Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

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TIPOS DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Conocido ya el concepto de fracción

3 tipos de números fraccionarios (a) Decimal exacto: Tiene Ejemplos: 0.5, 0.777, 0.23 , etc.

(b) Periódico puro: Es aquel en el que empieza justo después de la coma.

Ejemplos: 0.555..., 0.2525252..., 7,23423423... ,

Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las mismas: 2.33333.... = 2.3)

(c) Periódico mixto: Es aquel en el que empieza justo después de la coma.

Ejemplos: 0.23555..., 0.122525252..., 7,0123423423... , 2.13333..., 2.3444444..., etc. Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las mismas: 2.34444.... = 2.34)

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN GENERATRIZ?

Como su propio nombre indica, buscar la fracción generatriz de un número racional es buscar aquella fracción irreducible a partir de la cual se obtiene dicho número.

¿PARA QUÉ SIRVEN?

Esta es una cuestión que se plantea generalmente en el aula y que de momento dejamos en el aire hasta finalizar el tema.

En principio podríamos decir que, en aquellas expresiones con infinitos decimales, sería una buena forma de escribir el valor exacto

además de una forma de simplificación a la hora de operar con infinitas cifras decimales TIPOS DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Conocido ya el concepto de fracción en cursos anteriores, repasemos los 3 tipos de números fraccionarios que podemos distinguir:

iene un número finito de cifras decimales: 0.777, 0.23 , etc.

Es aquel en el que el periodo (es decir, la parte decimal que se repite) empieza justo después de la coma.

0.2525252..., 7,23423423... , 2.3333..., etc.

Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las

Es aquel en el que periodo (es decir, la parte decimal que se repite) empieza justo después de la coma.

0.122525252..., 7,0123423423... , 2.13333..., 2.3444444..., etc. Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN GENERATRIZ?

Como su propio nombre indica, buscar la fracción generatriz de un número racional es buscar aquella fracción irreducible a partir de la cual se obtiene dicho número.

2.344444... = 2.34)

=

90

211

¿PARA QUÉ SIRVEN?

Esta es una cuestión que se plantea generalmente en el aula y que de momento dejamos en En principio podríamos decir que, en aquellas expresiones con infinitos decimales, sería una el valor exacto de esa expresión con infinitas cifras periódicas, además de una forma de simplificación a la hora de operar con infinitas cifras decimales

Esta fracción genera el número

repasemos los

el periodo (es decir, la parte decimal que se repite)

Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las

periodo (es decir, la parte decimal que se repite) no 0.122525252..., 7,0123423423... , 2.13333..., 2.3444444..., etc. Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las

Como su propio nombre indica, buscar la fracción generatriz de un número racional es buscar aquella fracción irreducible a partir de la cual se obtiene dicho número.

Esta es una cuestión que se plantea generalmente en el aula y que de momento dejamos en En principio podríamos decir que, en aquellas expresiones con infinitos decimales, sería una de esa expresión con infinitas cifras periódicas, además de una forma de simplificación a la hora de operar con infinitas cifras decimales

Esta fracción genera el número inicial

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¿CÓMO SE CALCULAN?

Vamos a trabajar su cálculo desde una doble perspectiva: (a) Con lápiz y papel.

(b) Directamente con la calculadora, evita los objetivos perseguidos inicialmente.

Fracción generatriz de Calcula la fracción generatriz del número

MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA

MÉTODO II. REGLA PRÁCTICA

Al ser un decimal exacto, , se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal.

Denominador: La unidad (1), seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el

número.

MÉTODO III. DIRECTAMENTE INTRODUCCIÓN:

(a) Hay que tener en cuenta que uno de los objetivos fundamentales de las matemáticas es el razonamiento, antes que la memorización

(b) También, en muchas ocasiones, el cálculo de la fracción generatriz

intermedio a la hora de plantear, resolver y analizar críticamente los resultados de una actividad y con su cálculo, en si mismo, no se cumple ninguno de los objetivos perseguidos.

Por eso, suele ser interesante la utilización de las calculadoras, aprovech

de la gama ClassWiz de CASIO, que son capaces de averiguar la fracción que genera un número decimal, exacto o periódico.

INTRODUCCIÓN:

Basta con introducir el número directamente en la calculadora y presionar la tecla "igual".

0.62=

Al ser un decimal exacto, multiplicamos por (potencia de 10 c

¿CÓMO SE CALCULAN?

Vamos a trabajar su cálculo desde una doble perspectiva:

ente con la calculadora, evitando la parte farragosa del tema y dependiendo de los objetivos perseguidos inicialmente.

Fracción generatriz de un RACIONAL fraccionario decimal exacto Calcula la fracción generatriz del número 0.62

MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA

PRÁCTICA MEMORÍSTICA

Al ser un decimal exacto, , se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como: : Todas las cifras, sin la coma decimal.

: La unidad (1), seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el

0.62 = 100 62 = 50 31

DIRECTAMENTE CON CALCULADORA

Hay que tener en cuenta que uno de los objetivos fundamentales de las matemáticas es memorización, sin ánimo de despreciar esta última.

(b) También, en muchas ocasiones, el cálculo de la fracción generatriz

a la hora de plantear, resolver y analizar críticamente los resultados de una actividad y con su cálculo, en si mismo, no se cumple ninguno de los objetivos perseguidos.

Por eso, suele ser interesante la utilización de las calculadoras, aprovech

de CASIO, que son capaces de averiguar la fracción que genera un ero decimal, exacto o periódico.

el número directamente en la calculadora y presionar la tecla "igual".

0.62=

x = 0.62

Al ser un decimal exacto, multiplicamos por 100 ambos miembros

(potencia de 10 con tantas cifras como tenga la parte decimal) 100x = 100· 0.62 100x = 62 x = 100 62 = 50 31

ndo la parte farragosa del tema y dependiendo de

RACIONAL fraccionario decimal exacto

Al ser un decimal exacto, , se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

: La unidad (1), seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el

Hay que tener en cuenta que uno de los objetivos fundamentales de las matemáticas es , sin ánimo de despreciar esta última.

(b) También, en muchas ocasiones, el cálculo de la fracción generatriz es un paso a la hora de plantear, resolver y analizar críticamente los resultados de una actividad y con su cálculo, en si mismo, no se cumple ninguno de los objetivos perseguidos.

Por eso, suele ser interesante la utilización de las calculadoras, aprovechando la capacidad de CASIO, que son capaces de averiguar la fracción que genera un

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Fracción generatriz de Calcula la fracción generatriz del número 0.1

MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA Fraccionario periódico puro:

MÉTODO II. REGLA PRÁCTICA Al ser periódico puro, se pondrá

Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal todas las cifras que van antes del periodo.

Denominador: Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperiodo.

MÉTODO III.a. INDIRECTAMENTE

(a) Bastará con escribir directamente el número, introduciendo de la propia pantalla de la calculadora. En el caso que nos ocupa

0.1212121

21212121212=

Recuerda que debes tener configurado

tanto la entrada de datos como la pantalla en la forma.

qw1

Al ser periódico

Restamos la segunda

Fracción generatriz de un RACIONAL fraccionario periódico Calcula la fracción generatriz del número 0.121212...

MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA Fraccionario periódico puro:

PRÁCTICA MEMORÍSTICA

e pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

las cifras, sin la coma decimal y se le resta el número formado por todas las cifras que van antes del periodo.

: Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperiodo.

0. 12 = = 99 0 12− = 99 12 = 33 4

INDIRECTAMENTE CON CALCULADORA

Bastará con escribir directamente el número, introduciendo las cifras hasta que se salgan de la propia pantalla de la calculadora. En el caso que nos ocupa 0. 12

0.1212121

21212121212=

Recuerda que debes tener configurado preferentemente la opción 1:E Mat/S Mat como la salida será en formato matemático

qw1

(I) x = 0. 12

Al ser periódico puro, multiplicamos por 100 ambos miembros

(potencia de 10 con tantas cifras como tenga el periodo)

(II) 100x = 12. 12

Restamos la segunda igualdad (II) de la primera (I) para hacer "desaparecer" la parte periódica

100x – 1x = 12. 12 – 0. 12 99x = 12 x = 99 12 = 33 4 periódico

directamente una fracción en la que tendremos como: y se le resta el número formado por : Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y

las cifras hasta que se salgan

1:E Mat/S Mat, donde será en formato matemático Se nos mostrará en

ambos (potencia de 10 con tantas cifras como tenga el

(4)

1

1

MÉTODO III.b. DIRECTAMENTE

(b) Aunque hay una opción muy interesante con una nueva aplicación que tipo de máquinas ClassWiz. Fíjate en ese rectángulo rojo que tiene una

0.Qs1

NOTA: En el rectángulo donde escribimos el queramos.

MÉTODO IV. SUMA DE TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN Se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

0. 12

Aplicamos la fórmula para la suma de infinitos términos de progresión geométrica decreciente:

C0.12a1p0.

0+M=

DIRECTAMENTE CON CALCULADORA

Aunque hay una opción muy interesante con una nueva aplicación que Fíjate en ese rectángulo rojo que tiene una línea

0. 12 =

0.Qs12=

En el rectángulo donde escribimos el periodo podremos colocar tantas cifras como

SUMA DE TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN Se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

12 = 0 + 0.12 + 0.0012 + 0.00012 + ... 0. 12 = 0 + Sn

Aplicamos la fórmula para la suma de infinitos términos de progresión geométrica

Siendo r = 12 0 0012 0 . . = 100 1 = 0.01 Sn = r a − 1 1 Sn = 1 0 1 1 0 . . −

a1p0.01=

0+M=

Aunque hay una opción muy interesante con una nueva aplicación que presentan este línea por encima:

emos colocar tantas cifras como

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Fracción generatriz en un

Calcula la fracción generatriz del número 4.6171717171717 Fraccionario periódico mixto

MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA

MÉTODO II. REGLA PRÁCTICA

Al ser periódico mixto, se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal ni periodo formado por todas las cifras que van antes del periodo.

Denominador: Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperiodo.

MÉTODO III.a. INDIRECTAMENTE

(a) Siguiendo en la línea de lo ya mencionado, en los números

puros, se introducen las cifras hasta que se salgan de la propia pantalla de la calculadora. En el caso que nos ocupa 4.617

4.6171717171

7171717=

tenderá nuevos puentes en el mundo

del saber

Como se trata de un periódico mixto, m

(potencia de 10 con tantas cifras como tenga el

(potencia de 10 con tantas cifras como tenga el

Restamos la tercera igualdad (III) de la segunda (II)

Fracción generatriz en un RACIONAL fraccionario periódico mixto generatriz del número 4.6171717171717...

mixto:

17 6 4. → MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA

PRÁCTICA MEMORÍSTICA

e pondrá directamente una fracción en la que tendremos como: las cifras, sin la coma decimal ni periodo y se le resta el número formado por todas las cifras que van antes del periodo.

: Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperiodo.

17 6 4. = 990 46 4617− = 990 4571 = 18 83

INDIRECTAMENTE CON CALCULADORA

Siguiendo en la línea de lo ya mencionado, en los números fraccionarios

, se introducen las cifras hasta que se salgan de la propia pantalla de la calculadora. En el

4.6171717171

7171717=

tenderá nuevos puentes en el mundo

(I) x = 4.617

Como se trata de un periódico mixto, multiplicamos por 10 ambos miembros

(potencia de 10 con tantas cifras como tenga el anteperiodo)

(II) 10x = 46. 17

Multiplicamos por 100 ambos miembros (potencia de 10 con tantas cifras como tenga el

periodo)

(III) 100·10x = 4617. 17

Restamos la tercera igualdad (III) de la segunda (II) para hacer desaparecer" la parte periódica

1000x – 10x = 4617. 17 – 46. 17 990x = 4617 – 46 x = 990 46 4617− = 990 4571 periódico mixto

e pondrá directamente una fracción en la que tendremos como: y se le resta el número : Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y

fraccionarios periódicos , se introducen las cifras hasta que se salgan de la propia pantalla de la calculadora. En el

ultiplicamos

(6)

MÉTODO III.b. CON CALCULADORA

4.6Qs17=

MÉTODO IV. SUMA DE TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN

C0.01

1p0.0

4.6+M=

Realiza un breve comentario del tipo de número

apartados y calcula, cuando sea posible, su fracción generatriz irreducible. En caso de que no se pueda, justifica la respuesta.

001. 0.31 004. 0.005005005... 007. – 1.3555... RESOLUCIÓN 001. 0.31

C0.31=

Se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

17 6 4.

Aplicamos la fórmula para la suma de infinitos términos de progresión geométrica decreciente:

. CON CALCULADORA

4.6Qs17=

TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN

17a

01=

4.6+M=

Realiza un breve comentario del tipo de número que aparece en cada uno de los siguientes apartados y calcula, cuando sea posible, su fracción generatriz irreducible. En caso de que no

002. 0.555 ... 003. 0.009 005. 19.37171717... 006. 7.777

008. 7.333... 009. 2.0149361013...

C0.31=

Se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:

= 4.6 + 0.017 + 0.00017 + 0.0000017 + ... 17

6

4. = 4.6 + Sn

Aplicamos la fórmula para la suma de infinitos términos progresión geométrica decreciente:

Siendo r = 017 0 00017 0 . . = 100 1 = 0.01 Sn = r a − 1 1 Sn = 01 0 1 017 0 . . −

que aparece en cada uno de los siguientes apartados y calcula, cuando sea posible, su fracción generatriz irreducible. En caso de que no

2.0149361013... Se pondrá directamente una fracción en la que

(7)

5 0.)

C0.Qs5=

Se trata de un número racional, fraccionario, periódico puro 003. 0.009

C0.009=

Se trata de un número racional, fraccionario, decimal exacto 004. 0.005005005...

005 0.

C0.Qs005=

Se trata de un número racional, fraccionario, periódico puro 005. 19.37171717...

71 3 19.

C19.3Qs71=

Se trata de un número racional, fraccionario, periódico mixto 006. 7.777

C7.777=

Se trata de un número racional, fraccionario, decimal exacto 007. – 1.3555...

- 1.35

Cz1.3Qs5=

Se trata de un número racional, fraccionario, periódico mixto 008. 2.0149361013...

No tiene fracción generatriz ya que es un número irracional

En mis tiempos esto era mucho más difícil

Figure

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