RELACIÓN DE ACTIVIDADES MATEMÁTICAS 4º ESO
TEMA 7: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Y TRIGONOMETRÍA Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:
1. Halla la incógnita en los siguientes triángulos rectángulos: a)
b)
c)
2. Halla las incógnitas de los siguientes triángulos: a)
c)
b)
3. Un triángulo rectángulo es semejante a otro cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm. Su hipotenusa vale 2,5 cm. Halla las medidas de sus catetos.
3 1 2 α 4 4 α 60º 3 x x 30º α 2 30º 10 x 45º 15 x 60º x 20 x
4. Indica, sin calcular su valor, el signo de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 179º b) 4 3π c) 342º d) 2 7π e) –18º f) 4 3π g) –120º h) 5 4π
5. Demuestra que tgx senx
x x= − ⋅
cos 1 cos
6. Determina la altura de un árbol se desde un punto situado a 20 m de su base se observa su copa con un ángulo de 65º 23’.
7. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 13 cm y 12 cm.
8. ¿Qué ángulo formarán los rayos del sol con el plano horizontal cuando la sombra de un edificio de 20 m de altura sea de 21,45 m?
9. Demuestra la ecuación fundamental de trigonometría.
10. Dado un triángulo rectángulo donde uno de sus ángulos agudos mide 36º 52’ 12” y su cateto contiguo mide 45 cm. Calcula el otro cateto.
11. Resuelve:
a) Pasa a radianes: 120º, 250º, 75º, 300º
b) Indica los siguientes radianes como número de vueltas y un ángulo menor de 2π : 15 14
3 y π π
12. Sabiendo que tanα =4, calcula sen α, cos α, tan(180+ α), sen(90º- α), sabiendo que α
está situada en el primer cuadrante.
13. Halla la altura a la que se encuentra el avión de la figura.
h
36º 36º
14. El ángulo de elevación del Sol es de 43º. ¿Cuál es la altura de un edificio que en ese instante proyecta una sombra de 50 metros?
15. Encuentra el ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal cuando un árbol de 15 m de alto proyecta una sombra de 12 m de largo.
16. Dos poblaciones, A y B, están situadas en una carretera que va del norte al sur. Otra población, C, a 10 kilómetros en línea recta de la carretera anterior, está situada a 20º al suroeste de A y a 30º al suroeste de B. ¿Qué distancia separa A de B?
17. Con un compás cuyos brazos miden 12 centímetros se traza una circunferencia de 5 centímetros de diámetro. Calcula el ángulo que forman sus brazos.
18. Calcula las razones trigonométricas de α, sabiendo que 12
13
senα = y que es del primer cuadrante.
19. Calcula el valor de las diagonales de un rombo cuyas diagonales miden 22 y 16 cm respectivamente.
20. Explica cuales son las razones trigonométricas de un ángulo agudo y cuál es su signo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
21. Resuelve:
a) Indica los siguientes grados como número de vueltas y un ángulo menor de 360º: 2000º, 450º, 560º, 320º
b) Pasa a grados los siguientes radianes 3π, 7 4
5 y 9
ππ π
22. Un triángulo tiene por lados 24 cm, 32 cm, y 40 cm. Halla las razones trigonométricas del ángulo mediano.
23. Tres amigas, Carmen, Cuca y Eva, alquilan una moto acuática en la playa de San Juan. Debido a que solamente pueden ir dos personas planean lo siguiente:
- De A a B, Carmen va nadando.
- De B a C nada Cuca.
- De C a A va nadando Eva
¿Podrías calcular cuál de las tres amigas ha realizado nadando un trayecto más largo? 24. El área del triángulo de la figura es igual a:
a) 32 cm2 b) 42 cm2 c) 20 cm2 70 m 80º 30º C B A h 8 cm 2 cm
25. La tangente de un ángulo α es igual a: a) α α sen cos b) α α cos sen c) α α cos sen −
26. Un ángulo que está en el segundo cuadrante tiene: a) El seno y el coseno positivos.
b) El seno negativo y el coseno positivo. c) El seno positivo y el coseno negativo.
27. El área del siguiente triángulo rectángulo es igual a: a) 7⋅ 30 cm2
b) 4'5⋅ 20 cm2
c) 7⋅ 25 cm2
28. La medida en radianes del ángulo a = 230º es igual a: a) π 8 23 radianes b) π 18 20 radianes c) π 18 23 radianes 29. El ángulo a = 780º tiene:
a) El seno positivo y el coseno negativo. b) El seno negativo y el coseno positivo. c) El seno y el coseno positivos.
30. Justifica si la siguiente igualdad es verdadera o falsa.
αα α α α tan tan 1 cos + = + sen sen
31. Un ángulo α está en el segundo cuadrante y el
2 1 = α
sen ; luego el coseno de α es igual a: a) 2 3 cosα= b) 2 3 cosα= − c) 4 3 cosα = h 4 cm 6 cm
32. Los ángulos α y β son complementarios. Si el
5 3 = α
sen , el sen α y el cos β son iguales a: a) 5 3 = β sen y 5 4 cosβ = b) 5 3 − = β sen y 5 4 cosβ = c) 5 4 = β sen y 5 3 cosβ =
33. En el triángulo rectángulo ABC de la figura se cumple: a) El ángulo A≈68º
b) El ángulo A≈62º
c) El ángulo A≈35º
34. Sabiendo que el cos 4 5
α= y que 270º<α<360º. Calcula el seno y la tangente de ese ángulo (hazlo usando las fórmulas trigonométricas)
35. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo cuya tangente sea el triple que su seno. 36. Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º
con la horizontal. Si nos acercamos a su base 75 m ese ángulo se transforma en 60º. Calcula la altura de la torre.
37. Explica las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios y complementarios
38. Sabiendo que 2
5
senα = calcular el sen(90º+α) y cos (180º+α)
39. Dado el siguiente triángulo ABC: Calcula la medida del lado AC
40. Explica el signo de las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
A
10 cm 4 cm
41. Sabiendo que cosα = −0.4 y que 90º<α<180º, calcula el valor de las restantes razones trigonométricas usando las fórmulas trigonométricas estudiadas.
42. Calcula el valor de los ángulos de un rombo cuyas diagonales son 14 y 30 cm, respectivamente. ¿Cuánto vale el lado del rombo?
43. Demostrar si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:
2 4 2 1 cos 1 tan x 1 tan α α = − −
44. Halla el radio de circunferencia sabiendo que una cuerda de 30 m de longitud y el arco de circunferencia más pequeño que genera dicha cuerda corresponde a un ángulo de 70º. 45. Escribe cuáles son las fórmulas que relacionan entre sí al seno, coseno y tangente de un
ángulo y además demuestra la igualdad fundamental
46. Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones desde dos puntos A y B, obteniendo como ángulos de elevación 30º y 45º, respectivamente. Sabiendo que entre A y B hay 30 m, halla la altura de la torre.
47. ¿ Es verdadera o falsa la siguiente igualdad trigonométrica?
cos cos 1 tan sen α α α α + = +
48. Resuelve las dos cuestiones siguientes.
a) Demuestra la igualdad fundamental de trigonometría
b) Desde un barco se divisan dos puntos de la costa A y B. Entre ambos puntos hay una distancia de 250 m y que si llamamos C al punto donde se encuentra el barco, los tres puntos forman un triángulo rectángulo. Si suponemos que los lados BA y BC son los catetos del triángulo y que el ángulo que forman los lados BA y AC es de 75º. ¿Cuál es la distancia del punto A al barco?
49. Un árbol está situado en la orilla de un rio. Un observador ubicado en la orilla opuesta y frente al árbol ve la copa de este con un ángulo de 40º. Si se aleja 20 m en dirección perpendicular a la orilla y vuelve a medir el ángulo este pasa a ser de 20º. Calcula a anchura del rio y la altura del árbol.
50. Sabiendo que 1
2
senα = − y que α está en el 4º cuadrante, calcula: c) Sen(90º+α)
d) Cos(180º+α)
e) Tan(90º−α)
51. ¿ Es verdadera o falsa la siguiente igualdad trigonométrica? cos 1 tan cos sen α α α α = − ⋅
52. Resuelve las dos cuestiones siguientes.
g)En un triángulo rectángulo el cateto mayor mide 45 cm y el ángulo menor es de 30º 52’ 12’’
¿Cuánto medirá el otro cateto?
h)Explica las razones trigonométricas entre ángulos complementarios y cual es el signo de las razones trigonométricas dependiendo del cuadrante en el que se encuentren. 53. La distancia entre dos edificios es de 60 m. Desde la azotea del más bajo, cuya altura es de
40 m, se observa la parte más alta del otro edificio con un ángulo de 30º.¿Cuál es la altura del edificio más alto?
54. ¿ Es verdadera o falsa la siguiente igualdad trigonométrica?
2
2 4
cos tan (1 tan )
1 2 1 tan sen sen α α α α α α ⋅ = ⋅ + − −
55. Resuelve las dos cuestiones siguientes.
i) Encuentra un ángulo que estando en el tercer cuadrante cumpla que su seno es el triple que el coseno.
j) Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 m tiene como arco correspondiente un ángulo de 70º
