.

EnelcasodelVAlosvaloresson;VAA

˜x ˜k

=

−$140,39;$165, 10;$485,78

y VAB

˜x ˜k

=

−$65,19;$85,26;$240,15

. La ETIRP; (E)rpA= [−138,42%;178,40%;600,48%] y, ﬁnalmente,

(E)rpB= [−78,47%;94,52%;229,99%]. Las ﬁguras 1–4 exponen

losNBTcorrespondientesalVAyETIRPborrosos.

Determinadosloscoeﬁcientes␭(ecuación18),seprocedea cal-cularelVMTIRPB(ecuación19),donde␭>(1-),adiferenciadeuna

k_Un_correcto_desarrollo_de_la_teoría_de_números_borrosos_aplicados_a_las

(7)

Tabla6

AlfacortesVA(x/k);TIR,VA(c/k),TIRP,ETIRPproyectoA

␣ VA(x/k)a1 VA(x/k)a2 ra1 ra2 VA(c/k)a1 VA(c/k)a2 rpa1 rpa2 erpa1 erpa2

0 −140,390 485,785 −4,61% 40,97% 920,65 1.032,12 −10,58% 62,70% −138,42% 600,48% 0,1 −110,493 453,000 −2,38% 38,63% 926,04 1.026,36 −7,51% 58,37% −110,83% 552,81% 0,2 −80,454 420,378 −0,14% 36,29% 931,45 1.020,61 −4,38% 54,13% −82,39% 506,43% 0,3 −50,271 387,917 2,09% 33,96% 936,87 1.014,89 −1,20% 49,96% −53,08% 461,30% 0,4 −19,945 355,615 4,33% 31,64% 942,32 1.009,19 2,04% 45,86% −22,87% 417,40% 0,5 10,527 323,473 6,58% 29,33% 947,79 1.003,51 5,34% 41,84% 8,26% 374,71% 0,6 41,145 291,488 8,82% 27,02% 953,27 997,85 8,70% 37,89% 40,32% 333,19% 0,7 71,910 259,660 11,08% 24,72% 958,77 992,21 12,13% 34,01% 73,33% 292,82% 0,8 102,824 227,987 13,33% 22,43% 964,30 986,59 15,61% 30,20% 107,33% 253,58% 0,9 133,888 196,468 15,60% 20,15% 969,84 980,98 19,16% 26,45% 142,33% 215,43% 1 165,102 165,102 17,87% 17,87% 975,40 975,40 22,77% 22,77% 178,36% 178,36%

Tabla7

AlfacortesVA(x/k);TIR,VA(c/k),TIRP,ETIRPproyectoB

␣ VA(x/k)a1 VA(x/k)a2 ra1 ra2 VA(c/k)a1 VA(c/k)a2 rpa1 rpa2 erpa1 erpa2

0 −65,19 240,15 −10,54% 64,48% 347,42 299,52 −19,03% 80,12% −78,47% 229,99% 0,1 −50,34 224,46 −6,79% 60,73% 345,09 301,98 −13,63% 75,52% −59,28% 217,97% 0,2 −35,45 208,81 −3,04% 56,97% 342,75 304,43 −8,29% 70,90% −40,54% 205,62% 0,3 −20,51 193,21 0,71% 53,22% 340,41 306,88 −3,00% 66,24% −22,22% 192,94% 0,4 −5,53 177,65 4,46% 49,47% 338,05 309,32 2,24% 61,55% −4,33% 179,92% 0,5 9,49 162,14 8,21% 45,72% 335,70 311,75 7,42% 56,83% 13,14% 166,57% 0,6 24,56 146,67 11,96% 41,97% 333,33 314,18 12,56% 52,07% 30,20% 152,87% 0,7 39,67 131,25 15,72% 38,22% 330,96 316,59 17,65% 47,27% 46,87% 138,82% 0,8 54,82 115,88 19,47% 34,47% 328,58 319,01 22,69% 42,43% 63,14% 124,42% 0,9 70,02 100,55 23,22% 30,72% 326,20 321,41 27,69% 37,56% 79,02% 109,66% 1 85,26 85,26 26,97% 26,97% 323,81 323,81 32,65% 32,65% 94,52% 94,52%

Tabla8

Valoractualborrosodelcapital,ﬂujos,TIR,TIRP,ETIRP

Ranking Proyecto:A Proyecto:B

[a1,a,a2] a1(␣) a(␣=1) a2(␣) a1(␣) a(␣=1) a2(␣)

VA(c/k) 920,65 975,40 1.032,12 347,42 323,81 299,52

VA(x/k) −140,390 165,102 485,785 −65,19 85,26 240,15

TIR −4,61% 17,87% 40,97% −10,54% 26,97% 64,48%

TIRP −10,58% 22,77% 62,70% −19,03% 32,65% 80,12%

ETIRP −138,42% 178,36% 600,48% −78,47% 94,52% 229,99%

Tabla9

VMTIRPBValoractual(ﬂujosycapital),TIR;TIRP,ETIRP

Método Orden A B A(␭) A(1-␭) B(␭) B(1-␭)

VA(c/k) 976,62 323,47 0,513 0,487 0,507 0,493

VA(x/k) A>B 172,66 87,44 0,512 0,488 0,507 0,493

TIR B>A 18,18% 40,62% 0,507 0,493 0,864 0,136

TIRPB B>A 26,25% 32,44% 0,55 0,45 0,517 0,483

ETIRPB A>B 245,70% 88,22% 0,611 0,389 0,52 0,48

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 $ -140 ,4 $ -110 ,5 $ -80, 5 $ -50, 3 $ -19, 9 $ 1 0 ,5 $ 4 1 ,1 $ 7 1 ,9 $ 102, 8 $ 133, 9 $ 165, 1 $ 196, 5 $ 228, 0 $ 259, 7 $ 291, 5 $ 323, 5 $ 355, 6 $ 387, 9 $ 420, 4 $ 453, 0 $ 485, 8

Figura3.NBTcorrespondientealVAdelproyectoA(elaboracióndelautor).

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 $ –65 ,2 $ –50 ,3 $ –35 ,4 $ –20 ,5 $ – 5 ,5 $ 9,5 $ 24, 6 $ 39, 7 $ 54, 8 $ 70, 0 $ 85, 3 $ 10 0,5 $ 11 5,9 $ 13 1,3 $ 14 6,7 $ 16 2,1 $ 17 7,7 $ 19 3,2 $ 20 8,8 $ 22 4,5 $ 85, 3

(8)

mediaprobabilística,yaqueelVMTIRPBcapturaelsesgopositivo

delNBT(tabla9).

5. Conclusiones

Elpresentetrabajointroducelatasainternaderendimiento pro-mediosobrelainversióncomounamedidaalternativaparaevaluar decisionesdeinversión yfinanciamiento.Lalógicadelamisma resideenqueconsidera losbeneficiosycapitales,respetandola lógicaeconómicapropiadelos modelosdevaluaciónde ganan-ciasresiduales,consistentesconelcriteriodelvalorpresente.El resultadoobtenidoesunatasapromedioderendimiento,quesise reemplazaenlasucesiónderendimientoperiódicogeneradopor loscapitalescomprometidos(ecuación10),devuelveelvaloractual delainversión.LaideaprecedentehacequelaTIRPcoincidacon elmétododelVAenelordenamientodealternativasdeinversión excluyenteseinclusodevuelvaresultadosconsistentesalevaluar decisionesdeinversiónencondicionesdeincertidumbre,yasea estimandolaTIRPdelosflujosdefondosesperadoscomolaTIRP esperada.

A menudose presentan problemas deelección en donde la ambigüedadovaguedaddedatosesunadelasrestriccionesdel pro-blemadeevaluacióndeinversiones.Lateoríadeconjuntosborrosos esunmedioparaavanzarsobredichassituaciones,adaptandolos clásicosmodelosdeevaluacióndedecisionesdeinversionesen con-dicionesdeincertidumbre.EnestecasoseadaptólaTIRPylaETIRP alalógicafuzzy,demostrandolaconsistenciadelosresultados arro-jadosconelordenamientodelVAborroso.Consecuentemente,la tasapromedioseerigeenunamedidacomplementariaalconjunto deherramientasutilizadasenlasdecisionesquehacendel presu-puestodecapitaldelaﬁrmaylaversiónborrosaunmediopara lidiarfrentealaambigüedadofaltatotaldedatos.

Anexo1. NúmeroborrosotriangularyoperacionesenR. El presente anexo simplemente pretende introducir sintéti-camentealgunas nocionesbásicas deoperacionesconnúmeros borrosostriangulares.Paraabordareltemaconmayordetallese puede consultarKaufmann, GilAlujayTerce ˜no(1994)o Mallo,

ArtolayPascual(2004).

Unnúmeroborroso(NB)sepuedeintroducirdedosmaneras,ya seacomointervalodeconﬁanzadeunniveldepresunciónycomo función.Enelprimercaso,elNBseobtieneasignandoacadanivel ˛depresunción(posibilidad)unintervalodeconﬁanzaA˛,talque:

∀

˛ ∈ [0;1]→A˛[a1(˛) ,a2(˛)] (a1.1)

Ensegundotérmino,selopuededeﬁnircomounafunciónUA(x)

querepresentalosnivelesdeconﬁanza˛deunnúmeroborroso paracada valordex∈Rox ∈Z.Parasuconstrucciónsedebe determinarlafunción_U_Ay (x) alaizquierdadelvalorcentralAy

UAd (x) aladerechadelmismo.Entonces,lasfuncionesresultantes

paratodo

∀

x ∈Rsonlassiguientes:

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

UA(x)=0;six≤a1(0) UA(x)=p1x+c1;sia1(0)≤x≤a(1)→U1 UA(x)=p2x+c2;sia(1)≤x≤a2(0)→U2 UA(x)=0;sia2(0)≤x (a1.2)

Despejandol _x _de_la _función _de _pertenencia_a _la _izquierda_y

derecharespectivamenteenfunción de˛,seobtiene:˛=p1x+

c1;U1→ (˛−c1)/p1y˛=−p2x+c2;U2→ (−˛+c2)/p2.

l _Donde_p

1yp2representanlaspendientesdeU1yU2alaizquierdayderechadel

valorcentral,yc1yc2lasraícesdeU1yU2.

Reemplazando˛porelvalordeseado,seobtienea1(˛) ,a2(˛).

Elnúmeroborrosoquedaexpresadocomo:

A˛=

(˛−c1)/p1; (−˛+c2)/p2

(a.3) A continuación,lasoperacionesbásicas para delos ˛ cortes (ecuacióna.3):

Adiciónm_de_números_borrosos_en_R

Dados dos númerosborrosos ˜A; ˜B,su suma seplantea dela siguientemanera:

˜

A (+) ˜B= [a1(˛) ,a2(˛)] (+) [b1(˛) ,b2(˛)]

= [a1(˛) +b1(˛) ;a2(˛) +b2(˛)] (a1.4)

Secalculanloslímitesinferioresysuperioresdelintervalo, pro-cediendoasumarlosvaloresresultantes ˜A; ˜B

SustraccióndenúmerosborrososenR Paran

_∀

_˛_{∈ [0;}_1]

˜

A (−) ˜B= [a1(˛) ,a2(˛)](−)[b1(˛) ,b2(˛)]

= [a1(˛) −b2(˛) ;a2(˛) −b1(˛)] (a1.5)

MultiplicacióndenúmerosborrososenR Parao

_∀

_˛_{∈ [0;}_1]

˜

A(×)˜B =[a1(a),a2(a)]×[b1(a),b2(a)]

=Min[a1(a)×b1(a);a1(a)×b2(a);a2a×b1a;a2a×

b2(a)];Max[a1(a)×b1(a);a1(a)

×b2(a);a2a×b1(a);a2(a)k×b2(a)]

(14)

Multiplicacióndeunnúmeroborrosoporunnúmeroreal(k) Para

∀

˛∈ [0;1] ;k ∈R

k (×) ˜A=k (×) [a1(˛) ,a2(˛)] =Min [k (×) a1(˛) ,k (×) a2(˛)] ;

Max [k (×) a1(˛) ,k (×) a2(˛)] (a1.6)

Inversadeunnúmeroborroso

Para

∀

˛∈ [0;1];lainversade ˜Asea ˜A−1;paratodo (a1;a2) /=0

˜ A−1=Min

!

1 a1(˛) ; 1 a2(˛)

"

;Max

!

1 a1(˛) ; 1 a2(˛)

"

(a.7) DivisióndenúmerosborrososenR

˜ A (÷) ˜B = [a1(˛) ,a2(˛)](÷)[b1(˛) ,b2(˛)] = ˜A (÷) ˜B−1= [a1(˛) ,a2(˛)] (×)

#

Min

!

_b 1 1(˛) ; 1 b2(˛)

"

;Max

!

_b 1 1(˛) ; 1 b2(˛)

"$

=Min

!

a1(˛) b1(˛) ;a1(˛) b2(˛) ;a2(˛) b1(˛) ;a2(˛) b2(˛)

"

; Max

!

a1(˛) b1(˛) ;a1(˛) b2(˛) ;a2(˛) b1(˛) ;a2(˛) b2(˛)

"

(a1.8)

Divisióndeunnúmeroborrosoporunnúmeroreal(k) Para

∀

˛∈ [0;1] ;k ∈R 1/k(×) ˜A=Min

!

a1(˛) k ; a2(˛) k

"

;Max

!

a1(˛) k ; a2(˛) k

"

(a1.9)

m _La_suma_de_número_borroso_es_conmutativa,_asociativa;_el_neutro_de_las_suma

escero.

n_Se_puede_considerar_la_sustracción_como_la_suma_{entre ˜}_A_y_el_opuesto_{de ˜}_B

denotadocomo ˜B=[−b2(a),−b1(a)]

o_La_{multiplicación}_de_números_borrosos_es_conmutativa,_asociativa,_distributiva

(9)

Anexo2.

TablaA2.1

Alfa–cortesﬂujosdefondosproyectoA

␣ X1,a1 X1,a2 X2,a1 X2,a2 X3,a1 X3,a2 X4,a1 X4,a2 0 490,00 910,00 70,00 130,00 35,00 65,00 140,00 260,00 0,1 511,00 889,00 73,00 127,00 36,50 63,50 146,00 254,00 0,2 532,00 868,00 76,00 124,00 38,00 62,00 152,00 248,00 0,3 553,00 847,00 79,00 121,00 39,50 60,50 158,00 242,00 0,4 574,00 826,00 82,00 118,00 41,00 59,00 164,00 236,00 0,5 595,00 805,00 85,00 115,00 42,50 57,50 170,00 230,00 0,6 616,00 784,00 88,00 112,00 44,00 56,00 176,00 224,00 0,7 637,00 763,00 91,00 109,00 45,50 54,50 182,00 218,00 0,8 658,00 742,00 94,00 106,00 47,00 53,00 188,00 212,00 0,9 679,00 721,00 97,00 103,00 48,50 51,50 194,00 206,00 1 700,00 700,00 100,00 100,00 50,00 50,00 200,00 200,00

TablaA2.2

Alfa–cortesﬂujosdefondosproyectoB

␣ X1,a1 X1,a2 X2,a1 X2,a2 0 350,00 650,00 7,00 13,00 0,1 365,00 635,00 7,30 12,70 0,2 380,00 620,00 7,60 12,40 0,3 395,00 605,00 7,90 12,10 0,4 410,00 590,00 8,20 11,80 0,5 425,00 575,00 8,50 11,50 0,6 440,00 560,00 8,80 11,20 0,7 455,00 545,00 9,10 10,90 0,8 470,00 530,00 9,40 10,60 0,9 485,00 515,00 9,70 10,30 1 500,00 500,00 10,00 10,00

TablaA2.3

Alfa–cortesﬂujosdecapitalproyectoA

␣ C1,a1 C1,a2 C2,a1 C2,a2 C3,a1 C3,a2 0 98,00 182,00 32,90 61,10 −0,45 −0,84 0,1 102,20 177,80 34,31 59,69 −0,47 −0,83 0,2 106,40 173,60 35,72 58,28 −0,49 −0,81 0,3 110,60 169,40 37,13 56,87 −0,51 −0,79 0,4 114,80 165,20 38,54 55,46 −0,53 −0,77 0,5 119,00 161,00 39,95 54,05 −0,55 −0,75 0,6 123,20 156,80 41,36 52,64 −0,57 −0,73 0,7 127,40 152,60 42,77 51,23 −0,59 −0,71 0,8 131,60 148,40 44,18 49,82 −0,61 −0,69 0,9 135,80 144,20 45,59 48,41 −0,63 −0,67 1 140,00 140,00 47,00 47,00 −0,65 −0,65

TablaA2.4

Alfa–cortesﬂujosdecapitalproyectoB

␣ C1,a1 C1,a2 0 347,42 299,52 0,1 345,09 301,98 0,2 342,75 304,43 0,3 340,41 306,88 0,4 338,05 309,32 0,5 335,70 311,75 0,6 333,33 314,18 0,7 330,96 316,59 0,8 328,58 319,01 0,9 326,20 321,41 1 323,81 323,81

TablaA2.5

Alfa–cortestasadecostodecapitalproyectosAyBconstanteentodoslosperiodos

␣ k,a1 k,a2 0 3,50% 6,50% 0,1 3,65% 6,35% 0,2 3,80% 6,20% 0,3 3,95% 6,05% 0,4 4,10% 5,90% 0,5 4,25% 5,75% 0,6 4,40% 5,60% 0,7 4,55% 5,45% 0,8 4,70% 5,30% 0,9 4,85% 5,15% 1 5,00% 5,00%

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