Ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el espacio

(1)

1 de 7

Unidad II - Álgebra de vectores

2.5. Ecuaciones de rectas y planos

Habíamos mencionado que una recta en el plano, se expresa a través de su pendiente m, sin embargo, en el espacio no es suficiente la información de la pendiente para ubicar a una línea recta, lo conveniente es realizarla a través de vectores.

En la región 2

R , el vector v a b, proporcionaba la dirección y permitía establecer las ecuaciones paramétricas x t

 

 x₁ at y t,

 

 y₁ bt.

En el espacio 3

R , un vector se expresa como v a b c, , por lo que, de manera similar a la región 2 R , podríamos realizar la deducción de las ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio, resultando en la siguiente definición:

Sea P x y z



1, 1, 1



un punto en el espacio que además está sobre una recta L y sea v a b c, , el vector de dirección en 3

R para la recta. Las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio están dadas por las expresiones:

 

1 1 1 x t x at y t y bt z t z ct      

De donde, podemos tener otra expresión de la misma recta a través de las ecuaciones

simétricas: 1 1 1 x x y y z z a b c     

Ejemplo 01: Encontrar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto



1, 2, 4



y es paralela a v 2, 4, 4

Las ecuaciones paramétricas se definen por:

 

1 2

 

2 4

 

4 4 x t   t y t    t z t   t Y las simétricas: 1 2 4 2 4 4 x _ y _ z 

(2)

2 de 7

Figura 1. Recta en el espacio del ejemplo 01 Ejercicios:

a) Determine las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos



2,1, 0



y



1, 3, 5



b) Obtener las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto



3, 0, 2



y es paralela al vector v 6j 3k y dibujar la recta para al menos tres valores de t.

c) Obtener las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos



0, 4,3 ,

 

1, 2,5



y que sea paralela a un vector unitario u, según se muestra en la siguiente figura: v 2 4 6 8 i 0 5 10 j 10 5 0 k v 15 10 5 0 5 0 5 10 2 0 2 4 6

(3)

3 de 7

Planos en el espacio

Un plano en el espacio, podría definirse como una sucesión infinita de rectas que tienen la misma orientación. El plano, puede ser descrito a través una ecuación de la forma ax by cz   d 0

Para determinar la ecuación de un plano, requerimos de conocer un punto contenido dentro del plano y un vector (no nulo) que sea normal al plano.

Consideremos un plano que contiene al punto P x y z



₁, ₁, ₁



y un vector normal n a b c, , . Este plano consiste de todos los puntos Q x y z



, ,



para los cuales n es normal.

Sobre el plano, ubicamos a P y Q y construimos el vector PQ. De acuerdo a la propiedad de dos vectores que son ortogonales, debe de cumplirse que nPQ0, si las componentes del vector PQ son

1, 1, 1

xx yy zz , el producto interno nPQ quedará definido como:



 



1 1 1 1 1 1

, , , ,

a b c  x x yy zz a xx b yy c zz

Que es conocida como la ecuación canónica del plano. Si desarrollamos la expresión anterior:

1 1 1 0

ax ax by by  cz cz  1, 1, , , ,1

x y z a b c son valores conocidos, por lo tanto, podemos hacer la siguiente igualación:

1 1 1 0 d ax by cz ax by cz d        

La cual, es la ecuación general de un plano en el espacio. Los términos a b c, , son las componentes del vector que es normal al plano, por lo cual, también se le denominan números directores del plano.

Obtención de la ecuación de un plano a partir de un punto contenido en el plano y un vector normal al plano

Ejemplo 02: Determinar la ecuación del plano que contiene al punto P



3, 2,1



y que es normal al vector

3,5, 4

 

n

De la ecuación canónica del plano a x



x1

 

b yy1

 

c zz1



0 conocemos los siguientes datos: 1 3, 1 2, 1 1, 3, 5, 4

x   y  z  a b c  , por lo que sustituyendo en la ecuación del plano obtenemos la ecuación canónica:

 



  



(4)

4 de 7

Si desarrollamos la expresión anterior obtendremos la ecuación general del plano:

 



  







3 3 5 2 4 1 0 3 5 4 9 10 4 0 3 5 4 3 0 x y z x y z x y z                      

Figura 3. Perspectiva 1 del plano del ejemplo 2

(5)

5 de 7 2 1 0 1 2 i 1 2 3 4 j 1 2 3 4 k a c 2 1 0 1 2 i 1 2 3 4 j 1 2 3 4 k a c ab ac 0 5 2 4 6 5 10

Ejemplo 03: Determinar las ecuación canónica y general de un plano en el espacio, el cual contiene a los puntos



2,1,1 , 0, 4,1 ,

 

2,1, 4



Sabemos que el plano contiene a estos tres puntos con los cuales podemos crear dos vectores que tengan el mismo punto inicial y que además estarán sobre el plano.

El producto vectorial entre estos dos vectores nos dará como resultado un vector normal a ellos, y por consiguiente al plano.

Creamos los vectores:









0 2, 4 1,1 1 2,3, 0 2 2,1 1, 4 1 4, 0,3 ab ac v v             

El vector normal a vab y vac será:

2 3 0 9 6 12 4 0 3 9 6 12 ab ac i j k v v a b c           i j k

Tomando cualquiera de los puntos contenidos en el plano, podemos formar ambas ecuaciones.

Considerando el punto



2,1, 4



la ecuación canónica será:

 







 







9_x 2 _6 y 1 12 z4 9 x 2 6 y 1 12 z4

Y la ecuación general, se obtiene desarrollando la ecuación canónica:

(6)

(7)

7 de 7

Ejercicios:

a) Un plano en el espacio contiene al punto



1,3, 4



y al punto



0,1, 6



e intersecta al eje k en 5 unidades. Determine la ecuación general del plano.

b) Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto



2,5, 7



y el vector v 1,3, 7

c) Encuentre la ecuación del plano que contiene al punto



1,9, 2



y es paralelo al plano

5x7y12z 5 0.