POTENCIA:
Eje y centro radical. Sección áurea. Rectificación de
la circunferencia.
POTENCIA
Llamamos potencia de un punto P respecto de una circunferencia c al producto Pot = PA. PB = K,
siendo los puntos A y B los de inte rsección de la circunferencia con la recta secante trazada desde el punto P.
Si el punto P es exterior a la
circunferencia, la potencia es positiva, pues los segmentos PA y P B están orientado en el mismo sentido.
Dada la semejanza de los triángulos PAD semejante al PCB, por tener los tres ángulos iguales ya que los ángulos en B y D son iguales por estar inscritos en una circunferencia que abarca el mismo arco, podemos establecer la
siguiente igualdad:
Se cumple pues que cualquier recta secante que pase por P el producto de las distancias desde P a los puntos de intersección con la circunferencia, son iguales.
La propiedad fundamental de la potencia de un punto respecto de una circunferencia es inde-pendiente de la secante elegida.
Tanto en el caso que el punto P sea exterior, como interior, los triángulos que se forman son s e-mejantes.
Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos, se tiene:
PB
PD
PC
PA
=
por tantoK
PC
PD
PB
PA
⋅
=
⋅
=
= Potencia de P.Se llaman lados homólogos los lados de dos triángulos semejantes opuestos a ángulos iguales. P
D
A
C B
Los ángulos en A y C son iguales por estar inscritos en una misma circunferencia y abarcar el mismo arco. Los ángulo D y C también son iguales por el mismo motivo. P A B D C
c
K
de
Potencia
K
PB
PA
PD
PC
PD
PB
PA
PC
=
⇒
⋅
=
⋅
=
=
⋅
⋅
VALOR REPRESENTATIVO DE LA POTENCIA
Cuando el punto P es exterior a la circunferencia la tangente t puede considerarse como la posi-ción límite de una secante, y el punto T como posición límite común de las intersecciones A y B.
Potencia de P =
PA
⋅
PAB
=
PT
⋅
PT
=
PT
2=
K
.
de donde
PA
PB
PT
2PT
PA
PB
PT
=
⋅
⇒
=
EJE RADICALSe llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que las contiene que tienen la misma potencia, respecto de ambas.
TEOREMA
El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de dos circunferencias y pasa por el punto medio de las rectas tangentes exteriores.
Se nos plantean dos casos: aquellos en que las circunferencias son tangentes o secantes y aquellas en que son exteriores o una es interior a la otra.
1. En el caso de las circunferencias secantes y tangentes el hallar el eje radical es muy simple, ya que los puntos de corte o de tangencia tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias. Por tanto se trazará por esos puntos perpendiculares a la recta que pasa por ambos centros.
Los ángulos en B y T son iguales por estar el ángulo B inscrito en una cir-cunferencia, y T seminscrito en la misma circunferencia y abarcar el mismo arco.
P
A
B
T
α/2 α/2 αT
S
P
Q
T
S
O
O
1 2 1 2 1 2 Potencia de P=
PT
22=
PT
12=
QS
12=
QS
22
2. En el caso de circunferencias sin puntos comunes se utiliza una circunferencia auxiliar O3 secante a
las otras dos como elemento auxiliar para determinar un punto de igual potencia respecto a ellas. Para ello se encontrará el punto de intersección entre los ejes radicales O1 y O3 y de O2y O3. Este
punto por estar en ambos ejes radicales tendrá igual potencia respecto a las tres circunferencias, y por tanto respecto a las dos circunferencias del problema. Tan sólo resta trazar por él una perpendi-cular a la recta que pasa por los centros de las circunferencias.
3. Un caso particular sería el de las circunferencias concéntricas, en cuyo caso no existe eje radical (propio).
PROPIEDADES DEL EJE RADICAL.
1. La porción exterior del eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos desde donde se pueden trazar a las dos circunferencias tangentes iguales.
2. El eje radical pasa por el punto medio de los segmentos de las tangentes comunes a las dos circun-ferencias limitadas por los puntos de contacto. Si las circuncircun-ferencias son exteriores admiten cuatro tangentes comunes y los cuatro puntos medios de dichos segmentos están en línea recta.
3. Todo punto tomado en el eje radical y exterior a las dos circunferencias, es el centro de una circunfe-rencia ortogonal a las dos dadas.
O1 O2 Eje radical O1 O2 Eje radical O1 O2 Eje radical O3 O1 O 2 Eje radical O3
CENTRO RADICAL
Llamaremos centro radical (CR) de tres circunferencias a aquel cuya potencia es la misma res-pecto a las tres circunferencias. Este punto se construirá tal y como hemos definido en el apartado ante-rior. Se determinan los ejes radicales de dos parejas de circunferencias, y el punto de intersección es el centro radical de las tres.
TEOREMA
Los ejes radicales de tres circunferencias, tomados dos a dos, concurren en un punto, que se llama centro radical.
PROPEDADES
Cuando el CR es exterior a las tres circunferencias, es el centro de una circunferencia ortogonal a las tres.
HAZ DE CIRCUNFERENCIAS
Es el conjunto de circunferencias que tienen el mismo eje radical, es decir, todos los puntos del eje radical tienen la misma potencia respecto a todas las circunferencias que pertenecen al haz.
Para cada una de las tres posiciones relativas al eje radical respecto a la circunferencia O1se
cumplirá:
1. En el caso en que el eje es tangente a O1, todas las circunferencias del haz tienen el centro en la
recta perpendicular al eje por el centro de la circunferencia y son tangentes a la misma.
2. En el caso en el eje sea secante, las circunferencias del haz deben tener su centro en la recta perpendicular al eje que pasa por el centro de las circunferencias y contener a los puntos secan-tes.
O
1O
2O
3CR
O1 Eje radical
O
1O
2d
r
1r
23. En el caso en que el eje radical sea exterior a las circunferencias, deberá serlo respecto a todas las del haz.
CIRCUNFERENCIA ORTOGONAL
Dos circunferencias se cortan ortogonalmente cuando las tangentes en uno de los puntos de in-tersección forman ángulo recto.
Toda circunferencia que tenga como centro un punto del eje radical será una circunferencia ortogonal a las otras dos.
La condición necesaria y suficiente para que dos circunferencias sean ortogonales es que la potencia del centro de la una respecto de la otra sea igual al cuadrado de su radio.
Los centros de las circunferencias con los puntos de intersección forman un triángulo rectángulo en el que se cumple que: 2 2 2 1 2
r
r
d
=
+
2 1 2 2 2 2 1d
r
r
Pot
O→O=
−
=
Es decir, que la potencia del centro de una circunferencia respecto a todas las circunferencias ortogonales a ella es siempre constante, y su valor es el radio al cuadrado. O1 Eje radical 1 Eje radical T P O2 O3 O4
O
1 Eje radicalO
2O
3T
1T
2T
3P
HAZ DE CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES
Todos los puntos del eje radical tienen la misma potencia respecto a cada una de las circunfe-rencias del haz. Esto significa que si desde un punto cualquiera del eje trazo la tangente a distintas cir-cunferencias del haz la longitud de esta tangente debe ser la misma.
Generalizando, podemos afirmar que todo punto del eje radical de un haz de circunferencias (exterior a las circunferencias del haz) es centro de una circunferencia ortogonal a todas ellas.
Esto significa que cualquier circunferencia cuyo centro esté en el eje radical sea ortogonal a las del haz, sino que para cada punto del eje existe sólo una que lo es, con un radio concreto.
Por último podemos fijarnos que si cualquier circunferencia del haz ortogonal es ortogonal a todas las del haz original, también
cualquiera del haz original lo será con todas las del haz ortogonal. Es decir, se va a cumplir que la per-pendicular al eje radical que contiene los centros de las circunferencias del haz original es el eje radical del haz ortogonal. En las figuras siguientes hemos indicado con O las circunferencias que pertenecerían al haz de circunferencias, y con C las del haz ortogonal.
O1 O2 O3 O4 T1 T2 T3 T4 C1 C2 C3 O1 O2 O3 C2 C1 O1 C1 C2 O2 O3 O4
SEGMENTO ÁUREO
Si partimos de un segmento AB y tomamos un punto c de él, éste dividirá al segmento total que llamaremos C en dos partes a y b.
Teniendo en cuenta los tres valores a,
b, c se puede establecer seis razones distintas, de las seis razones podemos establecer quince propor-ciones diferentes, analizadas todas ellas y eliminando las que no conducen a algo interesante nos queda-ríamos con la siguiente proporción y siendo a>b
;
a
c
b
a
=
dado que c = a + b, tendremos:a
b
a
b
a
+
=
desarrollando tendremos,0
2 2 2 2=
⋅
+
⇒
−
⋅
−
=
a
a
b
a
b
b
a
a
resolviendo tendremos:2
4
2 2b
b
b
a
=
±
+
tomando la solución positiva1
,
618033989
...
2
5
1
2
5
1
2
5
2=
=
+
=
⇒
+
=
+
=
φ
b
a
b
b
b
a
Conocido como número de oro o divina proporción. Desde la antigüedad es sabido que las distintas partes del cuerpo humano guardan la proporción anteriormente estudiada.
Arquitectos, escultores y pintores de todos los tiempos han utilizado la Sección Áurea como m é-todo de composición de sus obras, al observar en ella una agradable impresión de la armonía y la belleza. Algunos ejemplos los tenemos en el Partenón de Atenas, Las Hilanderas de Velázquez, la Sagrada Fami-lia de Miguel Ángel y, más recientemente, en la obra del arquitecto francés Le Corbusier.
DADO EL SEGMENTO AB OBTENER UN PUNTO c QUE DIVIDA A ÉSTE SEGÚN LA PROPORCIÓN ÁU-REA.
1. Por el extremo B levantamos una perpendicular y llevamos la mitad del segmento C o sea C/2. 2. Unimos el punto 1 con el A.
3. Haciendo centro en 1 y con radio 1B trazamos un arco hasta que corte al segmento 1A en el punto
4. Con centro en el punto A y radio A2 trazamos un arco hasta que corte al lado AB obteniendo el punto c buscado
DADO EL SEGMENTO AC DE LONGITUD a OBTE-NER EL SEGMENTO AB PARA QUE AC SEA EL SEG-MENTO ÁUREO DE AB.
Con el lado a construimos un cuadrado y desde el punto medio de AC trazamos el arco de radio 1E obteniendo el punto B en prolongación de AC, siendo CB el segmento buscado.
A c B a b C
APLICACIONES
c c/2 1 2 A C B A 1 C B E a b1. Se divide el diám etro AB en cinco partes iguales.
2. En A se traza una tangente a la circunferen-cia y se llevan once divisiones sobre ella de la forma que se indica en la figura, con lo cual se verificará en el triángulo ABC que:
5
146
5
11
2 2 2d
d
d
BC
=
+
=
3. A la derecha de A, AD=1/5d, y AE=2/5d, y unimos B con el punto D, y por E tracemos la paralela EF a BD.
4. La recta CBF será la longitud de la circunfe-rencia rectificada.
RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.
En geometría se entiende por rectificar una circunferencia el hallar, sobre una línea recta, la longitud de una curva o arco de la misma.
Dado que el número π (3,141592653589...) es irracional cualquier rectificación gráfica es aproximada, la más célebre expresión de aproximación gráfica de π es la de Arquímedes,
... 14285 , 3 7 22
= con un error menor que
1000 1
por exceso. La longitud de la circunferencia es L = 2πr de donde
7
1
3
7
22
2
2
=
⇒
r
=
=
+
L
r
L
π
Tomando como valor de π la razón de Arquímedes, será:
L
r
2
r
7
1
3
2
⋅
+
=
de donde7
2
3
2
r
r
L
=
⋅
+
Por lo tanto, la longitud de la circunferencia es aproximadamente igual a tres veces el diámetro más la séptima parte del mismo.
Más en la práctica no se procede así, sino que se emplean diversos procedimientos geométricos más o menos aproximados.
RECTIFICACIÓN GRÁFICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Método de Specht, que da la suficiente aproximación práctica.
En efecto; los triángulos semejantes BCD y ECF nos dan:
, EC DC CF BC = d d CF d 5 13 2 146 5 = de donde d
(
)
d d d CF 12,0880459 3,141519 100 26 2 25 146 13 2 = = × =en vez de 3.1415926 que debiéramos haber obtenido. El error es, pues, de 0,0000007, siendo preciso, para que este error se aproximase a un milímetro, que la recta CF tuviese
B 1 2 3 4 A D C F E
1. Desde el centro O de la circunferencia construimos un ángulo de 30º.
2. Por B trazamos la tangente a la circunfe-rencia y sobre dicha tangente llevamos tres veces el radio a partir del punto P, obteniéndose el punto T.
3. El segmento AT representa la longitud de la semicircunferencia rectificada.
RECTIFICACIÓN DE LA SEMIC IRCUNFERENCIA.
RECTIFICACIÓN DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA.
Observando la figura vemos que:
r r r r BT AB r r r r BT r PB r OP OP r OP r OP porque OP PB BP r OP PB r PB PT BT r AB BT AB r L ⋅ = − + = + − = − = = ⋅ = = + = = = + = − = − = = + = ⋅ = π α π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 ; 3 3 3 3 3 3 ; 3 3 ; 3 3 2 ; 4 3 ; 4 ; º 30 , 2 ; ; 3 ; 2 ; 2
1. Se traza un arco de radio el de la circunfe-rencia haciendo centro en A o B,
obteniéndose los puntos F y D.
2. Con centro en los puntos A y B y con ra-dios AF o BD hallamos el punto E.
3. Con centro en D y radio DE obtenemos el punto T.
4. El segmento AT equivale al cuadrante AC de la circunferencia.
Esta construcción es de Mascheroni que es muy aproximada con error por exceso < 0,0004r. Tomando el radio r como unidad, aplicando el teorema de Pitágoras tendremos;
(
)
3 6 4 1 2 3 2 ; 2 1 3 ; 3 2 2 2 − = + − = + − = = = − = = =AF OE DT DE OE ND NO AEaplicando el teorema de Ptolomeo el cuadrilátero ADTD1 resulta DD1⋅AT =AD⋅TD1+DT⋅AD1 o sea .... 142399 , 3 6 3 9 6 1 3 6 3 6 3 4 1 2⋅AT = ⋅ − + + − ⋅ = + + − = O 3r r r r P B A T L/2 30° E F B O N A D C T D1
O 1 2 3 3/4r B A D E F O 1 2 3 3/4r B A D E F A' 1' 2' 3' 4' B' r B 1 2 3 4 A 2º Método
Si prolongamos el diámetro de la circunferencia O hasta el punto E, de modo que se verifique la proporción 2 π = = OE AE OD AB
, y trazamos el radio OD perpendicular al diámetro, la recta ED determina, sobe la tangente trazada en A, el segmento AB, que es igual a la cuarta parte de la circunferencia.
En efecto los triángulos ABE y ODE son semejantes, se deduce que
OE OD AE AB = de donde 2 π ⋅ = ⋅ = r OE r AE
AB Designando por C la longitud de la
circunferencia, será C=2r y dividiendo por 4,
2 4 π ⋅ =r C luego 4 C AB=
Siguiendo este procedimiento podrá hallarse AB con la aproximación que se quiera, sin más que prolongar el diámetro en la proporción conveniente. Así, dividiendo el radio en cuatro partes iguales y tomando tres de éstas para FE, resultará que AB es la cuarta parte de la
circunferencia, con un aproximación igual a la que se obtiene aplicando la fórmula de Arquímedes.
RECTIFICACIÓN DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA MENOR DE 90º
Se divide el radio OF en cuatro partes iguales y a partir de F se toma la distancia FE igual a las ¾ del radio.
En el punto A levantamos la perpendicular al diámetro y desde E, trazamos una recta que una E con D prolongando esta rescata hasta que corte a la perpendicular trazada por A, obteniendo el punto B. El segmento AB es la longitud del arco AD rectificado.
Esta construcción puede utilizarse para tomar sobre la circunferencia un arco de longitud dada y para dividir un arco en el número de partes iguales que se desee.
RECTIFICACIÓN DE UNA CURVA CUALQUIERA.
Sobre la curva se toman arcos lo más pequeños posibles y con el compás se van llevando sobre la recta r. El segmento A’B’ representa la curva AB rectificada. En la práctica el problema se resuelve adaptando a la curva una cinta flexible
