Simulación Monte Carlo para el juego Siete y medio

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Benjamin Moreno Montiel

*

, John Goddard Close y Sergio G. de los Cobos Silva

Departamento de Ingenier´ıa El´

ectrica,

UAM–I

Recibido: 11 de noviembre de 2008 Aceptado: 18 de noviembre de 2008 Resumen

En este art´ıculo se presentan los resultados obtenidos mediante la simulaci´on estad´ıstica, o m´etodo Monte Carlo, aplicado al popular juego de cartas llamado “Siete y Medio” usando dos diferentes estrategias. Se exhiben los comportamientos de cada una de las dos estrategias a trav´es de un n´umero determinado de repeticiones del m´etodo Monte Carlo. En particular, se comparan dos variantes del juego, en que la casa puede tener o no medio punto inicial.

Abstract

In this paper, statistical simulation, or the Monte Carlo method, is applied to the popular card game called “Seven and a half” using two different stra-tegies, and the ensuing results are presented. The behavior observed for each of the strategies for a de-termined number of repetitions of the Monte Carlo method is shown. In particular, a variation of the ga-me, in which the dealer initially begins with a half point, is considered.

Palabras Clave: M´etodo Monte Carlo, Baraja Es-pa˜nola, Siete y medio, Probabilidad condicional. Introducci´on

Hoy en d´ıa, el ´area de la simulaci´on es muy impor-tante para modelar problemas y situaciones de la vi-da real por medio de una computadora. Hay nume-rosos ejemplos como son desde la simulaci´on de co-las en supermercados y consultorios m´edicos hasta la fijaci´on de precio para derivados financieros. La si-mulaci´on es especialmente apropiada cuando no se puede resolver el problema anal´ıticamente [Dagpu-nar, 2007].

Usualmente por simulaci´on estad´ıstica entendemos un experimento controlado, normalmente realizado

*opelo1209@yahoo.com

en una computadora, utilizando n´umeros aleatorios. En este contexto, ha surgido el nombre m´etodo Mon-te Carlo, que con frecuencia est´a utilizado de ma-nera intercambiable con simulaci´on estad´ıstica en la literatura.

Los or´ıgenes del m´etodo Monte Carlo se remon-tan al a˜no de 1946, donde, mientras Stan Ulam se encontraba en su casa enfermo, empez´o a desarro-llar este m´etodo jugando Solitario [Eckhardt, 1987]. Ulam quer´ıa saber con que probabilidad se comple-taba un juego de Solitario dada una combinaci´on de cartas iniciales. Descubri´o que era extremadamen-te complicado encontrar la probabilidad exacta, y tuvo la idea de obtener un estimado de la probabili-dad mediante un m´etodo sumamente pr´actico: rea-lizar el juego cien veces y contar el n´umero de ´exi-tos. R´apidamente se imagino la posibilidad de apli-car este m´etodo a situaciones complejas, como en la f´ısica matem´atica, y Ulam le platic´o de este m´eto-do a John von Neumann, con quien estaba trabajan-do en el proyecto Manhattan. Von Neumann enten-di´o la relevancia del m´etodo para atacar problemas termo-nucleares relacionados con el proyecto Man-hattan [Metropolis, 1987], y la posibilidad pr´actica de llevarlos acabo con la reci´en desarrollada compu-tadora de la Universidad de Pennsylvania, ENIAC (un acr´onimo ingl´es de Electronic Numerical Inte-grator And Computer).

En nuestro caso, adaptaremos este m´etodo para si-mular un juego de cartas muy popular llamado Sie-te y medio. En particular, utilizamos dos estraSie-te- estrate-gias, que llamaremos Estrategia de las probabilida-des y Estrategia del valor objetivo. En la Secci´on 2, el juego de Siete y medio usado en el articulo es ex-plicado, as´ı como las dos estrategias empleadas. En una variante del juego de Siete y medio, se otor-ga un medio punto inicial a la casa. Se revisar´a si es-to tiene impaces-to o no. Los resultados obtenidos me-13

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diante repeticiones del m´etodo Monte Carlo, se mos-trar´an en la Secci´on 3.

Generalidades del Siete y medio

La primera aparici´on de baraja que se reporta en la literatura tuvo lugar en China por el siglo XII [MEPSYD, 2002], el dise˜no de estas cartas se hac´ıan sobre madera.

Posteriormente tuvo su aparici´on durante el siglo XIV en pa´ıses europeos como Suiza, Italia, B´elgi-ca, Francia y Espa˜na, donde se le daba un uso co-mo cartas tarot, para poder predecir eventos del fu-turo seg´un los ocultistas de esa ´epoca.

La baraja espa˜nola tiene cuatro grupos de cartas los cuales son llamados palos, estos son los Oros, las Co-pas, las Espadas y los Bastos, que se corresponden con los diamantes, corazones, picas y tr´eboles de las barajas francesa e inglesa, y con los cascabeles, co-razones, hojas y bellotas de la alemana. En la Fi-gura 1 se muestran las fiFi-guras de cada uno de estos palos.

Para este trabajo utilizaremos un mazo de bara-jas espa˜nolas, con un total de 40 cartas: 1 As, 6 cartas numeradas de 2 al 7 y 3 cartas de figura, un Rey, un Caballero usualmente llamado Caba-llo y una Dama que se le llama Sota, de cada palo.

Por el siglo XVII el juego de Siete y medio tu-vo su inicio en Italia, donde se jugaba con car-tas que ten´ıan inscritos los valores de 7, 8 y 9, adicionalmente se contaba con cartas con figuras. Las cartas con inscripci´on 7, 8 y 9 val´ıan un pun-to y las cartas de figura val´ıan medio punpun-to, en-tonces los jugadores trataban de obtener un acu-mulado de puntos lo m´as cercano a 7.5, si alg´un jugador llegaba a pasarse de 7.5 puntos, perd´ıa autom´aticamente.

Normalmente, y que consideraremos en este trabajo, los valores de cada carta para el juego de Siete y medio, son:

Cada As vale 1 punto.

Cartas numeradas del 2 al 7 tiene su valor co-rrespondiente.

Las cartas de figura valen medio punto. El objetivo del juego es juntar, con un determinado n´umero de cartas, la cantidad de puntos que sea igual

o lo m´as cercano posible a 7.5, sin pasarse. Es por esto que se estar´an pidiendo cartas hasta lograr este objetivo. Existen dos formas de iniciar los puntos de la casa, la primera es dando medio punto inicial a la casa, la segunda forma es que tanto la casa como el jugador empiecen con cero puntos al inicio. Se pueden considerar dos casos para el reparto de las cartas: Repartici´on continua y Repartici´on primero al jugador. A continuaci´on se describen.

Repartici´on continua:

1. Dependiendo cual forma de inicalizar los pun-tos de la casa, la casa empieza repartiendo una carta boca abajo(sin que se vea el valor o la figura de la carta) al jugador. Despu´es la ca-sa tambi´en se eparte una carta de la misma forma.

2. El jugador revisar su carta y decidir´a pedir o no una carta, seg´un sea la estrategia de juego que est´e ocupando. Si se pide una carta m´as, el juga-dor tiene la opci´on de pedir una carta boca aba-jo ´o boca arriba (que se vea el valor o la figu-ra de la carta), esto es, si la primer carta est´a bo-ca abajo y el jugador la mantiene de esta for-ma, la pr´oxima carta que reciba va a ser boca arriba, para poder recibir una carta boca aba-jo el jugador necesita destapar las cartas que a recibido.

De la misma forma la casa se reparte o no una carta m´as, seg´un la estrategia, o lo cerca que se encuentre del objetivo.

Este paso se realiza hasta que los dos deciden asegurar su juego, usualmente llamado plantar-se, o cuando la casa, o el jugador se pasan del 7.5, ya que est´an obligados a informar que se han pasado del valor 7.5.

3. Si se llega hasta este paso, quiere decir que el juego sigue ya que tanto la casa, como el jugador no se pasaron del 7.5. Es aqu´ı donde se revisan los punto de ambos y se decide quien gana, los tres posibles escenarios que pueden presentarse se describen a continuaci´on:

El jugador tiene un puntaje menor que el de la casa, y el puntaje de la casa es menor o igual a 7.5, entonces la victoria es para la casa.

El jugador tiene un puntaje mayor al de la casa, y el puntaje del jugador es menor o igual a 7.5, entonces la victoria es para el jugador.

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Figura 1. Palos de la Baraja Espa˜nola.

El puntaje de la casa es igual que el del jugador, la victoria se le da a la casa. En este trabajo no se entrar´a a detalle con la forma en que se apuesta, ya que nuestro objetivo es ver con que frecuencia se gana o pierde dependiendo de las estrategias de juego planteadas.

Repartici´on primero al jugador

1. Dependiendo cual forma de inicializar los pun-tos de la casa, se empieza repartiendo cartas al jugador, hasta que ´este decida plantarse ´o se pa-se del 7.5, en donde est´a obligado a informar-le a la casa de este suceso, por lo que la victo-ria ser´a para la casa.

En el caso que el jugador pidiera otra carta, tiene la opci´on de pedirla boca abajo ´o boca arriba como se describi´o en el paso 2 de la forma de juego Repartici´on continua.

2. Una vez que el jugador se planta, comienza la re-partici´on de cartas de la casa, entonces, la ca-sa se dar´ıa a s´ı mismo cartas boca arriba, es-to porque ya se termin´o de dar las cartas al juga-dor por lo que, no servir´ıa de nada d´arselas bo-ca abajo ya que la bo-casa es la ´ultima en ser repar-tida, esto se realiza, si el n´umero de jugadores se incrementa, ya que, siempre el ´ultimo en re-cibir cartas es la casa. De la misma forma que se le exige al jugador informar cuando se ha-ya pasado de 7.5, la casa est´a obligada a decir-le al jugador el momento en el cual se haya

pasa-do, si ´este es el caso, al jugador se le dar´a la vic-toria.

3. Si se llega hasta este paso, quiere decir que el juego sigue, ya que tanto la casa como el jugador no se pasaron del 7.5. Los escenarios en los que puede terminar el juego son los mismos descritos en el paso 3 de la forma de jugar Repartici´on continua.

Estrategias de juego

Se consideraron dos estrategias de juego para simular las acciones que se deben de tomar en el desarrollo del juego Repartici´on primero al jugador.

La primera estrategia se desarroll´o haciendo simili-tud con las reglas a las que se somete la casa en una partida de Blackjack [Zirbel, 2007], para este caso la casa tiene que seguir un puntaje objetivo, en este ca-so sabemos que Blackjack tiene por objetivo juntar el puntaje m´as cercano a 21, por ello el puntaje ob-jetivo para la casa es 17, si se llega a tener un pun-taje acumulado ≥ 17 ´esta se planta. Algo similar va-mos a considerar en Siete y medio s´olo que este pun-taje objetivo va a ser 5.5, esta regla de decisi´on pue-de pue-describirse pue-de la siguiente forma:

f1(mp) = ( S si (mp ≤5.5) P en otro caso donde: mp = Mis puntos.

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S = Seguir pidiendo m´as cartas. P = Plantarse.

La justificaci´on del porqu´e escoger 5.5 como valor ob-jetivo, tiene que ver con las probabilidades de per-der o ganar si se decide plantarse. Calculemos la pro-babilidad aproximada de perder si nos decidimos pa-rarnos en el valor objetivo propuesto, en este ca-so ser´ıa 5.5, las cartas que har´ıan que nos pasara-mos son 3, 4, 5, 6 ´o 7, por lo que la probabilidad apro-ximada ser´ıa: PPasarse5 .5 = P (3) + P (4) + P (5) + P (6) + P (7) = 20 40 = 50 % En este caso tenemos las mismas posibilidades de ga-nar que de perder, este es un buen valor objetivo ya que las probabilidades son parejas, tanto para el ju-gador como para la casa. Se puede ver que en cual-quier otro caso para el puntaje, se tiene desventa-ja, ya sea para el jugador o para la casa.

La segunda estrategia que llamaremos Estrategia de las probabilidades, utiliza dos probabilidades, la pro-babilidad de ganar sin pedir m´as cartas denotada por Pg y la probabilidad de pasarse si se pide otra

car-ta denocar-tada por Pp. Esta regla de decisi´on fue

pro-puesta en [Perea, Puerto y Lagares, 2001] y est´a dada por: f1(Pg, Pp) =      P si {(Pg≥ 0.7) ∨ ((Pg ∈ [0.1, 0.7)) ∧ (Pp≥ 0.55)) S en otro caso donde:

Pg = Probabilidad de ganar si no se pide otro

carta.

Pp= Probabilidad de perder si se pide otra

car-ta.

S = Seguir pidiendo m´as cartas.

P = Plantarse con las cartas ya acumuladas.

El objetivo de esta estrategia es usar la noci´on de probabilidad condicional para calcular Pgy Pp, esta

se f´ormula de la siguiente forma: Sean X y Y dos sucesos, en donde se cumple que P (Y ) > 0, la cual es la probabilidad de que ocurra el suceso X dado que ya ocurri´o el suceso Y, esto se calcula mediante una probabilidad condicional de la siguiente forma:

P (X|Y ) =P (X ∩ Y ) P (Y )

Ejemplo de una mano con la Estrategia de las probabilidades

Para saber como utilizamos la probabilidad a priori y la probabilidad condicional, vamos a plantear un ejemplo de una mano de siete y medio, en donde no utilizamo el medio punto inicial para la banca. Supongamos que se juega una mano, en donde no-sotros somos la casa y estamos contra un solo opo-nente. Seg´un la forma de Repartici´on primero al ju-gador, repartimos cartas a nuestro oponente hasta que ´este decide plantarse o se pasa de 7.5. Ponga-mos el caso en el que ´este jugador pidi´o cinco cartas, con valores de, Sota de Oros, 2 de Bastos, Rey de Es-padas, Caballo de Bastos y decidi´o plantarse cuan-do recibi´o la quinta carta que est´a boca abajo, visual-mente nosotros ver´ıamos la secuencia de cartas co-mo se muestra en la Figura 2.

La probabilidad Pg y Pp depende de la

car-ta que est´a oculta, ya que no sabemos real-mente cu´al es la puntuaci´on de nuestro oponen-te, sabemos que tiene acumulado 3.5 puntos pe-ro eso no es suficiente, por lo que debemos, ver cua-les son los posibcua-les valores para la carta ocul-ta la cu´al denotaremos por X.

Podemos asegurar que la quinta carta es ≤ 4, no pue-de ser una carta mayor ya que el oponente se hubie-ra pasado y nos tendr´ıa que haber informado, las car-tas ≤ 4 son una carta de figura que vale medio pun-to, un As que vale un 1, un 2, un 3 y un 4. Sabe-mos tambi´en que la carta X puede ser alguna de las 35 que faltan, entonces podemos definir los siguien-tes eventos aleatorios:

El evento A : La carta X puede ser una figura, un As, un 2, un 3 ´o un 4

El evento B1: La carta X es una carta de figura.

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Figura 2. Secuencia de cartas para el oponente.

El evento B3: La carta X es un 2

El evento B4: La carta X es un 3

El evento B5: La carta X es un 4

Calculemos las probabilidades de que sucedan los eventos Bi ∀ i = 1, 2, 3, 4, 5 mediante la regla de

La-place de la siguiente forma:

P (B1) =

n´umero de cartas figura restantes n´umero de cartas en la baraja =

9 35 , P (B2) =

n´umero de As restantes n´umero de cartas en la baraja =

4 36, P (B3) =

n´umero de 2 restantes n´umero de cartas en la baraja =

3 36, P (B4) = n´umero de 3 restantes

n´umero de cartas en la baraja = 4 36, P (B5) = n´umero de 4 restantes

n´umero de cartas en la baraja = 4 36. Para calcular el evento A, debemos considerar las probabilidades de los eventos Bi ∀ i = 1, 2, 3, 4, 5,

por lo que la f´ormula para hacerlo ser´ıa:

P (A) = P (B1) + P (B2) + P (B3) + P (B4) + P (B5)

= 9 + 4 + 3 + 4 + 4

36 =

24 36

Ahora calcularemos cu´al es la probabilidad condicio-nal de que, dado que ocurri´o un evento A, cu´al es la probabilidad de que sea de Bi ∀ i = 1, 2, 3, 4, 5, esta

probabilidad es la condicional de la forma P (Bi|A),

la cual se calcular´ıa para cada evento Bi de la

si-guiente forma: P (B1|A) =

P (B1∩ A)

P (A) =B1⊂A⇒P(B1∩A)=P (B1)

= P (B1) P (A) = 9 36 24 36 = 9 24, P (B2|A) = P (B2) P (A) = 4 36 24 36 = 4 24, P (B3|A) = P (B3) P (A) = 3 36 24 36 = 3 24, P (B4|A) = P (B4) P (A) = 4 36 24 36 = 4 24, P (B5|A) = P (B4) P (A) = 4 36 24 36 = 4 24.

Cada probabilidad condicional que obtuvimos nos dice, qu´e tan probable es que la carta X sea uno de los cinco valores (Figura, As, 2, 3 y 4), por lo que averiguamos lo siguiente:

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 4 es 9

24

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 4.5 es 244

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 5.5 es 3

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La probabilidad de que nuestro oponente tenga 6.5 es 244

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 7.5 es 244

Supongamos que nuestra primera carta es 4 de Bas-tos, la probabilidad de ganar sin pedir m´as cartas Pg es distinto de cero ya que con ese puntaje

po-demos ganarle a nuestro oponente, por lo que, te-nemos que calcular en este momento, la probabili-dad de ganar sin pedir ninguna carta m´as, la cual he-mos llamado Pg de la siguiente forma:

Pg= P (X = f igura) =

9

24= 0.375

Como el valor de Pges = 0.375 nuestra regla de

de-cisi´on nos dice que debemos ahora calcular Pp,

pa-ra esto debemos de ver el evento Z, que es la si-tuaci´on en la que la carta que recibi´eramos si pe-dimos un carta m´as perder´ıamos, las posibles car-tas son un 5, un 6 y un 7, por lo que la probabili-dad de perder, si pedimos una carta m´as es:

Pp = P (Z = 5 ∨ Z = 6 ∨ Z = 7)

= P (Z = 5) + P (Z = 6) + P (Z = 7) = 12

36 = 0.33

Se cumple que, Pg est´a entre [0.01 y 0.7] pero Pp <

0.55, nuestra regla de decisi´on nos dice que tenemos que pedir una carta m´as.

La segunda carta que recibimos es un 3 de Espa-das, tenemos un acumulado de 7, tenemos ahora que actualizar los valores de las probabilidades a prio-ri y las condicionales, ya que han salido dos cartas m´as, y esto modifica los valores que anteriormen-te calculamos, por lo que, las probabilidades que-dar´ıan de la siguiente forma:

P (B1) = 9 34, P (B2) = 4 34, P (B3) = 3 34, P (B4) = 3 34, P (B5) = 3 34. P (A) = 24 34 P (B1|A) = 9 22, P (B2|A) = 4 22, P (B3|A) = 3 22, P (B4|A) = 3 22, P (B5|A) = 3 22.

Cada probabilidad condicional que obtuvimos nos dice qu´e tan probable es que la carta X sea uno de los cinco valores (Figura, As, 2, 3 y 4), por lo que, averiguamos lo siguiente:

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 4 es 9

22

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 4.5 es 224

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 5.5 es 3

22

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 6.5 es 223

La probabilidad de que nuestro oponente tenga 7.5 es 3

22

En este caso tenemos m´as posibilidades de ganar sin pedir m´as cartas, ya que le ganar´ıamos a nuestro oponente si ´el tiene un carta de figura, un As, un 2 ´

o un 3, por lo que, la probabilidad de ganar sin pedir m´as cartas Pg tendr´ıa el siguiente valor:

Pg = P (X = 1/2 ∨ X = 1 ∨ X = 2 ∨ X = 3)

= P (X = 1/2) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) =19

22 = 0.86

Seg´un nuestra regla de decisi´on Pg≥ 0.7, por lo que,

nos plantar´ıamos con ese puntaje esperando ganar en 86 %. Vemos la carta de nuestro oponente y en efecto, la cata que conservaba era un 3 de Bastos y su puntaje no era el suficiente para vencernos, por lo que, para ´este caso, nuestra regla de decisi´on nos llev´o a la victoria. En la Figura 3 podemos ver la secuencia de ete ejemplo:

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Figura 3. Ejemplo de una mano con laEstrategia de las probabilidades.

Simulaci´on y Resultados obtenidos

Se realizar´on simulaci´ones Monte Carlo para po-der obtener las probabilidades de ganar para la ca-sa cuando ocupa tanto la Estrategia de las probabi-lidades como la Estrategia del valor objetivo, y pa-ra el jugador que siempre ocupa la Estpa-rategia del va-lor objetivo.

Para poder obtener una buena aproximaci´on de las victorias que la casa o el jugador puedan obtener, se necesita realizar un n´umero considerable de parti-das para poder sacar el valor de estas probabilidades. Se modific´o un programa libre encontrado en la pa-gina http://elvex.ugr.es/index.html, y se adapt´o a la forma de jugar Repartici´on primero al jugador e in-cluyeron las dos estrategias respecto a la forma en que se inician los puntos de la casa, por un lado, la casa empieza con 0 puntos la partida, y la otra for-ma, es darle un medio punto de ventaja a la ca-sa una vez que se empieza una partida. Se realiza-ron varias corridas de este programa para poder ob-tener las probabilidades de victoria del jugador y de la casa, y de esta manera obtener una Simula-ci´on Monte Carlo, se utilizar´a la siguiente notaci´on:

1. PCM = Partida con medio punto inicial para la casa.

2. PSM = Partida sin medio punto inicial para la casa.

3. CEP = La casa juega usando la Estrategia de las probabilidades.

4. CEVO = La casa juega usando la Estrategia de Valor Objetivo.

5. JEVO = El jugador juega usando Estrategia de Valor Objetivo.

A continuaci´on mostramos las gr´aficas de los resul-tados para las diferentes formas de jugar.

Simulaciones Monte Carlo.

Se realizaron 10 corridas de 5000 partidas cada una, para poder predecir cu´al es la probabilidad de ga-nar para la casa y el jugador. Las veces que gan´o y perdi´o la casa y el jugador, se muestran en la Figu-ras 4, 5, 6 y 7.

Estudio Estad´ıstico

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pa-20 ContactoS 70, 13–22 (2008)

Figura 4. Gr´afica de la simulaci´on paraPSM(CEP-JEVO).

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Figura 6. Gr´afica de la simulaci´on paraPSM(CEVO-JEVO).

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22 ContactoS 70, 13–22 (2008)

ra conocer el comportamiento de los resultados ob-tenidos. Las pruebas se realizaron sobre los valo-res promedio de juegos ganados, tanto de la ca-sa como del jugador, para las diverca-sas combinacio-nes, considerando las dos estrategias de las casa co-mo si ten´ıa ´o no medio punto inicial. Estas prue-bas sobre las medias se realizaron bajo los supues-tos usuales y un nivel de significancia de α del 10 %, obteni´endose las conclusiones dadas en la siguiente secci´on.

Conclusiones y observaciones

Dada la evidencia muestral, se puede concluir que la casa tiene ventaja al jugar con la Estra-tegia de probabilidades.

En el caso de que tanto la casa como el jugador utilicen la Estrategia de valor objetivo, no existe diferencia significativa en el n´umero promedio de juegos ganados por cada uno de ellos. Tambi´en la evidencia muestral indica que no existe una diferencia significativa para la casa en el promedio de juegos ganados cuando em-pieza con cero puntos o con medio punto, inde-pendientemente de la estrategia que utilice. Es interesante notar que el n´umero promedio de juegos ganados por el jugador, es mayor en el caso de que tanto la casa como el jugador utilicen la Estrategia de valor objetivo.

Existen diferentes variaciones de las reglas del juego en el que inicialmente a cada uno de los ju-gadores se les reparte dos cartas y no solamente una carta como se describi´o en la forma de Re-partici´on continua.

El juego del Siete y medio, es un juego que no se en-cuentra en muchos casinos ya que las ganancias pa-ra la casa son muy pocas. Como se vio en los re-sultados que se realizaron con la simulaci´on Mon-te Carlo, la casa tiene una probabilidad de ganar ma-yor del 50 % cuando juega con la estrategia de proba-bilidades, aunque ´esta es alta, no es lo suficiente pa-ra ponerlo como un juego de casino ya que, la ganan-cia de la casa ser´ıa muy pobre. Pero es muy diverti-do y se puede practicar este juego en una reuni´on fa-miliar o de amigos en donde podemos poner a prue-ba las diferentes estrategias, en particular si utiliza-mos la Estrategia de las probabilidades, necesitare-mos una calculadora o computadora para poder lle-var a cabo los c´alculos de las probabilidades ya que,

como pudimos apreciar, ´estos son dif´ıciles a´un cuan-do se trata de un solo jugacuan-dor, y si pensamos en m´as jugadores los c´alculos se incrementar´ıan, por ello la necesidad de alguna herramienta que nos facilite es-ta es-tarea.

Bibliograf´ıa

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