Elementos aleatorios sobre espacios funcionales.

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL

ECUADOR

FACULTAD DE INGENIER´IA, CIENCIAS F´ISICAS Y

MATEM ´

ATICA

CARRERA DE INGENIER´IA MATEM ´

ATICA.

ELEMENTOS ALEATORIOS SOBRE ESPACIOS

FUNCIONALES.

TRABAJO DE GRADUACI ´ON PREVIO A LA OBTENCI ´ON DEL T´ITULO DE INGEN´IERO MATEM ´ATICO.

AUTOR: OCHOA OCHOA ELENA PILAR TUTOR: MAT. GARC´IA NAVAS JUAN CARLOS MSc.

QUITO-ECUADOR 2014

DEDICATORIA

Esta tesis se la dedico a Dios qui´en supo guiarme por el buen camino, darme fuerzas para seguir adelante y no desmayar en los problemas que se presentaban. A mis padres Agust´ın y Mar´ıa, por su apoyo permanente e incondicional y a sus consejos que me han ayudado a seguir adelante.

A mis hermanos Ernesto, Susana y Estefania, por su ayuda y compa ˜n´ıa y por los momentos de alegr´ıa.

AGRADECIMIENTOS

A la Facultad de Ingenier´ıa, Ciencias F´ısicas y Matem´atica que me abri ´o sus puer-tas al conocimiento para mi crecimiento profesional.

A mis padres y hermanos, por su apoyo incondicional en la elaboraci ´on del pre-sente trabajo, econ ´omica y moralmente.

Un especial agradecimiento a mi Director de Tesis, Mat. Juan Carlos Garc´ıa MSc. que ha guiado el desarrollo de mi proyecto de tesis durante este tiempo, sobre todo por sus consejos y amistad.

CONTENIDO

DEDICATORIA ii

AGRADECIMIENTOS iii

AUTORIZACION INTELECTUAL iv

CERTIFICADO DEL TUTOR v

INFORME DE APROBACI ´ON DEL TUTOR vi

INFORME DE APROBACI ´ON DEL TRIBUNAL vii

CONTENIDO ix

LISTAS DE FIGURAS xiii

ABSTRACT xv

CERTIFICADO DEL TRADUCTOR xvi

Introducci ´on 1

1. Presentaci ´on del Problema 4

1.1. Planteamiento del Problema . . . 4

1.2. Objetivos de la Investigaci ´on . . . 5

1.2.1. Objetivo General . . . 5

1.2.2. Objetivos Espec´ıficos . . . 5

1.3. Justificaci ´on . . . 6

2. Fundamentos Matem´aticos 7 2.1. Algunas Herramientas Matem´aticas B´asicas . . . 7

2.2. Base Te ´orica . . . 14

2.2.1. Espacios de Banach. . . 14

2.2.2. EspaciosLp _{. . . . 18}

2.2.3. Espacios de Hilbert . . . 20

3. Elementos Aleatorios en Espacios M´etricos Separables 26

3.1. Definici ´on de Elemento Aleatorio . . . 26

3.2. Propiedades b´asicas de los elementos aleatorios . . . 27

4. Elementos aleatorios en espacios normados 31 4.1. Elemento aleatorio . . . 31

4.2. Distribuci ´on de probabilidad e independencia . . . 37

4.3. Valor esperado o Esperanza de un elemento aleatorio . . . 43

4.4. Varianza de un elemento aleatorio . . . 44

4.5. Propiedades de la Esperanza de un elemento aleatorio . . . 44

4.6. Covarianza de un elemento aleatorio . . . 46

5. An´alisis de Datos Funcionales 49 5.1. Definici ´on de la variable y dato funcional . . . 51

5.2. Representaci ´on del dato funcional . . . 52

5.3. Estad´ısticos descriptivos en el an´alisis funcional de datos . . . 59

5.3.1. Estad´ısticos sobre una funci ´on . . . 59

5.3.2. Estad´ısticos de muestras de una funci ´on aleatoria . . . 61

CONCLUSI ´ON Y RECOMENDACI ´ON 66

LISTAS DE FIGURAS

5.1. Datos Funcionales. . . 52

5.2. Representaci ´on en base B-Spline de la primera observaci ´on de los datos funcionales. . . 57

5.3. Media Funcional. . . 64

RESUMEN

“ELEMENTOS ALEATORIOS SOBRE ESPACIOS FUNCIONALES.”

El presente trabajo muestra el estudio de la teor´ıa de probabilidades en espacios funcionales en particular en un espacio de Hilbert separable L2, inspirando el estudio de elementos aleatorios para el tratamiento de grandes vol ´umenes de da-tos.

Por otro lado, se presentan resultados fundamentales en base al estudio te ´orico del An´alisis de Datos Funcionales que surgen de la combinaci ´on de la estad´ısti-ca con el an´alisis funcional, extendiendo definiciones cl´asiestad´ısti-cas de la esperanza, varianza y covarianza a un contexto funcional, adicionalmente este trabajo ser-vir´a como base te ´orica para explorar la teor´ıa de probabilidades en espacios fun-cionales.

DESCRIPTORES: ELEMENTOS ALEATORIOS / PROBABILIDADES EN ESPA-CIOS FUNCIONALES / INTEGRAL DE PETTIS / AN ´ALISIS DE DATOS FUN-CIONALES / VARIABLE ALEATORIA FUNCIONAL / ESPERANZA FUNCIO-NAL.

ABSTRACT

“RANDOM ELEMENTS ON FUNCTIONAL SPACES”

This work is about the study of the probabilities theory on functional spaces; in particular, in Hilbert separableL2 _{space, inspiring the study of the random}

ele-ments for the treatment of large data volumes.

On the other hand, fundamental results are presented based on a theoric study of the Analysis of Functional Data, which are obtained from the statistic with the functional analysis, issuing classical definitions of the expectation, variance and covariance to a functional context. Furthermore, this work should be as a theore-tical basis to explore the probabilities theory in functional spaces.

KEYWORDS:RANDOM ELEMENTS / PROBABILITIES IN FUNCTIONAL SPA-CES / PETTIS INTEGRAL / ANALYSIS OF FUNCTIONAL DATA / FUNCTIO-NAL RANDOM VARIABLE / FUNCTIOFUNCTIO-NAL EXPECTATION.

INTRODUCCI ´

ON

El estudio de la teor´ıa de probabilidades en espacios funcionales es actualmente importante en muchas ´areas de las ciencias aplicadas como la qu´ımica, biom´etri-ca, medicina, econom´ıa, etc., cuyos datos recolectados no se pueden representar mediante esquemas cl´asicos como n ´umeros o vectores num´ericos, sino como una representaci ´on funcional de los mismos. Pero en muchas situaciones pr´acticas, estos datos se registran sobre un per´ıodo de tiempo o corresponden a im´agenes, por tal raz ´on conviene considerarlos como elementos aleatorios en un espacio funcional, es decir, como una variable aleatoria en un espacio funcional. Estos datos, por ejemplo son los resultados de un electrocardiograma o el estudio de la variaci ´on de la temperatura en una estaci ´on metereol ´ogica, en est´as situaciones es preferible que los datos sean representados a trav´es de una funci ´on antes que una serie discretizada de datos, proporcionado as´ı aspectos funcionales como la continuidad o diferenciabilidad.

En el presente trabajo se estudiar´a fundamentalmente la teor´ıa que ser´an resulta-do de la combinaci ´on de la estad´ıstica con el an´alisis funcional sobre espacios de Banach y de Hilbert, se definir´a formalmente el concepto de elemento aleatorio (variable funcional) en particular en un espacio de Hilbert separableL2, desde el

punto de vista de Ferraty y Vieu (2006) para el estudio del An´alisis de Datos Fun-cionales, adem´as se extender´an las definiciones cl´asicas de la esperanza, varianza y covarianza a un contexto funcional.

En el Cap´ıtulo 1, se realiza la presentaci ´on del problema, los objetivos de la in-vestigaci ´on y justificaci ´on.

En el Cap´ıtulo 2, se hace una descripci ´on general de los conceptos b´asicos, ne-cesarios de los espacios funcionales donde se definir´an los elementos aleatorios, adem´as se enuncian teoremas relacionados con la teor´ıa aunque sin demostra-ci ´on.

En el Cap´ıtulo 3, se detallan conceptos y propiedades b´asicas de los elementos aleatorios en espacios m´etricos separables.

En el Cap´ıtulo 4, se trabaja la definici ´on del elemento aleatorio tanto en el senti-do d´ebil como en el sentisenti-do fuerte en un espacio de Banach separable, probansenti-do principalmente un resultado importante que indica que un elemento aleatorio es el mismos en ambos sentidos de la definici ´on siempre y cuando el espacio funcional sea separable, adem´as se estudi´a la distribuci ´on de probabilidad e in-dependencia, el valor esperado y la varianza por medio de la integral de Pettis para espacios normados y sus propiedades fundamentales, y la covarianza de un elemento aleatorio en un espacio de Hilbert separable.

En el Cap´ıtulo 5, contiene un preliminar del An´alisis de Datos Funcionales ba-sado en la teor´ıa de los elementos aleatorios en un espacio funcional separable, adem´as se describe de forma general la reconstrucci ´on de la forma funcional de las curvas muestrales a partir de sus observaciones discretas mediante represen-taciones b´asicas en las bases Trigonom´etricas o las bases B-Spline dependiendo de la naturaleza de datos recolectados, tambi´en se menciona el m´etodo de

aproxima-ci ´on de coefiaproxima-cientes b´asicos a partir de observaaproxima-ciones discretas de las funaproxima-ciones muestrales, como es el m´etodo de aproximaci ´on por m´ınimos cuadrados y por ´ultimo se incluyen los estad´ısticos descriptivos del An´alisis Funcional de Datos.

CAP´ITULO I

PRESENTACI ´

ON DEL PROBLEMA

1.1.

Planteamiento del Problema

En general, la existencia de enormes vol ´umenes de datos, que surgen de situa-ciones como la variaci ´on de la temperatura, cotizasitua-ciones burs´atiles, etc. que son evaluadas en el tiempo continuo y han conducido a la existencia de problemas te ´oricos y pr´acticos, los esquemas cl´asicos como n ´umeros o vectores num´ericos, actualmente se est´an tratando desde un t´ermino amplio, desde el an´alisis de da-tos funcionales, que se refiere al an´alisis estad´ıstico de los dada-tos que consisten en funciones aleatorias, donde cada funci ´on se considera como una muestra de un proceso estoc´astico en un espacio funcional.

Desde la edici ´on de Ramsey y Silverman (1997) y de Ferraty y Vieu (2006), don-de se muestran muchas ventajas don-del an´alisis don-de datos funcionales las cuales son cada vez populares en estas ´ultimas d´ecadas, pero en estas dos ediciones no se extienden ampliamente en cuestiones te ´oricas que son necesarias para definir la variable funcional, la esperanza, varianza y covarianza funcional que surgen de

la combinaci ´on de la estad´ıstica y el an´alisis funcional sobre espacios de Banach y de Hilbert, por lo que se tuvo que recurrir principalmente a trabajos de Juan Lucas Bali (2008) y (2012), Mat´ıas Carrasco (2005), a las ediciones de W.J.Padgett y R.L.Taylor (1973), Robert L. Taylor(1978) y N.N. Vakhania, V.I.Tarieladze y S.A. Chobanya (1987), trabajos que permitir´an extender las definiciones cl´asicas de va-riable aleatoria, resultados cl´asicos de la estad´ıstica descriptiva al contexto fun-cional.

1.2.

Objetivos de la Investigaci ´on

1.2.1.

Objetivo General

Exponer los conceptos de variable aleatoria, esperanza, varianza y covarianza en un espacio de Hilbert separableL2 _{para ser utilizado en un contexto funcional.}

1.2.2.

Objetivos Espec´ıficos

Describir las notaciones matem´aticas b´asicas, definiciones y resultados que son necesarios durante el presente trabajo.

Detallar la definici ´on de elemento aleatorio en espacios m´etricos separables para obtener resultados b´asicos.

Describir el elemento aleatorio en un espacio de Banach separable, el valor esperado y la varianza de un elemento aleatorio por medio de la integral de Pettis para espacios normados y la covarianza en un espacio de Hilbert

separable.

Formular las nociones de variable funcional, esperanza, varianza y cova-rianza funcional desde un contexto de elementos aleatorios en un espacio de Hilbert separable, recurriendo a las definiciones y resultados obtenidos anteriormente.

1.3.

Justificaci ´on

En la actualidad se dispone de observaciones discretas, que proceden en la ma-yor´ıa de situaciones de observaciones de procesos estoc´asticos en tiempo conti-nuo, de las cuales se reconstruye la forma funcional, a fin de mantener las propie-dades de las variables continuas y perder menos informaci ´on, aparece el an´alisis de datos funcionales, donde las hip ´otesis de partida son menos exigentes que las t´ecnicas cl´asicas del an´alisis de series temporales, que imponen que el proceso sea estacionario, las observaciones igualmente espaciadas, entre otras caracter´ısticas que pueden surgir de las series temporales.

Las ediciones de Ramsey y Silverman (1997) y de Ferraty y Vieu (2006), encie-rran resultados principales del An´alisis de Datos Funcionales, sin embargo, no se encuentra una suficiente base matem´atica para definir la variable funcional, los datos funcionales, el valor esperado, la varianza y la covarianza funcional. Este trabajo proporcionar´an resultados fundamentales en base del estudio te ´ori-co de los fundamentos del An´alisis de Datos Funcionales (ADF), adicionalmente constituye una base te ´orica para los investigadores que empiecen a explorar la teor´ıa de probabilidades en espacios funcionales.

CAP´ITULO II

FUNDAMENTOS MATEM ´

ATICOS

2.1.

Algunas Herramientas Matem´aticas B´asicas

En esta secci ´on se indicar´an algunas definiciones, notaciones y resultados que se utilizar´an con frecuencia para la demostraci ´on de resultados del valor esperado o esperanza de un elemento aleatorio en espacios normados separables.

Definici ´on 2.1. SeaXcuanquier espacio m´etrico y seaτla topolog´ıa definida por la m´etrica, definimos porB(X)oB cuando no hay confusi ´on, a la m´as peque ˜na σ−´algebrade subconjuntos deX el cual contieneτ.

B(X)es llamado laσ−campo de Borel deX y los elementos deB(X)se llaman conjuntos de Borel. B(X)satisface las siguientes condiciones deσ−´algebra:

1. X ∈ B(X),_∅∈ B(X).

2. A ∈ B(X)implica queA0 ∈ B(X)dondeA0es el complemento deA.

3. A1, A2, ...,∈ B(X)implica que ∞ [ i=1 Ai ∈ B(X)y ∞ \ i=1 Ai ∈ B(X).

Puesto que cada conjunto cerrado es el complemento de un conjunto abierto y viceversa,B(X)es tambi´en la m´as peque ˜naσ−algebra´ de subconjuntos deX el cual contiene todos los subconjuntos cerrados deX. [15, p´ag.1]

Definici ´on 2.2. Seaduna m´etrica en X. Para cualquier conjuntoA ⊆ Xyx ∈X se define la distancia del conjuntoAhacia el puntoxla cual se notad(x, A)como:

d(x, A) = ´ınf

y∈Ad(x, y). (2.1)

Teorema 2.1. La funci ´ond(x, A)satisface la desigualdad

|d(x, A)−d(y, A)|₆d(x, y) (2.2)

En particular,d(x, A)es uniformente continua.[15, p´ag.2]

Funciones Medibles

En lo que sigue se tendr´a un espacio medible(X,B(X)). [5]

Definici ´on 2.3. Una funci ´onf :X −→_Rse dice que esB(X)−medibleo simple-mentemediblesi para todo n ´umero realαel conjunto

{x∈X :f(x)> α} ∈ B(X). (2.3)

Lema 2.1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una funci ´on f :X −→_R

1. Para todoα∈_R, el conjuntoAα ={x∈X :f(x)> α} ∈ B(X).

4. Para todoα∈_R, el conjuntoDα ={x∈X :f(x)< α} ∈ B(X).

Observaci ´on 2.1. 1. Cualquier funci ´on constante es medible. Sif(x) = cpara todox∈X siα≥c, entonces

{x∈X :f(x)> α}=∅, (2.4)

mientras que siα < c, entonces

{x∈X :f(x)> α}=X. (2.5)

2. SiE ∈ B(X), entonces la funci ´on caracter´ısticaχE, definida por

χE = 1, x∈E

= 0, x /∈E,

es medible.

3. Si X es el conjunto de los n ´umeros reales Ry B(X) es el ´algebra de Borel B, entonces cualquier funci ´on continuaf : _R −→ _R es Borel medible (que es B- medible). En efecto, si f es continua, entonces {x ∈ _R : f(x) > α} es un conjunto abierto en R y por lo tanto es la uni ´on de una sucesi ´on de intervalos abiertos, pertenecen aB.

Definici ´on 2.4. Una funci ´on de valor real extendido en X esB(X)−medibleen caso de que el conjunto{x∈ X : f(x) > α}pertenece a B(X)para cada n ´umero realα.

La colecci ´on de todas las funcionesB(X)−mediblede valores reales extendidos enX son denotados porM(X,B(X)), por lo tanto sif ∈M(X,B(X))entonces

{x∈X :f(x) = +∞}=

∞

\

n=1

{x∈X :f(x) = −∞}= (

∞

[

n=1

{x∈X :f(x)>−n})c (2.7)

as´ı ambos conjuntos pertenecen aB(X).

Lema 2.2. Sea(fn)una sucesi ´on enM(X,B(X))y definimos las funciones

f(x) =inf fn(x), F(x) = supfn(x), (2.8)

f∗(x) = l´ım inffn(x), F∗ = l´ım supfn(x) (2.9)

entoncesf, F, f∗ yF∗pertenecen aM(X,B(X)).

Corolario 2.1. Si(fn)es una sucesi ´on enM(X,B(X))el cu´al converge af, enton-cesf ∈M(X,B(X)).

Lema 2.3. Sif es una funci ´on no negativa en M(X,B(X)), entonces existe una sucesi ´on(ϕn)enM(X,B(X))tal que

1. 0≤ϕn(x)≤ϕn+1(x)parax∈X,n ∈N.

2. f(x) = l´ımϕn(x)para cadax∈X.

3. Cadaϕntiene solo un n ´umero finito de valores reales.

Medida

Definici ´on 2.5. Una medida, en un espacio medible(X,B(X))es una funci ´on no negativa definida sobre laσ ´algebraB(X)de subconjuntos deXtal que

µ:B(X)−→[0,+∞] (2.10)

1. µ(∅) = 0.

2. µ(A)≥0para todoA∈X.

3. Es numerablemente aditiva , es decir que dados A1, A2, ..., An, ... ∈ B(X) disjuntos , es decir tales queAi∩Aj =∅parai6=j entonces

µ( ∞ [ n=1 An) = ∞ X n=1 µ(An) (2.11)

Llamaremosprobabilidada toda medida que verificaµ(X) = 1.

Definici ´on 2.6. Llamaremos espacio de medida a toda la terna(X,B(X), µ), don-deµes una medida sobre laσ− ´algebraB(X)deX.

Integraci ´on

Se denota como la colecci ´on de todas las funciones medibles deXenRpor

M =M(X,B(X))

y como la colecci ´on de todas las funciones medibles no negativas se denota como M+ _{= M}+_{(X,B(X)), por lo que en adelante se definir´a la integral de cualquier}

funci ´on enM+_{con respecto a la medidaµ.}

Definici ´on 2.7. Una funci ´on es simple si s ´olo tiene un n ´umero finito de valores. Una funci ´on medible simpleϕpuede ser representada en la forma

ϕ=

n

X

j=1

ajχAj (2.12)

dondeaj ∈RyχAj son funciones caracter´ısticas de un conjuntoAj enB(X).

Definici ´on 2.8. Siϕes una funci ´on simple enM+_{(X,B(X))con la representaci ´on}

est´andar (2.12) se define la integral deϕcon respecto aµcomo el valor de[0,∞].

Z ϕdµ= n X j=1 ajµ(Aj) (2.13)

Definici ´on 2.9. Sif ∈ M+(X,B(X))definimos la integral def con respecto aµ enX, de la forma Z f dµ =sup Z ϕdµ (2.14)

donde el supremo es extendido sobre todas las funciones simplesϕenM+_(X,B(X))

que satisface0 ≤ ϕ(x) ≤ f(x) para todo x ∈ X. Si f pertenece a M+_(X,B(X))

yA ∈ B(X), entoncesf χA pertenece aM+(X,B(X))y se define la integral def sobreAcon respecto aµcomo un n ´umero real extendido.

Z

A

f dµ =

Z

f χAdµ (2.15)

Corolario 2.2. Sea(gn)una sucesi ´on enM+(X,B(X))yA∈ B(X), entonces

Z ( ∞ X j=1 gn)dµ= ∞ X j=1 ( Z gndµ) (2.16) Funciones Integrables

Definici ´on 2.10. La colecci ´onL = L(X,B(X), µ)de funciones integrables, consta de todas las funciones medibles f definidas en X, tal que ambas partes de f la parte positiva y negativaf+_yf−

tienen integrales finitas con respecto aµtal que

Z f dµ= Z f+dµ− Z f−dµ (2.17) siA∈ B(X), definimos Z A f dµ= Z A f+dµ− Z A f−dµ (2.18)

Teorema 2.2. Sean X eY espacios m´etricos yf una funci ´on deX enY. Si f es continua, entoncesf es medible.

En particular, siY es en s´ı mismo un conjunto de Borel en X (i.e., Y ∈ B(X)), B(Y)es precisamente la clase de todos los subconjuntos deY, que son conjuntos de Borel enX.

Definici ´on 2.11. Sean(X1,B(X1)), ...,(Xn,B(Xn))espacios medibles.

Diremos que unaσ−´algebraB(X)en el productoX =X1×...×Xnes laσ−´algebra producto si se verifican las condiciones:

1. Las proyeccionesQ

i :X −→Xison medibles.

2. Dado otro espacio medible(X0,B(X0)), una aplicaci ´on

F :X0 −→X,

es medible si y s ´olo si sus componentesFi =

Q

i◦F son medibles.

Veremos que B(X) existe y es ´unica y la denotaremos B(X1))⊗ ...⊗ B(Xn)) y llamaremos espacio medible producto a la pareja

(X,B(X)) = (X1×...Xn,B(X1))⊗...⊗ B(Xn))). (2.20)

Definici ´on 2.12.Sean(X1,B(X1)), ...,(Xn,B(Xn))espacios medibles. Llamaremos producto de medibles a todo subconjunto

A1×...×An⊂X1×...×Xn (2.21) con losAi ∈ B(Xi)).

Teorema 2.4. Sea X1, X2, ...espacios m´etricos separables , y X su producto

car-tesiano. Entonces el espacio de Borel (X,B(X)) es el producto cartesiano de los espacios de Borel(Xn,B(Xn)),n= 1,2, ....

Teorema 2.5. Sea X1, X2 dos espacios m´etricos separables y sea ϕ una funci ´on

medible deX1 enX2. SiE = {(x1, ϕ(x1)) : x1 ∈ X1}, entoncesE es un conjunto

2.2.

Base Te ´orica

2.2.1.

Espacios de Banach

Definici ´on 2.13. SeaX un espacio vectorial sobreR.

Una norma enXes toda funci ´onN deX enR+que verifica las propiedades:

1. N(x) = 0⇐⇒x= 0.

2. N(λx) = |λ|N(x), ∀x∈X.

3. N(x+y)≤N(x) +N(y), ∀x, y ∈X Desigualdad T riangular.

4. |N(x)−N(y)| ≤N(x−y), ∀x, y ∈X.

El n ´umero real no negativoN(x), ∀x∈ X, se llama la norma dex, notado de la siguiente manerakxk. El par(X, N)se llama espacio normado.

Todo espacio normado es un espacio m´etrico, por lo que la aplicaci ´on

d:X×X →[0,+∞[

dada pord(x, y) =kx−ykes una distancia o m´etrica sobreX. [7]

Definici ´on 2.14. SeaI ⊂ N,I 6= _∅y(X,k.k)un espacio normado. Toda funci ´on u de I en X se llama sucesi ´on en X. A u(n) con n ∈ I lo notaremos un y lo denominaremos t´ermino general de la sucesi ´on. A la sucesi ´on lo notaremos con

(un).

Definici ´on 2.15. Sea (un) una sucesi ´on en (X,k.k), diremos que (un) es conver-gente enXsi existeutal que l´ım

Definici ´on 2.16. Una sucesi ´on(un)en(X,k.k)se dice sucesi ´on de Cauchy si ve-rifica la siguiente condici ´on:

∀ε >0,∃n0 ∈Z+ tal ∀m, n≥n0 =⇒ kum−unk< ε (2.23)

Teorema 2.6. Toda sucesi ´on convergenteunen(X,k.k)es una sucesi ´on de Cauchy. Definici ´on 2.17. Un espacio de Banach es un espacio normado en el que toda sucesi ´on de Cauchy es convergente.

Observaci ´on 2.2. Recordemos que en un espacio normado se tiene una topolog´ıa inducida por la norma que es la topolog´ıa del espacio normado. A continuaci ´on se asume queX eY son conjuntos provistos de la topolog´ıaτX yτY respectiva-mente.

Definici ´on 2.18. SeanXeY dos espacios normados provistos de las normask.kX y k.kY y f : X −→ Y una aplicaci ´on. Diremos que f es continua si la imagen inversaf−1_{(B)de cada abiertoB deY es un abierto deX.}

Definici ´on 2.19. SeanX eY dos espacios topol ´ogicos y f : X −→ Y una aplica-ci ´on. Diremos que f es continua en el punto x0 ∈ X si para cada entornoB de

f(x0), existeAentorno dex0 tal quef(A)⊂B.

Para la continuidad de una aplicaci ´on lineal entre dos espacios normadosX eY se tiene el siguiente teorema:

Teorema 2.7. SeanX eY espacios normados yT : X → Y una aplicaci ´on lineal. Las cuatro condiciones siguientes son equivalentes:

i) T es continua.

iii) T es acotada en el conjuntoA={x∈X :kxkX ≤1}.

iv) ∃M > 0tal quekT(x)kY ≤MkxkX.

Observaci ´on 2.3. Notamos conL(X, Y)el espacio de todas las aplicaciones linea-les continuas deX enY. SeaT ∈ L(X, Y), por el Teorema2.7, ∃M > 0tal que ∀x∈X,kT(x)kY ≤MkxkX. Seax∈X,x6= 0 entonces kT(x)kY kxkX ≤M. El conjunto ( M ∈_R+ _: kT(x)kY kxkX ≤M )

es acotado inferiormente esto es, ∃M ∈_R+_{tal que} M =Inf ( M ∈_R+: kT(x)kY kxkX ≤M ) . (2.24) Definimos kTkL(X,Y)=Inf ( M ∈_R+ _: kT(x)kY kxkX ≤M ) =SupkxkX≤1kT(x)kY. (2.25)

Entonces k.kL(X,Y) es una norma sobre L(X, Y). Si Y es un espacio de Banach,

L(X, Y)tambi´en lo es.

Definici ´on 2.20. SiXes un espacio normado, se denota porX∗ =L(X,_K)y se le llama espacio dual o dual topol ´ogico deX. Los elementos f ∈ X∗ se les llaman formas lineales o funcionales lineales y continuos sobreX, adem´asX∗es siempre un espacio de Banach con la norma

kfk=sup{|f(x)|:kxk ≤1}. (2.26)

El Teorema de Hahn-Banach

SeX un espacio vectorial, M es un subespacio vectorial de X yf : M → _R es una aplicaci ´on lineal, siempre existe la posibilidad de obtener una prolongaci ´on

Definici ´on 2.21. SeaX un espacio vectorial real,puna funcional definida enX. Se dice quepes sublineal si cumple con las propiedades:

1. Subaditiva:p(x+y)≤p(x) +p(y),∀x, y ∈X.

2. Homog´enea positiva:p(αx) = α(p(x)),∀x∈X, α∈_R α >0.

Definici ´on 2.22. Sea X un espacio vectorial real, pun funcional no negativo. Se dice quepes una seminorma si cumple con las propiedades:

1. Subaditiva:p(x+y)≤p(x) +p(y),∀x, y ∈X.

2. Homog´enea:p(αx) = |α|(p(x)),∀x∈X, α∈_R α >0.

Cada seminorma es sublineal. Y la norma es espacio normadoX es un funcional lineal.

Teorema 2.8. Teorema de Hahn-Banach (Extensi ´on de funcionales lineales). SeaX un espacio vectorial real,pun funcional subaditivo y homog´enea positiva enX, M un subespacio deX, f una funcional lineal definida enM tal quef(x) ≤p(x)

para todox∈X.

Entonces existe un funcional linealg definida enXtal queg|M =f yg(x)≤p(x)

para todox∈X.

Consecuencias del Teorema de Hahn-Banach

Como se defini ´o anteriormente se tiene que el dual de un espacio normadoX se define como el espacioX∗ = L(X,_K)de las formas lineales y continuas deX en el cuerpoK, una propiedad importante es que el dual es siempre un espacio de Banach. La primera consecuencia que se tiene del Teorema de Hahn-Banach es la posibilidad de extender las formas lineales y continuas manteniendo la norma.

Teorema 2.9. Teorema de Hahn-Banach (Espacios Normados). Seafun funcional lineal acotado en un subespacioM de un espacio normadoX. Entonces existe un funcional lineal acotadogenXque es una extensi ´on def paraXy tiene la misma norma, kgkX =kfkM (2.27) donde kgkX = sup x∈X kxk=1 |g(x)|, kfkM = sup x∈M kxk=1 |f(x)| (2.28)

Una segunda consecuencia del Teorema de Hahn-Banach, que se enuncia a con-tinuaci ´on, caracteriza la clausura de un subespacio vectorial en t´erminos de las funcionales que se anulen sobre ´el.

Teorema 2.10. SeaM un subespacio vectorial de un espacio normadoX. Supon-gamos quex0 ∈ X. Entoncesx0 ∈ M si y s ´olo si cada funcional f ∈ X∗ tal que

f|M = 0se anula enx0.

Ahora una tercera consecuencia, de c ´omo es posible encontrar una funcional li-neal y continua cuyo tama ˜no esta determinado por su valor en un punto.

Corolario 2.3. (Funcionales lineales acotados). SeaX un espacio normado y sea x0 6= 0cualquier elemento deX. Entonces existe un funcional lineal acotadogen

Xtal que:

kgk= 1, g(x0) =kx0k (2.29)

2.2.2.

Espacios

L

Sea(X,B(X), µ)un espacio de medida. Sif ∈L(X,B(X), µ), se define como:

dondeNµes una seminorma (2.22) sobre el espacioL(X,B(X), µ).[5]

Lema 2.4. El espacioL(X,B(X), µ)es un espacio lineal bajo las operaciones defi-nidas por

(f +g)(x) =f(x) +g(x), (αf)(x) = αf(x), x∈X. (2.31)

Adem´asNµes una seminorma sobreL(X,B(X), µ). M´as a ´un,Nµ(f) = 0si y s ´olo sif(x) = 0paraµ−c.t.ppara todox∈X.

Definici ´on 2.23. Dos funciones enL=L(X,B(X), µ)se dicen que sonµ- equiva-lentes si son igualesµc.t.p. La clase de equivalencia determinado por f en Lse nota por[f]a este conjunto se lo define por{f ∈L:f es µ−equivalente}. El es-pacio de LebesgueL1 _=L1_{(X,B(X), µ)consta de todas las clasesµ−equivalentes}

enL. Si[f]∈L1 _{su norma se define por}

k[f]k1 =

Z

|f|dµ. (2.32)

Definici ´on 2.24. El espacio de LebesgueL1_{(X,B(X), µ)es un espacio lineal}

nor-mado.

Definici ´on 2.25. Sea1≤p < ∞, el espacioLp _{se define por} Lp =Lp(X,B(X), µ) =

(

[f] :f :X −→_R, f medible tal que

Z

|f|dµ <+∞

)

. (2.33) Sip= 1esto es equivalente a decir que quef ∈L.

Definici ´on 2.26. Y siLpes completa bajo la normakfkp ={R

|f|p_}1/p_{es un espacio} de Banach.

2.2.3.

Espacios de Hilbert

Definici ´on 2.27. Sea X un espacio vectorial sobre R. Un producto escalar enX es una funci ´on deX xX enRque a cada(x, y)∈X xXle asocia el n ´umero real hx, yillamado producto escalar dexconyy que verifica las propiedades:

1. hx, yi=hy, xi, ∀x, y ∈X.

2. hx, y+zi=hx, yi+hx, zi ∀x, y, z ∈X.

3. hλx, yi=λhx, yi, ∀λ ∈_R, ∀x, y ∈X.

4. hx, xi>0 six6= 0 y hx, xi= 0 ⇐⇒x= 0.

Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial en el que se tiene definido un producto escalar.[7]

Definici ´on 2.28. Una norma en un espacio con producto interno satisface la igual-dad paralelogramo.

kx+yk2_+kx−yk2 _{= 2(kxk}2_+kyk2₎

(2.34)

Teorema 2.11. SeaXun espacio prehilbertiano, se verfica lo siguiente:

1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz

|hx|yi|2 ≤ hx|xihy|yi ∀x, y ∈X. (2.35)

2. Desigualdad de Minkowski

hx+y|x+yi1/2 _{≤ hx|xi}1/2_+hy|yi1/2 _{∀x, y ∈X.}

Un producto interno sobreXdefine una norma sobreXdada por kxk=phx, xi una m´etrica sobreX esta dada por

d(x, y) =kx−yk=phx−y, x−yi. (2.37) Definici ´on 2.29. Un espacio de HilbertXes un espacio normado inducido por el producto escalar que es espacio de Banach. Esto es, toda sucesi ´on de Cauchy en Xcon respecto a la norma inducida por el producto escalar es convergente enX.

Definici ´on 2.30. (Identidad de polarizaci ´on) SeaXun espacio real con producto interno, se verfica:

hx, yi= 1

4(kx+yk

2_{− kx−yk}2_{). (2.38)}

Definici ´on 2.31. (Ortogonalidad) Se dice que dos vectoresxeyde un espacio de HilbertH son ortogonales y se lo nota porx ⊥ ysi y solo sihx|yi = 0. Dado un subonjunto no vac´ıoM deH, se denomina complemento ortogonal deM enH al conjunto definido por

M⊥ ={y ∈H|hy|xi= 0,∀x∈M} (2.39)

adem´as se tiene que sixeyson ortogonales, entonces

kx+yk2 _=kxk2_+kyk2 _{(T eorema de P it´agoras).}

(2.40)

Teorema 2.12. SeaM un subconjunto no vac´ıo de un espacio de HilbertH.

1. M⊥es un subespacio cerrado deH.

2. M ⊂M⊥⊥ := (M⊥)⊥.

Teorema 2.13. Todo sistema ortogonalE enH con0 ∈/ E, es un conjunto lineal-mente independiente.

Definici ´on 2.32. SeaE 6=∅un sistema ortogonal enH. El n ´umero hx, zi, x∈H, z ∈E,

se llama el coeficiente de Fourier dexen relaci ´on az.

Definici ´on 2.33. Todo espacio de Hilbert separableHposee una base ortonormal numerable, de hecho todo conjunto ortonormal enHest´a contenido en una base ortonormal deH.

Debido a la importancia que tienen los espacios de Lebesgue en especial el espa-cioL2 _{en el estudio de los datos funcionales, se referencia a algunas definiciones}

relativas a los espaciosL2_.

2.2.4.

Espacios

L

Un espacio funcional adem´as de ser normado, es euclideo se obtiene consideran-do el conjunto de funciones cuadraconsideran-do integrable.

Definici ´on 2.34. Una funci ´onf se llama funci ´on cuadrado integrable enX cuan-do la integral

Z

X f2dµ

existe y es finita. El conjunto de todas las funciones de cuadrado integrable enX se designa porL2_(X)oL2_.[2]

1. El producto de dos funciones cuadrado integrable es una funci ´on integra-ble.

2. La suma de dos funciones deL2_{es tambi´enL}2_.

3. Sif ∈ L2 yα un n ´umero arbitrario, entoncesαf ∈ L2. En efecto sif ∈ L2 se tiene Z X [αf(x)]2dµ=α2 Z X f2(x)dµ <∞.

Como el conjuntoL2_{de funciones de cuadrado integrable es un espacio lineal se}

define el producto escalar como

hf, gi=

Z

X

f(x)g(x)dµ donde las propiedades son las siguientes:

1. hf, gi=hg, fi

2. hf1+f2, gi=hf1, gi+hf2, gi

3. hαf, gi=αhf, gi

4. hf, fi>0cuandof 6= 0

En L2 _{al igual que en cualquier espacio eucl´ıdeo, tiene lugar la desigualdad de}

Cauchy- Buniakovski, que toma en este caso la forma

Z X f(x)g(x)dµ 2 ≤ Z X f2(x)dµ Z X g2(x)dµ, y la desigualdad triangular, que toma la forma

Z X [f(x) +g(x)]2dµ 1/2 ≤ Z X f2(x)dµ 1/2 + Z X g2(x)dµ 1/2

La norma enL2 se define por la f ´ormula kfkL2_(X)= Z X f2(x)dµ 1/2

y la distancia entre los elementosf yg, por la f ´ormula

ρ(f, g) = Z X [f(x)−g(x)]2dµ 1/2 la magnitud Z X [f(x)−g(x)]2dµ=kf−gk2 L2_(X)

se llama tambi´en desviaci ´on cuadr´atica entre las funcionesf yg.

Teorema 2.14. El espacioL2_{(X)es completo.}

Conjuntos siempre densos enL2

El espacioL2_{de funciones de cuadrado integrable es un espacio eucl´ıdeo}

comple-to, es importante conocer cu´ando el espacioL2 contiene un conjunto numerable siempre denso.

Toda funci ´on deL2 _{puede ser aproximada con precisi ´on necesaria mediante}

fun-ciones cada una de las cuales es igual a0fuera de un conjunto de medida finita µ(X) < ∞. A continuaci ´on un teorema que muestra que en el conjunto de fun-ciones de este tipo se puede escoger un conjunto numerable simpre denso.

Teorema 2.15. Si la medidaµtiene base numerable existe enL2_{(X)un conjunto}

numerable de funciones siempre denso

f1, f2, ..., fn

lado el caso de queL2 es de medida finita, se obtiene el resultado siguiente: Si la medidaµes de base numerable, el espacioL2 _{es de Hilbert.}

Sistemas Ortogonales de funciones enL2

Se tiene que en el espacioL2existen sistemas completos ortogonales, en particular

ortogonales y normales de funciones. Estos sistemas pueden ser obtenidos, por ejemplo aplicando el proceso de ortogonalizaci ´on a uno u otro sistema completo. Si enL2se ha escogido un sistema{ϕn}completo ortogonal, todo elementof ∈L2 puede ser representado como la suma de la serie

f =

∞

X

n=1

cnϕn

esto es, como la suma de la serie de Fourier de la funci ´onf respecto al sistema ortogonal{ϕn}, adem´as los coeficientescn, es decir, los coeficientes de Fourier de la funci ´onf respecto al sistema{ϕn}, se definen mediante las f ´ormulas

cn = 1 kϕnk2 Z X f(x)ϕn(x)dµ kϕnk2= Z X ϕ2_ndµ .

CAP´ITULO III

ELEMENTOS ALEATORIOS EN ESPACIOS

M ´ETRICOS SEPARABLES

3.1.

Definici ´on de Elemento Aleatorio

Sea(Ω,A, P)un espacio de probabilidad. Un elemento aleatorioV ser´a definida como una funci ´on medible de(Ω,A, P)enX.

Definici ´on 3.1. (Elemento Aleatorio) Sea V : Ω → X una funci ´on, se dice un elemento aleatorio en un espacio m´etricoX, si

V−1(B) ={w∈Ω :V(w)∈B} ∈ A (3.1)

para todo subconjuntoB ∈ B(X). [9]

Observaci ´on 3.1. SiX =_Rcon la m´etrica usual, el elemento aleatorio se conoce como variable aleatoria.

3.2.

Propiedades b´asicas de los elementos aleatorios

En est´a secci ´on se dan algunas propiedades de los elementos aleatorios en espa-cios m´etricos arbitrarios, estas propiedades son generalizaciones de las variables aleatorias.[9]

Lema 3.1. SiV es un elemento aleatorio enX y T : X → X1 una funci ´on Borel

medible de X en el espacio m´etricoX1, entonces T(V) = T ◦V es un elemento

aleatorio enX1.

Demostraci´on. Para demostrar que T(V) ´o que T ◦ V es un elemento aleatorio en X1, tenemos que sea B ∈ B(X1), y como T es una funci ´on Borel medible,

T−1(B)∈ B(X), as´ı que

(T ◦V)−1(B) = V−1(T−1(B))∈ A, (3.2)

puesto queV es un elemento aleatorio.

Teorema 3.1. Sea{En}n≥1 una sucesi ´on disjunta de conjuntos dos a dos enAtal

que

∞

[

n=1

En = Ω. (3.3)

Si{xn} es una sucesi ´on de elementos en X y una funci ´on V : Ω −→ X tal que V(w) =xn, cuandow∈En, entoncesV es un elemento aleatorio enX.

Demostraci´on. Se debe probar queV(w) =xnuna funci ´on, conw∈En, es un ele-mento aleatorio enX, para esto seaB ∈ B(X)y{xnj}es el conjunto de elementos

de{xn}los cuales est´an enB, entoncesV−1(B) =

[

j

Teorema 3.2. Sea {Vn}n≥1 una sucesi ´on de elementos aleatorios en X tal que

Vn(w)→V(w)para cadaw∈Ω.EntoncesV es un elemento aleatorio enX.

Demostraci´on. Se debe probar que V es un elemento aleatorio en X, dado que podemos generarB(X)con los conjuntos cerrados, bastar´a probar que

V−1(C)∈ A,

∀C ⊆ X cerrado, entonces paraC cerrado en X definimos que para cadak ∈ N, el conjunto Ck= ( x∈X :d(x, C)< 1 k ) (3.4) y demostremos queV−1_{(C) =} ∞ \ k=1 ∞ [ m=1 \ n≥m V_n−1(Ck), para esto I) PD:V−1(C)⊂ ∞ \ k=1 ∞ [ m=1 \ n≥m V_n−1(Ck).

Seaw∈V−1_{(C)queremos probar que∀k ∈N,}

∃m ∈_N, ∀n ≥m,Vn(w)∈Ck, dadok ∈Nfijo pero arbitrario como Vn(w)−−−→ n→∞ V(w), ∃m∈Ntal que d(Vn(w), V(w))< 1 k, ∀n ≥m, dado queV(w)∈C y d(Vn(w), C) = ´ınf x∈Cd(Vn(w), x), implica que d(Vn(w), C)< 1 k,

∀n ≥mes decir queV (w)∈Ck, ∀n ≥m, por tantow∈ ∞

\

∞

[ \

II) PD: ∞ \ k=1 ∞ [ m=1 \ n≥m V_n−1(Ck)⊂V−1(C) Sea w ∈ ∞ \ k=1 ∞ [ m=1 \ n≥m

V_n−1(Ck), entonces dadok ≥ 1, existem ≥ 1,∀n ≥ m,

d(Vn(w), C)< 1

k, por la definici ´on de distancia entre conjuntos∃xn ∈ Ctal qued(Vn(w), xn)< 1 k ∀n≥m. Dado Vn(w)−−−→ n→∞ V(w), para k > 0, ∃n0 ∈ N tal que d(Vn(w), V(w)) <

1 k, ∀n ≥ n0, tomando n ≥m´ax{m, n0}, d(xn, V(w))≤d(xn, Vn(w)) +d(Vn(w), V(w))< 2 k −−−→k→∞ 0 (3.5)

por lo tantod(V(w), C) = 0, entonces V(w) ∈ C y como C es cerrado, se tiene queC =Cpor tantoV(w)∈C.

Entonces por I) y II) se concluye que V−1_{(C) =}

∞ \ k=1 ∞ [ m=1 \ n≥m V_n−1(Ck), luego V−1(C)es un conjunto medible deA.

Lema 3.2. SeaX un espacio m´etrico separable. Entonces dadoλ > 0 arbitrario, existe una funci ´onT :X →X Borel medible, tal queT toma un conjunto nume-rable de valores yd(T(x), x)< λpara todox∈X.

Demostraci´on. Como X es un espacio m´etrico separable, existe un subconjunto {xn}denso numerable. Consideremos los conjuntosE1 =B(x1, λ)y

En=B(xn, λ)− n−1

[

i=1

B(xi, λ)

paran ≥ 1, entonces los conjuntos {En}n≥1 son disjuntos dos a dos y denso en

T es Borel medible, seaB ∈ B(X), luego existir´an{xnk}k≥1 elementos del

con-junto denso que est´an enB entonces,

T−1(B) = [

k≥1

Enk ∈ B(X) (3.6)

dondeEn_k = T−1({xn_k})es un boreliano de X. Adem´as dado x ∈ X, x ∈ En para alg ´unn, por lo queT(x) =xnyd(T(x), x) =d(xn, x)< λ.

Definici ´on 3.2. Un elemento aleatorioV : Ω−→Xse dice que es discreto si toma s ´olo un n ´umero finito o infinito numerable de valores distintos enX.

Lema 3.3. Para un espacio m´etrico separable(X, d), d(U, V)es una variable alea-toria siempre queU yV sean elementos aleatorios enX.

Demostraci´on. ComoX es un espacio separable tenemos que

B(X×X) = B(X)×B(X),

ahora comoU, V son medibles por ser elementos aleatorios tenemos que la fun-ci ´on ϕ : Ω → X × X definida como ϕ(w) = (U(w), V(w)) es medible, adem´as como la funci ´on distancia es continua tenemos que es Borel medible as´ı

d◦ϕ: Ω→_R

CAP´ITULO IV

ELEMENTOS ALEATORIOS EN ESPACIOS

NORMADOS

4.1.

Elemento aleatorio

En la siguiente definici ´on trata la extensi ´on de la variable aleatoria para un es-pacio de de Banach y como caso particular se considerar´a mas adelante en un espacio de Hilbert separableL2_.

Definici ´on 4.1. Sea(Ω,A, P) un espacio de probabilidad y seaX un espacio de Banach con suσ−algebra´ de BorelB(X)yX∗el dual topol ´ogico deX. La funci ´on V : Ω −→ X,se dice que V es un elemento aleatorio en el sentido d´ebil si para todaf :X −→_R∈X∗, f(V) : Ω −→_Res una variable aleatoria real.[4]

Definici ´on 4.2. Sea(Ω,A, P) un espacio de probabilidad y seaX un espacio de Banach con su σ−´algebrade Borel. La funci ´onV : Ω −→ X,se dice que es un elemento aleatorio en el sentido fuerte si para todo conjunto,Aboreliano enXse tiene queV−1(A)∈ A.[4]

Observaci ´on 4.1. Un elemento aleatorio en el sentido fuerte tambi´en lo ser´a en el sentido d´ebil, puesto que los elementos del dual son continuos, por tanto son medibles yV−1_{(A)∈ A}

(f(V))−1(A) = V−1(f−1(A)) (4.1)

entonces la medibilidad se conserva bajo la composici ´on.

Lema 4.1. SeaXun espacio normado separable entonces la B[0,1] ={x∈X :kxk ≤1}

es separable.

Demostraci´on. ComoX es separable, entonces existeE ⊂ X tal queE es un con-junto denso numerable.

Sea S = {x ∈ E : kxk < 1}, se debe probar que S = B[0,1], es decir, dado x∈B[0,1],∀ε >0existey∈Stal quekx−yk< ε.

I) Supongamos quex∈B(0,1),kxk<1. Si tomamos un r = m´ın ( ε,1− kxk 2 )

, como X es separable se tiene que existey∈E tal que

kx−yk< r

2

ahora

kyk=ky−x+xk=ky−xk+kxk< r

2 +kxk<1por lo tantoy ∈S.

II) Supongamos quekxk = 1. Para cadak ∈ _N,consideremosαk = 1−

1

k ∈ R y y = α x ahora ky k = kα xk = |α |kxk = |α | = |1− 1| < 1 por lo

tantoyk ∈ B(0,1),ahora para cadak ∈ Npor lo anterior existir´a unxk ∈ S para todo ε > 0, kyk −xkk < 1 ε, entonces dado ε > 0, ∃k ∈ N, 1 k < ε 2 y kyk−xkk< 1 k < ε 2 por tanto ky−xkk ≤ ky−ykk+kxk−ykk< ε 2 + ε 2 < ε.

Por los casosI)yII)se concluye queB[0,1]es separable.

El Teorema 4.1 es fundamental en el estudio de los elementos aleatorios en un espacio funcional separable, puesto que nos indica que todo elemento aleatorio en el sentido d´ebil lo ser´a tambi´en en el sentido fuerte y viceversa. Posteriormente este resultado nos sirve para definir la variable aleatorio funcional en un espacio de Hilbert separable en el An´alisis de Datos Funcionales, sin especificar si esta en el sentido d´ebil o en el sentido fuerte puesto que ambos son los mismos en un espacio funcional separable.

Teorema 4.1. Si X un espacio de Banach separable, entonces V es un elemento aleatorio enXsi y s ´olo sif(V)es una variable aleatoria para cadaf ∈X∗.

Demostraci´on. ⇒)Se sigue de la Observaci ´on4.1

⇐) Supongamos que f(V) : (X,B(X)) −→ (_R,B(_R)) es una variable aleatoria para cada f ∈ X∗, es decir que para cualquier conjunto Boreliano B ∈ B(_R)se tiene que el conjunto

(f(V))−1(B) ={x∈X :f(V)(x)∈B} ∈ B(X),∀B ∈ B(_R),∀f ∈X∗ (4.2)

adem´as se tiene que(f(V))−1_{(B) =V}−1_(f−1_{(B))∈ A,∀B ∈ B(}

R).

SeaB(C)laσ−´algebra generada por los conjuntosC que son de la forma

{f−1_{(B) :f ∈X}∗

para esto se debe probar queB(C) = B(X)

i) PD: B(C)⊂ B(X).

Supongamos queAes un conjunto generador deB(C)luego a

A=f−1(B)

dondeB ∈ B(_R)y todof ∈X∗ es continuo por tanto medible, as´ı

f−1(B) =A∈ B(X).

ii) PD: B(X)⊂ B(C).

ComoXes separable, por Lema4.1se tiene queB[0,1]es separable, enton-ces existe un subconjunto denso y numerable A = {xn : n ∈ N}en B[0,1] que genera un subespacio para cadan∈_Ndefinimos

Zn={x=αxn:α∈R},

en Zn definimos el funcional lineal g(x) = g(αxn) = αkxnk, ∀x ∈ Zn, g es acotada enZn,conkgk= 1ya que

|g(x)|=|g(αxn)|

=|α|kxnk

=kαxnk

=kxk

entonces por el Teorema de Hahn-Banach2.9existe un funcional lineal aco-tado, fn en X el cual es una extensi ´on de g a X y de norma kfnk = 1 y kgk= 1yfn(xn) = g(xn) =kxnk,∀n ≥1. Si definimos comoC1 ={x ∈X : kxk ≤1}yC2 = ∞ \ n=1 {x ∈X : fn(x)≤ 1},

a) PD:C1 ⊂C2.

Dado quefnes acotado,

∀n≥1 |fn(x)| ≤ kfnkkxk

y comokfnk= 1tenemos que|fn(x)| ≤ kxky si tomamosx∈C1luego

∀n≥1, |fn(x)| ≤1

es decir

∀n≥1 fn(x)≤1

por tantox∈C2.

b) PD:C2 ⊂C1.

Para esto vamos a probar queC₁c ⊂ C₂c. Seax∈ C₁c,dondecdenota el complemento deC1yC2entonceskxk>1y como{xn}es denso existe xktal quekx−xkk< 1 2(kxk −1). Por tanto kxkk=kx−x+xkk ≥ kxk − kx−xkk >kxk − 1 2(kxk −1) =kxk − 1 2kxk+ 1 2 = 1 2(kxk+ 1) de donde

|fk(x)− kxkk|=|fk(x)−fk(xk)| del Corolario 2,3 se tiene fk(xk) =kxkk =|fk(x−xk)| por la linealidad de f ≤ kfkkkx−xkk < 1 2(kxk −1) por tanto fk(x) =kxkk − kxkk+fk(x) =kxkk −(kxkk −fk(x)) ≥ kxkk − |fk(x)− kxkk| ≥ kxkk − 1 2(kxk −1) > 1 2(kxk+ 1)− 1 2(kxk −1) = 1 2+ 1 2 = 1 por tantox∈Cc 2

Entonces pora)yb)se concluye que C1 =C2,entoncesC1 ∈ B(C)yC2 ∈ B(C),

es decir que las bolas de centro en el origen pertenecen aB(C) y como B(C)es invariante por traslaci ´on todas las bolas de cualquier centro pertenecen aB(C)y teniendo en cuenta que el espacioX es separable , todo abierto se puede escribir como uni ´on numerable de estas bolas, con lo que entonces los abiertos son gene-radores deB(X),est´an enB(C),por tanto se concluye queB(X)⊂ B(C).

un elementoAdeB(C),se deber´ıa ver queV−1(A) ∈ A,basta probarlo para un generador deB(C),es decir que sif ∈X∗ yB ∈ B(_R)para el conjunto

A={x∈X :f(x)∈B}=f−1(B),

peroV ◦f es medible, por hip ´otesis, luegoV−1(A) = V−1(f−1(B)) = (V ◦f)−1(B)

ser´a en elemento deA,luego comoB(C) = B(X), V ser´a medible considerando B(X)y por lo tanto ser´a un elemento aleatorio en el sentido fuerte.

Lema 4.2. SeaXun espacio de Banach separable, la suma de dos elementos alea-torios es un elemento aleatorio.

Demostraci´on. SeanV1yV2 dos elementos aleatorios, si consideramos la suma

V1+V2.

Sif ∈X∗,luego

f(V1+V2) =f(V1) +f(V2)

y cada sumando es una variable aleatoria real, por tanto la suma tambi´en ser´a una variable aleatoria, entonces f(V1 + V2) es una variable aleatoria real para todo

elementof en el dual, luegoV1+V2es un elemento aleatorio.

4.2.

Distribuci ´on de probabilidad e independencia

Sea(Ω,A, P)un espacio de probabilidad y si V es un elemento aleatorio en un espacio m´etricoX,entonces

define una medida de probabilidad en (X, B(X)). A esta medidad de probabi-lidad PV la llamaremos distribuci ´on o ley de V, las siguientes definiciones se van a formular para un espacio m´etrico en general y m´as adelante se definir´a en espacios normados.

Definici ´on 4.3. Sean V1 y V2 dos elementos aleatorios en un espacio m´etricoX,

decimos queV1 yV2 son id´enticamente distribuidos si

P(V1 ∈B) =P(V2 ∈B)

para todo subconjunto borelianoB ∈ B(X), es decir, si la medida de probabili-dad inducida porV1 yV2 enX coinciden. Diremos que una familia de elementos

aleatorios enX es identicamente distribuida, si dos cualquiera de la familia son identicamente distribuidos.

Definici ´on 4.4. Dado un conjunto finito de elementos aleatorios{V1, ..., Vn}en un espacio m´etricoX, decimos que son independientes si

P(V1 ∈B1, ..., Vn∈Bn) =P(V1 ∈B1)...P(Vn∈Bn)

para toda colecci ´onB1, ..., Bn ∈ B(X). Decimos que una colecci ´on arbitraria de elementos aleatorios en X es independiente si todo subconjunto finito de ´esta, est´a formado por elementos aleatorios independientes.

Teorema 4.2. Sean V1 y V2 elementos aleatorios independientes e

id´enticamen-te distribuidos en un espacio m´etricoX, y seaφ una funci ´on Borel medible de X en otro espacio m´etrico Y. Entonces φ(V1) y φ(V2) son elementos aleatorios

independientes e id´enticamente distribuidos enY.

y comoV1 yV2 son elementos aleatorios id´enticamente distribuidos, entonces se

tiene que

P(V1 ∈B) =P(V2 ∈B)

por lo tanto

P(φ(V1)∈B1) =P(V2 ∈B) = P(V2 ∈φ−1(B1)) =P(φ(V2)∈B1)

concluyendo as´ıφ(V1)yφ(V2)son id´enticamente distribuidos.

Ahora seanB1,B2 ∈ B(Y),entonces

P(φ(V1)∈B1, φ(V2)∈B2) =P(V1 ∈φ−1(B1), V2 ∈φ−1(B2))

y por la independencia deV1yV2 se tiene que

P(V1 ∈φ−1(B1), V2 ∈φ−1(B2)) =P(V1 ∈φ−1(B1))P(V2 ∈φ−1(V2))

y por lo tanto resulta que

P(φ(V1)∈B1, φ(V2)∈B2) =P(φ(V1)∈B1)P(φ(V2)∈B2)

concluyendo as´ıφ(V1)yφ(V2)son independientes.

A continuaci ´on se ver´an algunas condiciones bajo las cuales se puede garantiza que dos elementos aleatorios son identicamente distribuidos en un espacio nor-mado.

Se precisa en primer lugar definir un concepto que ser´a de utilidad en esta sec-ci ´on.

Definici ´on 4.5. Una familiaF ⊆ B(X)se dice una clase determinante de proba-bilidad si dadasP yQprobabilidades sobre(X,B(X))se tiene

Adem´as notemos que por el Teorema4.1, que bajo la separabilidad deXtenemos B(C) = B(X),

luego el conjunto{{x ∈ X : f(x) < b} : f ∈ X∗, b ∈ _R}que genera B(C)es una clase determinate.

Definici ´on 4.6. DadoV un elemento aleatorio en un espacio de Banach separable X,se define la distribuci ´on de probabilidad deV, PV,como la probabilidad sobre

(X,B(X))definida porPV(B) = P(V−1(B)) =P(V ∈B). O sea,PV =P ◦V−1. Dos elementos aleatoriosV1yV2se dicen id´enticamente distribuidos siPV1 =PV2.

Lema 4.3. SeanV1 yV2dos elementos aleatorios enXid´enticamente distribuidos,

sea φ : X −→ Y medible, con X eY espacios de Banach. Luego, φ(V1) y φ(V2)

ser´an elementos aleatorios enY id´enticamente distribuidos.

Demostraci´on. SeaB ∈ B(Y),luego

P(φ(V1)∈B) =P(V1 ∈φ−1(B)),

y comoV1, V2son elementos aleatorios id´enticamente distribuidos tenemos que

P(V1 ∈φ−1(B)) =P(V2 ∈φ−1(B))

entonces

P(φ(V1)∈B) =P(V2 ∈φ−1(B)) = P(φ(V2)∈B),

por tantoφ(V1)yφ(V2)ser´an elementos aleatorios enY id´enticamente

distribui-dos.

elementos aleatorios enX. Entonces,V1yV2son id´enticamente distribuidos enX

si y s ´olo sif(V1)yf(V2)son variables aleatorias id´enticamente distribuidos para

todof ∈X∗.

Demostraci´on. ⇒)Supongamos queV1yV2son elementos aleatorios

id´enticamen-te distribuidos entonces seaB1 ∈ B(X),entoncesB =f−1(B1)∈ A,de donde

P(f(V1)∈B1) = P(V1 ∈f−1(B1))

=P(V1 ∈B)

ComoV1 yV2 son elementos aleatorios id´enticamente distribuidos tenemos que

P(V1 ∈B) =P(V2 ∈B)resultando,

P(f(V1)∈B1) = P(V2 ∈B)

=P(V2 ∈f−1(B1))

=P(f(V2)∈B1)

Por lo tantof(V1)yf(V2)son variables aleatorias igualmente distribuidas.

⇐)Supongamos quef(V1)yf(V2)son variables aleatorias id´enticamente

distri-buidos para cadaf ∈X∗.

SiPV1 =PV2 en la clase determinante

{{x∈X :f(x)< b}|f ∈X∗y b∈_R}

paraB(X),dondePV1 yPV2 son medidas de probabilidad inducidas enB(X)por V1yV2 respectivamente, entoncesV1 yV2son id´enticamente distribuidos, as´ı

PV1[{x:f(x)< b}] =P[V1 ∈ {x:f(x)< b}]

=P[V1 ∈f−1(−∞, b)]

Pero al serf(V1)yf(V2)variables aleatorias id´enticamente distribuidos para cada f ∈X∗,se tiene que PV1[{x:f(x)< b}] =P[f(V1)∈(−∞, b)] =P[f(V2)∈(−∞, b)] =P[V2 ∈f−1(−∞, b)] =P[V2 ∈ {x:f(x)< b}] =PV2[{x:f(x)< b}].

As´ı,V1 yV2son elementos aleatorios id´enticamente distribuidos enX.

Ahora se definir´a la noci ´on de independencia.

Definici ´on 4.7. Una familia {Vt : Ω −→ Xt, t ∈ A} de elementos aleatorios se dicen independientes si∀F ⊆Afinito,F ={t1, ..., tk},se tiene que

P \ t∈F {Vt∈Et} ! =Y t∈F P(Vt∈Et), ∀Et1 ∈ B(Xt1), ..., Etr ∈ B(Xtr).

Lema 4.4. SeanV1yV2dos elementos aleatorios enX1yX2respectivamente,

am-bos independientes. Seanφ1 :X1 −→Y1, φ2 :X2 −→Y2 medibles.X1, Y1, X2 yY2

espacios de Banach. Luego, φ1(V1)yφ2(V2)ser´an elementos aleatorios

indepen-dientes.

Demostraci´on. SeaB1 ∈B(Y1)yB2 ∈B(Y2), se cumple

P(φ(V1)∈B1, φ(V2)∈B2)) = P({V1 ∈φ−1(B1)} ∩ {V2 ∈φ−1(B2)})

Por la independencia deV1 yV2, la parte derecha de la igualdad es igual a

Teorema 4.4. SeanX1, X2 espacios de Banach separables. Entonces los elementos

aleatorios V1 y V2 en X1 y X2 son independientes si y s ´olo si f(V1) y g(V2) son

variables aleatorias independientes para todof ∈X₁∗yg ∈X₂∗.

Demostraci´on. Supongamos queV1 yV2son elementos aleatorios independientes.

Comof yg son funciones continuas, ser´an medibles y por lo tanto, por el Lema

4.4, f(V1)y g(V2) ser´an independientes. El rec´ıproca no es parte de este trabajo,

por lo que se recomienda revisar [4, p´ag 11,12].

4.3.

Valor esperado o Esperanza de un elemento

alea-torio

El valor esperado de un elemento aleatorio en un espacio normado separable puede ser definido por medio de la integral de Pettis que extiende la definici ´on de la integral de Lebesgue para funciones vectoriales en un espacio de medida, mediante la explotaci ´on de la dualidad. Antes de definir el valor esperado de un elemento aleatorio, se ver´an algunas definiciones y resultados.[19, p´ag. 102,108 y 113]

Definici ´on 4.8. Sea(Ω,A, P)un espacio de probabilidad, X un espacio de Banach separable y seaV : Ω −→ X una funci ´on, se dice que V es Pettis integrable si f(V)es Lebesgue integrable enΩ, para cadaf ∈ X∗, tal que existe un elemento m∈Xque satisface

f(m) =

Z

Ω

si el elemento m existe en X decimos entonces que V es Pettis integrable con respecto a la medida P, por otro lado tenemos tambi´en que se llama el valor medio o la esperanza del elemento aleatorioV, notado comom=

Z

Ω

V dP =E(V)

Definici ´on 4.9. SeaX de Banach separable yV un elemento aleatorio enX. Lla-maremos valor esperado deV a un elementom∈X que cumpla

f(m) = E(f(V)) =

Z

Ω

f(V(w))dP(w) ∀f ∈X∗. (4.5) En caso de existir tal elemento lo denotaremos porm=E(V).

Adem´as siX∗ es una familia de funciones que separa puntos,es decir, si tenemos m 6= 0 ∈ X entonces existe f ∈ X∗ tal que f(m) 6= 0 y en caso de existir el elementomque cumpla con la ecuaci ´on (4.5), este debe ser ´unico.[9, p´ag.20]

4.4.

Varianza de un elemento aleatorio

Definici ´on 4.10. SeaV un elemento aleatorio en un espacio de Banach separable X y supongamos que existe su valor esperadoE(V).Se define la varianza deV como σ2(V) =E(kV −E(V)k2_{) =} Z Ω kV −E(V)k2_dP siempre queσ2_(V)<∞.

Llamaremos desv´ıaci ´on est´andar deV aσ(V),la ra´ız cuadrada de la varianza.

4.5.

Propiedades de la Esperanza de un elemento

alea-torio

Teorema 4.5. SeaXun espacio de Banach separable,V yW dos elementos alea-torios enXyα∈Xun elementos fijo. Entonces

1. Si existeE(V)yE(W),entoncesE(V +W) = E(V) +E(W).

2. Si existeE(V)yr∈_R,entoncesE(rV) =r(E(V).)

3. SiV =αcon probabilidad1,entoncesE(V) =α.

4. SiV =αcon probabilidad1yβes una variable aleatoria tal queE(β)existe, entoncesE(βV) = (E(β))α.

5. Si T : X −→ Y es un operador lineal acotado y E(V) existe, entonces E(T(V))tambi´en existe y valeE(T(V)) = T(E(V)).

6. SiE(V)existe entonceskE(V)k ≤EkVk, pudiendo est´a ´ultima ser infinita.

Demostraci´on. 1. Seax=E(V) +E(W). Entonces

f(x) =f(E(V) +E(W)) =f(E(V)) +f(E(W)) =E(f(V)) +E(f(W)) =E(f(V) +f(W)) =E(f(V +W)) para todof ∈X∗. 2. Seax=r(E(V)). Entonces f(x) = f(r(E(V))) = r(f(E(V))) = r(E(f(V))) = E(r(f(V))) = E(f(rV)) para todof ∈X∗.

3. Tenemos que f(α) = E(f(V)) para todo f ∈ X∗, pues f(V) = f(α) con probabilidad1.

4. Tenemos que que

f((E(β))α) = (E(β))f(α) =E(βf(α)) =E(βf(V)) =E(f(βV))

para todof ∈X∗.

5. Seay=T(E(V)). Entonces sif ∈Y∗,

f(y) = f(T(E(V))) = f ◦T(E(V)) = E(f ◦ T(V)) = E(f(T(V))) pues f ◦T ∈X∗.

6. Seaf ∈X∗ tal quekfk= 1yf(E(V)) =kE(V)k. Entonces

kE(V)k=f(E(V)) =|f(E(V))|=|E(f(V))| ≤E|f(V)|

≤EkfkkVk=EkVk.

Definici ´on 4.11. SeaXun espacio de Banach separable. SiV es un elemento alea-torio enX siE(kVk)<+∞,entonces se dice queE(V)existe.[25]

4.6.

Covarianza de un elemento aleatorio

Definici ´on 4.12. En adelante se denota comoH a un espacio de Hilbert, que su-ponemos separable y recodemos queh., .iindica el producto interno en H y sea kVk2 _{=hV, Vi.}

Por otro lado siV yZson elementos aleatorios enH,entonces se sabe quekV−Zk es una variable aleatoria esto es gracias al Lema3.3por lo que deducimos que

hV, Zi= 1

4 kV +Zk

2_{− kV −Zk}2

!

es una variable aleatoria. Esto lo podr´ıamos obtener diciendo que al serH sepa-rable,

B(H×H) = B(H)×B(H);

luego tenemos que(V, Z)es un elemento aleatorio enH×H y como

h., .i:H×H −→_R

es una funci ´on continua,hV, Zies una variable aleatoria.

Supondremos adem´as que el elemento aleatorio tiene segundo momento finito, eso quiere decir queE(kVk2_{) <∞,donde se va a extender la idea de covarianza}

al caso de elementos aleatorios que toman valores e un espacio de Hilbert sepa-rable, en particularH =L2[0,1].

Definici ´on 4.13. Sean V,Z dos elementos aleatorios en H con E(kVk2_{) < ∞ y}

E(kZk2_{)<∞.Decimos queV, Zno son correlacionados si}

E(hV, Zi) = hE(V), E(Z)i.

Una familia arbitraria de elementos aleatorios es no correlacionada si dos cual-quiera de ellos lo son.

CuandoE(hV, Zi) = 0,decimos queV, Zson ortogonales. As´ı una familia arbitra-ria de elementos aleatorios enH es ortogonal si dos cualquiera de ellos los son. Si adem´as E(kVk2_{) = 1 para todo elemento de la familia, decimos que es una}

Observaci ´on 4.2. Si V, Z son tal que E(V) = E(Z) = 0, entonces V, Z son no correlacionados si y s ´olo siV, Zson ortogonales. Como

E(hV−E(V), Z−E(Z)i) = E(hV, Zi)−E(hV, E(Z)i)−E(hE(V), Zi)+hE(V), E(Z)i

y comoh., E(Z)iyhE(V), .ison elementos deH∗,de la definici ´on de valor espera-do obtenemos queE(hV, E(Z)i) =hE(V), E(Z)iyE(hE(V), Zi) =hE(V), E(Z)i. Entonces deducimos que

E(hV −E(V), Z−E(Z)i) =E(hV, Zi)− hE(V), E(Z)i.

Luego podemos afirmar que siV, Z son no correlacionados si y s ´olo siV −E(V)

yZ−E(Z)son ortogonales.

Definici ´on 4.14. Como los momentos segundos deV, Z son finito tenemos que E|hV, Zi| ≤EkVkkZk ≤(E(kVk2₎1/2_(E(kZk2₎₎1/2 _<∞

por la desigualdad de Cauchy-Schwarz los c´alculos que se realizar ´on nos permite definir la covarianza de dos elementos aleatoriosV, Z enH como

Cov(V, Z) =E(hV −E(V), Z−E(Z)i) =E(hV, Zi)− hE(V), E(Z)i

y tenemos que dos elementos aleatorios son no correlacionados si y s ´olo si su covarianza es cero.

Se defini ´o adem´as la varianza de un elemento aleatorioV como

σ2(V) =E(kV −E(V)k2_{) =}

Z

Ω

kV −E(V)k2_{dP =E(kV −E(V)k}2_{) = Cov(V, V)}

y obtenemos como en el caso real,

CAP´ITULO V

AN ´

ALISIS DE DATOS FUNCIONALES

Debido a los recientes avances en la inform´atica y la oportunidad de recoger y almacenar grandes vol ´umenes de datos de un sin n ´umero de situaciones prove-nientes de la qu´ımica, biom´etrica, medicina, econom´ıa e incluso datos provenien-tes de im´agenes o superficies, estos datos no son bien representados a trav´es de los esquemas cl´asicos como n ´umeros o vectores n ´umericos, raz ´on por la cual de-ben ser tratados desde un t´ermino m´as amplio, es decir, desde el an´alisis de datos funcionales(ADF) que se refiere al an´alisis est´adistico de datos que consisten en funciones aleatorias en un espacio funcional.

Desde la edici ´on [21], el an´alisis de datos funcionales se ha vuelo cada vez m´as popular en estas dos ´ultimas dec´adas, siendo recibida con gran apertura por la comunidad estad´ıstica, a continuaci ´on se mencionan importantes acontecimien-tos que dieron relevancia al an´alisis de daacontecimien-tos funcionales.

En el 2002, se realiz ´o una conferencia de verano en la investigaci ´on sobre Emer-ging Issues in Longitudinal Analysisque sirvi ´o de plataforma para las ideas que salen del an´alisis de datos longitudinales y el an´alisis de datos funcionales, sobre la base de est´a conferenciaStatistics Sinica se publica una edici ´on especial(vol

14, edici ´on 3) en el 2004, que hace referencia a la estrecha relaci ´on entre los datos longitudinales y los datos funcionales junto con dos art´ıculos deRice(2004), Fun-ctional and longitudinal data analysis: perspectives on smoothing, Statistica Sinicay

Davidian, M., Lin, X. Wang, J.-L. (2004), Introduction: emerging issues in longitudinal and functional data analysis, Statistica Sinica.

En el 2007, laComputational Statistics & Data Analysisp ´ublica una edici ´on es-pecial (vol 51, edici ´on 10) sobre an´alisis de datos funcionales, junto con el art´ıculo realizado porGonz´alez-Manteiga, W. Vieu, P. (2007), Statistics for functional data (edi-torial), Computational Statistics Data Analysis, m´as tardeComputational Statistics

que tambi´en p ´ublica una edici ´on especial (vol 22, edici ´on 3) referente al mode-lado de datos funcionales, junto con el art´ıculo deValderrama (2007), An overview to modelling functional data (editorial), Computational Statistics, por otro lado en el

Journal of Multivariate Analysis se publica una edici ´on especial (Vol 101, edi-ci ´on 2), que muestra una estrecha conexi ´on entre la an´alisis de datos funedi-cionales y la funci ´on de la estimaci ´on no param´etrica.

Adicionalmente a pesar de la estrecha relaci ´on que existe entre el an´alisis de datos funcionales, el an´alisis de datos multivariante y el an´alisis de datos longitudinal, el an´alisis de datos funcionales es ´unico, brindan la ventaja de extraer adicio-nalmente informaci ´on contenida en las funciones suaves y sus derivadas, lo que normalmente no se puede con los m´etodos del an´alisis de datos multivariados y longitudinales.

En base a la teor´ıa establecida en los cap´ıtulos anteriores se procedece a definir el elemento aleatorio (variable funcional) y estad´ısticos descriptivos en un contexto funcional en particular en un espacio de Hilbert separableL2_.

5.1.

Definici ´on de la variable y dato funcional

Como de aqu´ı en adelante se trabajar´an en espacios de Hilbert separables, asu-miremos queV es un elemento aleatorio simplemente, sin especificar si es en el sentido d´ebil o en el sentido fuerte de la definici ´on, esto es gracias al Teorema4.1

que se prob ´o en el cap´ıtulo anterior.

Definici ´on 5.1. Una varible aleatoriaV se llama variable funcional si toma valo-res en espacio funcional, es decir, un espacio infinito dimensional. Una observa-ci ´onxde la variable aleatoria funcionalV se denomina dato funcional. [13]

A continuaci ´on citamos un ejemplo del paquete depthTools del programa es-tad´ıstico R, el cual presenta una muestra aleatoria de 25 muestras de tumores no malignos (tumores normales) y25muestras de tumores malignos, donde se han medido los niveles de expresi ´on de100genes.

En el presente ejemplo,V es el nivel de expresi ´on de los genes (variable funcio-nal), que toma valores en un espacio funcional, y adem´as se considera como da-tos funcionales a estudiar al conjunto{x1, x2, ..., xn}que proviene den variables funcionales V1, V2, ..., Vn id´enticamente distribuidas como V, dichos datos

fun-cionales se hallan discretizados en un conjunto de puntos {tj}Kj=1, siendo K el

n ´umero de genes evaluados para cada una de lasnvariables funcionales, contan-do as´ı con una matriz de50filas que son las curvas discretizadas y100columnas que son los puntos a evaluar, donde las primeras 25filas son los niveles de ex-presi ´on de tumores no malignos (tumores normales) y las siguientes25son los tumores malignos. En la Figura5.1 tomado de [6], se muestra a continuaci ´on los diferentes niveles de los genes para los tumores no malignos (tumores normales) y tumores malignos, clasificados por color.

Figura 5.1: Datos Funcionales.

5.2.

Representaci ´on del dato funcional

Como primer paso del An´alisis de Datos Funcionales es reconstruir la forma fun-cional de las trayectorias muestrales a partir de los datos discretos observados, y al no disponer de la funci ´on original, es necesario obtener el mejor ajuste de dicha funci ´on a partir de los datos discretos. Supongamos que se dispone de una mues-tra de mues-trayectorias muesmues-trales de la variable funcional, que puede ser vista como un proceso estoc´astico en tiempo continuoV ={V(t) :t ∈ T}, teniendo presen-ta que las trayectorias pertenecen al espacio L2_{(T), as´ı el proceso estoc´astico es}

cuadrado integrable, a las que se denotan por