Enunciado
Dada la estructura de la Figura, idealizada mediante un marco con vigas rígidas y columnas inextensibles, sometida a una carga armónica lateral de 8 t, se pide:
1) Determinar desplazamientos máximos en ambos niveles
2) Momento flector, corte y esfuerzos normales máximos debidos a carga lateral en todos los elementos.
Figura 1. Idealización estructural
Procedimiento
1) Determinación de modos y frecuencias naturales 2) Determinación de coordenadas modales
3) Determinación de desplazamientos máximos 4) Determinación de diagramas para modos 1 y 2
5) Determinación de momento flector, corte y esfuerzo normal máximos para columnas de planta baja.
1) Determinación de frecuencias y modos naturales
Considerando que las columnas y vigas son inextensibles, y que las vigas son infinitamente rígidas a flexión. K 48 E⋅ ⋅I h3 24E I⋅ h3 − 24E I⋅ h3 − 24E I⋅ h3 := K 1921.973 960.987 − 960.987 − 960.987 t m = 2.9 m 2.9 m 4.75 m t (s) 11 tn 11 tn EI=977 t m2 EI=977 t m2 1 2 P(t)=8 t sin (30rad/s t)
Figura 2. Determinación de la matriz de rigidez condensada La matriz de masa, por otra parte, es obtenida dividiendo los pesos por la gravedad:
M 11 0 0 11 t g ⋅ := M 1.122 0 0 1.122 t sec2 m ⋅ =
En primera instancia, se determinan las frecuencias naturales resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de K-ω2M a cero:
1921.973 960.987 − 960.987 − 960.987 ω 2 1.122 0 0 1.122 ⋅ − 0 923521 3235− ⋅ω2+1.2589⋅ω4 0
La soluciones de la ecuación bi-cuadrática son las frecuencias naturales del primer y segundo modo: 2 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3
K
22= + 24EI/h
3K
12= - 24EI/h
3 2 1 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3K
21= - 24EI/h
3K
11= +48EI/h
3ω1 18.088rad sec := f1 ω1 2⋅π := f1 2.879Hz= T1 1 f1 := T1=0.347s ω2 47.353rad sec ⋅ := f2 ω2 2⋅π := f2 7.536Hz= T2 1 f2 := T2=0.133s
Puede verse que el período fundamental es 0.347 s, mientras que el segundo modo tiene un período de 0.133 s.
Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio dinámico para vibraciones libres: Para el modo 1 se plantea: 1921.973 960.987 − 960.987 − 960.987 ω1 2 1.122 0 0 1.122 ⋅ − φ1 1 φ1 2 ⋅ 1554.882 960.987 − 960.987 − 593.915 φ1 1 φ1 2 ⋅ 0 0
Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las componentes del vector φ1, para así obtener un sistema determinado. De esta manera, se elige la segunda componente (piso superior) con un valor unitario para obtener la forma modal del primer modo:
φ12:=1 φ11 960.987 1554.882 := φ1 0.618 1 =
La forma modal está graficada en la Figura 3.
Figura 3. Modos naturales de vibración
El segundo modo puede obtenerse en forma análoga al primero, utilizando la frecuencia circular correspondiente al segundo modo:
1921.973 960.987 − 960.987 − 960.987 ω2 2 1.122 0 0 1.122 ⋅ − φ2 1 φ2 2 ⋅ −593.915 960.987 − 960.987 − 1554.882 − φ2 1 φ2 2 ⋅ 0 0
1
2
0.618
1.000
1
-1.618
1.000
2
Dado que el sistema es singular, se escoge el valor de una de la componente del piso superior con valor unitario: φ21:=1 φ22 593.915 960.987 − := φ2 1 0.618 − =
2) Determinación de coordenadas modales
Modo 1
La masa y rigidez generalizadas del modo 1 resultan:
m1 i φ1i
( )
2 Mi i, ⋅∑
:= m1 1.55s 2 m t = k1:=ω12⋅m1 k1 507.1711 mt =La amplitud del vector de cargas generalizado del modo 1 resulta:
P 8 0 ⋅tonne := Q1:=φ1T⋅P Q1=(4.944) tonne
Dado que se trata de una carga armónica, la solución en régimen viene dada por:
q1 t( ) γ1 Q1 k1 ⋅ ⋅sin
(
Ω⋅t−θ1)
donde: β1 30rad sec ω1 := β1=1.659 γ1 1 1−β12(
)
2 2⋅ βξ⋅ 1(
)
2 + := θ1 atan(
2⋅ βξ⋅ 1)
1−β12(
)
:= 0 1 2 0 2 4 γ β( ) β 0 1 2 0 60 120 180 θ β( ) deg β γ1=0.569 θ1=174.588deg De esta manera: q1 t( ):=0.0055m sin 30t⋅ ( −174.588deg)Modo 2
La masa y rigidez generalizadas del modo 2 resultan:
m2 i φ2i
( )
2 Mi i, ⋅∑
:= m2 1.55s 2 m t = k2:=ω22⋅m2 k2 3475.8521 mt =La amplitud del vector de cargas generalizado del modo 2 resulta:
Q2:=φ2T⋅P Q2=( ) tonne8
La solución en régimen viene dada por:
q2 t( ) γ2 Q2 k2 ⋅ ⋅sin
(
Ω⋅t−θ2)
donde: β2 30rad sec ω2 := β2=0.634 γ2 1 1−β22(
)
2 2⋅ βξ⋅ 2(
)
2 + := θ2 atan(
2⋅ βξ⋅ 2)
1−β22(
)
:= 0 1 2 0 2 4 γ β( ) β 0 1 2 0 60 120 180 θ β( ) deg β γ2=1.661 θ2=6.041deg De esta manera: q2 t( ):=0.0038m sin⋅(
Ω⋅t−6.041deg)
3) Determinación de desplazamientos máximos
Los desplazamientos se obtienen multiplicando las coordenadas modales por los respectivos modos:
U t( ):=q1 t( )⋅φ1+q2 t( )⋅φ2
u1 t( ):=0.0055m 0.618⋅ ⋅(sin 30t( ) cos 174deg⋅ ( )−cos 30t( ) sin 174deg⋅ ( ))+0.0038m 1⋅ ⋅(sin 30 t( ⋅) cos 6 deg⋅ ( ⋅ )−cos 30 t( ⋅) sin 6 deg⋅ ( ⋅ ))
u1 t( ):=0.0004m sin 30t⋅ ( )−0.00075m cos 30t⋅ ( ) u1max:= (0.0004m)2+ (0.00075m)2 u1max 0.0009m=
u2 t( ):=0.0055m 1⋅ ⋅(sin 30t( ) cos 174deg⋅ ( )−cos 30t( ) sin 174deg⋅ ( )) +0.0038m 0.618⋅− ⋅(sin 30 t( ⋅) cos 6 deg⋅ ( ⋅ ) −cos 30 t( ⋅) sin 6 deg⋅ ( ⋅ ))
u2 t( ):=−0.0078m sin 30t⋅ ( )−0.0003m cos 30t⋅ ( ) u2max:= (0.0078m)2+ (0.0003m)2 u2max 0.0078m=
4) Determinación de diagramas de esfuerzos para modos 1 y 2
Las fuerzas elásticas en los miembros pueden calcularse para cada modo utilizando la matriz de rigidez multiplicada por los desplazamientos en los nudos. Esto es numéricamente equivalente a obtener las fuerzas como el producto de la masa de cada grado de libertad por el cuadrado de la frecuencia circular del modo, por la amplitud modal y por la coordenada modal:
ω12⋅q1⋅M⋅φ1 1.257 2.034 t = K q1⋅ ⋅φ1 1.258 2.035 t = ω22⋅q2⋅M⋅φ2 9.614 5.942 − t = K q2⋅ ⋅φ2 9.617 5.943 − t =
La Figura 4 muestra las fuerzas elásticas para cada modo. Los diagramas de esfuerzo pueden ser directamente obtenidos para cada modo resolviendo la estructura mediante métodos ya vistos.
Figura 4. Fuerzas elásticas en primer y segundo modo
Los diagramas de esfuerzos pueden ser determinados mediante alguno de los métodos ya vistos en el curso. Sin embargo, para el caso en consideración, los mismos pueden ser obtenidos considerando que se trata de columnas biempotradas en los distintos niveles. De esta manera, los diagramas de momento flector resultan triangulares, con valores opuestos en los extremos e iguales al producto del corte por la mitad de la altura (ver 1ra columna de matriz de rigidez de viga).
1
2
1.257 t
1er Modo
2do Modo
2.034 t
9.617 t
5.943 t
Los momentos flectores en las vigas resultan iguales a los momentos desequilibrados en los nudos con las columnas. Los esfuerzos normales en las columnas son los necesarios para equilibrar los momentos de extremo en las vigas. Por último, los esfuerzos de corte en las vigas resultan del equilibrio vertical de los distintos nudos, iguales a la diferencia de esfuerzos axiales en las columnas de los distintos pisos.
Las reacciones para cada modo se obtienen de los diagramas determinados en el punto anterior, considerando el extremo inferior de las columnas.
Figura 5. Diagramas resultantes y reacciones del primer modo
1.645 t
1.626 t
1.017 t
1.645 t
1.017
0.621 t
0.621 t
0.621 t
2.246 t
2.246 t
3.861 tm
1.475 tm
1.475 t
m
2.386 t
m
2.386 t
m
1.475 t
m
1.257 t
2.034 t
1.645 t
1.645 t
2.246 t
2.246 t
2.386 tm
2.386 tm
Corte Momento
Normal Reacciones
Figura 6. Diagramas resultantes y reacciones del segundo modo
6) Esfuerzos máximos en columnas
Los esfuerzos finales pueden determinarse por superposición de los modos de la siguiente manera:
E t( ) E1 sin 30rad t⋅ sec ⋅ −174 deg⋅ ⋅ E2 sin 30 rad sec ⋅ ⋅t−6 deg⋅ ⋅ + :=
Siendo E1 el esfuerzo (normal, corte o momento) en el modo 1 y E2 el esfuerzo en el modo 2. Desarrollando el seno de la diferencia de ángulos, la expresión anterior puede reescribirse como:
1.837 t
0.693 t
2.971 t
1.837 t
2.971 t
1.814 t
1.814 t
1.814 t
2.507 t
2.507 t
1.645 tm
4.309 t
m
2.664 t
m
4.309 tm
1.837 t
1.837 t
2.507 t
2.507 t
2.664 tm
2.664 tm
Corte Momento
4.309 tm
2.664 t
m
9.617 t
5.943 t
Normal Reacciones
E t( ) (E1 cos 174 deg⋅ ( ⋅ )+E2 cos 6 deg⋅ ( ⋅ )) sin 30rad t⋅ sec
⋅
⋅ (E2 sin 6 deg⋅ ( ⋅ ) +E1 sin 174 deg⋅ ( ⋅ )) cos 30rad t⋅ sec ⋅ ⋅ − :=
De esta manera, el valor máximo instantáneo del esfuerzo resulta:
Emax:= (E1 cos 174 deg⋅ ( ⋅ ) +E2 cos 6 deg⋅ ( ⋅ ))2+ (E2 sin 6 deg⋅ ( ⋅ )+ E1 sin 174 deg⋅ ( ⋅ ))2
Reemplazando de los diagramas, los valores máximos de los esfuerzos en las bases de las columnas resultan:
Nmax:= (2.246 cos 174 deg⋅ ( ⋅ )+ −2.507⋅cos 6 deg( ⋅ ))2+(−2.507⋅sin 6 deg( ⋅ )+ 2.246 sin 174 deg⋅ ( ⋅ ))2 Nmax 4.727=
Mmax:= (2.386 cos 174 deg⋅ ( ⋅ )+ 2.664 cos 6 deg⋅ ( ⋅ ))2+(2.664 sin 6 deg⋅ ( ⋅ )+ 2.386 sin 174 deg⋅ ( ⋅ ))2 Mmax 0.596=