Cantidad de movimiento
Ya vimos que a cada masa inercial m se debe asociar una energía relacionado con su movimiento en el espacio-tiempo = cantidad de movimiento (o momento lineal)
(1) pr=mvr
Con unidad
[ ]
kg m sp = ⋅
Que esto corresponde a una energía es fácil a demostrar La magnitud de este vector esp2 = ⋅ =p pr r m2
( )
v vr r⋅ =m v2 2 (2) 2 2 1 1 2 2 p mv K m = =La cantidad de movimiento da un sentido más general a la segunda ley de Newton y a la noción de fuerza – la segunda ley F ma mdv d
( )
mvdt dt = = =
∑
r r r r (3) F dp dt =∑
r rLa fuerza es la taja de cambio de la cantidad de movimiento de la masa m
Impulso
Vimos que la acción de una fuerza constanteFaplicada sobre una distancia s en el espacio corresponde al trabajo
(4) W =Fs
Si al lugar del desplazamiento consideramos el intervalo de tiempo sobre el cual se aplica la fuerza tenemos el impulso
(5) Jr=
∑
F tr∆Con unidad
[ ]
N s kg m sAhora si
∑
Fr =cte. dp cte. dt ⇒ r = por lo tanto 2 1 2 1 p p dp p dt t t t − ∆ = = − ∆ r r r r , la variación instantánea es igual a la variación promedio; el impulso en esta condición F t p t pt ∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆
∑
r r r (6) Jr r r= p2− p1El impulso es igual a la variación de cantidad de movimiento
Pero también se cumple esta relación si las fuerzas no son constantes El teorema del impulso-cantidad de movimiento
(7) 2 2 2 1 1 2 1 t t t t t t dp Fdt dt dp p p dt = = = −
∑
∫
r∫
r∫
r r r En general (8) Jr=∫
∑
FdtrEl impulso es igual al área debajo de la fuerza en función del tiempo
Si definimos una fuerza media Frmed (9) J =Fmed
(
t2−t1)
En relación a la acción de la fuerza en el espacio-tiempo tenemos dos relaciones Trabajo (escalar) Impulso (vector)
2 1 dp W F s s K K dt = ⋅ =r r r⋅ =r − J = ∆ =F t p2− p1 r r r r
Considere una masa m, inicialmente al reposo ⇒ p1 =0
r , y también 1 2
1 2 1 0
K = mv = Cuando una fuerza constante actúa sobre la masa durante un tiempo curto ∆ = −t t2 t1, el
teorema del impulso-cantidad de movimiento da pr2 = + = + ∆pr1 Jr 0 F tr
(10) Jr r= ∆ =F t pr
La cantidad de movimiento es igual al impulso que lo aceleró desde el reposo a su rapidez actual
En cambio, la energía cinética en t es: 2
(11) K2 = ∆ =K Wtotal = ∆F s
La energía cinética es igual al trabajo total realizado sobre la masa para acelerarla
Ejemplo: consideramos dos pelotas, una tiene una masa m1=0.50kg la otra m2 =0.10kg
La primera tiene una rapidez 1
m 4.0 s v = y la segunda 2 m 20 s
v = , las dos tienen la misma cantidad de movimiento: 1 2 2kg m
s
p = p = ⋅
Pero no tiene la misma energía cinética K1 =4J y K2 =20J
El resultado es que para detener la segunda bola, necesitamos hacer un trabajo 5 veces más grande que para detener la primera
Sin embargo, la energía cinética no es el único factor
Por ejemplo, una pelota de béisbol y una bala de un rifle calibre 0.22 tienen más o menos la misma energía cinética ⇒ se necesita hacer el mismo trabajo para parar las
Pero parar la bala del rifle con la mano es muy peligroso – tiene un a fuerza de penetración (presión) mucho más grande
⇒ Todos los átomos de la mano absorben la energía para parar la pelota de béisbol pero mucho menos átomos absorben la energía para parar la bala del rifle
La presión es definida como
(12) P F
A
⊥
=
Donde F⊥es la fuerza perpendicular a la área
La presión es una cantidad escalar con unidad
[ ]
Pa (Pascal) N2 mP = =
Otras unidades son el bar donde 1bar=10 Pa5 , el millibar donde1milibar 100Pa= o el
atmósfera donde 5
1atm=1.013 10 Pa× =1.013bar=1013milibar (presión atmosférica al nivel del mar)
En el modelo molecular, la presión en un fluido es un fenómeno relacionado con los choques de las moléculas – estos choques producen una fuerza perpendicular a la superficie de cualquier masa en contacto con el fluido
(13) P p t
A ∆ ∆ =
Un equivalente mecánico (modelo) = una pelota que rebota en una pared
Si la masa de la pelota es m=0.40kg e su velocidad inicial es 1
m 30 s v = − , la cantidad de movimiento inicial es 1 1
(
0.40kg)
30m 12kg m s s p =mv = − = − ⋅ La pelota rebota con velocidad 2 20m s
v = + que corresponde a la cantidad de
movimiento 2 2
(
0.40kg)
20m 8kg ms s
p =mv = = ⋅
El cambio de cantidad de movimiento: 2 1 8kg m 12kg m 20kg m
s s s
p −p = ⋅ − − ⋅ = ⋅
Esta variación de cantidad de movimiento es relacionado con un impulso igual a:
m
20kg 20N s
s
J = ⋅ = ⋅
El choque contra la pared es muy corto, típicamente duró 0.010s
20N s 2000N 0.010s med med J J F t F t ⋅ ⇒ = ∆ ⇒ = = = ∆
Esta fuerza es mucha más grande que el peso: w=mg=3.9N
Conservación de la cantidad de movimiento
Consideramos la interacción entre dos partículasSegún la tercera ley de Newton, cada una ejerce sobre la otra una fuerza igual pero opuestas en dirección
Como la interacción dura el mismo tiempo ∆t, los impulsos son iguales: Jr1 = −Jr2
• En cualquier sistema, las fuerzas que las partículas ejercen entre si = fuerzas internas
• Estas son diferentes de las fuerzas ejercidas sobre cualquier parte de un sistema por masas fueran del sistema = fuerzas externas
Un sistema aislado es un sistema que no siente la acción de fuerza externa
Por ejemplo, un sistema aislado de dos partículas è dos fuerzas internas, A sobre B, FrAB, y B sobre A, FrBA
Aplicando la relación entre fuerza y variación de la cantidad de movimiento ( F dp dt =
∑
r r ): (14) A BA dp F dt = r r y B AB dp F dt = r rPero, según la tercera ley de Newton:
(15) 0 A B
(
)
0 BA AB A B dp dp d F F p p dt dt dt + = ⇒ r + r = + = r r r rDefinimos la cantidad de movimiento totaldel sistema: (16) prtotal= prA+prB =
∑
prEl principio de la conservación de la cantidad de movimiento
(17) total 0 . total dp p cte dt = ⇒ = r r
Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento total del sistema es constante
En general, por un sistema de N partículas (18) 1 2 1 1 2 2 1 1 N N total i N N N i i i i p p p p p m v m v m v m v = = =
∑
= + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ =∑
r r r r r r r r rSi el sistema es aislado dptotal 0
dt =
r
El principio de la conservación de la cantidad de movimiento no depende de la naturaleza de las fuerzas internas
è la conservación de la cantidad de movimiento se cumple mismo cuando las fuerzas
no son conservativas è la energía cinética no es conservada
Choques
Definición de choque = cualquier interacción fuerte entre masas que dura un tiempo relativamente corto
En general, las fuerzas internas ? fuerzas externas ⇒ sistema es aislado y dptotal 0
dt =
r
, se aplica la ley de conservación de la cantidad de movimiento
Dos tipos de choques:
• Choque elástico: dK 0
dt = conservación de la energía cinética
• Choque inelástico: dK 0
dt ≠ non conservación de la energía cinética
En general los choques entre moléculas de un fluido son elásticos – este fenómeno permite una redistribución de la energía de manera uniforme de las moléculas siguiendo la
conservación de la cantidad de movimiento – este mecanismo es a la base del fenómeno de presión y temperatura en un fluido (gas en particular) con valor promedio
En un choque elástico dK 0
dt = , por lo tanto la energía cinética inicial y final son igual
(19) 1 2 1 2 1 2 1 2
2m vA Ai+ 2m vB Bi =2m vA Af +2m vB Bf
Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento dP 0 dt =
r
(20) m vA Ai+m vB Bi =m vA Af +m vB Bf
Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos resolver las ecuaciones simultáneamente para obtener las velocidades finales
Un caso especial importante es cuando vBi =0 (el blanco que debe golpear A)
Sea v la componente x de la velocidad inicial de A y v y A v las componentes B x de las
velocidades finales – la conservación de energía
(21) 1 2 1 2 1 2
2m vA =2m vA A+2m vB B
La conservación del momento lineal
(22) m vB B =mA
(
v −vA)
Dividimos una ecuación por la otra
(23) vB = +v vA
Sustituimos en la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento
(24) A B A A B m m v v m m − = + Substituimos en la ecuación vB = +v vA (25) 2 A B A B m v v m m = +
Para choques elásticos donde una de la partícula (el blanco) es inmóvil A B A A B m m v v m m − = + 2 A B A B m v v m m = +
De las expresiones para v y A v podemos deducir algunos resultados importantes: B
Si mA <<mB 0 A B v v v → − → Si mA ?mB 2 A B v v v v → + → A B m =m A 0 B v v v → →
De la ecuación vB = +v vAdeducimos que
(26) v= vB−vA
Esto es la velocidad de B relativa a A después del choque - también esto es el negativo de le velocidad de B relativa a A antes del choque
En choques rectilíneas elásticos de cuerpos las velocidades relativas antes y después del choque tienen misma magnitud pero signos opuestos
(27) vBf −vAf = −
(
vBi −vAi)
Existe una relación vectorial similar è una propiedad general de todos los choques elásticos
Si el choque elástico de dos cuerpos no es de frente, las velocidades no están alineadas
• Cada velocidad tienen 2 componentes desconocidas y hay 4 incógnitas en total
• Para resolver los problemas tenemos solamente E=cte y las expresiones para p y x y
p
Necesitamos, por tanto, información adicional como dirección o magnitud de esas velocidades
Moderador en reactor nuclear
En un reactor nuclear se producen neutrones de alta rapidez durante el proceso de fisión Para una reacción en cadena se necesita reducir la velocidad de estos neutrones
Se usa por esto choques con núcleos de moderadores = carbono o grafito
Los choques son elásticos de frente con un núcleo de carbono mB =12µ, donde µes la unidad de masa atómica, y vB =0
Para los neutrones mA =1µ y 7 m 2.6 10
s
A
v = ×
Usando las ecuaciones A B A A B m m v v m m − = + y 2 A B A B m v v m m = +
⇒después del primero choque 2.2 107 m s A v = − × y 0.4 107 m s B v = ×
El neutrón termina con 11
13 de su rapidez inicial y su energía cinética bajo a 2 11 13 o 0.72 del valor inicial
Después de un segundo choque, la energía cinemática bajara de nuevo de 0.72 del valor inicial hasta 0.5 veces el valor inicial
Choques elásticos, bidimensional de partículas
Modelo mecánico = discos sobre mesa sin fricción – bolas de billiard
• Masas mA =0.500kgy mB =0.300kg
• Velocidades de masa Aantes y después del choque 4.00m s Ai v = + 2.00m s Af v = +
La conservación de la energía cinética:
2 2 2 1 1 1 2m vA Ai =2m vA Af +2m vB Bf 2 2 m 4.47 s A Ai A Af Bf B m v m v v m − ⇒ = = La componente x de la cantidad de movimiento: A Axi A Axf B Bxf m v =m v +m v
(
)
m(
)
m(
)
m 0.500kg 4.00 0.500kg 2.00 cos 0.300kg 4.47 cos s s α s β ⇒ = + La componente y: 0=m vA Afy+m vB Bfy
(
)
m(
)
m 0 0.500kg 2.00 sen 0.300kg 4.47 sen s α s β ⇒ = − Tenemos dos ecuaciones simultáneas para α y β è más sencillo = eliminar β Pongamos
(
0.500kg)
4.00m s A= ,(
)
m 0.500kg 2.00 s B= y(
)
m 0.300kg 4.47 s C= La componente en x: cos cos A=B α+C β 2 2 2 cos ( cos ) cos A B cos A B C C α α β − β − ⇒ = ⇒ =La componente en y:
0=Bsenα−C senβ
2
2 2
2
sen Bsen sen B sen
C C
β α β α
⇒ = ⇒ =
Sumando los dos:
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 cos cos sen 2 cos
1 A AB B B A AB B C C α α α α − + + = − + = 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 B A C AB B A C AB α α + − ⇒ = + − ⇒ =
Des esto deducimos α =36.9o
Para β, substituimos cosα en la primera ecuación:
2 2 2 2 2 2 cos cos 2 B A C A C B A C A β β C + − + − = + ⇒ = De esto deducimos β=26.6o
El decaimiento
βEstudiando el proceso de decaimiento beta de los núcleos radiactivos el físico Niels Bohr encontró una aparente contradicción con el principio de conservación de la cantidad de movimiento - a este momento no estaba claro que al nivel del átomo las leyes de la física se aplicaba sin modificación (la relatividad de Einstein es una) è en particular, Niels Bohr no estaba seguro que la ley de conservación de cantidad de movimiento se aplicaba
El físico Wolfgang Pauli realizo que para cumplir con este principio el proceso de decaimiento beta deberé producir una partícula nueva – esta partícula se torno se torno ser el neutrino, que fue descubierta 25 años después
Para entender el problema, consideramos un modelo donde el sistema esta inicialmente en reposo y consideramos el proceso de decaimiento con un proceso de dos partículas
Aplicando la ley de conservación de energía: 2 2
1 2 1 1 2 2
1 1
2 2
Q= K +K = m v + m v Por la ley de conservación de la cantidad de movimiento:m v1 1=m v2 2
La combinación de las dos ecuaciones implica que 1 2
1 1 2 2 2 1 K m m K m K K m = ⇒ = En términos de la suma Q (28) 2 1 1 2 m K Q m m = + y 1 2 1 2 m K Q m m = +
Aplicamos este modelo al proceso de decaimiento α del radón è donde un átomo de helio esta expulsado del átomo : 222Rn→ 218Po+α
La masa del Polonio es m2 3.62 1025kg
−
= × , mucho mayor que la masa de la partícula α que es m1 6.65 1027kg
−
= ×
Durante este proceso se observa una cantidad de energía 13
9.0 10 J Q= × − que corresponde a la energía cinética: 13 2 8.8 10 J K = × − y 14 1 2 10 J K = × −
La firma del proceso con dos partículas es el diagrama que da el número de partículas α con la energía K - este diagrama tiene un pico, que muestra que todas las partículas 1
α emitidas tiene exactamente esta energía
Pero no se observa la misma curva de energía en el caso del decaimiento β è donde un electrón β−o positrón β+ esta emitido
Por ejemplo para el Bismuto 210 210
Bi→ Po+β− Como m1=383000m2, se espera un energía cinética
13
2 1.86 10 J
K = × −
(en realidad se debe hacer una corrección relativista porque la velocidad es muy cerca de la velocidad de la luz)
En 1896, Henri Becquerel descubrí la radioactividad y en 1900 mostró que el
decaimiento beta no estaba mono-energético – el diagrama deKmuestra valor continua
de 0 a 13
El problema se soluciona simplemente introduciendo otra partícula – esta partícula no debe haber carga eléctrica (principio de conservación de la carga) y debe ser poco masiva para se encargar de la mayor parte de la energía cinética
Enrico Fermi propuso el nombre neutrino (little neutral one) con símbolo ν e
Esta nueva partícula fue descubierta por James Chadwick en 1914 - de hecho durante el decaimiento beta la partícula es el ante-neutrino ν e
En 1956, el neutrino fue directamente observado
El neutrino es una partícula extremamente importante en Astronomía – cuando las estrellas masivas explotan en Supernova, del orden de 90-99% de la energía mecánica es emitido en forma de neutrino
Ej. La supernova SN1987 que exploto en los nubes de Magallanes emitió 58
10 neutrino con energía total 10 J46 , esto es 100 veces más energía que emitido por el Sol en
9 5 10× años
Choques inelásticos
En caso de choques no elásticos no hay conservación de la energía cinética – por lo tanto después de un choque inelástico siempre Kf <Ki ⇒ ∆ <K 0
La energía se transforma en calor, ruido (ondas sonoros) deformación mecánica o ligación moleculares
Un caso especial = cuando dos masas que choques se quedan juntas
Después ⇒vrAf =vrBf =vrf y aplicando la ley de conservación de cantidad de movimiento (29) m vA Ai+m vB Bi =(mA+m vB) f
r r r
Si el cuerpo B estaba en reposo inicialmente vrBi =0
(30) A f Ai A B m v v m m = + r r
Energía cinética inicial
(31) 1 2
2
i A Ai
K = m v
La energía cinética final (32)
(
)
(
)
2 2 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 A A A f A B f A B Ai A Ai i A B A B A B m m m K m m v m m v m v K m m m m m m = + = + = = + + + Es una fracción de la energía inicial
(33) f A
i A B
K m
K =m +m Se hace un trabajo igual
(34) A A
(
A B)
B 0 f i i i i i A B A B A B m m m m m K K K K K K K W m m m m m m − + ∆ = − = − = = − = < + + +Ejemplo El péndulo balístico
Una bala de masa m, es disparada contra un bloque de madera de masa M, que cuelga como un pénduloDespués del impacto el bloque oscila hasta una altura máxima y
La bala se incruste en el bloque
⇒choque inelástico
Aplicando la ley de conservación de la cantidad de movimiento
( ) ( ) m M mv m M V v V m + = + ⇒ =
La energía cinética final 1 2
2( )
f
K = m M V+
Durante la oscilación tenemos E= + =K U cte. y a la altura máxima todo la energía esta en forma potencial gravitacional
2 1 2(m M V) (m M gy) ⇒ + = + ⇒ =V 2gy v m M 2gy m + ⇒ = Midiendo m, M e y podemos determinar v
si m=0.00500kg, M =2.0kg, y=3.00cm=0.0300m 2 2.00kg 0.00500kg m m 2(9.8 ) 0.0300m 307 0.00500kg s s v + ⇒ = ⋅ = La velocidad 2 0.767m s V = gy =
Antes del impacto: 1 2
2 m 0.00500kg(307 ) 236J s bala K = =
Después del impacto: 1 2
2 m (2.005kg)(0.767 ) 0.589J s bala bloque K + = =
Centro de masa
Supongamos un sistema formado de N partículas de masa m con posición i
(
x y z i, i, i)
La masa inercial total del sistema1 N i i M m = =
∑
Pero para describir correctamente la inercia debemos considerar la distribución de masas en el sistema
El centro de masa del sistema es la posición media ponderada por la masa de cada partícula formando el sistema
(35)
(
, ,)
, , i i i i i i i i i cm cm cm m x m y m z x y z M M M = ∑
∑
∑
(36) i i i cm i i m r r m =∑
∑
r r Características del CM• En cuerpos sólidos que tienen distribución continua de materia, las sumas deben ser substituida por integrales
• Si un cuerpo homogéneo tiene centro geométrico el centro de masa esta en este centro
• Si un cuerpo homogéneo tiene un eje de simetría, el centro de masa esta sobre este eje
• A veces, el centro de masa puede se encontrar fuera del objeto (ej. en un dona, el centro de masa esta en el agujero)
Ejemplo para la molécula de agua Separación entre los átomos:
11
9.57 10 m
d = × −
Masa de H: 1µ=1.661 10× −27kg Masa de O:16µ
El modelo representa los átomos con punto porque la masa es concentrada en el núcleo (10−5
el radio del átomo) Para O: xO =yO =0 Para H: cos105 2 H x =d o e sen105 2 H y = ±d o El centro de masa:
(
1.0µ)
cos52.5(
1.0µ)
cos52.5 0 12 0.068 6.5 10 m 1.0µ 1.0µ 16.0µ cm d d x = + + = d= × − + + o o(
1.0µ)
sen52.5(
1.0µ)
sen52.5 0 0 1.0µ 1.0µ 16.0µ cm d d y = − + = + + o oEl centro de masa es cerca del átomo de O y sobre el eje de simetría ⇒ no esta afectado por rotación
Movimiento del centro de masa
Derivamos la expresión rr para obtener la velocidad del centro de masa cm
(37) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ... ... i i cm i cm dr m dr dt m v m v m v v dt M m m m + + + = = = + + +
∑
r r r r r rMultiplicando por la masa total
(38) prtotal =Mvrcm =m v1 1r +m v2 2r +m v3 3r +⋅⋅⋅ Esto es la cantidad de movimiento total del sistema
Si prtotal =Pr es constante: cm . P v cte M ⇒ = = r r
Acción de fuerzas externas sobre movimiento del centro de masa
La segunda ley de Newton
(39)
∑ ∑
Fr = Frext+∑
Frint= Marcm Por la tercera ley∑
Frint =0pero si∑
Frext ≠0 dP 0dt
⇒ ≠
r
⇒vrcm ≠cte
Y la acción de fuerza externa produce la aceleración cm cm dv a dt = r r (40) cm ext cm dv F Ma M dt = =
∑
r r rCuando actúan fuerzas externas sobre un cuerpo o una colección de partículas, el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera encontrada ahí y la fuerza neta sobre ella fuera la suma de las fuerzas externas sobre el sistema
Este principio legitima el modelo de partículas para cuerpo sólido en aplicar las leyes de Newton
Suponga que un cohete que sigue una trayectoria parabólica se separe en dos pisos de igual masa ⇒ el centro de masa continua a seguir la trayectoria original
En general, describimos el movimiento de cuerpos rígidos por la combinación del
movimiento de translación (centro de masa) y rotación (alrededor de un eje que pasa por el centro de masa)
Para el movimiento de translación podemos escribir:
(41) cm
(
)
cm c m dv d dP Ma M Mv dt dt dt = = = r r r r O sea (42) Fext dP dt =∑
r rEl principio de la propulsión a reacción
Segundo la tercera ley de Newton, un cohete es impulsado hacia delante por expulsión de gas por atrás è fuerza sobre el cohete = fuerza sobre el combustible
En principio se tiene conservación de la cantidad de movimiento, pero si la masa total del sistema cohete+gas no disminuye la masa del cohete si varia
Supongamos que al instante t , la masa del cohete es m
Consideramos un movimiento unidireccional ⇒ la velocidad es v y la cantidad de movimiento es Pi =mv
En un intervalo de tiempo finito dt la masa cambia de dm<0, esto porque se expulsa hacia atrás una cantidad de combustible −dm
• −vesc = la velocidad de escape del combustible relativa al cohete
• vcq = + −v
(
vesc)
= la velocidad del combustible quemado• −dm v⋅ cq = −dm v
(
−vesc)
= cantidad de movimientoAl termino del intervalo de tiempo dt , la velocidad del cohete es v+dv y su masa m+dm La cantidad de movimiento del cohete es por tanto:
(
m dm v dv+)(
+)
• Pf =
(
m dm v dv+)(
+) (
+ −dm v v)(
− esc)
= la cantidad de movimiento total delSegún el principio de la conservación de la cantidad de movimientoPi =Pf
(
)(
) (
)(
)
esc esc mv m dm v dv dm v v mv mdv vdm dmdv vdm v dm ⇒ = + + + − − = = + + + − + esc m dv dm v dm dv ⇒ ⋅ = − ⋅ − ⋅El segundo término es un producto de dos infinitesimal y por lo tanto es muy chico Quedamos solamente con 2 términos: mdv≈ −dm v⋅ esc
El principio de la propulsión a reacción:
(43) mdv vesc dm dt = − dt O en términos de fuerza: (44) F vesc dm dt = −
La fuerza es proporcional a la velocidad de escape y a la rapidez de expulsión de la masa
Des esto deducimos la aceleración: (8.38) dv vesc dm a dt m dt = = − Si vesc y dm
dt son constantes, la aceleración aumenta hasta agotarse la masa de combustible
Un cohete debe quemar su combustible rápidamente y expulsar lo a grande velocidad
Si vesc es constante podemos integrar mdv vescdm dt = − dt ⇒ esc dm dv v m = − 0 0 0 ' ' ' ' ' v m m esc esc v m m dm dm dv v v m m ⇒
∫
= −∫
= −∫
(45) 0 0 0 ln ln esc esc m m v v v v m m ⇒ − = − =El cociente 0 masa original
masa al agostarse m
m =
Este cociente debe ser el más grande posible para maximizar la ganancia de rapidezè en un cohete, la masa inicial es casi puro combustible
La rapidez final v>v0 si ln m0 1 m0 e 2.7
Ejemplo de la naveta espacial El cohete expulsa 1 120 de su masa en 1s , con m 2400 s esc v = 0 120 0 1s 120s m m dm dt ⇒ = − = − 0 2 0 0 m 2400 m s 20 120s s esc v dm m a m dt m = − = − − =
Nota que la respuesta no depende de m 0
Si la velocidad de escape es la misma, la aceleración será la misma para un cohete de
120000kg expulsando1000 kg de combustible, o un astronauta de 60 kg expulsando 0.5 kg de masa
A fin de proveer suficiente empuje hacia arriba para vencer la gravedad, los vehículos de lanzamiento pueden consumir más de 10000 kg/s e expulsar el combustible quemado a velocidades de más de 4000 m/s
