4.3 Función Logarítmica. Copyright Cengage Learning. All rights reserved.

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Función Logarítmica

La función que es inversa de la exponencial

f(x) = bx _{es la función logarítmica. Introducimos el}

vocabulario y la notación que nos permita escribir este concepto en forma abreviada.

y

=

b

log

y

= x

Definición: Entonces log_b y representa “el exponente” x

para elevar la base b y obtener la potencia y.”

potencia base

exponente

exponente

3

Función Logarítmica

Ejemplos

(a) log₂ (8)= 3, porque 3 es el exponente donde elevas a 2

para tener la potencia 8: 23 _{= 8}

(b) log₁₀(1/10) = –1, porque –1 es el exponente para que

10 se eleva para obtener 1/10: 10-1 _{= 1/10}

(c) log₅ 1 = 0, porque 0 es el exponente donde elevas 5

Función Logarítmica

Usando notación algebraica, sea y = f(x). Entonces

y =

log

x

es equivalente a

x

=

b

Llamamos a la ecuación

y

=

log

x

la

forma logarítmica

y la

ecuación equivalente

Función Logarítmica

Funciones Logarítmicas

Resumimos:

1. Por la prueba de la línea horizontal, f(x) = bx

es uno-a-uno y tiene una inversa. Esta función inversa escribe

f–1_{(x) = log}

b x

que representa el exponente para el cual la base b

genera la potencia x.

Función Logarítmica

Recuerda que la función exponencial f definida por f(x) =

bx es uno-a -uno. Se ve al aplicar la prueba de la línea horizontal.

La funcion exponencial y = bx _{es uno-a-uno.}

Gráfica de función Logarítmica

Conociendo la gráfica de la función exponencial y = bx _{, y}

que la función logarítmica es su inversa y = log_b x,

(intercambia los nombres x  y), se obtiene la gráfica simétrica a la identidad: y = x. La gráfica con b > 1 se muestra.

Función Logarítmica

Se observa que la función logarítmica y = log_b x en la Figura 3: siempre crece pero muy lentamente.

Función Logarítmica

Considere y = log₂ x, por ejemplo. Entonces ¿para qué

valor de x el valor de la curva alcanza la altura de y = 10?

Función Logarítmica

Contestar esta pregunta es resolver la ecuación

logarítmica, sustituyendo y = 10 en la ecuación y = log₂ x:

10

=

log

x

La forma exponencial de la ecuación anterior es:

x

=

2

= 1024

Se concluye que hay que pasar de 1000 en el eje de x

antes que y = log₂ x alcance una altura de y= 10 unidades.

Función Logarítmica

Precaución: En la tabla hay unos errores comunes que surgen al olvidar que log_b es el nombre de una función, No un número.

Ejemplo para Hallar el Dominio de una Función Logarítmica

Halle el dominio de la función f(x) = log₂(12 – 4x).

Solución:

Como se observa, el Dominio (entrada) de la función

logarítmica está restringido a números positivos: D = (0, ).

Ejemplo 1 –

Solución

Al Transformar la gráfica se requiere que 12 – 4x se positivo. Por lo tanto,

12 – 4x > 0 –4x > –12 x < 3

El dominio de la función f(x) = log₂(12 – 4x) es el intérvalo (– , 3).

Función Logaritmo Natural

Definición: La notación “ln” se usa para logaritmos de Base e

ln (x) significa log_e (x)

Ejemplo

1. ln e = 1 porque ln e = log_e e, es igual a 1, o sea: e1 _{= e}

2. ln(e2_{) = 2 porque ln(e}2_{) = log}

e(e2), que es igual a 2: e2 _{= e}2_.

Ejemplo 2: Gráfica de Transformaciones de ln x

Dibujar las gráficas de las siguientes funciones: (a) y = ln x;

(b) y = ln (x – 1) – 1.

Solución:

Ejemplo 2:

Solución

La gráfica se obtiene reflejando la gráfica de y = ex con respecto a la recta identidad y = x.

Figure

Ejemplo 2 –

Solución

Detalles de la gráfica: el dominio D = (0, ), el rango (recorrido) es todo número real: R = (- , ), No hay simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0 No pertenece al dominio.

Intercepto del eje- x: y = 0 implica 0 = ln x, que en forma esponencial equivale a: x = e0 _{= 1. Entonces el}

intercepto del eje de-x es (1,0).

La asíntota vertical (A.V.) es x = 0 (el eje de y) porque la función y = ln x va hacia -  cuando se acerca al eje de y por la derecha.

Ejemplo 2 –

Solución

En la otra esquina, la función y = ln x , crece sin asíntota (sin cota).

(b) La gráfica de y = ln(x – 1) – 1, es una transformación de

y = ln x , se mueve una unidad en la dirección positiva

(derecha) de x, 1 unidad en dirección negativa (abajo) de

y.

cont’d

Example 2 –

Solución

Detalles de la gráfica: el dominio D = (1, ), el rango (recorrido) es todo número real: R = (- , ), No hay simetría básica, no hay intercepto del eje-y, porque x=0 No pertenece al dominio.

Intercepto del eje de x: y = 0 implica 0 = ln(x – 1) – 1,

resolviendo: ln(x – 1) = 1. En forma exponencial: x – 1 = e1 _{. Resuelve para x: x = e}1 _{+ 1}

Entonces el intercepto de x es e + 1 ( 3.72).

Ejemplo 2 –

Solución

La asíntota vertical es x = 1, porque y = ln(x – 1) – 1

la gráfica tiende a -  , cuando x se acerca a 1 por la derecha.

Este comportamiento no cambia al mover la gráfica 1 unidad hacia abajo..

En la otra esquina, y = ln(x – 1) – 1 crece sin asíntota (sin cota).

Este comportamiento no cambia al trasladar la gráfica horizontal o verticalmente.