1 1.- Sea la función 2 1/x e x ) x (
f = . Se pide completar el siguiente cuadro y representar dicha función. Dominio y Simetrías } 0 { R− No tiene Asíntotas verticales x=0
Asíntotas horizontales No tiene
Asíntotas oblicuas No tiene
Crecimiento y Decrecimiento Crece en 1, 2 ⎛ ∞⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Decrece en
(
, 0)
0,1 2 ⎛ ⎞ −∞ ∪ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Máximos y Mínimos relativos Mínimo relativo en 2 1 e , 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Concavidad y convexidad Cóncava en D Puntos de inflexión No tiene2
2-Para la función g
( )
x =3 (x2 −4)2 completar el siguiente cuadro y representar dicha función. Dominioy Simetrías
R
Simétrica respecto del eje OY
Asíntotas Verticales No tiene
Asíntotas horizontales No tiene
Asíntotas oblicuas No tiene
Crecimiento y Decrecimiento Crece en
(
−2, 0) (
∪ 2,∞)
Decrece en(
−∞ − ∪, 2) ( )
0, 2 Máximos y Mínimos relativos Máximo relativo en(
3)
0, 16 Mínimos relativos en(
−2, 0 , 2, 0) ( )
Concavidad y convexidad Cóncava en(
−∞ −, 2 3) (
∪ 2 3,∞)
Convexa en(
−2 3, 2− ∪ −)
(
2, 2)
∪(
2, 2 3)
Puntos de inflexión(
2 3, 4 y) (
−2 3, 4)
3
3.- Se trata de resolver la ecuación x−2cos(3x)+ex =0.
• En primer lugar representamos la función y=x−2cos(3x)+ex
• ¿Cuántas raíces reales existen? 3
• ¿En qué intervalos se encuentran?
(
−2,−1)(
−1,0)( )
0,1• ¿Proporciona el comando Resolver alguna de ellas? NO
• En caso negativo dar una solución aproximada de cada una de ellas, utilizando en el menú de la ventana Algebra, los comandos: Resolver Expresión, Numérico, Intervalo.
238771 . 0 x ; 507968 . 0 x ; 37278 . 1 x1 =− 2 =− 3 =
4.- Sea f'(x)=e−x(5x2 −1) la función derivada de una cierta función y=f(x). a) Representar gráficamente f′
( )
xb) Hallar los puntos en donde f′
( )
x =0.5 5 x ; 5 5 x1 =− 2 =
4
A partir de ellos y del signo de f’(x):
c) Señalar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x) observando la gráfica.
d) Indicar los extremos relativos de f(x).
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 5 5 f , 5 5 en relativos mínimos 5 5 -f , 5 5 -en relativos máximos
e) Razonar si la función f puede estar acotada superior o inferiormente.
eriormente sup ada cot a está f luego , k ) x ( f 0 ) x ´( f lim Sí nte. inferiorme acotada está no por tanto y creciente nte estrictame es ) 5 5 ,- (-en ) x ´( f lim Sí R. en continua es f R en derivable ser Por x -x → ⇒ = ∞ ∞ = ⇒ ∞ → ∞ →
f) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de f(x).
)
5
5
,1
5
5
-(1
en
cóncava
es
f
y
)
,
5
5
(1
)
5
5
-,1
(-en
convexa
es
f
∞
∪
+
∞
+
g) Esbozar una posible gráfica de f(x) considerando que pase por el punto (0,0).
Verificar si es correcta. Para ello integrar la función f’(x) y representar gráficamente el resultado obtenido. ¿Pasa por (0,0)? NO Razona si es única la solución para f(x) constante. una en n diferencia se que soluciones infinitas hay caso otro En única. ser de ha f(x) (0,0) fijo punto un por pase que Exigiendo ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∞ ∪ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∞ 5 5 , 5 5 -en e decrecient es f , 5 5 5 5 , en creciente es f
5
• Escribir la integral indefinida de f’(x).
∫
=− − + + +k ) 9 x 10 x 5 ( e dx ) x ´( f x 2
• Hallar k para que f(x) pase por (0,0) k=9
• Represéntala ¿En qué se parece a la gráfica esbozada? SONPARECIDAS
5.-Completar el cuadro siguiente para la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎩ ⎨ ⎧ = = t cos y t tg x Campo de variación de t
R-{¹/2+k¹,k−Z}
Simetrías Simétrica respecto del eje Y
Periodicidad Las funciones tg t y cos t son periódicas de perio
do ¹ y 2¹ respectivamente, luego la curva es perió dica de periodo 2¹ Asíntotas verticales No tiene Asíntotas horizontales
y=0 es una asíntota horizontal
Asíntotas oblicuas No tiene
Intersección con las asíntotas
No tiene
Puntos críticos Los puntos críticos son para t=0, t=¹/2 y t=¹
Puntos de tangencia horizontal
Para t=0 el punto (0,1) es de tangencia horizontal
Puntos de tangencia vertical
No tiene
Refleja el estudio por ramas de la variación de la curva en el siguiente cuadro variación en t Variación en x Variación en y
Variación en (x,y) Signo de x’(t) Signo de y’(t) Signo de ( ) ( )( ) t x t y x y ′ ′ = ′ 0< < πt / 2 0<x<∞ 1>y>0
( )
0,1 →(∞,0) + - - / 2 t π < < π −∞<x<0 0>y>-1(
−∞,0) (
→ 0,−1)
+ - -6
Representar por ramas la curva dada
6.-Completar el cuadro siguiente para la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = − = 3 3 t t 1 y t 1 t x Campo de variación de t R-{0,1} Simetrías No tiene Periodicidad No tiene Asíntotas Verticales X=0
Asíntotas Horizontales Y=2
Asíntotas Oblicuas No tiene
Intersección con las asíntotas No tiene
Puntos críticos 3 1 x´(t) 0 t 2 3 y´(t) 0 t 2 = ⇒ = − = ⇒ = −
Puntos de tangencia horizontal 12 4 3
, para t
35 27 2
⎛− ⎞ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Puntos de tangencia vertical 3
3 3 4 1 , 4 2 para t 3 2 ⎛ ⎞ − − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
7
• Señala en R las ramas de la curva según los valores de t −3/2 -1/3 2 0 1 • Refleja el estudio por ramas de la variación de la curva en el siguiente cuadro
Variación de t Intervalo de x Intervalo de y
Variación en (x,y) Signo de x’(t) Signo de y’(t) Signo de y’(x) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−∞− 2 3 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 35 12 , 0 27 4 , 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (0, 0)→ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 27 4 , 35 12 - + - ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − 3 2 1 , 2 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 3 4 , 35 12 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 4 , 27 4 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 27 4 , 35 12 → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − , 4 2 3 4 3 3 - - + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ,0 2 1 3 3 ,0 4 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −