a) Falsa. Los números decimales no periódicos no se pueden poner como fracción.

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Bloque I. Aritmética y álgebra

BACHILLERATO

Matemáticas I

A

utoevaluación

Página 100

1 Explica si es verdadera o falsa cada una de estas frases: a) Todo número decimal se puede expresar como fracción. b) La suma de dos números irracionales es irracional. c) Hay números irracionales que no son reales.

d) El producto de dos números irracionales puede ser un número racional. a) Falsa. Los números decimales no periódicos no se pueden poner como fracción. b) Falsa: π + (–π) = 0 ∈

c) Falsa. Lo snúmeros reales contienen a los números racionales y también a los irracionales. d) Verdadera: 2 22 22 22 22 2·· =2 ∈ ⊂

2 Dados los intervalos A = [1, 6) y B = (–2, 5], expresa como intervalo BB = (–2, 5], expresa como intervalo A B B B y y AB.

AB = (–2, 6); B = (–2, 6); B AB = [1, 5]B = [1, 5]B

3 Efectúa las siguientes operaciones y simplifi ca: a) aaaaaaaaaaaaaaaaa333333333333–––22222222222222222222222222222222222222222aaa aa aa aaaa aaa aaaaaaaa444aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa222222222222+++33333333333333333333333333333333333333333aaaaaaaaa aaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaa6aaaaaaaaaaaaaa333333333–––––––88aaaaaaaaaaaaaaaa1111111112 b) ((((((((((((((((((( 222222+ 333333))())))))))))))()))))(((((((( 6 16 16 1– )))))))))) c) 96 98– 18 30 3· d) 6 5 6 3 22 3 4 2 + 6 3+ 6 3 4 2 4 2 4 2 a) a aa aa aa a–––––––––––––––222222222222222222222222222a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a +a aa aa aa aa a++++++++++++++333333333333333333333333333a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a a a a aa aa aa a a aa a a aa aa a–––––––––––––––a aa aa aa aa aa aa aa aa a a a===============a aa a b) · · 4 6 7 2 3 2 ····3030 33 ···· 4 6 4 2 30 3 6 30 6 30 – ·· ==== ·· 3030 33==== = 7 2 7 2 7 2 4 6 4 6 4 6 ·· ·· 3 2 3 2 3 2 4 24 24 2 4 6 4 6 4 6 = = = = · = · = · · c) 12–––––––––––––– 22222222222222222222222222++++++++++++++ 111111181111111111111181811118888888888888–––––––––––––– 333333333333 2 3333 2 33==============2 3 –2 3––––––––––––– 2 32 32 3 22 32 32 32 32 3 22 3 2++++++++++++++ 2222222222222–––––––––––––– 3333333333333333============== 3 2 23 23 2+ d) ( ( ) ( ) ) 6 5 6 2 6( 2 6( 3 4 2 6 5 6 12 4 63 3 2 3 2 333 5 65 6 2 62 6 666 2 ) –( ) ( – 33 –66 2 2 )2 ( 2 )22 (3 23 2))22 + ( = + ( ) = + ) – = – + 2 2 – = – + 2 2 = = + 2 62 62 6 4 24 2 = + 4 2 = + 3 23 23 2 333333333= 5 65 65 65 65 65 65 65 6 2 62 62 62 62 62 6 666666666 4 64 64 6 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 + 2 2 = + 2 2 = 3 2 + = + = + = + – = – + –– = –– 6 5 6 6 6 3 4 6 6 5 6 6 3 2 3 2 6 3 2 8 66 3 23 2 44 6 – 4 6 – – 4 6 5 6– –3 2 5 6– –3 2 – 2 82 8 6–––– 666 3 23 23 23 2––––4444 = – – = = 5 65 65 6 – ––––––3 23 23 23 23 23 23 2 – 4 6 5 64 64 64 64 64 64 6 = 5 65 65 65 65 65 6–––––– 6 36 3+ –––– 66666666 =3 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 2––––44444444 = = = – – = = – – = = =

4 Expresa el resultado de la siguiente operación con tres cifras signifi cativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometido:

(5 · 10–18)(3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7)2 3,70 · 1011 |Error absoluto| < 0,005 · 1011 = 5 · 108 |Error relativo| < , · , · 3 7, · 3 7, ·, · 0, ·5 15 10 10 1· 0· 11 1 31 3, ·, ·, ·, · 05 15 1 8 3 =

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5 Si log k = –1,3 calcula el valor de estas expresiones:log klog k = –1,3 calcula el valor de estas expresiones: a) log k log klog k 3

b) log

k

1 c) log k

100

a) loglogloggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk33======333333333333333333llloglloglogllllllloglogloglllllllllllogllllogllogllllogloglogloglllllogllllloglllogllogloglogogogogogogogogogogogogkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk======333333333333333333( ,( ,( ,( ,( ,( ,( ,( ,( ,( , )( ,–––––1 31 31 31 31 31 31 31 3))))))))))==–––––3 93 9,,,,,,,,,,, b) loglogloggggggggggggg k11k ==============logll 1loglogllllogll 1llllogog11111111111111111111111111111111111––––––––––––logloglologlologlolololologlolololologloglologlologlo klo klologlolo klologlolologloglologloglolololologlogloggggggggggggkkkkkkkkkkkk==============000000000000000000000000 ( ,0000000000000––––––––––––( ,( ,( , ) ,( ,–1 31 3) ,) ,) ,) ,=1 31 3 c) loglogloggggggggggggg 100100kk ==========lllogllogloglllllll kllogogogkk––lologlologloglologlologg100100100==========–––––1 31 3 21 31 3,,,,,,,,, –––––22222222222===–––––333333333333,,3,,,,,,, 6 Calcula x aplicando la defi nición de logaritmo:xx aplicando la defi nición de logaritmo:

a) logloglog x22 = –1 b) ln x3 = – 21 a) log xlog xlo 11 88888 22 xx 88888 xx 4 1 g x2 g x=====1111 8888888888 2222––11===== 8888888888 = 2= g x g x g x 888 888 c mc mc m11 2 c m2 =c m = = = =c m = = = b) ln x 888 e 888 8 x e x x e 3 2 1 88888888888888 ––1 21 21 21 21 21 2////// 33 88888888888888 1 3 xx 33 ee = 8 = 8 = 888 e = 888 =– 88 e = 88 =– = === 88 xxxxx=== eeeee = 8 = 8 = =

7 Escribe los valores que puede tomar x para que sean válidas las siguientes expresiones:xx para que sean válidas las siguientes expresiones: a) | x 2 – 3 | = 1 b) | 5 – x | < 2 a) |x x x2 – 3| = 1 8 8 x 8 x x 8 x x 8 x x 8 x x x 3 1 x 3 1 x x x 4 3 1 x 3 1 x x x 2 xx x x x – – x x x x 3 1 x x – – x x 3 1 x x x 2 8 2 2 8 2 x2 x2 x 8 x x2 88 x2 x2 3 13 18 x2 x 3 1 x x2 x2 x 3 1 x x x 2 8 2 2 8 2 x2 x2 x 8 x x2 88 x2 x 8 x x2 x2 x2 33 11 x2 x 3 1 x x2 x2 x 3 1 x x x = = x = x = x 8 x x = 88 x = x 8 x x 3 1 x x = x = x 3 1 x x x = = x = x = x 8 x x = 88 x = x 8 x x 3 1 x x = x = x 3 1 x x x x 3 1 x x – – x x 3 1 x x = x = x 3 1 x x – – x x 3 1 x x x x x==2–2 x x 2 2 – = = Soluciones: x1 = 2; xxx = –2; x22 xx = 2; x33 xx = – 244 b) |5 – x | = 2 x x x x 2 8 3 2 8 3 x 2 x 3 x 8 x x 2 88 x 3 x 8 x 2 8 7 2 8 7 x 2 x 7 x 8 x x 2 88 x 7 x 8 x 5 5 – –xxxx x= x= x=22 x=33 x 2 x 3 x= x= x 2 x 3 x 8 x x 2 88 x 3 x= 88 x= x 2 88 x 3 x 8 x x= x= x= 22 x=77 x 2 x 7 x= x= x 2 x 7 x 8 x x 2 88 x 7 x= 88 x= x 2 88 x 7 x 8 x x xxx=– xx= –xx Soluciones: x1 = 3; xxx = 722

8 Escribe el cuarto término del desarrollo de

8 ex o ex o x e o x 2 e o 2 3 e 3o e 2 o e 2 o e o e o .

El cuarto término del desarrollo de eeeeeeeeexx2222 –– 33xxooooooooo8 es: ! !! ( ) x x x x x x 8 3 2 3 5 35 38! !! ! 2 ( )3 ( ) 56 32 x 32 x x 27 4 x x 4 x x 189x – ( )( )– xx xx 2 5 3 5 10 3 3 7 7 x7 x7 x7 189189x7 x 189x x7 x7 x 189x x7 x7 x7 x7 x7 2727 x7 x 27 x x7 x7 x 27 x x77 –– x77 x7 x7 x x = = xxxxxx77 == xxxxxx77 f ep o c m === == x= xxxxxxxxxxxxx77777777cccc mmmm xxxxxxxxxxxxxx77777777

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9 Calcula el término general de cada una de estas sucesiones; halla después la suma de los 20 pri-meros términos y, si es posible, calcula la suma de sus infi nitos términos:

a) 4 13 , 2, 4 3 , – 2 1 , – 4 7 … b) 8, 18, 32, 50, 72… c) 512 16, ,, ,, , 128 816 8 8, ,, ,, , 32… d) 18, – 6, 2, – 32 , 92 …

a) Progresión aritmética de diferencia d = d = d – .45

( ) a (n ) a 4 (n ) a 4 n a 13 n a 13 n an ((((((((n–––111)))))))) ––– an n a n a = + n a n a 4 n a = + n a 4 n a n a 13 n a = + n a 13 n a n–– c mc mc mc m–– 4455 a = + n a n c m a20====13 ( )1313444 ++++( )( )19c mc mc mc mc mc m–––––––4455 ==––––––– 412 S 4 2 13 20 3452 ·20 – ·20 – 20= + = · =– · – c 2 m c 412 m c– 41m c– m c m b) No es progresión. ( ) b (n ) b 2(((n 1))) b 2 n 1 b (n ) b 2((n 1)) bn (n ) bn n b n 2 b = n+ b =22((((n+11)))) b 2 n 1 b = n+ b 2 n 1 b (n ) b 2((n 1)) b = ((n+ )) b 2((n 1)) b (n )

Usamos la fórmula de la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales.

Para la suma que nos piden, tenemos que sumar desde 22 hasta (n + 1)2. Para eso, sumamos los cuadrados de los n + 1 primeros números naturales y le restamos 12.

S20=2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee((((((((((((((((((((((2020++++++++++++1 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 2)))))))))))))·())·())))·()))·(·( 0 2·(·(·(·(·( 0 2·(·(·(·( 0 2 2 20 20 20 2++++++++++++66 )·( ·)·( · 1 1( ·( ·( ·( ·2 22 22 21 11 11 11 11 1++ )) ––11ooooooooooooooooooooooooo

S20===========222cccccccccccccc2121 22···22222266 ··· 43···43 1 6––––1 61 61 61 61 61 61 61 61 6 6201 6mmmmmmmmmmmmmm===========

c) Progresión geométrica de razón r = r = r 2.

( ) ( ) cn========== 512512 2512 2( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )2222222222222222222222222222222222222222222222222222222 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn––––––––––11111111111111111111========== 2222222222222222222222222222222222222222 ( )2222222222222222299999999999999999999( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )22222222222222222222222222222 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn––––––––––1111111= 22222222222222222222222222222nn+8888888 c1= 512 c20= 228 · S 2 2 2 2 2 16 384 2 16 368 2 1 2 512 1 2 1 16 2 32 736 – – – – – – 20 28 29 9 = = = = + = = = =

d) Progresión geométrica de razón r = r = r – .31

d 18n dn d = c mc mc mc mc m–– 3311 n 1d20 18 – – 1291401632 d20 d ============1818c mc mc mc mc mc mc mc m––––––––––3131 19============–––––––––– 18 – · – – S 3 1 1 1291401632 31 129140163 1 743 392200 – – 20== == – · – – – – S@ S@ S = 1 31 18 2 27 + =

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10 Calcula la suma de los doce primeros términos de una progresión aritmética con a3 = 24 y

a2 + a11 = 41.

Expresamos las condiciones mediante un sistema de ecuaciones para calcular el término general de la sucesión: [ , , ] 8 8 a a d a a d a a a d a d 8 a d 8 8 8 a a d a [d , a [ , 8 41 24 a 24 d a d 8 a d 8 8 24 8 8 a d 8 8 aa 8dd 8 8 a d 8 8 8 8 8 a d 8 8 8 41 1 2 d 1 a 2 d a [d , a [ 1, 2 [d , a [ , 555,,,,,,,, aa 11166]]]]]]]] 3 2 a3 a2 a a 11 a11 a a a3 2 1 a2 a1 a a 1 2 a2 d a d 11 8 11 8 8 8 8 a d 8 8 11 8 8 a d 8 8 8 2 1 a2 a1 a a 1 2 , 1 ] 2 , 1 ] 1 2 2 1 1 222 255555555,,,,,,,,,,,,,,,,,, aaaa111111 11111111 ]]]]]]]]]]]]]]]]]] = + a = +a a33= +a22 a3 a2 a = +a a3 a2 a a = + a = +a a = +a33 + = a +a = a22+a11 = a2 a1 a +a = a2 a1 a +a 11= = +a d = +aaa2 ddd = +aa2 dd 8 a d 8 8 = + 8 8 a d 8 8 8 8 a d 8 8 24 8 8 a d 8 8 = + 8 8 a d 8 8 24 8 8 a d 8 8 8 + = a +a = a22+a11 = a2 a1 a +a = a2 a1 a +a 11= [d , a [ = , = [d , a [dddd== 1111, aaaa ==2222 [d , a [ 1, 2 [d , a [ = , = [d , a [ 1, 2 [d , a [ , [d , a [ – , [d , a [ = , = [d , a [ – , [d , a [ = 1111, 22=2222 ,55,,, 11 =11 ]]]] Z [ \ ] Z ] Z ] [ ] [ ]]] ] [ ] [ ] \ ] \ ]]] Z [ 8 [ 8 8 8 \ ] Z ] Z ] [ ] [ ]]] ] [ ] [ ] \ ] \ ]]] a1=26 ( )( ) a (n ) a 26 (n ) n a 26 n an ((((((((n 1 1––––1 11 11 11 11 11 11 11 1))( ))( ))))))( )( )( )( ) 27–––– – an n a n a = + n a n a 26 n a = + n a 26 n a n = · S12=aaaaaaaaa1111++2aaaaaaaaa11112 12 a12====27 12 152727 12––12==== · S12=26 15 12 2462+ =

11 Si al comienzo de cada año ingresamos 500 en un banco al 4 % anual, ¿cuánto dinero tendre-mos al fi nal del quinto año?

1.er año 2.º año 3.er año 4.º año 5.º año

500 500 · 1,045 500 500 · 1,044 500 500 · 1,043 500 500 · 1,042 500 500 · 1,04 Capital

El capital disponible al fi nal del 5.º año es la suma de los 5 primeros términos de una progresión geométrica con a1 = 500 · 1,04 y razón r = 1,04:r = 1,04:r

,

, , , ,

S== a r aa ra r a5555r––1a1111== 500 1 0···1 01 04 11 0,,,, 4 14 14 14 14 1551 01 0···, 4 1, ,,,,04 500 1 04 14 1––500500··1 0,, 4 2 816 49= €

12 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos avanzados e indica su límite: an = n 3 2 bn = 5 – n1 cn = n n1 2+ dn dn d = 44442222nnnnn+11115555 en = n n n 4 2 3n 2n 3n 2n 4 2– 4 2n n 3nn –2nn 3n 2n 2 2 3 2 2 3n 2n 3nn2 2nn 3n 2n f n fn f = ( ) n n n 4n 3n 4n 3n 1 2 ( )1 2 ( ) ( )– · ( )–11 ·22 ( )1 2 ( )– · ( )1 2 ( )11nn 22 3 2 n3 n2 n n 4 3 3 2 4n 3n 4nn3 3nn2 4n 3n 3 n n 4nn +3nn 4nn 3nn 4nn3 3nn2 4nn +3nn 4nn3 3nn2 4n 3n , ; a n3 aaaaaaaa 00,,,,,,000300030003;;;;;; aaaaaaaa 0 000003 n====== 2; a; aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa10101010000000000======00,,,,,,,,,,,,,,,,,,0003000300030003;;;;;;;;;;;;;;;;;; aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111111111000= l mílmí n3 02= , ; , ; bn=======55 –5 1– n; b; bbbbbbbbbbbbbbbbb100100100100=======4 94 94 94 9, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;9999999999 bbbbbbbbbbbbbbbbbb1 01 00000=4444444444 999 l ml mílm5 1 5– n= , ; , ; cn= n2n+1 cccccccccccccccccccccc100100=======100100100100, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;0101010101 cccccccccccccccccccccc1 0001 0001000=======1000 01 l ml mílmn 12n+ = +@ , ; , ; dn 44442 12 1nnnnn–5555 dddddddd 1,,,,,,,,965965965;;;;;;;; dddddddd 1 997 dn d = 2 12 1+ dddddddddddddd100100=======11,,,,,,,,,,,,965965;;;;;;;;;;;; dddddddddddddd1 00011 000000======= l ml mílm44442 12 12 12 1nnnnn+–5555=2 , ; e n n n e 4 2 3n 2n 3n 2n 1 499 4 2– 4 2n n 3nn –2nn 3n 2n n 2 2 3 2 2 3n 2n 3nn2 2nn 3n 2n 1 000 = ; = = ; e = = e1 = = 1 000= = 000= = = l m n n n 4 2 3n 2n 3n 2n 2 3 4 2– 4 2n n 3nn –2nn 3n 2n – l mílm3333nnnn222 22222nnnn =

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Matemáticas I ( ) ; , ; f n n n f 4n 3n 4n 3n 1 2 ( )1 2 ( ) 0 49963,,49963;; ( )– · ( )–11 ·22 ( )1 2 ( )– · ( )1 2 ( ) n fn f 113nn 22 2 n3 n2 n n 4 3 3 2 4n 3n 4nn3 3nn2 4n 3n 3 1 f1 f 000 = n n 4nn +3nn 4nn 3nn 4nn3 3nn2 4nn +3nn 4nn3 3nn2 4n 3n = fff11001=–0 49963,

Los términos pares se acercan a 21 y los impares a – 21 , luego no tiene límite.

13 Simplifi ca la expresión del término general de la siguiente sucesión e indica su límite:

an = n12 + n22 + n32 + … + nn2 Suma de 1, 2, 3, …, n es Sn= +12n n n n· = n nn n+2 2 8 a n n n n n n l mílmí n n n 2 2n 2 2n 2 21 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = n n+ n n = +n nn n++++++ 22 88 l ml mílmí n nílmí n n+++++++ = 14 Simplifi ca: a) x x x 1 3 2 x 3x 2 x x 2 2 x2 x x x x + x+ x +33x+22 x 3x 2 x + x+ x 3x 2 x x b) x x 3x x 4x x xx x x 3x 4 x5xx 3x224xx 4xxxx22xx 33xxxx x5 x4 x5 33x4 44 x 3x 4 x5 x4 x 3x 4 x x xxxxxx3333 3333xxxxxx2222 5 4 x5 x4 x x5 22x4 22x x 2x 2x x5 x4 x x 2x 2x x x x33 xx22 x + x + x +33x +44 x 3x 4 x + x + x 3x 4 x x x5 x4 x + x + x5 x4 x55+3333x44+4444 x 3x 4 x5 x4 x 3x 4 x + x + x 3x 4 x5 x4 x 3x 4 x xxxxxxx ++x22xxxxxxx ++xxxxxxxxxxxxxxxxxx22333333xxxxxxx++++++333333xxxxxxxxxxxxxxxxxx222222++++++ 5 4 x + x + x x5 x4 x x x x x 2x 2x x5 x4 x x 2x 2x x + x + x x 2x 2x x5 x4 x x 2x 2x x x x33++ 22 a) (( )()( )) x x x x x (x ) x (((xxxx )())(((xxxx )))) xx 1 3 2 x 3x 2 x x 1 1 ( 1) 1 (xx 11)((xx 11)) (x ) x ( 1) 1 (x ) x (((((((xxxxxxxx 1222222)())))()()(((((((xxxxxxxx 1111111)))))))))) 21 – 11 (((( –11)))) – 2 2 x2 x x x x + x+ x +33x+22 x 3x 2 x + x+ x 3x 2 x x = (x ) x ( + ) (x ) x (((((xx+22)))))((((xx+11) = +))) b) ( )( ) ( )( ) x x x x x x xx x x xx x(((( xxx )()))(xxx )) x x( ) x x( )((x x )) xx 3 4 x 3x 4 x xx x2xx xx2xx 33xx (((( xxxxxx 1111)))()(((((xxxxxx 1111)))))) 1 1 ( 1) 1 ( 11)((((((xx xx 11)))))) 1 5 4 x5 x4 x5 33x4 44 x 3x 4 x5 x4 x 3x 4 x x xxxxxx3333 3333xxxxxx2222 5 4 3 x5 x4 x3 x5 22x4 22x3 x 2x 2x x5 x4 x3 x 2x 2x x x x 2 2 2 ( 2 ) 2 ( 2 )(( ))2 ( x ) x ( 2 ) 2 ( x ) x ( 2 11) 11 2 ( 1) 1 ( 2 ) 2 ( 1) 1 ( 22 xxxx 1111)((((xxxx 1111))))22 ( x ) x ( 1) 1 ( x ) x ( 2 ) 2 ( x ) x ( 1) 1 ( x ) x ( 2 xxxx 11)((((((((xxxx 11))))))))2 2( ) 2 2( )( 2 ) 2 ( 2 ) x x2 2 x x( ) x x2(( )) 2 x x2222((((( 11111111)))())(((((((((((xxxx2222 xxxx 11111111)))))))))))) x + x + x +33x +44 x 3x 4 x + x + x 3x 4 x x x5 x4 x + x + x5 x4 x55+3333x44+4444 x 3x 4 x5 x4 x 3x 4 x + x + x 3x 4 x5 x4 x 3x 4 x xxxxxx +++x22xxxxxx +++xxxxxxxxxxxxxxxxxx22333333xxxxxx++++++333333+++xxxxxxxxxxxxxxxxxx222222++++++ 5+ 4+ 3+ 5 4 3 x5 x4 x3 x + x + x + x5 x4 x3 x x x x 2x 2x x5 x4 x3 x 2x 2x x + x + x + x 2x 2x x5 x4 x3 x 2x 2x x x x = ( + + ) ( ) ( x ) x ( + + ) ( x ) x ( ) ( 2 ) 2 ( + + ) ( 2 ) 2 ( ) ( x ) x ( 2 ) 2 ( x ) x ( + + ) ( x ) x ( 2 ) 2 ( x ) x ((((((((22+++++11111111)))))))((((((((((((111x1x11xx)((((((((((((+++++xxxx++11111111111111)))))))))))))))))))2))2))) 2(( + )) 2+ 2( 1) 2 1 2 +11 2+ 11 2(( 11)) 2 11 2(((( +11)))) 2+ 11 2(( 11))(( 2 11)) 2 +11 (((( 2+ 11)))) 2 11 ((((((xx2 xx 11)))))) 2 +11 ((((((((xxxx2+xxxx 11)))))))) 2 111 ((((((((xx2 xx+111))))))) ) = + 15 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) (x a) (x a) ( + 4)xx + 4)2 – 7 = (2x + 3)xx + 3)2 + 2x b) 8x 6 – 7x – 7x – 7 3 – 1 = 0 c) 3 23 23 2 + – x 1 – = 5 x d) 3x 5 – 4x – 4x – 4 4 – 5x 3 + 2x 2 = 0 a) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222222222222222+ ++ ++ ++ +1616161616161616161616 88888888xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx–77777777======444444444444444444xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222222222222222++++++999999999999999999+++12121212xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2xxxxxxx+++ x ( ) x x x xx x(( )) 3x 6x 3x2 6x 00 88 33 (( 2 02 0)) 3 2 6 3x 6x 3xx2 6xx 3xxxx ++6xxxx== 3xx +6xx= 3x 6x (((((( + =+ =+ =2 02 02 02 0)))))) xx==02 Soluciones: x1 = 0, xxx = –222

b) x88888888xxxxxxxxxxxxxx6666–––77777777xxxxxxxxxxxxxxx3333–––1 01 01 0. Hacemos el cambio de variable x x x= 3 = y. 8 y y y 8y 7y 8yyyy ––7yyyy 1 0–– 77± 9 32± 4416 7 97 916±± 8yy –7yy– 8y2 7y 8 2 7 8y 7y 8yy2 7yy 8y 7y 1 01 0==== 88 yy====777 4449 3 =9 3+ = == yy==11 81 8/// y = 1 y = 1 y 8 x = 1x = 1x y = – y = – y 81 8 x = – x = – x 21 Soluciones: x1 = 1, xxx = – 22 21 c) 3 23 23 2––––––––––– xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx++++++++++ 1111111111–––––––––––xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx==========5555555555 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 3 23 23 23 2––––––– xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx==55555555555555––––––– 11111111111111–xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 8 3 23 2 (3 2––– xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx====================(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((5555555555555555555555–– 1111111111111111111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 3 23 23 23 23 23 23 23 2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx====================262626––1010101010 11111–––xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 8 10 111111111111111111111111––––––x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x= += += += += += +222222222222322222222222233 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 100100100100(((((((((((((((((((((((((((((((((11111111111111111––––––––xxxxxxxxxxxxxxxxx)) ()))) ()))))) () ()))))))))) ()))) ())))))= += += +(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((xxxxxxxxxxxxxxxxx 2222222222222222233)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))22 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 8 100 – 100x = x = x x x x2 + 46x + 529 x + 529 x 8 x x x2 + 146x + 429 = 0 x + 429 = 0 x 8 x = –3; x = –3; x x = –143 no válidax = –143 no válidax Solución: x = –3x = –3x d) 3x x x5 – 4x x x4 – 5x x x3 + 2x x x2 = x x x2(3x x x3 – 4x x x2 – 5x + 2) =x + 2) =x = x x x2(x + 1)(x + 1)(x x – 2)(3x – 2)(3x x – 1)x – 1)x Soluciones: x1 = 0; xxx = –1; x22 x = 2; xx33 xx = 44 31 3 – 4 –5 2 –1 –3 7 –2 3 –7 2 0 2 6 –2 3 –1 0

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