I UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD

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I UNIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD Límites.

Propiedades de los límites de funciones reales. Límites unilaterales.

Límites infinitos y límites al infinito. Límites de funciones trascendentes. Continuidad de una función.

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LÍMITES DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1.1Idea de Aproximación

Sea 𝑥₀ un punto fijo en la recta numérica tal como se indica

Cuando un número desconocido 𝑥 se aproxima a 𝑥₀, lo puede hacer por valores mayores o menores que 𝑥₀.

Por la izquierda de 𝑥₀ (menores que 𝑥₀)

En este caso se dice que 𝑥 se aproxima a 𝑥0 por la izquierda, por tanto se simboliza como:

𝑥 → 𝑥₀−

Expresión que se lee: “𝑥 es menor que 𝑥₀, pero cercano a él”

Por la derecha de 𝑥₀ (mayores que 𝑥₀)

En este otro caso se dice que 𝑥 se aproxima a 𝑥0 por la derecha, por tanto se simboliza como:

𝑥 → 𝑥₀+

Expresión que se lee: “𝑥 es mayor que 𝑥₀, pero cercano a él”

En los siguientes ejemplos analizaremos que sucede con las imágenes 𝑓(𝑥) cuando las preimágenes 𝑥 varían.

Ejemplos

1) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)? Solución

Por la izquierda Por la derecha

𝒙 0.90 0.95 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.05 1.10

𝒇(𝒙) 2.90 2.95 2.98 2.99 3.01 3.02 3.08 3.10

Intuitivamente podemos darnos cuenta que al aproximarse los valores de 𝑥 al valor 1, se tiene que las imágenes 𝑓(𝑥) se aproximan al valor 3.

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Esto se simboliza denotando:

“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑” NOTA

Debemos tener presente que estamos aproximando, por ello no hacemos hincapié que para 𝒙 = 𝟏 se obtenga 𝒇(𝒙) = 𝟑.

2) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, si asignamos valores a 𝑥 cercanos a 2, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)? Solución

Por la izquierda Por la derecha

𝒙 1.7 1.8 1.9 1.99 2 2.01 2.10 2.20 2.30

𝒇(𝒙)

3) Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥−1, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)? Solución

La función considerada puede simplificarse usando la diferencia de cuadrados: 𝑥2− 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑓(𝑥) =𝑥2−1 𝑥−1 =

(𝑥−1)(𝑥+1)

𝑥−1 = 𝑥 + 1, por tanto se tiene que: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 1 Por la izquierda Por la derecha

𝒙 0.90 0.95 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.05 1.10

𝒇(𝒙) 1.90 1.95 1.98 1.99 2.01 2.02 2.08 2.10

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4) Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥2−9

𝑥+3 , si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 3, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?

Solución

Por la izquierda Por la derecha

𝒙 2.7 2.8 2.9 2.99 3 3.01 3.10 3.20 3.30

𝒇(𝒙)

1.2Noción intuitiva de Límite

Para el ejemplo 1) de aproximación: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, tenemos:

“cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 3”, Simbolizando:

“cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟑” Y se escribe como:

lim

𝑥→1𝑓(𝑥) = 3 que se lee:

“El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 3” Luego 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1𝑓(𝑥) nos indica:

“valor límite de 𝒇(𝒙)”

Para el ejemplo 3) de aproximación: 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥−1, tenemos:

“cuando 𝒙 se aproxima a 1, se tiene que 𝒇(𝒙) se aproxima a 2”, Simbolizando: “cuando 𝒙 → 𝟏, se tiene que 𝒇(𝒙) → 𝟐”

Y se escribe como:

𝑙𝑖𝑚

𝑥→1𝑓(𝑥) = 2 que se lee:

“El límite de 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a 1, es 2” Observación

𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎

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Completar las tablas y usar los resultados para hallar el límite indicado.

1) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥2_{− 4𝑥 + 7, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con 𝑓(𝑥)?}

2) Si 𝑘(𝑥) =𝑥2−4

𝑥−2, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 2, ¿qué sucede con 𝑘(𝑥)?

3) Si ℎ(𝑥) =𝑥3−1

𝑥−1, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 1, ¿qué sucede con ℎ(𝑥)?(Responder en forma gráfica y numérica)

4) Si E(𝑥) = (1 + 𝑥)1𝑥, si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 0, ¿qué sucede con 𝐸(𝑥)?(Responder en forma gráfica y numérica)

5) Si S(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥 , si asignamos valores cercanos a 𝑥 cercanos a 0, ¿qué sucede con 𝑆(𝑥)?(Responder en forma gráfica y numérica)

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1.3Definición de límite

El número real 𝐿 se llama límite de una función 𝑓 en el punto 𝑥₀ (𝑥₀ no necesariamente perteneciente a 𝐷𝑜𝑚(𝑓)), si para cada 𝜀 > 0, existe 𝛿 > 0 (que depende de𝑥₀ y 𝜀) tal que

0 < |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 En tal caso, escribimos

lim 𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = 𝐿

A continuación analizaremos los siguientes límites, teniendo presente que la existencia de un límite no de pende de que esté o no definida la función en el punto al que nos aproximamos.

La función 𝑓(𝑥) está definida en 𝑥0 = 2 se tiene:

lim

𝑥→2𝑓(𝑥) = 4

La función 𝑔(𝑥) no está definida en 𝑥₀ = 2 se tiene: lim

𝑥→2𝑔(𝑥) = 4

La función ℎ(𝑥) está definida en 𝑥0 = 2, ℎ(2) = 2, pero se tiene que

lim

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Ejemplo 1

Usar el gráfico para determinar los siguientes valores, si es posible: a. 𝑓(1) b. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1f(𝑥) c. 𝑓(2) d. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2f(𝑥) e. 𝑓(3) f. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3f(𝑥) Solución Ejemplo 2

Usar el gráfico para determinar los siguientes valores, si es posible: a. 𝑓(1) b. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1f(𝑥) c. 𝑓(2) d. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2f(𝑥) e. 𝑓(5) f. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→5f(𝑥) Solución

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EJERCICIOS

1) Usar el gráfico para determinar los siguientes valores, si es posible: a) 𝑓(2) b) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2f(𝑥) c) 𝑓(4) d) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4f(𝑥) e) 𝑓(5) f) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3f(5)

2) En los siguientes ejercicios, usar el gráfico para encontrar el límite (si existe).

3) En los siguientes ejercicios, representar gráficamente la función para encontrar el límite (si existe). Sea 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2, 𝑥 ≠ 2 1 , 𝑥 = 2 Calcular: a) f(2) y b) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2f(𝑥) Sea 𝑔(𝑥) = {−𝑥2+ 3, 𝑥 ≠ 0 −3 , 𝑥 = 0 Calcular: a) g(0) y b) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 g(𝑥)

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1.4Límites unilaterales

Puede ocurrir que 𝑓(𝑥) se acerque a un valor límite, cuando 𝑥 se aproxime a 𝑥₀ por un solo lado, ya sea por la izquierda o por la derecha.

Definición. Límites unilaterales

Decimos que el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a c es L, si a medida que tomamos valores de x, cada vez más próximos a c, pero mayores que c, entonces f(x) se aproxima a L.

Simbólicamente

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑐+f(𝑥) = 𝐿

Decimos que el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a c es M, si a medida que tomamos valores de x, cada vez más próximos a c, pero menores que c, entonces f(x) se aproxima a M.

Simbólicamente 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐−f(𝑥)= 𝑀 1.4.1 Interpretación geométrica 𝑥 < 𝑐 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐−𝑓(𝑥) = 𝑀 𝑥 > 𝑐 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐+𝑓(𝑥) = 𝐿 1.4.2 Teorema

Una función 𝑓 tiene un límite en 𝑥₀, si y solo si los límites por la izquierda y por la derecha de 𝑥₀ existen y son iguales.

Es decir:

𝑙𝑖𝑚

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EJEMPLOS 1) Considere la función Determinar si existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑓(𝑥) . Solución: Tenemos 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2−f(𝑥)= 4 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+f(𝑥)= 10 Concluimos que 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑓(𝑥) no existe. 2) Considere la función 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 −𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 Determinar si existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑓(𝑥) . Solución: 3) Dada la función Determinar si existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 𝑔(𝑥). Solución:

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EJERCICIOS 1) Dada la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 Determinar si existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑓(𝑥). Solución: 2) Dada la función 𝑓(𝑥) = { 2, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 0, 𝑠𝑖 𝑥 = 0 −2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0 Determinar si existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑓(𝑥). Solución: 3) Dada la función 𝑓(𝑥) =|𝑥| 𝑥 Determinar si existe el 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑓(𝑥). Solución: 4) a) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− 𝑓(𝑥) b) 𝑙𝑖𝑚_𝑥→2+f(𝑥) c) 𝑙𝑖𝑚_𝑥→2 𝑓(𝑥) 5) a) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−1− 𝑓(𝑥) b) 𝑙𝑖𝑚_𝑥→−1+f(𝑥) c) 𝑙𝑖𝑚_𝑥→1 𝑓(𝑥) EJERCICIOS

Decida si cada límite existe. Si existe un límite, estimar su valor. 1) a) 𝑙𝑖𝑚