UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CALCULO INTEGRAL GUÍA 12. SUCESIONES Y SERIES
TIEMPO DE DURACIÓN 6 HORAS
2 TUTORÍAS OBJETIVO :
Con el desarrollo de esta guía el estudiante estará en capacidad de construir sucesiones y calcular su e-nésimo término, mediante la aplicación de técnicas y cálculo de límites de la misma, al mismo tiempo podrá realizar predicciones del comportamiento de la sucesión en determinado término o punto.
PRESENTACIÓN PRESENTACIÓN
En esta guía desarrollaremos una estupenda fórmula que nos permitirá expresar muchas funciones en términos de "polinomios infinitos" y, al mismo tiempo, nos indicará la magnitud del error en que podemos incurrir si los truncamos para hacerlos finitos. Además de proporcionar aproximaciones polinomiales eficaces de funciones diferenciables, estos polinomios infinitos (llamados series de potencias) tienen muchos otros usos. Son un medio eficaz para calcular integrales no elementales y resolver ecuaciones diferenciales que nos permiten entender el flujo de calor, la vibración, la difusión química y la transmisión de señales. Lo aprenderás aquí te preparará para ver los papeles que enseñan las series de funciones de todo tipo en ciencias y en matemáticas. En sentido informal, sucesión es una lista ordenada de cosas, aunque en esta guía esas cosas serán invariablemente números. Ya hemos visto sucesiones, como la sucesión que corresponde a los números generados por el método de Newton, y la sucesión de los poligonos que definen el copo de nieve de Helga von Koch. Estas sucesiones tienen límites pero muchas otras igualmente importantes no las tienen.
CONTENIDOS.
Los contenidos se encuentran en la página http://hbuitragor.googlepages.com . Usted debe estudiar los contenidos sugeridos tal como se indica a continuación. Haga uso también del texto.
1a. SESIÓN: SUCESIONES.
ACTIVIDADES EXTRATUTORIALES
Las actividades extratutoriales se deben entender como aquella propuesta que el docente hace al estudiante para determinar su nivel de conocimientos.
1a. SESIÓN: SUCESIONES
RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 1. ¿Qué son las aproximaciones polinomiales? 2. ¿Qué son sucesiones?
3. ¿Qué son series?
4. ¿Cuáles son las series infinitas de términos constantes? 5. ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos?
6. ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos y negativos? 7. ¿que son los criterios de convergencia y divergencia de series infinitas? 8. ¿Qué son las series de potencias?
9. ¿Qué son las series de Taylor?
10. ¿Cuáles son las series de potencias para logaritmos naturales?
1. Encontrar el término general para la sucesión cuyos primeros términos son:
a) ,... 7 1 , 6 , 5 1 , 4 , 3 1 , 2 , 1 b) ,... 2 2 , 1 , 2 2 , 0 , 2 2 , 1 , 2 2 − − c) ,... 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 − −
2. Para cada una de las siguientes sucesiones determine si converge o diverge; muestre el método utilizado.
a) ∞ = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − n n n n 0 2 ,... 6 , 4 , 2 1 2 . ,... 4 , 3 , 2 , 1 b) n n n a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 10 9 ) 1 ( c) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ! 1 sen n an d) n n n Ln a = (1+1) e)
( )
( )
! 2 !2 n n an = f) n n n n n n n a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 12a. SESIÓN: SERIES
1. Calcule las siguientes sumas, si es que existen. Si no existen justifique por qué.
2. Use la serie geométrica para demostrar que los siguientes números decimales infinitos periódicos son racionales:
3. Use el criterio de la integral para determinar que las siguientes series convergen.
4. Use el criterio de comparación para demostrar que las siguientes series convergen.
5. Use el criterio de comparación al límite para demostrar que las siguientes series convergen.
EVALUACIÓN
En la evaluación se proponen ejercicios para determinar el nivel de conocimientos adquiridos por el estudiante. Esta evaluación debe entregarse indefectiblemente en la siguiente tutoría
Selección Múltiple
1. Hallar el siguiente límite n. n lim(0.5) ∞ → a) 1 b) ∞ c) 1/2 d) 2 e) 0
2. Determine si las siguientes series son geométricas y si lo son calcule su suma. a) ... 100 37 ... ... 0037 . 0 37 . 0 + + + n +
b) ... 3 .... ... 3 1 1 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − n e e c)
∑
∞ = − − 1 1 3 2 n n n d)∑
( )
∞ = − − − 1 1 4 5 n n n e)∑
( )
∞ = − 1 1 2 n n Selección Múltiple 3. Consideremos la serie∑
∞ = + − 0 3 2 1 n n n, se puede afirmar que: a) Converge a 3/2.
b) Converge a -9/2. c) Converge a 2/3. d) Diverge a +∞. e) Diverge a -∞.
4. Determine la convergencia o divergencia de las siguientes series: a)
∑
∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 2 / 1 1 sen n n b)∑
∞ = + + 1 2 / 1 ) / 1 ( n n n n n n c)∑
∞ = − − 1 1 1 n n e n d)∑
∞ =1 ( +1) n Ln n n e)∑
∞ = > 1 0 , sen n r nx r f)∑
∞ =1( )1/2 1 n Lnn g)∑
∞ =122 ! n n n h)∑
∞ = + 1 6 3 2 n n n n 5. (Selección múltiple). Dada la serie∑
∞ = + + 1 2 1 2 3 n n n n , al examinar el n, donde a n a lim ∞ → n es la sucesión que genera la serie, se concluye que:b) La serie converge y su suma es 1/2. c) La serie diverge.
d) La serie converge. BIBLIOGRAFÍA
Cálculo. THOMAS/FINNEY, Addison Wesley Longman, Novena Edición
Cálculo con Geometría Analítica. EARL W. SWOKOWSKI, Grupo Editorial Iberoamérica, Segunda Edición.
Cálculo. Louis Leithold Dirección Internet:
