CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace 511

Apéndice CI_UIII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace

Ejemplos de la Sección 3.6, propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación) Ejemplo CI.1

{ }

5

{ }

5 t t s s te = _{→ −} L L , entonces

(

)

2 2 5 1 1 ( ) 5 s s F s s _{→ − s} = = − Ejemplo CI.2

{ } { }

3 3 1 t s s t e− t → + = L L entonces

( )

(

)

4 4 1 3! 6 1 s s F s s = + _s = = +

Ejemplo CI.3 _L

{

_{t e}

(

−t _+e−2t

)

2

}

_=L

{

_{t e}

(

−2t _+2e−3t _+e−4t

)

}

_entonces

{ }

{ }

{ }

(

)

2

(

) (

2

)

2 3 4 1 1 2 2 2 3 s s s s s s t t t s s s → + + → + + → + = ₊ + ₊ + ₊ L L L 1 ₂ 4 Ejemplo CI.4

{

( )

}

{

( )

}

1 2 2 t s s e sen t− sen t → + = L L entonces

( )

(

)

2 2 1 2 2 4_{s s 1 4} F s s _{→ − s} = = + _{+ +}

Ejemplos de la sección 3.14, transformada inversa

Ejemplo CI.5 Determinar f t( )siendo ( ) ₂1

9

F s s

= +

1 2 2 ( ) k sen kt s k −   =  ₊    L

Siendo , entonces , observamos que no tenemos ese valor en el numerador, por lo que podemos multiplicar y dividir entre , recordemos que una transformada es una integral, de tal manera que podemos multiplicar y dividir entre una constante, y no se altera. 2 ₉ k = k =3 3 Así 1 1 2 2 1 1 3 3 9 9 s s −  ₌ −    ₊   ₊      L L

Por lo que antitransformando ( ) 1

( )

3 3

f t = sen t

Ejemplo CI.6 Determinar 1

2 1 7 s −     +   L

Observando que _k2 ₌₇ por lo que _{k = 7, debemos multiplicar y dividir por esa} constante, para completar la función y así aplicar la fórmula directa.

1 1 2 2 1 1 7 7 7 7 s s −   = −    ₊   ₊    _ _ L L Al antitransformar aplicamos 1 2 2 ( ) k sen kt s k −   =  ₊    L , por lo que ( ) 1

( )

7 7 f t = sen t

Ejemplos de la sección 3.16, propiedades de la trasformada inversa (linealidad, traslación)

Ejemplo CI.7 Encontrar la transformada inversa de Laplace

(

_1−e−t _+3e4t

)

_cos

( )

_3t

(

)

( )

{

_1−e−t _+3e4t _{cos 3t}

}

₌

{

_{cos 3t}

( )

}

₋

{

_e−t _{cos 3t}

( )

}

₊₃

{

_e4t_{cos 3t}

( )

}

( )

2 ₃2

{

cos 3

( )

}

_{s s 1} 3

{

cos 3

( )

}

_{s 4} s F s t t s → + → − = − + + L L s

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 4 3 9 _{1 9 4} s s s F s s _{s s} + − = − + + _{+ + −} 2 ₊ 9

Ejemplo CI.8 Determinar la transformada inversa de

(

)

3 1 3 s+

(

)

1 1 1 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 3 s s s s s s s − − − → + → +   _{  }  _{ = =}      +         L L L _ entonces

( )

1 2 3 2 t F s = t e−

Ejemplo CI.9 Determinar 1

2 1 4 10 s s −    _{− +}    L Haciendo

(

)

1 1 2 2 1 1 4 10 _{2 6} s s _s −   = −    _{− +}     L _ − + _ L entonces 1 1 2 2 2 1 1 6 6 6 6 t s s e s s − − → −    ₌    ₊   ₊       L L 2

( )

 , o sea 1

( )

3 6 t f t = sen t e

Ejemplo CI.10 Determinar la transformada inversa de ₂

6 1 s s + s+ 0 Reacomodando el denominador

(

)

1 1 2 _{6 10} 2 _{6 9 1} s s s s s s −   = −    _{+ +}   + + +   _ _ L L

Completando el numerador

(

)

(

)

1 1 2 2 3 3 3 1 3 1 s s s s −  ₌ −  + −      + + +         L + L Separando términos

(

)

(

)

(

)

1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 3 1 3 1 s s s s s s s s s s − − → + → +  ₊  _{ }  ₋ _{= −}    _{+ +} + + + +       L L _

Aplicando el teorema de traslación

( )

1 3 1 3

2 2 1 3 1 1 t t s f t e s s e −   − −   = _{ } − _{ } + +     L L −

Transformando inversamente _{f t}

( )

_=cos

( )

_{t e}−3t _{−2sen t e}

( )

−3t

Ejemplos de la sección 3.16.1, determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Ejemplo CI.11 Determinar la transformada inversa de

( )

(

)

2 2 s F s s = + Descomponiendo en fracciones parciales

(

)

2

(

) (

2 ₂

)

2 2 s A s s+ = s+ + + B s (1)

Multiplicando por el denominador del lado derecho del igual resulta s= +A Bs+2B

Factorizando s=

(

A+2B

)

+B , Asociando coeficientes de potencias iguales obtenemos 1

B= (2)

2

A+ B=0 (3)

Entonces sustituyendo (2) en (3) resulta 2

Sustituyendo (2) y (4) en (1), obtenemos

(

)

(

)

1 1 -1 2 2 2 1 2 2 2 s s s s −  ₌ −  − ₊       _{ +}   + +         L L L _ (5)

Aplicando a (5) el teorema de traslación en s

(

)

1 -1 -1 2 2 2 1 1 2 2 2 s s s s s s − → +   _{ }  _{= − +}        ₊    +       L L L

(

)

1 -1 2 -1 2 2 1 2 2 2 t s e s s s −  _{= −}   − ₊       _{ +}     +     L L L 1 _ Resultando _{( )f t = −2te}−2t _+e−2t

Ejemplo CI.12 Resolver la transformada inversa de

( )

(

)

3 2 2 2 1 s F s s s − = + Descomponiendo en fracciones parciales

(

)

3 2

(

) (

3

)

2 2 2 2 1 1 1 1 s A B C D s s s s s s s − = + + + + E + + + + (6) Multiplicando por _{s s}2

(

₊₁

)

3

(

)

3

( )(

)

3 _{2 2}

(

)

₂

(

)

2s− =2 A s+1 +B s s+1 +Cs +Ds s+ +1 Es s+1 2 (7) Haciendo s= −1, sustituyendo en (7) -4

( )

2 1 C = − -4 C = (8)

Haciendo s=0 y sustituyendo en (7), obtenemos -2= A, o bien -2

A= (9)

3 2 4 3 2 2 3 2 4 3 2s− = −2 2s −6s −6s− +2 Bs +3Bs +3Bs +Bs+ −3s +Ds +Ds +Es +2Es +Es2 2 ) Agrupando 4 3 2 2s− =2 s B E( + )+s ( 2 3− + B D+ +2 )E +s ( 6 3− + B− + +3 D E)+ − +s( 6 B)− Reduciendo términos Para _s4 _:Bs4 _+Es4 _{=s B E}4_{( + (10)} Para _s3 _{:− +s}3 _3Bs3 _+Ds3 _+2Es3 _=s3_{( 2 3− + B D+ +2 )E} (11) ) ) 2 B Para _s2 _{: −3s}2 _+3Bs2 _−3s2 _+Ds2 _+Es2 _=s2_{( 9 3− + B D E+ +} (12) Para s: − +3s Bs = − +s( 6 B (13) De (13) − +6 B= , por lo que 8 B= (14)

De (10) B E+ =0 por lo tanto E = − entonces

8 E = − (15) De (11) − +2 3B D+ +2E=0, o bien 3B D+ +2E=2 9 (16) De (12) − +9 3B D E+ + =0 o bien 3B D E+ + = (17)

De tal manera que sustituyendo (14) y (15) en (16)

( )

( )

3 8 + + − =D 2 8 2 obtenemos

6

D= − (18)

Sustituyendo los valores encontrados( (8), (9),(14), (15), (18)) en (6), obtenemos

(

)

3 2

(

) (

3

)

2 2 2 2 2 8 4 6 8 1 1 1 1 s s s s s s s s − ₌ − _{+ +} − ₊ − ₊ − + + + + (19)

Aplicando la inversa a (19) tenemos

1 1 1 1 -1 -1 2 3 2 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 8 4 6 8 ( 1) s _{s s s s s s} s s s s s s s − − − − → + → + → +1       − _{= −}  ₊  _{− − −}  ₊                      L L L L L L _  t Resultando _{f t( ) 8 2= − −t 8e}−t _−6te−t _−2t2_e− El resultado en MathCad sería

2 s. 2 s2.(s 1)3

2 t. 8 2 t.2.exp t( ) 6 t. .exp t( ) 8 exp t. ( ) L1

O sea f t( ) 2 t. 8 2 t.2.exp t( ) 6 t. .exp t( ) 8 exp t. ( )

Ejemplo CI.13 Encontrar la transformada inversa de

( )

₄ 6 ₂3

8 1 s F s s s 6 + = + + Factorizando el denominador

(

)

4 2 ₂ 6 3 6 3 8 16 ₄ s s s s _s 2 + ₌ + + + ₊

Separando los términos

(

₂

) (

2 ₂

) (

2 ₂

)

6 3 6 3 4 4 s s s s s + _{= +} + + +4 2 Aplicando fórmula

{

( )

}

(

_{2 2}

)

2 2ks tsen kt s k = + L y

{

( )

( )

}

(

)

3 2 2 2 2 cos k sen kt kt kt s k − = + L Completando

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 6 4 3 16 3 4 16 4 4 4 s s s s s s −  ₊ −  ₌ −  ₊ −          + + +         6L L L L ₂ 2 ₄   + Por lo que

( )

( )

( )

3 3 ( ) 2 2 2 cos 2 2 16 f t = tsen t + _sen t − t t _ Simplificando ( ) 3 cos 2

( )

3

( )

2 3

( )

2 8 2 16 f t = − t t + tsen t + sen t

La solución en MathCad sería

L1 6 s 3 s4 8 s2 16 3 8.t.cos 2 t( . ) 3 2.t.sin 2 t( . ) 3 16.sin 2 t( . )

Ejemplo CI.14 Determinar la solución de_y'' _−4y'_{+4y te=} 2t con condiciones iniciales de

'

(0) (0) 0

y = y =

Transformando cada término

( )

(

)

2 ' 2 1 ( ) (0) (0) 4 ( ) 4 (0) 4 2 s Y s sy y sY s y Y s s − − − + + = − (20)

Sustituyendo condiciones iniciales en (20) y simplificando

( )

(

)

2 2 1 ( ) 4 ( ) 4 2 s Y s sY s Y s s − + = − , factorizando

(

)

(

)

2 2 1 ( ) 4 4 2 s s s − + = − Y s Despejando

(

) (

2

)

2 1 1 ( ) 2 2 s s     = _{ } − _ − _ Y s

( )

(

)

4 1 2 Y s s    =  ₋     (21) Antitransformando

( )

( ) 1 4 2 1 s s y t s − → −    = _    

( )

1 4 1 3! 3! t y t e s −   = _{ }   L 2 _{, simplificando ( )} 1 3 2 9 t y t = t e

Ejemplo CI.15 Determinar la transformada Inversa de Laplace de

( )

₄1

9

F s s

= − Descomponiendo el denominador en factores

(

)(

)

4 2 2 1 1 9 3 3 s s s  _{ =}  ₋  − +  

Desarrollando fracciones parciales

4 2 2 1 9 3 As B Cs D s s s + + = + − − +3 3 3 (22)

Multiplicando ambos lados del igual por el denominador obtenemos

(

)

(

2

)

(

)

(

2

)

1= As B s+ + +3 Cs D s+ − Desarrollando 1_{= As}3 ₊3_{As Bs+} 2 _{+3B Cs+} 3 _{−3Cs Ds+} 2 _{− D} Agrupando ₁₌

(

_{A C s+}

)

3 ₊

(

_{B D s+}

)

2 ₊

(

_{3A−3C s}

) (

_{+ 3B−3D}

)

0 1

Asociando coeficientes de igual potencia obtenemos

0 A C+ = (23) 0 B D+ = (24) 3A−3C = (25) 3B−3D= (26) De (23) y (25), resolviéndolas simultáneamente 3 3 3 3 6 0 A C A C A 0 0 − = + = = Obtenemos A=0, C =0

De (24) y (26), resolviéndolas simultáneamente 3 3 3 3 6 1 B D B D B 1 0 − = + = = Obtenemos 1 1 6 6 B= y D = − Sustituyendo en (22) obtenemos ₄1 1 ₂1 1 ₂1 6 6 9 3 s s s    = _{ }− _ 3   −  −   + 

Por lo que completando 1 1 1

4 2 1 1 3 1 3 9 6 3 3 6 3 s s − − − 2 ₃ s         _{ = −}  ₋   ₋       +       L L L  Transformando inversamente 1 1 ( ) 3 3 6 3 6 3 f t = senh t− sen t ( ) 3 3 3 3 18 18 f t = − senh t− sen t