1.4. U so del lenguaje na tur al par a explicar el sig nificado de algunas f ór mulas geométr icas , in ter pr etando lit er ales c omo númer os gener ales c
on los que es posible oper
ar . 59 :cjcVi^ZcYVYZ[did\gV[V!VagZkZaVgZaXVggZiZZcigZ\VcigZh Xde^VhYZXVYVZmedh^X^c/cdgbVa!gZYjX^YVnVbea^VYV# 6adWhZgkVgaVh[did\gV[VhYZVWV_dZhZk^YZciZfjZiVcid aVVbea^VYVXdbdaVgZYjX^YVXdchZgkVcaVb^hbV[dgbV fjZaVcdgbVa!eZgdkVgVchjhY^bZch^dcZh# AV[did\gV[VVbea^VYVnaVgZYjX^YVhdchZbZ_VciZhVaV cdgbVa# :cZhiZWadfjZZhijY^Vg{hVa\jcVhegde^ZYVYZhYZaVh [^\jgVhhZbZ_VciZh# En este bloque estudiarás: ZXjVX^dcZhcda^cZVaZh eVgVbdYZaVgh^ijVX^dcZh ngZhdakZgaVhji^a^oVcYd egdXZY^b^ZcidheZghdcVaZhj deZgVX^dcZh^ckZghVh0 ZXjVX^dcZhXjVYg{i^XVhfjZ bdYZaVc0 h^ijVX^dcZhngZhdakZgaVhjhVcYd aV[VXidg^oVX^c# [^\jgVhhZbZ_VciZhnVXdbeVgVg aVhbZY^YVhYZadh{c\jadhnYZ adhaVYdh# adhXg^iZg^dhYZhZbZ_VcoVYZ ig^{c\jadh# AdhXg^iZg^dhYZhZbZ_VcoV YZig^{c\jadhZcZaVc{a^h^hYZ Y^[ZgZciZhegde^ZYVYZhYZadh eda\dcdh# AVhZbZ_VcoVYZig^{c\jadhZc ZaX{aXjadYZY^hiVcX^VhdVaijgVh ^cVXXZh^WaZh# cY^XZheVgVZmea^XVgZa XdbedgiVb^ZcidYZY^kZghVh h^ijVX^dcZh# aVh^bjaVX^ceVgVgZhdakZg h^ijVX^dcZhegdWVW^ahi^XVh#
BLOQUE I I
Sugerencias didácticas
Se introduce el concepto de ecuación de segundo grado, apoyándose de nuevo en el enfoque geométrico, y utilizando los conceptos de lecciones pasadas, como la multiplicación de binomios.
Se sugiere que la forma de resolver el ejercicio 4 sea dada por los alumnos en clase, para discutir ideas y encontrar el camino más corto a la solución.
60
Lección 23
1 Los siguientes enunciados dicen qué relación existe entre las medidas de los lados de los rectángulos que aparecen enseguida. Anoten la medida que le corresponde a cada lado usando una literal. La figura C es un ejemplo.
Figura A: el largo mide 5 metros más que el ancho. Figura B: el largo mide 3 veces el ancho.
Figura C: el ancho mide 3 metros menos que el largo. Figura D: el ancho mide la mitad del largo.
2 Para cada uno de los rectángulos anteriores, formulen una ecuación que relacione las medidas de los lados y el área. Nuevamente la figura C es un ejemplo.
Figuras Ecuaciones
A B
C x(x - 3) 550; x2 3x 550 D
3 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen los resultados de la tabla anterior, en particular; analicen en qué son diferentes las ecuaciones de primer y segundo grado. Anoten su conclusión:
AVbZY^YVYZjcaVYd
Anteriormente has estudiado las ecuaciones de primer grado, así como diferentes problemas que se puedan resolver con ellas. Ahora empezarás a estudiar las ecuaciones de segundo grado. ¿Cómo son estas ecuaciones y cómo se usan? De aquí en adelante podrás averiguarlo.
ÍgZV'()b' ÍgZV&%-(b' ÍgZV**%b' ÍgZV-%%b' A B C D x ( x
Las ecuaciones de segundo grado tienen a la variable elevada al cuadrado , y pueden tener o no a la variable en 1er. grado y/o un número.
x – 5 x 3 x x x x
_
2 (x – 5) x = x2 – 5 x = 234 m2 YrY2 = 1083 m2 x2 _ 2= 800 m 2Valoración del desempeño
r Plantea, a partir de un problema dado, la ecuación no lineal que permita resolverlo.
61 4 Para cada una de las ecuaciones de la tabla anterior, encuentren un valor de x que
satisfaga la ecuación. Pueden usar el procedimiento que quieran y la calculadora. Después hagan lo siguiente:
V Anoten con números el largo y el ancho de cada uno de los siguientes rectángulos, que son los mismos de la página anterior.
W Verifiquen que con las medidas anotadas se obtiene el área que se indica.
5 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen las medidas que anotaron en los rectángulos; si hay diferencias, traten de localizar los errores y corrijan.
6 Formulen la ecuación de segundo grado que corresponde a cada uno de los si-guientes problemas y resuélvanla.
V El área de un cuadrado es 182.25 m2, ¿cuánto mide un lado de ese cuadrado?
Ecuación: Medida de un lado
W El área de un rectángulo es 358 m2; si el largo mide el triple que el ancho, ¿cuáles son las medidas del rectángulo?
largo:
Ecuación: Medidas
ancho:
7 Lee la siguiente información
Una ecuación como x2 3x 550 es de segundo grado, porque la incógnita está elevada
al cuadrado. Cuando la incógnita está elevada al cubo, como en x3 8, se trata de una
ecua-ción de tercer grado.
Un número que satisface la ecuación x2 3x = 550 es 25, porque 252 – 3(25) = 550.
ÍgZV'()b' ÍgZV&%-(b' ÍgZV**%b' ÍgZV-%%b' A B C D ª « ¬ 2.1. U
tilizar ecuaciones no lineales par
a modelar situaciones y r esolv er las utilizando pr oc edimien tos personales u oper aciones in v ersas . x2 = 182.25 √ _____182.25 = 13.5 3x (x) = 3x2 = 358 32.77 10.92 13 m 18 m 57 m x = 400 m 19 m 200 22 25 67
Sugerencias didácticas
Es importante la participación de los alumnos en la resolución de los problemas. Al ser una lección cuyos ejercicios se resuelven sobre todo por el método de ensayo y error, los errores conceptuales se notarán en la participación de los alumnos.
Se recomienda organizar una especie de concurso, donde los alumnos pasen al pizarrón con sus sugerencias para las soluciones de las ecuaciones, no sólo las de la tabla del ejercicio 5, sino todas las ecuaciones que se resuelven por medio de ensayo y error.
62
1 Anoten la información que falta en la siguiente tabla.
Problemas Ecuaciones Soluciones
El cuadrado de un número más 11 es igual a 92. ¿Cuál es ese número?
El cuadrado de un número menos 15 es igual a 106. ¿Cuál es ese número?
El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 182. ¿Cuál es ese número?
x2 x 12 144
El cuadrado de un número más el doble de ese nú-mero menos 5 es igual a 75. ¿Cuál es ese núnú-mero?
2
Con ayuda de su profesor o profesora, hagan lo siguiente:
V Revisen la primera columna para ver si el problema que ustedes escribieron corresponde a la ecuación ya escrita.
W Revisen la segunda columna para ver si las ecuaciones que escribieron coinciden.
X Revisen las soluciones y verifiquen que los valores encontrados satisfacen las condiciones de cada problema.
3
Lee la siguiente información.
En una ecuación de segundo grado como x2 25, una solución es 5, porque 52 25. Sin
embargo, la solución también es 5, porque (5)2 25. Esto quiere decir que las
ecuacio-nes de segundo grado pueden tener dos solucioecuacio-nes. En ciertos casos las solucioecuacio-nes son dos números simétricos.
4
Regresen a la tabla de la actividad 1 para hacer lo siguiente:
V Averigüen en cuáles casos el simétrico de la solución que encontraron, también es solución de la ecuación. Anoten así las soluciones:
x1 x2
Lección 24
:acbZgdYZhXdcdX^Yd
En algunos problemas, las literales representan números desconocidos y esto permite hacer operaciones con ellos como si fueran conocidos; así podemos averiguar de qué números se trata.
x2 + 11 = 92 x2 = 92 – 11 = 81 x1 = 9 x2 = – 9 x2 – 15 = 106 x2 = 106 + 15 = 121 x1 = + 11 – 11 = x2 x2 + x = 182 x 2 = – 14 x1 = 13 x2 = – 11 x1 = 12 x2 + 2 x – 5 = 75 x 2 = – 10 x1 = 8
El cuadrado de un número menos el mismo número, más 12 es igual a 144.
63 W En los casos en los que el simétrico no es solución de la ecuación, prueben con otros números
para encontrar la otra solución.
5
Una manera de resolver las ecuaciones de segundo grado consiste en buscar, por ensayo y error, números que satisfagan la ecuación. Así por ejemplo, para resolver la ecuación x2 + 3x = 28, se puede usar una tabla como la siguiente
x x2 3x x2 3x
1 1 3 4
2 4 6 10
V En la tabla anterior, se ve que cuando x vale 1, x2 + 3x es igual a 4. Cuando x vale 2, x2 + 3x es igual a 10. Prueben con otros valores de x hasta que encuentren que x2 + 3x es igual a 28. W Hay un número negativo que también satisface la ecuación x2 + 3x = 28. Usen la misma tabla
para encontrarlo.
X Según lo que encontraron, la ecuación x2 +3x = 28 tiene dos soluciones, una positiva y otra ne-gativa. Anótenlas.
x1 x2
6 Encuentren las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.
V 5x2 45 W 4x2 1 X x2 x 56 Y x2 x 56 0 Z x2 13x 130 Y x2 56 x 2.1. U
tilizar ecuaciones no lineales par
a modelar situaciones y r esolv er las utilizando pr oc edimien tos personales u oper aciones in v ersas . 3 9 9 18 4 16 12 28 – 2 4 – 6 – 2 – 5 25 – 15 10 – 7 49 – 21 28 x1 = 3 x1 =
_
1 2 x2 = – 3 x2 = –_
1 2 x1 = 7 x2 – x = 56 x2 = – 8 x1 = – 7 x2 = 8 x1 = 19,62 x2 – x = 56 x2 = – 6.62 x1 = – 7 x2 = 8 – 7 4Valoración del desempeño
r Encuentra soluciones a ecuaciones cuadráticas con el método de ensayo y error.
Sugerencias didácticas
En esta lección se introduce un método de resolución de ecuaciones de segundo grado, porque al método de ensayo y error no es siempre el más conveniente. Es muy importante sustituir las soluciones en la ecuación para comprobar su validez.
Se recomienda buscar las soluciones a los ejercicios de las dos maneras: por el método de ensayo y error, y luego por el método explicado en el ejercicio 5, para que los alumnos puedan comparar la efectividad de este último.
Valoración del desempeño
r Encuentra soluciones de las ecuaciones de segundo grado dadas por factorización.
64
1 La figura A es un rectángulo, traten de averiguar cuánto mide cada lado. No
olvi-den verificar que, efectivamente, con las medidas que encontraron, el área es 84 cm2 y el perímetro 38 cm.
2 Con ayuda de su profesor o profesora hagan lo siguiente: V Revisen los resultados que encontraron y determinen cuáles son correctos.
W Comenten sobre los procedimientos y vean cuáles sí y cuáles no llevaron al resultado correcto.
3 En la siguiente tabla se anotaron los pasos de un razonamiento para encontrar las
medidas de los lados de la figura A. Completen la tabla.
Razonamiento ¿Es correcto? sí/no
Si creen que no es correcto, corríjanlo
Paso 1. Si el perímetro del rectángulo mide 38 cm, entonces el largo más el ancho miden 19 cm.
Paso 2. Si el largo más el ancho miden 19 cm, esas medidas se pueden representar así: ancho x
largo 19 + x
Paso 3. Si el ancho mide x y el largo 19 + x, entonces el área se puede expresar así: x(19 + x) 84
Paso 4. Por tanteo, se pueden encontrar las medidas buscadas:
si x 1, el área vale 1 (20) 84 si x 2, el área vale 2 (21) 84
Lección 25
IXc^XVheVgVgZhdakZgZXjVX^dcZh>
El ensayo y error es un procedimiento útil para resolver ecuaciones, aunque a veces resulta muy tardado. Figura A Perímetro 38 cm Área 84 cm2 Largo Ancho
No Dos veces el largo más dos veces el ancho, es el perímetro. No Si ancho = x entonces largo = 19 – x No x (19 – x) = 84 No Si x = 1 A = 1 (18) ≠ 84 A = 2 (17) ≠ 84 12 7
Otros recursos
En la siguiente página de Internet se encuentra una breve explicación de las funciones cuadráticas y sus aplicaciones.
http://alpha.rec.uabc.mx/matdidac/matematicas/unidad_01/ UNI130.HTM
65
4 Con ayuda de su profesor o profesora, hagan lo siguiente:
V Expliquen por qué las medidas de la figura A no pueden ser x y 19 x, sino x y 19 x.
W Sustituyan x por su valor en las siguientes ecuaciones, para verificar que ese valor es correcto.
Ancho x Perímetro: Área:
Largo 19 x 2x 2(19 x) 38 x (19 x) 84 5 Con ayuda de su profesor o profesora, analicen la siguiente información.
Una ecuación de segundo grado puede presentarse con el segundo miembro igual a cero, por ejemplo:
x2 6x 8 0
Para resolverlas, existe un procedimiento que consiste en factorizar la expresión x2 + 6x + 8 = 0.
Se hace lo siguiente.
Paso 1. Se pasa el tercer término de la ecuación al segundo miembro: x2 + 6x = –8.
Paso 2. Se factoriza el primer miembro de la ecuación: x(x + 6) = –8.
Paso 3. La ecuación anterior permite ver que se trata de dos números tales que uno es 6 unidades mayor que el otro y el producto de los dos números es –8. ¿Cuáles pueden ser esos números? Podrían ser 2 y 4 o 4 y 2.
Paso 4. Se prueba con estos valores hasta encontrar los que satisfacen la ecuación.
Con 2: Con 4: x2 6x 8 0 x2 6x 8 0 ( 2)2 6 ( 2) 8 0 42 6(4) 8 0 4 12 8 0 16 24 8 0 Con 4: 0 0 ( 4)2 6 ( 4) 8 0 x1 –2 16 24 8 0 0 0 x2 4
Las soluciones son x1 2 y x2 4
6 Factoricen las siguientes ecuaciones como se hizo en el ejemplo anterior y des-pués encuentren, por ensayo y error, las soluciones.
Vx2 16x 63 0 Wx2 9x 20 0
Xx2 9x 14 0 Yx2 5x 14 0
7 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen las soluciones encontradas y ve-rifiquen cuáles son correctas.
2.2. U
tilizar ecuaciones cuadr
á
ticas par
a modelar situaciones y r
esolv
er
las usando la fac
tor
ización.
Porque si ancho + largo = 19 entonces, despejando largo = 19 – ancho y si ancho = x entonces largo = 19 – x x1 = 9 x1 = – 5 x (x – 16) = – 63 x2 = 7 x (x + 9) = – 20 x2 = – 4 x1 = 7 x1 = 2 x (x – 9) = – 14 x2 = 2 x (x + 5) = 14 x2 = –7 71 www.slideshare.net/matematicasec29/ecuaciones-cuadraticas
Sugerencias didácticas
En esta lección se unen los conceptos de las lecciones anteriores: equivalencia de expresiones, factorización y resolución de ecuaciones de segundo grado. Es importante que los alumnos noten cómo los conceptos se entrelazan.
Al llegar al ejercicio 4 se sugiere que los alumnos propongan el método para expresar una ecuación de segundo grado en forma general a partir de la forma factorizada.
Siempre sustituir los valores obtenidos para ver si son los correctos.
66
1 Analicen la siguiente expresión algebraica y contesten las preguntas que aparecen después.
(x 5)(x 3) 0
V En la expresión hay un producto de dos factores que es igual a cero. ¿Cuáles son esos factores? W Los dos factores están formados por un término común y dos términos que no son comunes. ¿Cuál
es el término común? ¿Cuáles son los términos no comunes?
X Aunque no lo parezca, la expresión es una ecuación de segundo grado. Averigüen y expliquen por qué.
Y Si ustedes saben que el producto de dos factores es igual a cero, ¿qué se puede decir de esos factores? Marquen la respuesta que consideren correcta.
^ Que si uno de ellos vale n, el otro vale –n. ^^ Que si uno de ellos vale n, el otro vale 1n. ^^^ Que al menos uno de ellos vale cero.
Z A partir de su respuesta en el inciso d, ¿qué pueden decir de los factores de la expresión (x 5)(x 3) = 0?
2 Con ayuda de su profesor o profesora, revisen las respuestas de la actividad anterior, en particular vean cómo hicieron para mostrar que la expresión (x 5)(x 3) = 0 es una ecuación de segundo grado.
3 Consideren que la expresión (x 5)(x 3) 0 es una ecuación de segundo grado en la que, o bien x 5 0, o bien x 3 0.
Si x 5 0, ¿cuál es el valor de x? _________________ Si x 3 0, ¿cuál es el valor de x? ________________
4 Con ayuda de su profesor o profesora hagan lo siguiente.
V Verifiquen que los valores de x que encontraron en la actividad anterior satisfacen las dos ex-presiones siguientes.
Ecuación factorizada Ecuación en la forma general (x 5)(x 3) 0 x2 2x 15 0
Lección 26
IXc^XVheVgVgZhdakZgZXjVX^dcZh>>
¿Sabías que tú puedes inventar ecuaciones de segundo grado? Y además puedes conocer de antemano las soluciones.
(– 5 + 5) (– 5 – 3) = (0 – 8) = 0 52 + 2 ( – 5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 0
(3 + 5) (3 – 3) = 8 (0) = 0 32 + 2 (3) – 15 = 9 + 6 – 15 = 0
(x + 5) y (x – 3)
x 5 y – 3
Al multiplicar se obtiene una expresión de 2º grado (x + 5) (x – 3) = 0 es igual a x2 + 2x – 15 = 0
que x + 5 = 0 ó x – 3 = 0
– 5 3
Valoración del desempeño
r Reconoce las ecuaciones de segundo grado en su forma general y factorizada, e identifica cuáles son equivalentes.
r Encuentra la expresión general de una ecuación de segundo grado dada la ecuación factorizada y viceversa.
Otros recursos
Se recomienda visitar la siguiente página de Internet para leer una explicación acerca de las funciones de segundo grado y su resolución, explicada por pasos.
http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/3.4.html
67 W Las expresiones (x 5)(x 3) 0 y x2 2x 15 0 son equivalentes. Traten de averiguar
cómo a partir de una de las expresiones se puede encontrar la otra.
5 Anoten lo que falta en la tabla.
Forma general Forma factorizada Soluciones
1 x2 6x 5 0 (x 1) (___) 0 x 1 y x 5 2 x 2 y x 3 3 (x 2) (x 3) 0 4 (x 2) (x 3) 0 5 (x 2) (x 3) 0 6 (x s) (x t) 0 x s _____ 6 Realicen lo siguiente.
LComparen sus respuestas a la actividad anterior.
LCon ayuda de su profesor o profesora, verifiquen que la forma general que corresponde a la
expresión factorizada (x + s) (x + t) = 0 es x2 + (s + t)x + st = 0.
LObserven que, en la forma general, el número que multiplica a x es la suma s + t y el tercer término es el producto st.
LVerifiquen que lo mismo ocurre con todas las ecuaciones anteriores. Por ejemplo, en la primera
ocurre que:
(x 1)(x 5) 0 x2 6x 5 0
7 ¿Puede servir la observación anterior para pasar de la forma general a la forma factorizada? ¡Inténtenlo!
8 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus resultados y corrijan los erro-res. En particular, vean que en todos los casos se trata de encontrar dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el tercer término. 9 Resuelvan ahora los siguientes casos.
Forma general Forma factorizada ¿Cómo son los números buscados?
x2 x 2 0 Sumados dan 1,
multiplicados dan 2.
x2 2x 8 0 Sumados dan 2, multiplicados dan 8
Forma general Forma factorizada Soluciones
1 x2 + 7x + 12 = 0 ( )( ) = 0 2 x2 + 8x + 15 = 0 3 x2 + 5x + 6 = 0 4 x2 + 14x + 45 = 0 5 x2 + 4x + 3 = 0 2.2. U
tilizar ecuaciones cuadr
á
ticas par
a modelar situaciones y r
esolv
er
las usando la fac
tor ización. x + 5 x2 + 5x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0 x2 – x – 6 = 0 x = – 2, x = 3 x2 + x – 6 = 0 x = 2, x = – 3 x2 – 5 x + 6 = 0 x = 2, 4 x = 3 x2 + (s + t) x + st = 0 y x = – t x + 5 x + 2 x = – 5, x = – 2 (x + 3) (x + 5) = 0 x = – 3, x = – 5 (x + 2) (x + 3) = 0 x = – 2, x = – 3 (x + 9) (x + 5) = 0 x = – 9, x = – 5 (x + 3) (x + 1) = 0 x = – 4, x = – 3 (x + 2) (x – 1) = 0 (x – 4) (x + 2) = 0 73
Sugerencias didácticas
En esta lección se introducen las ecuaciones en formas que no son conocidas por los alumnos hasta este momento, como el caso en que el término elevado al cuadrado tiene un coeficiente diferente de 1, por lo que los alumnos deben aprender a modificar las ecuaciones para llevarlas a la forma conocida y después poder encontrar sus soluciones. Este procedimiento de llevar las ecuaciones a formas conocidas es de mucha importancia.
De nuevo se sugiere que las ecuaciones se resuelvan en el pizarrón a modo de concurso para que todos los alumnos participen, y que así la factorización de muchas ecuaciones no resulte tediosa; además, de esta manera se puede valorar el aprendizaje y detectar posibles errores y dudas, sobre todo en las operaciones con signos diferentes.
68
Lección 27
1 La forma general de las ecuaciones de segundo grado es: ax2 + bx + c = 0. En esta forma general, a, b y c representan números conocidos y x es la incógnita. Con base en esta información hagan lo siguiente.
V Consideren la ecuación x2 2x 15 0, determinen los siguientes valores:
a _____; b _______; c ______
W Expliquen por qué en una ecuación de segundo grado el valor de a no puede ser cero.
X Inventen cinco ecuaciones de segundo grado expresadas como producto de dos factores que tienen un término común y anótenlas en seguida.
1ª. 2ª. 3ª. 4ª. 5ª.
Y Enseguida de cada ecuación que inventaron, escriban la misma ecuación en la forma general. Z Verifiquen que las soluciones de cada ecuación son los opuestos de los términos no
co-munes de los factores. Por ejemplo, en la ecuación (x 5)(x 3) 0, las soluciones son: x1 5 y x2 3.
2
Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus resultados de la actividad anterior y corrijan lo que sea necesario.
3 Completen los datos que faltan en la siguiente tabla.
Forma general Forma factorizada ¿Cómo son los números buscados?
x2 – x – 2 = 0 ( )( )=0 Sumados dan 1, multiplicados dan –2 x2 + 7x + 10 = 0 Sumados dan _____, multiplicados dan _____ x2 + x – 12 = 0 Sumados dan ______, multiplicados dan _____ x2 + 2x – 3 = 0 Sumados dan 2, multiplicados dan –3 x2 – 7x + 12 = 0 Sumados dan ______, multiplicados dan _____ 4x2 + 2x – 6 = 0 Sumados dan _____, multiplicados dan ____
;VXidg^oVX^dcZh[{X^aZhncdiVc[{X^aZh
Algunas ecuaciones de segundo grado se pueden factorizar y resolver fácilmente; otras necesitan de algunos cambios antes de ser factorizadas.1 2 – 15 (x + 7) (x – 3) = 0; x2 + 4x – 21 = 0 (x + 3) (x – 5) = 0; x2 – 2x – 15 = 0 (x + 1) (x – 6) = 0; x2 – 5x – 6 = 0 (x + 1) (x + 6) = 0; x2 + 7 x + 6 = 0 (x + 4) (x – 3) = 0; x2 + x – 12 = 0
Porque si a fuera 0, la ecuación ya no tendría término x elevado al cuadrado, y ya no sería ecuación de segundo grado.
x + 1 x – 2 (x + 2) (x + 5) = 0 7, 10 (x + 4) (x – 3) = 0 1, –12 (x + 3) (x – 1) = 0 (x – 4) (x – 3) = 0 – 7, 12 4 (x – 1) (x + _ 3 2 ) = 0 4
(
_ 2 1 )= 2 4 ( _ 3 2 ) = 6Valoración del desempeño
r Factoriza ecuaciones de segundo grado y encontrar sus soluciones.
69 4 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus resultados de la tabla; en
par-ticular, vean cómo resolvieron el último renglón.
5 Factoricen cada ecuación y encuentren sus raíces (soluciones).
Vx2 3x 2 0 Wx2 2x 1 = 0 Factorización: ______________ Factorización: ____________ Raíces: _____________ Raíces: _____________ Xx2 x 12 = 0 Y 4a2 12a 9 = 0 Factorización: ______________ Factorización: ____________ Raíces: _____________ Raíces: _____________ Zx2 10x 200 = 0 [x2 7x 18 Factorización: ______________ Factorización: ____________ Raíces: _____________ Raíces: _____________ \x2 3x 108 = 0 ]x2 2x 15 Factorización: ______________ Factorización: ____________ Raíces: _____________ Raíces: _____________
6 Con ayuda de su profesor o profesora, comparen sus respuestas de la actividad anterior, discutan y corrijan lo que sea necesario. En particular, vean cómo resol-vieron el inciso d.
7 Lee la siguiente información.
El método de factorización para resolver ecuaciones de segundo grado consiste en lo si-guiente.
EVhd&# Primero la ecuación debe estar escrita en la forma general, es decir, los tres
tér-minos concentrados en el primer miembro y ordenados, x2 bx c 0. Por ejemplo: x2 13x 48 0.
Paso 2. Se escribe el esquema para un producto de dos factores que se iguala a cero. ( )( ) 0
EVhd(# El primer término de cada factor es x.
(x )(x ) 0
EVhd)#Se buscan dos números que sumados den el valor de b (13) y multiplicados
den el valor de c (–48).
(x 16 )(x 3) 0
EVhd*# Las raíces son los opuestos de los números encontrados en el paso anterior.
x
1 16 x2 –3
Si el coeficiente de x2 no es 1, conviene dividir todos los términos de la ecuación para que sea igual a 1. Por ejemplo, la ecuación 4x2 2x 6 0, al dividirla entre 4, queda: x2 1
2 x 32 0.
8 Resuelvan las siguientes ecuaciones por el método de factorización.
Vx2 – 9x = –18 Solución: ___________ W9x2 + 4 = 12x Solución: ___________ 2.2. U
tilizar ecuaciones cuadr
á
ticas par
a modelar situaciones y r
esolv
er
las usando la fac
tor ización. (x – 2) (x – 1) = 0 (x – 1) (x – 1) = (x – 1)2 = 0 x = 2, x = 1 x = 1 (x – 4) (x + 3) = 0 4 (x – 3
_
2 ) (x – 3_
2 ) = 4 (x – 3_
2 )2 = 0 x = 4 , x = – 3 x = _ 32 (x + 20) (x – 10) = 0 (x + 9) (x – 2) = 0 x = – 20, x = 10 x = – 9, x = 2 (x + 12) (x – 9) = 0 (x – 5) (x + 3) = 0 x = 12, x = 9 x = 5, x = – 3 x = 6, x = 3 x = 2_
3 (x – 6) (x – 3) = 0 9x2 – 12x + 4 = 0 x2 – 4_
3 + 4_
9 = 0 (x – 2_
3 ) (x – 2_
3 ) = 0 75Sugerencias didácticas
Se introduce el concepto de semejanza en rectángulos. Es importante hacer notar que las proporciones en el rectángulo (lado entre lado) se conservan ante un cambio de escala. Lo que hace que dos rectángulos sean semejantes es que los lados correspondientes tengan una proporción que puede ser diferente de uno.
De ser posible, llevar fotos o dibujos enmarcados en un rectángulo, y cambiar la proporción del rectángulo para ver la distorsión en los dibujos de los rectángulos que no son semejantes. Esto puede hacerse en la computadora frente a los alumnos o llevar las fotos impresas.
70
Lección 28
GZXi{c\jadhhZbZ_VciZh
¿Todos los rectángulos son semejantes o sólo son parecidos? En el lenguaje de las matemáticas, la palabra semejante tiene un significado más preciso que el que se le da en el lenguaje cotidiano.
1 Realicen lo siguiente:
V Tracen un rectángulo A en el que el largo sea el triple del ancho.
W Supongan que trazan un rectángulo B a escala 2 a 1 del rectángulo A, o sea que sus lados ten-gan el doble del tamaño. ¿Cuál será la relación entre los lados del rectángulo B? Subraya lo que creas correcto:
L En el rectángulo B el largo es seis veces el ancho.
L En el rectángulo B el largo también es el triple del ancho.
L En el rectángulo B el largo es el doble del ancho.
X Tracen en su cuaderno el rectángulo B y verifiquen su respuesta anterior.
Dos rectángulos dibujados a escala son rectángulos semejantes.
Y Tracen en su cuaderno el rectángulo C semejante al rectángulo A con un factor de escala 4 a 1; verifiquen si conserva la misma relación que A y que B entre el largo y el ancho.
2 Comparen sus respuestas y lean y comenten la siguiente información.
La relación “doble” que guardan las dimensiones largo y ancho del rectángulo B con res-pecto al rectángulo A se llama factor de escala o, también, razón de semejanza
entre los rectángulos. La relación de semejanza de dos rectángulos es una relación de proporcionalidad y la razón de semejanza, en este caso, es también constante de proporcionalidad.
Por otra parte, en todos los rectángulos semejantes a A, el ancho es 13 del largo (o el largo es 3 veces el ancho). Esta razón entre largo y ancho no tiene un nombre especial.
3 (3 cm) = 9 cm
3 Considera los siguientes rectángulos semejantes.
V Midan el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos.
W ¿Cuál es la razón de semejanza del rectángulo azul con respecto al rectángulo rojo?
X Traza en tu cuaderno un rectángulo cuya razón de semejanza o factor de escala con respecto al rectángulo rojo sea 3 a 1.
Y ¿El rectángulo que trazaste es semejante al rojo y al azul?
¿Cómo lo sabes?
4 Se tienen las siguientes fotografías.
A B
Las siguientes son medidas de la base y la altura, respectivamente, de varios rectángulos. Anoten a cada rectángulo si es semejante a A a B o a ninguna.
Medidas (cm) 5 4.5 &- &* &' &% - * ') &* . ,#* &+ &% &' ,#* V (V
Es semejante a:
5 Comenten en grupo los resultados a los que llegaron.
6 Para seguir trabajando con rectángulos semejantes, resuelve el anexo 3 de la página 225. 2.3. C onstruir figur as semejan tes y c ompar
ar las medidas de los ángulos y los lados
71 a b c d I:8CDAD<Ï6 1.11 1.2 1.2 1.6 1.6 1.2 1.6 1.6 3 A A B B A B B
Valoración del desempeño
r Identifica rectángulos semejantes y la razón de semejanza de éstos.
Solucionario
a = 5.2 cm c = 6.3 cm
b = 1.6 cm d = 2.1 cm
Los rectángulos no son semejantes.
Al rectángulo rojo.
Porque cada lado es 3 veces la medida de cada lado correspondiente del rectángulo rojo.
2.5 3 2.5 4 1.48 2 (9 cm) = 18 cm 3 × 5.2 cm = 15.6 cm 2 (3 cm) = 6 cm 1.6 × 3 cm = 4.8 cm 1 c) 3 c) 77 231.
Lección 29
JcVXdcY^X^cb{hhdWgZhZbZ_VcoV
Has estudiado a los rectángulos semejantes, ¿qué pasa con otras figuras?, ¿bastará, como sucede en los rectángulos, que los lados correspondientes de una figura sean proporcionales a los lados correspondientes de la otra para que las figuras sean semejantes?
1 Pinten del mismo color los rombos que parezcan, a simple vista, semejantes entre sí, es decir, que podrían ser fotografía uno del otro. Algunos se quedarán sin colorear.
Sugerencias didácticas
El concepto de semejanza se aplica a otros cuadriláteros, no
necesariamente rectángulos. Se recomienda remarcar que los criterios se basan en que la medida de los ángulos y su posición en el cuadrilátero, así como la proporcionalidad de los lados, son la base de la semejanza.
En el ejercicio 1, después de señalar cuáles son las figuras semejantes, que los alumnos propongan sus características. De ser posible, que encuentren que la medida de los ángulos es un criterio de la semejanza.
73 V Digan si la siguiente oración es verdadera o falsa. Si consideran que es falsa, den un ejemplo que
la contradiga. Si consideran que es verdadera, expliquen por qué.
Los rombos, como los cuadrados, tienen sus cuatro lados iguales. Por lo tanto, cualquier rombo es semejante a otro.
W Escriban a continuación qué condiciones deben cumplir dos rombos para que sean semejantes.
2 Investiguen y comenten: Un cuadrado A mide 4 cm de lado y otro cuadrado A’ mide 8.3 cm de lado.
ªHdchZbZ_VciZhdcd46g\jbZciZchjgZhejZhiV#
3 Estos rombos tienen sus lados proporcionales, sin embargo, no son semejantes.
¿Qué otra condición se requiere para que sean semejantes?
4 Investiga si todos los rombos que se construyen con un ángulo de 30° son seme-jantes. Anota tus conclusiones en tu cuaderno.
5 Comenten en el grupo las respuestas a estos ejercicios y lean la siguiente infor-mación.
Dos figuras semejantes tienen exactamente la misma forma aunque su tamaño puede ser diferente, como si una fuera fotografía de la otra.
Las figuras semejantes cumplen con dos condiciones: a) Sus lados correspondientes son proporcionales. b) Sus ángulos correspondientes son iguales.
2.3. C
onstruir figur
as semejan
tes y c
ompar
ar las medidas de los ángulos y los lados
Valoración del desempeño
r Define el concepto de semejanza en figuras geométricas.
r Distingue los conceptos de semejanza y congruencia.
r Identifica figuras congruentes y semejantes.
Falso. Los rombos que tengan lados iguales, pero ángulos diferentes, no son semejantes.
Los cuatro lados de un rombo deben ser iguales y también sus ángulos.
Sí. Sus lados tienen una proporción de 2.075, y los ángulos son iguales.
Que los ángulos correspondientes sean iguales.
Lección 30
:cXjZcigVadhZggdgZh
¿Qué tiene en común y qué tienen de diferente dos figuras que son semejantes?; ¿y dos que son congruentes?
1 A Paty le pidieron en su clase de matemáticas que hiciera un dibujo semejante al siguiente, pero cometió algunos errores. Encuéntralos y táchalos.
2 A Lilia le pidieron que hiciera una figura semejante a la roja e hizo la azul.
¿Se equivocó Lilia? Argumenta tu respuesta.
3 Contesta las siguientes preguntas.
V Si dos figuras son congruentes, ¿también son semejantes? Argumenta tu respuesta.
Sugerencias didácticas
En esta lección se resalta la diferencia entre semejanza y congruencia. Todas las figuras congruentes son semejantes, pero esto no ocurre siempre al revés. Sólo dos figuras semejantes cuya proporcionalidad es uno son también congruentes.
Le recomendamos dibujar una figura en una hoja de papel, y luego dibujar figuras semejantes y congruentes a ésta en acetatos. Mostar a los alumnos la figura original, y luego uno de los acetatos. Los alumnos dirá si las figuras son semejantes o congruentes, y luego se colocará el acetato encima del papel para comprobar la respuesta.
Se recomienda dibujar varias figuras, triángulos, cuadrados y otros poliedros, y ponerlas en diferentes posiciones para que los alumnos busquen los ángulos que son iguales.
Hacer notar que todos los círculos son semejantes entre sí.
No.
Los lados correspondientes tienen proporción 1 y los ángulos son iguales. Las figuras son semejantes y congruentes.
Sí.
75
W Si dos figuras son semejantes, ¿también son congruentes? Argumenta tu respuesta.
4 Investiga las medidas reales de una cancha de futbol o de basquetbol y traza en tu cuaderno una cancha semejante. Elige la razón de semejanza que más te convenga.
V ¿Cuánto mide de largo la cancha?
W ¿Cuánto mide de ancho?
X ¿Qué razón de semejanza elegiste?
Y ¿Cuáles son las dimensiones de tu dibujo semejante?
5 Traza en tu cuaderno una figura semejante a la siguiente; la razón de semejanza debe ser 3
2 .
6 El triángulo ABC es equilátero y mide x cm de lado. Se traza un triángulo seme-jante A’B’C’ cuyo lado mide 3
4
x cm. Contesta.
¿Cuál es la razón de semejanza que permite construir el triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC?
7 Compara tus respuestas con las de tus compañeros de grupo.
2.3. C
onstruir figur
as semejan
tes y c
ompar
ar las medidas de los ángulos y los lados
.
La razón de semejanza es
_
34Valoración del desempeño
r Identifica figuras semejantes.r Construye figuras semejantes dada una razón.
Solucionario
4 2800 : 10 (cm) : 30
– círculo central 3.6 cm de diámetro – 1.20 m de la línea de fondo a la canasta
– línea de tiros libres a 5.8 m de la línea de fondo. El medio círculo tiene 1.8 m de diámetro
– la línea de 3 puntos se encuentra 7.25 m 5
No.
Sólo cuando la proporción entre los lados es 1, de otra manera, sólo son figuras semejantes.
28 m 15 m 2 800 : 10 cm 10 cm x 5 357 cm 12 cm 6 cm 10.5 cm 9 cm 10 cm 2.58 cm 2.071 cm 5.357 cm 1.28 cm diámetro 0.64 cm 0.42 cm 81
Lección 31
GZXi{c\jadhhZbZ_VciZhZcZaeaVcd
XVgiZh^Vcd
¿Tendrán algo que ver la constante de proporcionalidad y las gráficas en el plano cartesiano con los rectángulos semejantes?
1 Observa cómo se trazó en el plano cartesiano el siguiente rectángulo: la base so-bre el eje x la altura sobre el eje y.
V Tracen en el plano cartesiano otros rectángulos semejantes al que aparece, es decir, que conserven la misma razón entre la base y la altura, y que la base esté sobre el eje x y la altura sobre el eje y.
W Señalen con rojo, para cada rectángulo, el vértice opuesto al que quedó en el origen.
X Si lo hicieron bien, podrán trazar una línea recta que pase por todos los puntos rojos. Si no es así, revisen nuevamente su trabajo.
Sugerencias didácticas
En esta lección se estudia la semejanza de rectángulos. Se recomienda recalcar que el criterio de igualdad de ángulos no es suficiente para determinar la semejanza, ya que por definición todos los rectángulos tienen ángulos rectos. La proporción de los lados correspondientes entre dos rectángulos semejantes debe ser constante. Además, se mantiene la proporción entre los lados perpendiculares de rectángulo a rectángulo.
Para contestar el ejercicio 5 se recomienda remarcar que todas las figuras en la cancha deben tener la misma proporción con respecto a las figuras originales, también en su posición.
Preguntar a los alumnos si la figura de un rectángulo vista a través de una lupa es semejante al rectángulo, o si sufre deformaciones. Luego observar una pieza rectangular sumergida en un vaso de agua, y ver de nuevo si hay semejanza entre las figuras.
Es importante mencionar si al reflejar el dibujo de un rectángulo en el espejo, se obtienen figuras congruentes o semejantes.
77
Y Marquen en rojo otro punto cualquiera en la recta y tracen el rectángulo correspondiente. Este rectángulo es semejante a los otros. Expliquen cómo se puede estar seguro de ello.
Z En la siguiente tabla, anoten las medidas de la base y la altura de cada rectángulo. Observen que estas medidas corresponden a las coordenadas de los puntos rojos de la recta.
A B C D E F G
Base (x) 3 Altura (y) 2
[ Dado que los rectángulos son semejantes, la razón que guarda la base con respecto a la altura es siempre la misma, es decir, existe un número que, multiplicado por la base de cualquiera de esos rectángulos, arroja la medida de la altura.
¿Cuál es ese número?
\ Consideren la relación que a cada medida x de la base de un rectángulo le hace corresponder la medida y de su altura. ¿Cuál es la expresión algebraica de esa relación?
y
2 En grupo y con ayuda de su maestro, comparen sus respuestas. Enseguida lean la siguiente información.
El número 23 que encontraron en la pregunta del inciso f tiene varios significados:
L Es la razón que guardan la base y la altura de todos los rectángulos semejantes. L Es la constante de proporcionalidad de la relación que, a cada medida de la base, le asocia
la altura correspondiente, en la familia de rectángulos.
L Es la pendiente de la ecuación de la recta a la que pertenecen los puntos rojos.
3 Realicen en su cuaderno lo siguiente.
V Tracen un sistema de ejes cartesianos.
W Tracen un rectángulo con una base de 4 unidades sobre el eje x y una altura de 3 unidades sobre el eje y.
X Usen dicho plano para trazar al menos 5 rectángulos semejantes al anterior, es decir, que guarden la misma razón altura/base, y con base sobre el eje x y altura sobre el eje y.
Y Escriban la expresión algebraica de la relación que, a cada medida de la base de un rectángulo de la familia, le asocia la medida de la altura.
2.3. C
onstruir figur
as semejan
tes y c
ompar
ar las medidas de los ángulos y los lados
.
Valoración del desempeño
r Identifica rectángulos semejantes y su razón de semejanza.
r Construye rectángulos semejantes con respecto a una razón de proporción.
Solucionario
3Porque los lados tienen la misma proporcionalidad entre sí que los de los otros rectángulos por estar en la misma línea el vértice.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y =
_
3 4 x 6 9 12 15 4 6 8 10 2_
3(
2_
3)
x 838dcY^X^dcZhcZXZhVg^Vhnhj[^X^ZciZh
¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos sean semejantes?
1 Lean la información y hagan lo que se indica.
Hay condiciones que son necesarias y suficientes para que algo suceda. Por ejemplo, una con-dición necesaria y suficiente para que un triángulo sea igual a otro es que tengan un lado igual y dos ángulos iguales.
V Cada uno construya un triángulo que tenga un lado de 4 cm, un ángulo de 80° y otro de 60°. Comparen sus triángulos. ¿Todos son congruentes? (Recuerda que congruentes significa: de exac-tamente la misma forma y las mismas medidas.)
Hay condiciones que son necesarias pero no suficientes para que algo suceda. Por ejemplo, tener dos lados iguales es una condición necesaria para que dos triángulos sean congruentes, pero no es suficiente.
W Los siguientes triángulos son congruentes. Comprueben que dos lados de uno miden lo mismo que dos lados del otro.
Ahora cada uno trace un triángulo que tenga un lado de 7 cm y otro de 8 cm. Comparen los triángulos que trazaron; ¿son todos congruentes?
X Anoten un ejemplo de una condición que sea necesaria pero no suficiente para que dos rombos sean congruentes.
Y Anoten un ejemplo de una condición que sea necesaria y suficiente para que dos cuadrados sean congruentes.
2 Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En cada caso comenten las condiciones necesarias y suficientes que se pidieron.
Lección 32
Sugerencias didácticas
En esta lección se introducen los conceptos de condiciones necesarias y suficientes para la congruencia de dos triángulos. Ya habiendo revisado en lecciones anteriores la congruencia y semejanza de rectángulos y la congruencia de triángulos, el alumno debe identificar qué características son indispensables para que la semejanza exista, pero con cuáles basta y con cuáles no.
Pueden escribirse en diferentes papeles algunas condiciones para que la semejanza entre dos triángulos exista; se pueden escribir varias condiciones en un solo papel. Estos papeles se doblarán y se echarán a una urna. Un alumno debe sacar un papel de la urna, y junto con otros dos alumnos, dibujar en el pizarrón triángulos que tengan esa condición.
Los alumnos deben decir si esta condición es suficiente para que los triángulos sean semejantes o no, y revisar su respuesta con los dibujos hechos por sus compañeros; es decir, si todos los triángulos son semejantes o no. En los casos en que la condición no sea suficiente, pero que los triángulos dibujados por los alumnos sean semejantes, el maestro debe aclarar que puede existir otro triángulo que no sea semejante pero que cumpla con la condición.
Solucionario
Todos los triángulos son congruentes.
1 a) b)
No. No todos los triángulos son congruentes.
Que dos lados adyacentes de ambos midan lo mismo
Que los lados de ambos midan los mismo
60° 80° 4 cm 8 cm 7 cm 8 cm 4 cm 3 cm 2 cm 4 cm 3 cm 2 cm
79
3 Consideren el triángulo siguiente.
V Cada uno construya un triángulo A’B’C’ semejante al triángulo ABC.
En el cuadro siguiente se dan las cuatro condiciones que debe cumplir un triángulo para ser semejante a otro.
Condición 1 L
Que el ángulo A’ sea igual al ángulo A.
Condición 2 L
Que el ángulo B’ sea igual al ángulo B.
Condición 3 L
Que el ángulo C’ sea igual al ángulo C.
Condición 4
LQue los lados del triángulo ABC sean pro-porcionales a los del triángulo A’B’C’, es de-cir, que el número por el que se multiplica (o divide) la medida del lado AB para obtener la medida del lado A’B’, sea el mismo para los otros dos pares de lados (por ejemplo, si
A’B’ mide lo doble de AB, entonces B’C’
debe medir lo doble de BC y A’C’ lo doble de AC).
Este número por el que se multiplica se llama razón de semejanza o, también, fac-tor de escala.
W Juntos revisen los triángulos de cada uno. Vean si se cumplen las cuatro condiciones. Si detectan algún error, corríjanlo. Anoten bajo cada triángulo cuál es la razón de semejanza.
4 Una de las cuatro afirmaciones que se hacen abajo es falsa. Encuéntrenla y den un
contraejemplo, es decir, dibujen dos triángulos que tengan lo que dice la afirma-ción y que sin embargo no sean semejantes.
V Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumplan las condiciones 1, 2, y 3. W Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumplan las condiciones 2 y 3. X Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumpla la condición 1. Y Para que dos triángulos sean semejantes basta con que se cumpla la condición 4.
5 Comparen sus respuestas y redacten en su cuaderno cuáles son las condiciones
“necesarias y suficientes” para que dos triángulos sean semejantes.
2.4. D et er minar los cr it er ios de semejanza de tr iángulos . Aplicar los cr it er ios de semejanza de tr iángulos en el análisis de di fer en tes pr
opiedades de los polígonos
. Aplicar la semejanza de tr
iángulos en el cálculo de distancias o altur
as inac cesibles .
A
C
B
Valoración del desempeño
r Define las condiciones de semejanza entre dos triángulos.
r Distingue las condiciones necesarias y suficientes de los criterios de congruencia.
Otros recursos
En esta página de Internet, se muestra con animaciones el concepto de semejanza. El alumno puede modificar la medida de los lados de las figuras. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ Semejanza_aplicaciones/figuras_semejantes.htm
Solucionario
3 a) 9.1_
7 = 5.2_
4 =_
6.5 5 = 1.3 9.1_
5.2 = 7_
4 = 1.75 5.2_
6.5 = 7_
4 = 1.75 5.2_
6.5 = 4_
5 = 0.8 6.5_
9.1 =_
5 7 = 0.71 b) A' = A se cumple la condición 1 B' = B se cumple la condición 2 C' = C se cumple la condición 3 Como A'B' = (1.3) AB y B'C' = (1.3) BC se cumple la condición 4 y C'A' = (1.3) CA4 Un contraejemplo serían 2 triángulos con un solo ángulo igual.
Cumplen la condición 1, pero no son congruentes 60° 30° 90° 60° 60° 60° 6.5 cm 5.2 cm 9.1 cm 34° 45° A' 101° C' B' 5 cm 4 cm 7 cm 34º 45º 101º 85 6.5 cm 5.2 cm 9.1 cm 34° 45° A' 101° C' B' V L L L L W V W X Y
Valoración del desempeño
r Define las condiciones de semejanza entre dos triángulos.
r Distingue las condiciones necesarias y suficientes de los criterios de congruencia.
Otros recursos
En esta página de Internet, se muestra con animaciones el concepto de semejanza. El alumno puede modificar la medida de los lados de las figuras. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ Semejanza_aplicaciones/figuras_semejantes.htm
Solucionario
3 a) 9.1_
7 =_
5.24 =_
6.55 = 1.3 b) A' = A se cumple la condición 1 B' = B se cumple la condición 2 C' = C se cumple la condición 3 Como A'B' = (1.3) AB y B'C' = (1.3) BC se cumple la condición 4 y C'A' = (1.3) CA4 Un contraejemplo serían 2 triángulos con un solo ángulo igual.
Cumplen la condición 1, pero no son congruentes
60° 30° 90° 60° 60° 60°
JcXg^iZg^db{hYZhZbZ_VcoVYZ
ig^{c\jadh
En segundo grado aprendiste los criterios de congruencia de triángulos; en esta lección aprenderás los criterios de semejanza de triángulos.
1 En la tabla se dan las medidas del triángulo 1 que aparece dibujado y también
al-gunas medidas de otros triángulos. Con las medidas que se dan en cada renglón, traten de construir un triángulo que NO sea semejante al triángulo 1. En la última columna anoten “Sí” o “No” para indicar si fue posible construir el triángulo que NO sea semejante.
Lado (cm) Ángulo
Triángulo a b c ƋA ƋB ƋC ¿Fue posible construir un triángulo que no fuera semejante al triángulo 1? 1 4 5 7 34º 45º 101º 2 8 10 34º 45º 3 8 10 34º 4 8 10 101º 5 10 7 34º 6 10 7 45º 7 8 7 101º 8 8 7 45º
2 Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Lean y comenten la
si-guiente información.
Para tener la certeza de que dos figuras son semejantes es necesario que cumplan dos con-diciones: a) lados correspondientes proporcionales y b) ángulos correspondientes iguales.
Por ejemplo, no todos los rectángulos son semejantes pues todos cumplen con lo que
dice el inciso b pero no necesariamente cumplen con el inciso a. No todos los rombos son
semejantes porque cumplen el inciso a pero no cumplen con b. En el caso de los triángulos
basta con que sepamos que cumplen algunos de los siguientes criterios: 1. Que los tres lados de uno sean proporcionales a los tres lados del otro. O bien,
2. Que dos ángulos de uno de ellos sean iguales a dos ángulos del otro. O bien,
3. Que dos lados de uno sean proporcionales a dos lados del otro y el ángulo compren-dido entre estos lados sea igual.
Estos tres grupos de condiciones se llaman criterios de semejanza de triángulos.
Lección 33 A C B a c b Triángulo 1 14 101º No 14 45º 101º No 15 50 29 Sí 12.4 55º 91º Sí 13.5 29 106º Sí 10 34º 45º No 10 34º 101º No
Sugerencias didácticas
En esta lección se estudian más criterios de semejanza de triángulos, y se encuentran los valores de los ángulos o lados de los triángulos dados algunos datos, como son la proporción de semejanza, o la proporción de los lados de un triángulo comparada con otro triángulo, o alguno de sus ángulos o medidas de los lados. Un error frecuente es que los alumnos no siempre calculan la medida de los lados dada la proporción entre dos lados de manera correcta, por lo que se recomienda hacer notar que entre los lados de dos triángulos ABC y A'B'C', AB/A'B' no es la misma proporción que A'B'/AB.
Los alumnos propondrán el valor de dos ángulos y un lado para construir un triángulo, pero que no necesariamente sea el lado entre los ángulos, y al construir triángulos con estos datos, ver cuáles son semejantes. Hacer lo mismo para dos lados y un ángulo, para tres ángulos y para tres lados.
Otra sugerencia es realizar un juego de memoria, donde las tarjetas tengan triángulos dibujados, con algunos ángulos o valores de los lados, y que el alumno acierte al encontrar dos triángulos semejantes. Por ejemplo, poner en dos tarjetas dos triángulos congruentes, donde en uno de los triángulos los datos sean dos ángulos y el lado entre ellos, y en el otro, sean también los mismos ángulos, pero el lado entre ellos con una proporción de ½.
Se recomienda utilizar todos los criterios de semejanza y congruencia en las tarjetas, y hacer algunos pares de tarjetas muy parecidos para que los alumnos pongan especial atención en distinguir los triángulos que son semejantes de los que no lo son.
81 3 Compartan con otros compañeros sus respuestas y conclusiones. En grupo
discu-tan si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas; en caso de que conside-ren que son falsas den un ejemplo que lo demuestre
Afirmación ¿Falsa o verdadera?
V Si dos triángulos tienen iguales sus tres ángulos, entonces los triángulos son semejantes.
W Si dos triángulos rectángulos tienen igual uno de los ángulos agudos, los triángulos son semejantes.
X Todos los triángulos rectángulos son semejantes.
Y Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes.
Z Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
[ Si se traza la altura correspondiente al lado mayor de un triángulo rectángulo, los dos triángulos in-teriores que se forman son semejantes entre sí y también semejantes al triángulo original.
4
Los siguientes triángulos son semejantes. Sin medir, calcula y anota las medidas de: BC _______ A’C’ = _______ ƋB = _______ ƋA’ = _______
ƋB’ _______ ƋC’ = _______
5 Comparen sus resultados y la manera como llegaron a ellos.
A C B 8 cm A’ B’ C’ 6 cm 3 cm 4.5 cm 41° 78° 2.4. D et er minar los cr it er ios de semejanza de tr iángulos . Aplicar los cr it er ios de semejanza de tr iángulos en el análisis de di fer en tes pr
opiedades de los polígonos
. Aplicar la semejanza de tr
iángulos en el cálculo de distancias o altur
as inac
cesibles
.
9 cm 4 cm 61º 78º
61º 41º
Valoración del desempeño
r Identifica si dos triángulos son semejantes o no, o si puede saberse.
r Construye un triángulo semejante a otro dado, al conocer la razón de
semejanza.
Otros recursos
Se recomienda visitar la siguiente página de Internet, para revisar el concepto de semejanza, y algunos ejemplos.
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/ IIICiclo/NivelIX/ConceptodeSemejanza/SemejanzadeTriangulos.htm
Solucionario
5
– Como los triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes
son iguales, es decir, <A' = <A, <B' = <B y <C' = <C
– La proporción entre lados correspondientes es la misma, así:
AB
_
A'C' = AC_
A'C' = BC_
B'C'– La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º
Verdadera Verdadera
Falsa. Los triángulos con ángulos (90º, 45º, 45º) y (90º, 60º, 30º)
Verdadera Verdadera Verdadera
Lección 34
1 Considera el triángulo siguiente para hacer lo que se indica.
V Ubica un punto sobre el lado AB y llámalo P.
W Traza una paralela a BC que pase por P.
X La paralela que trazaste corta al lado AC en un pun-to, nómbralo Q.
Y ¿Son semejantes los triángulos APQ y ABC? ____ Argumenta tu respuesta (pista: recuerda las
propie-dades de los ángulos que se forman en un sistema de paralelas).
__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________
2
Comparen sus argumentos del inciso d.
3 Calcula lo que se pide en cada figura.
MN es paralela a PQ. PQ 50 cm MN 30 cm PR 60 cm NR 35 cm ¿Cuánto mide MR? _______ ¿Cuánto mide QR? _______ AB es paralela a DE AC = 15 cm CE = 10 cm BC = 16 cm DE = 11 cm AB = ________ CD = ________
B{hhdWgZhZbZ_VcoVYZig^{c\jadh
Cuando trazas una paralela a uno de los lados de un triángulo y esta paralela corta a los otros dos lados se forma un nuevo triángulo, ¿cómo es este triángulo con respecto al triángulo original?
A C B P M N R Q A B C D E
Sugerencias didácticas
En esta lección se estudia la semejanza de triángulos, cuando se corta un triángulo con una o varias líneas paralelas a cualquiera de sus lados. Es necesario un repaso de las propiedades de los ángulos que se forman al cortar dos líneas paralelas con cualquier otra línea. También puede ser útil que los alumnos lleven sus escuadras y transportador, para que tracen líneas paralelas con las escuadras, y luego que midan los ángulos formados con el transportador para que comprueben las respuestas.
Construir un compás de escala como en el ejercicio 5, con dos palitos de paleta y una tachuela. Copiar un dibujo sencillo a escala con ayuda de este instrumento.
Un dibujo sencillo puede ser una colección de figuras geométricas como rectángulos, triángulos y cuadrados, que formen alguna figura. Cortar un triángulo con líneas paralelas, que no sean paralelas a alguno de sus lados, y analizar la figura. Decir si pueden encontrarse triángulos congruentes en la nueva figura, y si pueden conocerse los valores de sus ángulos y lados a partir del ángulo original.
Sí
P Q
Comparten el ángulo <A, por las propiedades de los ángulos entre líneas paralelas, <Q = <C y <P = <B. Como tienen 3 ángulos iguales, los triángulos son semejantes.
36 58.3 −3
16.5 10.6 −6
83 4 Considera que las rectas rojas son paralelas.
Explora si los triángulos que se forman son semejantes siempre, sólo a veces o nunca.
Anota tus conclusiones y tus argumentos.
5
Lee la información y contesta.
Compás de escala. Un compás de escala es un instru-mento que sirve para reducir o amplificar figuras a una escala dada. Puede construirse con dos palos del mis-mo tamaño que terminen en punta de ambos lados; se sujetan en el punto C como muestra la figura, cuidando que se cumplan las igualdades ACBC, CA’ CB’, y de tal manera que pueda abrirse y cerrarse.
V La construcción de este compás es una aplicación de la semejanza de triángulos. ¿Cuáles son los triángulos semejantes?
¿Por qué se sabe que son semejantes?
W Se construye el compás con dos palos que midan 15 cm y sujetados de tal forma que
ACBC 5 cm y CB’CA’ 10 cm.
i) Cuando este compás se abra de tal manera que AB mida un segmento de 8 cm, ¿cuánto se abrirá el compás en la parte de A´B´?
ii) Y si A´B´ se abre a 20 cm, ¿cuánto se abre AB? iii) Y si AB mide xcm, ¿cuánto mide A´B´?
iv) ¿Cuáles razones de semejanza se usan en este compás?
X Se desea construir un compás de escala que haga ampliaciones 3 a 1 o reducciones 1 a 3. Anota una posible medida para los palos y dónde deben unirse (punto C).
6
Comenta tus respuestas con tus compañeros y lean la siguiente información:
Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos lados o a su prolongación, determina un segundo triángulo semejante al primero.
2.4. D et er minar los cr it er ios de semejanza de tr iángulos . Aplicar los cr it er ios de semejanza de tr iángulos en el análisis de di fer en tes pr
opiedades de los polígonos
. Aplicar la semejanza de tr
iángulos en el cálculo de distancias o altur
as inac cesibles . A B C B’ A’ 16 cm 10 cm 2x
3 ángulos iguales (propiedades de las paralelas).
Palos de 20 cm, unidos en C a 5 cm de un extremo.
Valoración del desempeño
r Define la escala a la que se encuentran dos figuras de la misma forma.
r Identifica triángulos semejantes y su proporción cuando un triángulo es cortado por líneas paralelas a uno de sus lados.
r Explica el funcionamiento de un compás de escala, y utilizarlo para ampliar o reducir una imagen sencilla.
Otros recursos
Para un repaso de las líneas paralelas cortadas por una recta, y la relación entre sus ángulos, se recomienda visitar la siguiente página.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/angulos_ paralelas_fmh/angulos_paralelas.htm
Siempre son semejantes, porque los triángulos tienen los mismos ángulos correspondientes.
ABC con A'B'C
Son triángulos isósceles, entonces sus lados tienen la misma proporción, y los ángulos opuestos (ACB y B'CA') son iguales.
Lección 35
ª8j{cidb^YZaVVaijgVYZaedhiZ4
¿Cómo podrías usar lo que sabes de la semejanza de triángulos para medir la altura de un poste?1 Van a armar un aparato que sirve para medir de manera aproximada distancias
o longitudes, por ejemplo, alturas de árboles, de un asta bandera o de un edificio. Enseguida realizarán algunas mediciones.
VPeguen un popote en el lado más largo de la escuadra que tiene forma de triangulo isósceles
rectángulo.
WElijan un objeto alto, por ejemplo, un árbol, un poste o un asta bandera. Para medir su altura
ha-gan lo siguiente:
L Uno de ustedes mire a través del popote, manteniendo uno de los lados pequeños de la
escua-dra en posición horizontal, y desplácese hacia atrás o hacia adelante hasta que ubique el punto más alto de lo que van a medir.
L Otro de ustedes, con ayuda de un metro o cinta métrica mida la distancia d que hay entre la
escuadra y el objeto que se va a medir, y la altura h a la que se encuentra la escuadra, como se
muestra en el dibujo.
L Con esos datos busquen una manera de calcular la altura del objeto seleccionado. Si la
encuen-tran, anótenla aquí: _______________ h ?
d
2.5 m (aro de basquetbol).
Sugerencias didácticas
Esta lección se basa en una aplicación de la semejanza de triángulos, conociendo uno de ellos. Construyendo otro semejante, conocer las medidas del triángulo nuevo, para poder medir la altura de un objeto que es difícil de medir. Se utiliza el mismo procedimiento para todas las mediciones.
Se recomienda que los alumnos formen equipos de dos personas, salgan al patio de la escuela a medir la altura de un objeto como un árbol o el aro de una cancha de básquetbol, la altura de sus compañeros o de alguna ventana o cuadro colgado en alguna pared. Antes de hacer las mediciones, deben anotar en una hoja la estrategia, y las distancias que deben medir para encontrar triángulos semejantes con sus escuadras, popotes y flexómetros o cintas métricas.
Se puede usar gis para marcar en el piso los extremos de las distancias que deben medir En estos casos es difícil mantener la escuadra paralela al piso, es decir, perfectamente horizontal. Se recomienda que si se tiene acceso a un nivel pequeño se utilice. De otra manera, que los alumnos den sugerencias para poder mantener la escuadra paralela al piso. Se recomienda poner la escuadra en la orilla de alguna mesa horizontal que pueda trasladarse.