SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE NÚMEROS REALES

(1)

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

DE NÚMEROS REALES

Al finalizar el capítulo el alumno manejará operaciones con

números reales para la solución

(2)

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

MAPA CURRICULAR

1.1 Identificar los subconjuntos de los números reales de acuerdo

con su clasificación. 2 h

1.2Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con

números reales. 15 h

2.1 Realizar operaciones con expresiones algebraicas de acuerdo

con los procedimientos establecidos. 17 h

2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos

notables y factorización. 10 h

3.1 Resolver problemas que involucren la solución de una ecuación de primer grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

8 h 3.2 Resolver problemas que involucren la solución de sistemas de

ecuaciones de primer grado de acuerdo con los procedimientos

establecidos. 10 h

3.3 Resolver problemas que involucren la solución de ecuaciones de segundo grado de acuerdo con los procedimientos

establecidos. 10 h Módulo Matemáticas I Aritmética y Álgebra 72 h 1. Solución de problemas de números reales. 17 h 2. Manejo de expresiones algebraicas. 27 h 3. Solución de ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones de primer grado. 28 h Resultados del aprendizaje Unidad de aprendizaje

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SUMARIO

¾ Números reales

¾ Propiedades de los números reales

¾ Orden de las operaciones

¾ Leyes de las operaciones

¾ Aritmética de los números racionales e irracionales

¾ Aplicaciones de operaciones con números reales.

RESULTADO DEL APRENDIZAJE

1.1 Identificar los subconjuntos de

los números reales de acuerdo con su clasificación.

1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con números reales.

1.1 IDENTIFICAR LOS

SUBCONJUNTOS DE LOS

NÚMEROS REALES DE

ACUERDO CON SU

CLASIFICACIÓN

1.1.1 NÚMEROS REALES

Entrar al estudio de los números reales requiere identificar sus subconjuntos; para ello es necesario aclarar qué es un conjunto. Por definición, un conjunto es una colección de objetos o agregado de ideas de cualquier especie, siempre y cuando estén tan claros y definidos para decidir si pertenecen o no al conjunto.

A las ideas u objetos que forman un conjunto se les denomina elementos. La cantidad y características de éstos nos permiten saber el tamaño del conjunto. Un conjunto se representa gráficamente encerrando sus elementos dentro de un círculo:

A

• Subconjuntos

Todo conjunto puede ser un universo o un subconjunto, es decir, todos los conjuntos de dos o más elementos poseen la cualidad de ser divisibles en su interior. Cuando un conjunto forma parte de uno mayor se dice que es subconjunto de éste.

En el caso del conjunto F = {sábado, domingo}

que se encuentra incluido en el conjunto universo

B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Tenemos que el conjunto F es un subconjunto de B y se escribe: F ⊂ B. Donde “⊂” significa subconjunto de; si

Pedro

Juan Sara

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se encuentra tachado (⊄) dirá que no es subconjunto, no hay pertenencia.

El PSP: Dividirá al grupo equipos.

Los Alumnos:

Definirán cuatro conjuntos correspondientes a cada carrera. Identificarán sus elementos. Ejemplos:

a) El conjunto de docentes integrado por los maestros del plantel. b) El conjunto del material didáctico

utilizado en los salones de clase, que incluye gises, pizarrón, mapas,

plumones, borradores, etc.

• El conjunto de los números reales

Al conjunto de números enteros positivos se le denomina números naturales y se representan con la letra N, quedando:

N = {X | X es un número entero positivo}

Los números que hacen verdadera está oración abierta serían

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…} Los tres puntos indican que la sucesión continúa, pero no incluirán el cero ni los números negativos. Al conjunto de números enteros positivos que incluye el cero se le conoce como cardinales.

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.... } Por lo tanto N es un subconjunto de C; N ⊂C.

Al conjunto de los números cardinales y los enteros negativos se le conoce como de números enteros, E, por tanto N ⊂ C

⊂ E.

C = {…, -11, -10, -9, -8, 7, 6, 5 ,4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... }

Un conjunto universo de éste podría ser aquel que incluya los números fraccionarios, denominados racionales, sean estos, cualquier número que pueda expresarse como el cociente de dos enteros, en los cuales el divisor es diferente de cero. Se representa con la letra D.

Un número es racional si su parte decimal termina, es finita, como en el caso de ½ que en forma decimal es 0.5, o cuando termina en un dígito o grupo de éstos que se repiten, como 2/3 que en decimal es 0.66666.

Existe el complemento de este conjunto denominado como D’; son los números irracionales, en los cuales su representación decimal no es finita, ni de repetición, como sería π = 3.1416... ó √2 = 1.4142135... A la unión de los números racionales con los irracionales se le conoce como números reales.

Trabajo en equipo

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D ∪ D´ = R y siendo tanto D como D´ subconjuntos de R

Observación

El Alumno:

Observará los diferentes tipos de números que utilice en las actividades de un día.

Realizará una tabla con los números y la actividad.

Ejemplos:

a) El número que identifica a cada salón del plantel es un entero positivo.

b) La hora de llegada al plantel: 8:15, corresponde a los números reales.

• Recta numérica o de números reales

La Recta numérica o de números reales es una línea horizontal, como una regla, con un punto de origen en donde se coloca el cero; los números a la izquierda serán negativos y los de la derecha positivos.

Cada punto de la recta corresponderá a un número consecutivo y habrá la misma distancia entre ellos.

negativos positivos

cero u origen

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Realización del ejercicio

El Alumno:

Elaborará una síntesis acerca del conjunto de los números reales y sus subconjuntos, así como su representación en la recta numérica.

1.1.2. PROPIEDADES

DE

LOS NÚMEROS REALES

• Propiedad de Orden

En una recta numérica se podrán comparar dos números reales, el número que se encuentre a la izquierda será el menor y el de la derecha el mayor; para denotarlo se utilizarán los siguientes símbolos

Símbolo Significado Ejemplo

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Es la misma distancia del lado positivo que del negativo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 < Menor que -1 < 3 > Mayor que 3 > -1 ≤ Menor o igual que A ≤ 5 ≥ Mayor o igual que B ≥ 2 ≠ Desigual 3 ≠ 8

Es decir, el orden o lugar en el cual se encuentren dos números en la recta nos permite compararlos y saber cuál de ellos es menor o mayor que el otro.

• Valor absoluto y Valor relativo Se conoce como valor absoluto de un número a la distancia que existe entre éste y el cero o punto de origen en la recta. Cabe señalar que se ignora el signo que le anteceda, el valor absoluto siempre será positivo o cero. Su connotación se realiza poniendo al número entre barras verticales:

|-3 | = 3; se lee: el valor absoluto de -3 es 3.

|3| = 3, el valor absoluto de 3 es 3. En contraposición, el valor relativo de un número, es el que le es asignado dependiendo del lugar en el que se encuentre, es decir, si se sitúa en el lugar de las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

Tomando como ejemplo el número 5,358, valor relativo del ocho, por estar ubicado en el lugar de las unidades, es igual a su valor absoluto, es decir 8; en el caso del tres, por su ubicación en las centenas tiene un valor de 300 (3 × 100), cuando su valor absoluto es 3. Para el 5, su valor absoluto en los dos casos es el mismo; pero el valor relativo para el del lugar de las decenas será 50 y para el del lugar de las unidades de millar es 5,000.

• Operaciones con números reales

Existen cuatro operaciones básicas de los números reales, a saber: suma, resta, multiplicación y división. Al realizar ejercicios de cada una de ellas es muy importante considerar el signo de cada operando.

• Leyes de los signos

Para realizar multiplicaciones y divisiones de números reales, es fundamental conocer las leyes de los signos, pues indican que al multiplicar el valor disminuye

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

el valor aumenta

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o dividir dos números reales del mismo signo, el resultado tendrá un signo positivo, en caso de que los números tengan diferentes signos, el resultado será negativo.

Se aplica de la misma forma para el caso de la división.

Investigación documental

El Alumno:

Realizará un trabajo escrito con la descripción de las leyes de los signos para la adición, sustracción, multiplicación y división.

Realizará una tabla.

• Suma

Para sumar dos números reales con el mismo signo, se suman sus valores absolutos respetando el signo de ambos sumandos.

En cambio, si tenemos sumandos con signos diferentes, se resta el menor al mayor y se asigna el signo del que tenga mayor valor absoluto.

(-3) + (-5) = -8 (-2) + ( 7) = 5

( 5) + ( 6) = 11 ( 8) + (-3) = 5

• Resta

Siendo dos números reales a y b, la resta o diferencia de estos es lo mismo que sumar el opuesto del segundo al primero. a - b = a + (-b) (3) - (-4) = 3 + (4) = 7 (2) – (4) = 2 + (-4) = (-2) • Multiplicación Tratándose de la multiplicación de números reales, se operan los valores absolutos de los factores y al resultado se le anota el signo dependiendo de las leyes mencionadas; es decir, una vez realizado el producto de los dos números, si tienen el mismo signo el resultado será positivo, en caso contrario llevará negativo.

(a) × (b) = (c), (-a) × (-b) = (c), (-a) × (b) = (-c), (a) × (-b) = (-c)

El signo “×” de la multiplicación seguido de un paréntesis se acostumbra suprimirlo; o se sustituye por un punto o por un asterisco. Por ejemplo, para multiplicar (a) × (b) puede denotarse como a • b. (-5) (-8) = 40 (-2) ( 6) = -12 ( 4) ( 9) = 36 ( 1) (-9) = -9 a b Resultado ( + ) × ( + ) = ( + ) ( - ) × ( - ) = ( + ) ( + ) × ( - ) = ( - ) ( - ) × ( + ) = ( - )

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• División

Para la división entre números reales diferentes a cero, se lleva a cabo la operación entre los valores absolutos de los números; al cociente o resultado le asignamos un signo dependiendo de las leyes de los mismos; es decir, si ambos tienen el mismo signo, el resultado será positivo, si son de diferente signo será negativo.

(a) ÷ (b) = (c) (-a) ÷ (-b) = (c) (-a) ÷ (b) = (-c) (a) ÷ (-b) = (-c) (30) / (-2) = -15 ( 20) / ( 5) = 4 (-10) / (-2) = 5 (-50) / (10) = -5 Comparación de resultados con otros

compañeros

El Alumno:

Calculará el costo de sus estudios, considerando los gastos que realiza en transporte, vestido, alimentación, colegiatura, vivienda;

Comparará sus resultados con sus compañeros.

Ejemplo:

Concepto Alumno 1 Alumno 2 Transporte 360 500 Vivienda 3000 2500 Alimentación 1500 1300 Vestido 400 350 Colegiatura 200 200 Total $5,460 $4,850

1.2 RESOLVER PROBLEMAS

CON NÚMEROS REALES

En esta sección conoceremos el orden de las operaciones, sus leyes, la aritmética de los números racionales e irracionales y aplicaciones de operaciones para resolver problemas con números reales.

1.2.1 ORDEN DE LAS

OPERACIONES

• Propiedad de orden de las operaciones aritméticas

Existen reglas de orden para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, raíces, exponentes y paréntesis.

¾ Primero deben realizarse las raíces y exponentes

¾ Continuar con las

multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha

¾ Por último las sumas y restas.

• Signos de agrupación

Para dar prioridad de manera diferente a la anterior se utilizan los paréntesis y corchetes. Cuando éstos se presentan, primero se realizan las operaciones que se encuentren encerradas por ellos siguiendo el orden anterior, se debe considerar que si se encuentran varios

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paréntesis anidados, es decir, unos dentro de otros, se comienza de dentro hacia fuera. Para evitar confusiones sobre el inicio y final de un paréntesis se utilizan también corchetes los cuales funcionarán con el mismo orden, de dentro hacia fuera.

(-3 [2+5] + 8) + (2 + 11)=

En esta operación se resuelven primero los corchetes cuya función es la misma de los paréntesis, se utilizan para que sea más fácil su distinción:

(-3 [7] + 8) + (2 + 11) =

La manera adecuada de resolver el primer paréntesis requiere seguir con estricto apego el orden de las operaciones: la multiplicación antes de la suma, al mismo tiempo se puede resolver el segundo paréntesis, que sólo tiene una operación:

(-21 + 8) + (13) =

Se obtiene el resultado del primer paréntesis para, al final, completar las sumas y restas que falten por realizarse:

(-13) + (13) = 0

Comparación de resultados con otros

compañeros

El Alumno:

Realizará operaciones utilizando una hoja de cálculo y una calculadora

siguiendo y no siguiendo la prioridad del orden de las operaciones.

Comparará sus resultados con sus compañeros.

Presentará sus conclusiones. Ejemplo:

2 ( 4 + 3 ) + 3 ( -4 + 2 ) =

Tomando en cuenta el orden de las operaciones, se resuelven primero los ejercicios de adentro de los paréntesis, luego las multiplicaciones y al final se suman los resultados; dando un total de 8. Sin considerar los paréntesis y sólo realizando las operaciones de izquierda a derecha, el resultado obtenido sería -54.

1.2.2 LEYES DE LAS

OPERACIONES

Considerando que los valores de a, b y c pertenecen al conjunto de los números reales, la descripción de las propiedades de la suma es la siguiente:

• Propiedad de cerradura de la suma

La suma de a + b da como resultado un número real.

-15 + 7 = -8

• Propiedad de cerradura de la multiplicación

El producto de dos números reales será otro número real, a × b = c

(10)

15 × (-2) = -30

• Propiedad conmutativa de la suma

El orden en que se sumen a y b no afecta el resultado, sumar a + b es igual que sumar b+a:

10 + 3 + 7 = 20

Es lo mismo sumar primero 10 + 3 y a su resultado sumarle 7

(10 + 3) + 7 = 20 13 + 7 = 20 que sumar 3 +7 y agregarle 10

(3 + 7) + 10 = 20 10 + 10 = 20

• Propiedad conmutativa de la multiplicación

El orden de los factores no altera el producto. Dos números reales pueden multiplicarse en cualquier orden y dar el mismo producto: a × b = b × a 7 × 5 = 35 5 × 7 = 35 • Propiedad asociativa de la suma

En el caso de más de dos sumandos, estos se pueden asociar y darán el mismo resultado si a la suma de a + b, se le agrega c, que si a la suma de c + b se le agregara a.

3 + 5 + 1 + 8 + 9 + 5 =

En este caso podemos realizar la suma, es decir a 3 agregarle 5 y a su resultado 1, a éste 8 más 9 y al final sumarle 5 o se pueden ir agrupando para que sean menos sumandos

(3 + 5 + 1) + (8 + 9 +5) = 9 + 22 = 31

• Propiedad asociativa de la multiplicación

Al multiplicarse varios factores no importará en que orden se multipliquen siempre darán el mismo resultado

(a × b) × c = (a × c) × b = (c × b) × a (2 × 1) 5 = 10 (2 × 5) × 1 = 10 (5 × 1) × 2 = 10 • Propiedad distributiva

Para las operaciones del tipo a × (b + c), donde el número a multiplica a la suma de b + c, la propiedad distributiva nos dice que es igual realizar primero la suma del paréntesis (b + c) y después multiplicarla por a, que multiplicar cada uno de los sumandos y al final sumarlos:

(11)

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) 3 × (4 + 2) = 18

(3 × 4) + (3 × 2) =18

• Propiedad de identidad aditiva Si al número real se le adiciona el cero, el resultado seguirá siendo el mismo número, por eso al cero se le conoce como elemento de identidad para el caso de las sumas; a + 0 = a.

13 + 0 = 13

• Propiedad de identidad multiplicativa

Si multiplicamos u número real por 1, se obtendrá como resultado el mismo número; a × 1 = a

• Propiedad del inverso multiplicativo

Cualquier número real multiplicado por su recíproco, dará como resultado el número 1. a × 1_/ a = 1 5 × (1_/ 5 )= 1 9 × (1_/ 9 )= 1

Realización del ejercicio

El Alumno:

Resolverá un problema relacionado con un área específica de su especialidad, usando operaciones en las que deberá identificar los siguientes pasos:

• Plantear el problema en el lenguaje aritmético

• Realizará las operaciones aritméticas

• Interpretará los resultados obtenidos.

Si el ingreso de una persona es $5,000.00, y sus egresos mensuales son

Concepto Alumno 2 Transporte 500 Vivienda 2500 Alimentación 1300 Vestido 350 Colegiatura 200 Total $4,850 ¿Cuánto le queda para gastar en diversiones y otras actividades?

Planteamiento del problema en lenguaje matemático:

5000–(500+2500+1300+350+200)= Realizando las operaciones aritméticas se obtiene el resultado.

5000 – 4850 = 150

Interpretación del resultado. La persona tiene mensualmente $150.00 para diversiones y otras actividades.

1.2.3. ARITMÉTICA DE LOS

NÚMEROS RACIONALES E

IRRACIONALES

• Operaciones con números racionales

¿Recuerdas la definición de los números racionales? Son aquellos que

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representan el cociente de dos enteros, siempre y cuando el divisor sea diferente de cero.

En una división, el número que a dividir se denomina dividendo, y se coloca en la parte superior de la raya; el número entre el cual se divide se conoce como divisor y va en la parte de abajo.

a dividendo b divisor

Si la representación es con una diagonal, el primer número corresponderá al dividendo y el segundo al divisor:

dividendo a / b divisor

Cuando se trata de fracciones, se modifica el nombre al dividendo por

numerador y al divisor por

denominador.

Al resultado de la división se le conoce como cociente; una vez realizada la división, la parte no divisible se denomina residuo.

c cociente divisor b a dividendo

r residuo

• Teorema de la división

Aunque suene muy complicado, dividir dos números reales es equivalente a multiplicar el numerador por el recíproco del denominador, es decir

a = (a) × 1 = c, b b siempre que b≠0 10 = (10) × 1 = 2 5 5 • Conversión de fracción a decimal

Para convertir una fracción en un número decimal se requiere dividir el numerador entre el denominador; nuestro resultado, es decir, el cociente, será el decimal correspondiente a esa fracción.

15 = 1.5

10

5 = 0.5

10

En caso de que las fracciones tengan enteros en su expresión, se debe convertir a fracción impropia, es decir, colocar al entero como parte de la fracción. Esto se realiza multiplicando el denominador por el entero y sumándolo al numerador de éste; ahora ya se puede llevar a cabo la división y obtener el número en forma decimal; otra manera más sencilla es saber que el entero pasa a decimal como entero y realizar la división para obtener la parte decimal.

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• Operaciones con exponentes Hay algunos atajos o maneras de simplificar las multiplicaciones. Si se requiere realizar una operación de este tipo de un número que se repite varias veces, se utilizan los exponentes, es decir, un número pequeño ubicado arriba a la derecha de otro denominado base; este último es el número que se va a multiplicar varias veces y el exponente el número de veces a repetirse.

El ejercicio de la acción con exponentes se conoce como elevar un número a la n potencia, siendo n el exponente. Ejemplo: si desea multiplicar el 5, 4 veces, nuestro número base será el 5 y el exponente el 4 quedando:

54, _{lo cual equivale a} 5 × 5 × 5 × 5 × = 625 23₌₂_×₂_×_{2 = 8}

Si la base es un número racional negativo dependerá del exponente el signo del resultado. Si el segundo es un número non, el resultado será negativo; en el caso de par corresponderá un resultado positivo; ejemplificando es comprensible el porque:

(-3)5 ₌_{(-3)(-3)(-3) (-3)(-3) = -243,}

el primer par de números (-3)(-3) da un 9 positivo, al multiplicarlo por (-3) queda un (-27), al volver a multiplicar por otro negativo (-3) nos queda 81, el cual al multiplicarse por el último (-3) vuelve a convertir la cantidad en negativo.

Es posible ver que por cada par de negativos el producto es positivo, pero al incrementar otro vuelve a convertirse, por eso, cuando el exponente es impar el resultado será negativo.

Asimismo, cualquier cantidad elevada a la cero potencia es igual a 1:

100_{= 1} 30_{= 1} 1300_{= 1}

• Raíz cuadrada

El ejercicio denominado Raíz cuadrada nos permite encontrar qué número multiplicado por sí mismo es igual al original.

Para resolverlo, primero el número original se separa, de dos en dos, de derecha a izquierda:

44 , 1

luego se toma el primer grupo de la izquierda (el 1, en este caso) y buscamos un número que multiplicado por sí mismo sea igual o se aproxime

por

más _{2 = (3) (4) + 2 = 14 = 3.5}

4 4 4

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Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica 1 1 2 1 1 2 2 2

más al grupo; lo anotamos en una línea del lado derecho del radical:

√ 1,44

se multiplica el número por sí mismo, anotamos el resultado debajo del primer grupo y lo restamos para bajar el segundo grupo:

√ 1,44 1 0 44

el siguiente paso es colocar una línea horizontal debajo de aquella sobre la que se postra el uno y, sobre ella, colocamos un número que sea el doble de nuestro primer resultado, es decir, el doble de uno.

√ 1,44 1

0 44

después se busca un número, el cual se coloca tanto en la línea de resultados de arriba como en la de abajo, que al multiplicarlo por los números de abajo sea igual o se aproxime al resultado de la operación anterior: √ 1,44 1 0 44 44

se resta el producto de la operación al resultado de la resta anterior para tener un nuevo punto de inicio. Repetimos

los dos pasos anteriores hasta terminar todos los grupos.

Estudio individual

El Alumno:

Obtendrá, utilizando la calculadora y con el algoritmo, la raíz cuadrada de los siguientes números:

169 484 225 576

• Operaciones con exponentes fraccionarios

El campo de posibilidades de las matemáticas permite elevar un número a una potencia racional, aunque implica una labor más detallada su resolución:

1443/2₌_√₁₄₄3_{= 1,728}

Para resolver esta ecuación, se obtiene la raíz cuadrada de 144 elevado a la tercera potencia. Por el orden de las operaciones, tienen la misma prioridad las raíces y potencias, por tanto, es igual que se lleve a cabo primero la raíz y después se eleve a la tercera potencia, o lo contrario.

• Conversión de decimal a racional

Convertir un número decimal en racional necesita de la siguiente

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metodología: la parte entera del racional pasará como entero y la parte decimal deberá multiplicarse por el número que se desee sea el denominador del racional, el resultado de esta multiplicación quedará como numerador,

Para convertir 3.25 a fracción con denominador 4, es decir en cuartos, es necesario multiplicar la parte decimal, 0.25, por 4; el resultado corresponde al numerador y el denominador es el cuatro ya conocido. Los enteros pasan como tales y se obtiene como resultado 3¼.

1.2.4 APLICACONES DE

OPERACIONES CON

NÚMEROS REALES

• Razón y Proporción

Una razón es el cociente entre dos números y se puede escribir como una división o fracción o escribiendo dos puntos en forma vertical entre los números:

a : b que se lee a es b

Las razones comparan cantidades que se encuentren en la misma unidad, es decir pesos con pesos, gramos con gramos, litros con litros, de lo contrario no pueden ser comparables.

• Proporciones

Una proporción se forma con dos razones que son iguales y cuyo denominador no debe ser cero.

Una proporción puede expresarse de las siguientes formas

a : b :: c : d o a/b = c/d y se lee a es a b como c es a d

• Propiedad de la proporción

Considerando que a, b, c, d son números reales, donde b y d son diferentes de cero

a : b :: c : d entonces ad = bc

Teniendo esta propiedad en mente, es factible encontrar el valor cuando falta de conocerse una de las variables

En las proporciones el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Ejemplo:

6 : x :: 3 : 7

el producto de los extremos es 6 × 7 = 42, el de los medios será 3x conociendo que los productos deben ser iguales, se tiene que 3x = 42, despejando x = 42/3 dando como resultado x = 14

La proporción queda:

Realizar la práctica número 1. “Manejo de operaciones con números reales”.

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6 : 14 :: 3 : 7

Si son iguales los medios, se considera que es una proporción continua.

• Cuarta, tercera y media proporcional

• En una proporción, si a, b, c, d Son distintos, se dice que la proporción es discontinua y que a, b, c, y d son una cuarta proporcional geométrica.

• En una proporción, si los términos medios son iguales y los extremos distintos, se dice que la proporción es continua y que los términos extremos son tercera proporcional geométrica.

• En una proporción continua, los términos que se repiten se llaman media proporcional geométrica. 3 : x :: 15 : 5 cuarta proporcional T ercera proporcional 4 : 8 :: 8 : 16 cuarta proporcional

•

Tanto por ciento

Un tanto por ciento representa una fracción cuyo denominador es 100. Un porcentaje es la multiplicación de un número por un tanto por ciento.

25 / 100 = 25% 150 / 100 = 150%

Si se multiplica la cantidad 120 por el 0.25, se obtiene el 25 por ciento de 120

120 ×.25 = 30

•

Regla de tres

La regla de tres es un método de cálculo por medio del cual se obtiene una cantidad o incógnita, conociendo tres cantidades proporcionales, pasando del primer múltiplo a la unidad y deduciendo entonces el siguiente múltiplo

Por ejemplo:

Si tres pantalones cuestan $600.00 ¿Cuánto cuestan 5 pantalones?

La proporción será : 3 : 600 :: 5 : x la connotación queda Pantalones Precio 3 600 5 x Se multiplica 5 × 600 y el resultado se divide entre 3, es decir, 3000 ÷ 3 = 1000. por cinco pantalones se pagan $1,000.00.

Si utilizamos la ley conmutativa, sería igual a dividir 600 ÷ 3 y multiplicarlo por cinco, al realizar la división

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obtenemos el precio unitario de los pantalones, $200.00, posterior-mente se calcula el precio de cinco pantalones multiplicando el precio unitario por la cantidad de pantalones.

Investigación de campo

El Alumno:

Realizará una investigación grupal en una tienda departamental calculando los descuentos porcentuales de, al menos, 10 productos. Producto Precio $ Descuento % Neto $ Pantalón 400 30 280 Zapatos 500 20 400 Tenis 800 15 680 Calcetines 80 10 72 Suéter 600 25 450 Mochila 300 20 240 Lentes 1300 50 650 Reloj 450 0 450 Agenda 200 15 170 Disco 150 10 135

RESUELVE LOS SIGUIENTES

EJERCICIOS

Escribe en lenguaje aritmético: 1. Debe a su hermana $14.25

2. La Ciudad de México está a 2303 metros sobre el nivel del mar

3. La temperatura en invierno llegó a 15ºC bajo cero

Escribe el opuesto de cada número:

4. -1.75

5. - 10 6. 135

Escribe el valor absoluto de los siguientes números:

7. |-3 |

8. |3 2| 9. |-3.25|

Simplificar cada una de las siguientes expresiones: Ejemplo 11 + 2(6 + 4) – 3(1 + 3) Solución 11 + 2(10) – 3(4) 11 + 20 – 12 31 – 12 19 10. (7 + 3 + 2) ÷ 3 + 1 11. (7 + 3 + 2) ÷ (3 + 1) 12. 5(7 + 9) ÷ 4 + 3 13. 21 + 5(7 + 3) – 20

Escriba la cantidad como un problema de multiplicación repetitivo.

14. (-3)4 15. (5)3 16.(2)7

Escriba el problema de multiplicación repetitivo usando notación exponencial. 17. (-5) (-5) (-5) (-5)

18. –(5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5)

(18)

19. (-4)3 20. -52 21. (-3)4

Obtenga la raíz cuadrada de los siguientes números utilizando el algoritmo: 22. 576 23. 900 24. 289

RESULTADOS

1. -$14.25 2. + 2303 3. -15ºC 4. 1.75 5. 10 6. −135 7. 3 8. 3 2 9. 3.25 10. 5 11. 3 12. 23 13. 51 14. (-3) (-3) (-3) (-3) 15. (5) (5) (5) 16. (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 17. (-5)4 18. –(5)6 19. -64 20. 25 21. 81 22. 24 23. 30 24. 17

(19)

(20)

PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Unidad de

aprendizaje: 1

Práctica número: 1

Nombre de la

práctica: Manejo de operaciones con números reales.

Propósito de la

práctica: Al finalizar la práctica, el alumno aplicará conceptos y operaciones de números reales.

Escenario: Aula

Duración: 2 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

• Cartulina • Plumones • Hojas blancas tamaño carta • Lápiz y goma. • Calculadora.

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Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene.

• Limpiar el área de trabajo.

• Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Elaborar reunidos por equipos las definiciones de acuerdo a las instrucciones del

PSA, de los conceptos enlistados a continuación, repartiéndose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al número de equipos formados en el grupo.

- Enunciar el concepto de aritmética

- Identificar la simbología y terminología utilizadas en este curso - Enunciar la definición de números naturales, con ejemplos - Enunciar la definición de números enteros, con ejemplos - Enunciar la definición de número racional, con ejemplos

- Obtener fracciones equivalentes de un número racional, con ejemplos

- Representar con ejemplos un número racional en forma de razón y en forma decimal

- Transformar un número racional a decimal - Transformar un número decimal a racional

- Enunciar la definición de los números irracionales - Enunciar la definición de los números reales.

2. Elaborar en cartulinas las definiciones o las representaciones solicitadas. Cada equipo nombrará un relator que expondrá al grupo los resultados de sus trabajos, resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros.

3. Elaborar de la misma manera por equipo de una breve explicación de los temas enlistados, disponiendo de un tiempo determinado por el PSA para que al final se lleve a cabo una exposición breve de uno de los temas enlistados a continuación. - Propiedades de los números reales

- Enunciado de la ley de tricotomía en los números reales

- Grafica de la correspondencia de los números reales con la recta numérica - Ejemplos de operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación - Aplicación de las propiedades de los signos para la adición, multiplicación y

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Procedimiento

4. Transcribir el resultado o la respuesta ya elaborada correspondiente a la definición o representado de lo que se solicita, en una cartulina de manera mural. Cada equipo nombrará un relator que expondrá al grupo los resultados de sus trabajos, resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros.

5. Presentar conclusiones de los temas abordados por equipo.

6. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.

4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.

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LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 1: Manejo de operaciones con números reales

Fecha: ______________

Nombre del alumno: __________________________________________________________

Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño

del alumno.

De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño.

Desarrollo Si No No

Aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo

de la práctica.

• Limpió el área de trabajo

Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los

documentos de trabajo.

1. Elaboró por equipos las definiciones de acuerdo a las

instrucciones del PSA

- Enunció el concepto de aritmética - Identificó la simbología y terminología utilizadas en este

curso

- Enunció la definición de números naturales - Enunció la definición de números enteros - Enunciar la definición de número racional

- Obtuvo fracciones equivalentes de un número racional - Representó un número racional en forma de razón y en

forma decimal

- Transformó un número racional a decimal - Transformó un número decimal a racional

- Enunció la definición de los números irracionales - Enunció la definición de los números reales.

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Aplica

2. Elaboró en cartulinas las definiciones o representaciones solicitadas.

3. Cada equipo nombró un relator.

- El relator expuso al grupo los resultados de sus trabajos - Resolvieron dudas y preguntas.

4. Elaboró la explicación de los temas enlistados.

- De las propiedades de los números reales -- Enunciado de la ley de tricotomía en los números reales

- Grafica de la correspondencia de los números reales con la recta numérica

- Ejemplos de operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación

- Aplicación de las propiedades de los signos para la adición, multiplicación y potenciación con números racionales.

5. Transcribió el resultado o la respuesta ya elaborada

correspondiente a la definición o representado de lo que se solicita, en una cartulina de manera mural.

6. Cada equipo nombró un relator.

- Expuso al grupo los resultados de sus trabajos, resolviendo preguntas o dudas de sus compañeros 7. Presentó conclusiones de los temas por equipo.

8. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma.

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Aplica

4

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas. Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: