Funciones de proporcionalidad inversa y=k/x.

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES



Funciones lineales y=ax+b.

Son ecuaciones de primer grado en x y en y.



Funciones cuadráticas y=ax

2

+bx+c.

Se representan mediante parábolas. Para representar una parábola:

 se localiza el vértice. La x del vértice se calcula

a b x_v 2   . Se sustituye en la ecuación de la parábola y se calcula la y del vértice, y_v.

 Si a>0, el vértice es un mínimo. Si a>0, el vértice es un máximo.

 Se dan algunos valores a la izquierda y a la derecha del vértice (es simétrica).

 Si es necesario se calculan puntos de corte con los ejes…

Ejemplo: y50x5x2

___



Funciones raiz y=√kx.

Se representan mediante parábolas con el eje paralelo al eje X. Para que sea una función sólo podemos considerar uno de los dos valores de la raíz:        kx y kx y



Funciones de proporcionalidad inversa y=k/x.

Su representación gráfica son hipérbolas con las asíntotas paralelas a los ejes coordenados.



Funciones definidas “a trozos”.

Son funciones que están definidas de distintas formas según los valores de x. Las expresiones analíticas son peculiares:

      2 1 2 x si x si x y              4 3 4 0 1 0 1 2 2 x si x x si x si x x y

Hay que representar cada uno de los tramos en el intervalo indicado:



Valor absoluto de una función y=|f(x)|.

Recordemos que el valor absoluto de un número a coincide con a si es positivo o nulo, o con su opuesto, si es negativo:

       0 0 a si a a si a a .

La función y x se define, en consecuencia, así:

        0 0 x si x x si x x y .

En general, el valor absoluto de una función se define así:

 

 

_{ }

 

_{ }

        0 0 x f si x f x f si x f x f y

Ejercicio resuelto : Representa la siguiente función f

 

x  x2 5x4. Hallamos los puntos de corte de la función

4 5

2  

 x x

        4 1 0 4 5 2 1 2 x x x

x . Por tanto, entre 1 y 4 la gráfica sube sobre el eje X. Ejercicio resuelto: Representa la siguiente

funcióny 2x4, x



1,5



.



Funciones exponenciales y=a

x

.

Se trata de funciones definidas para todo número real, continuas, crecientes si a>1, y decrecientes si a<1. Todas ellas pasan por

 

0,1 y por

 

1,a .

La gráfica de la función x y        2 1 es simétrica, respecto del eje Y, de la de y2x. La razón de esto es la

siguiente:

 

   

x f

 

x f

 

x f y x f y x x x 2 1 2 1 2 2 / 1 2           

En matemáticas superiores la función yex es extraordinariamente importante. Tanto es así que cuando se habla de la función exponencial, sin mencionar cuál es su base, se está haciendo referencia a ella.

Crecen más deprisa que cualquier función potencial. Por ejemplo, aunque la función y x10 al principio es mayor que y2x, ésta “la supera” para valores suficientemente

grandes de x.



Funciones logarítmicas y=logax (a≥0 y a≠1).

La función inversa de yax es yloga x, por lo tanto ambas gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer-tercer cuadrantes (y=x)

Su crecimiento es más lento que el de cualquier función raíz. Por ejemplo, para valores muy grandes de x, ylog₂x es menor que _y10_{x . Todas ellas son continuas en}



0,



y pasan por los puntos

 

1,0 y

 

a,1 . Si a1, son crecientes. Su crecimiento es muy lento, tanto más cuanto mayor sea a. Si 0a1, son decrecientes.

En matemáticas superiores la función ylogexlnx es muy importante. Es la función inversa de la exponencial de base e.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE FUNCIONES

Veamos cómo se representan, a partir de una función y f

 

x conocida, otras funciones relacionadas con ella:



y=f(x)+k, y=f(x)-k, a partir de y=f(x)

Si k es un número positivo, la gráfica de y f

 

x k y la de y f

 

x k son como la de y f

 

x desplazadas k unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Ten en cuenta que k se le suma o se le resta a f

 

x , es decir, al valor de la función. Por tanto, la ordenada aumenta o disminuye k unidades. Por ejemplo:



y=-f(x), a partir de y=f(x)

La gráfica correspondiente a yf

 

x es la simétrica de la de y  f

 

x respecto del eje X. Ten en cuenta que la función f

 

x cambia de signo. Por tanto, la ordenada cambia de signo: si está por encima del eje X pasa a estar hacia abajo, y viceversa. Por ejemplo:

Ejercicio resuelto: Representar 2

x

y . A partir de ella representar: a)  2 3 x y b)  2 4 x y c) 2 x y

Ejercicio propuesto: Representar 2

4 1

x

y  . A partir de ella representa:

a) 5 4 1 2   x y b) 2 4 1 2   x y

Ejercicio propuesto: Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa:

a) 2 4 1 x y  b) 2 4 1 2    x y



y=kf(x), a partir de y=f(x)

La gráfica de ykf

 

x se obtiene multiplicando por k las ordenadas de la gráfica de

 

x

f

achata. Ten en cuenta que k se multiplica por f

 

x , es decir, por el valor de la función. Por tanto, la ordenada de cada punto se multiplica por k. Por ejemplo:

Si k es negativo, se obtiene la gráfica de k f

 

x y después, se halla su simétrica respecto del eje X.

Ejercicio resuelto : Representa: a) y2 x b) y3 x, a partir de la gráfica y  x. c) 5 2 2    x y a partir de yx2

Ejercicio : Representar 2

x

y . A partir de ella representa: a) 3 2 x y  b) 3 2 x y c) 8 3 2    x y

Ejercicio: Representa y1/x. A partir de ella representa: a) x y  2 b) x y2 c) 23 x y



y=f(x-a), y=f(x+a), a partir de y=f(x)

Si a es un número positivo, 1as gráficas de y  f



xa



e y f



xa



son como las de

 

x

f

y desplazadas a unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente. Por ejemplo:



y=f(-x), a partir de y=f(x)

La gráfica de y  f

 

x es simétrica a la de y  f

 

x respecto del eje Y.

Ejercicio resuelto: Representa x

y 1. A partir de esta gráfica, representar estas otras: a) 8 1   x y b) 6 1   x y .

Ejercicio resuelto: Representa y2 x. A partir de esta gráfica, representar estas otras: a) y2 x5 b) y2 x c)y2 



x7



Ejercicio: Representa 2 2 x

y . A partir de esta gráfica, representa estas otras: a)





2 8 2    x y b)





2 4 2    x y

Ejercicio: Representa y3 x. A partir de esta gráfica, representa estas otras: a) y3 x5 b) y3 x4 c) y3 x d) y3 



x2



Ejercicio resuelto: Representa 4

5 6 _    x y .

Ejercicio resuelto: Representa y2 x6 .

En resumen, veamos lo que le pasa a un punto P



x₀,y₀



de una función y f

 

x al aplicarle una transformación:

FUNCIÓN UN PUNTO

 

x f y 



x₀,y₀





x k



f y 



x₀,y₀ k





x k



f y 



x₀,y₀ k



 

x f y



x₀, y₀



 

x kf y



x0,ky0





x a



f y 



x₀ a,y₀





x a



f y 



x₀ a,y₀



 

x f y 



x₀,y₀



Ejercicio: Si y f

 

x pasa por

 

3,8 , di un punto de:

 

6  f x y , y f



x4



, y f

 

x 2 1  , y2f

 

x , yf

 

x ,

 

x f y   , y2f

 

x 3 Ejercicio: Representa: a) 3 8 4     x y b) y3 x10