Introducción a las wavelets y sus aplicaciones al procesamiento de imágenes

(1)

Introducción a las wavelets

y sus aplicaciones

al procesamiento de imágenes

ECImag 2008

Ana Ruedin Departamento de Computación,

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires

(2)

1. Como surgieron las wavelets. Qué son.

2. Transformada wavelet continua.

Detección de dígitos manuscritos.

3. Transformada wavelet discreta.

Compresión (con pérdida)

4. Transformada wavelet de enteros a enteros.

Compresión (sin pérdida)

5. Transformada wavelet invariante.

Detección de bordes de una imagen. Reconstrucción a partir de los bordes.

Descriptores para la identificación de texturas y búsqueda en bases de datos de imágenes

6. Transformada wavelet continua discretizada sobre una grilla especial.

(3)

Bases de cosenos

(Parte real de la transf Fourier)

{

cos(kx

)

}

∑

=

k k

kx

b

x

f

(

)

cos(

)

) cos( x ) 3 cos( x ) 7 cos( x

(4)

Coeficientes b Bases de cosenos

{

cos(kx

)

}

∑

=

k k

kx

b

x

f

(

)

cos(

)

) cos( x ) 3 cos( x ) 7 cos( x coeficientes b

)

(x

f

(5)

Coeficientes b Bases de cosenos

{

cos(kx

)

}

∑

=

k k

kx

b

x

f

(

)

cos(

)

) cos( x ) 3 cos( x ) 7 cos( x

∑

k k

kx

b

cos(

)

Reconstrucción con los 5 coeficientes de mayor magnitud coeficientes b

)

(x

f

(6)

Bases de cosenos | Fourier

No hay información temporal

Excelente información frecuencial

(7)

Bases de cosenos | Fourier

Cuando la señal es 0, las bases se cancelan

Jean Morlet 1980 Prospección de petróleo.

eco sensores

bombas de

estruendo conocimiento _{sobre capas de} suelo

Las ondas sonoras atraviesan las capas de materiales diferentes a distintas velocidades

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Bases de cosenos | Fourier

Cuando la señal es 0, las bases se cancelan

Jean Morlet 1980 Prospección de petróleo.

eco sensores

bombas de

estruendo conocimiento _{sobre capas de} suelo

Sistemas de ecuaciones en 4 d. Grandes volúmenes de datos

Se resuelve por Fourier.

En los intervalos entre el estallido de las bombas de estruendo, la solución no era nula.

Las ondas sonoras atraviesan las capas de materiales diferentes a distintas velocidades

(9)

¿Qué son las wavelets?

5 .

0 =

a

=

1 a

=

2 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Ψ

a

x

Cambios de escala

0 )

(

=

Ψ

∫

∞

−

dx

x

4 =

a

(10)

0.9239 0 -1 0 -0.5

∑

=

i i i

y

x

y

x,

0.5

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Ψ

a

b

x

Traslaciones

dx

a

b

x

a

x

f

∫

∞ ∞ −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Ψ

1 )

(

0 =

b

2 =

b

4 =

b

)

2 (

a

=

Transformada: un producto escalar

(11)

dx

a

b

x

a

x

f

b

a

W

_f

∫

∞ ∞ −

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Ψ

=

(

)

1 )

,

(

f(x) b a

(12)

f(x) b a j

a 2

=

k

b

₌

₂

j puntos

(13)

)

(x

Φ

Función de escala

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

Ψ

=

_j j j

k

x

span

W

2

2 Wavelet

Ψ

( x

)

0 )

(

=

Ψ

∫

∞ ∞ −

dx

x

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

Φ

=

_j j j

k

x

span

V

2

1 )

(

=

Φ

∫

∞ ∞ −

dx

x

Subespacios de aproximación Subespacios de detalle

(14)

...

0 1

2

⊂

V

⊂

V

⊂

V

Transformada wavelet discreta

0

V

1

V

2

V

1

W

2

W

j j j

W

V

₊₁

⊕

₊₁

=

(15)

...

0 1 2

⊂

V

⊂

V

⊂

V

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Ψ

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Φ

=

∑

2

2 )

(

_x

_c

(1)

x

k

_d

(1)

x

k

f

k k k k

Transformada: proyección sobre los subespacios de aproximación y detalle

Transformada wavelet discreta

0

V

1

V

2

V

1

W

2

W

j j j

W

V

₊₁

⊕

₊₁

=

1

V

∈

W

₁

(16)

Señal original

Señal

suavizada

Detalle

omitido

) 0 (

c

(17)

Señal original

Señal

suavizada

Detalle

omitido

) 0 (

c

) 1 (

c

_d

(1)

(18)

detalles

aproximación

{

Señal original

≈ suma de detalles a diferentes escalas

+ una aproximación burda

(19)

Esquema de la transformada : 2 pasos

Convolución o filtrado

2

Decimación o submuestreo

de a 2; se eliminan los impares 2

h

2

h

2

g

2

h

2

h

₂

g

) 0 (

c

) 1 (

c

) 2 (

c

) 1 (

d

) 2 (

d

)

(w

H

G

(w

)

h filtro pasa bajos g filtro pasa altos

) 1 (

c

_d

(1) ) 2 (

c

d

(2)

w

(20)

(21)

(22)

1 paso

A

₁

D

₁

V

₁

H

₁ A Aproximación V detalle Vertical H detalle Horizontal D detalle Diagonal

(23)

A

₁

D

₁

V

₁

H

₁

A

₂

D

₁

V

₁

H

₁

H

₂

V

₂

D

₂

1 paso

2 pasos

A Aproximación V detalle Vertical H detalle Horizontal D detalle Diagonal

(24)

Umbrales de 25, 10 y 5%

Representación

rala de una

imagen

Separación en detalles de ubicación y escala diferentes: textura, bordes, etc. Concentra la energía en pocos coeficientes: compresión.

(25)

JPEG (24.43 dB) DCT 8 x 8 Usando wavelets (27.74 dB)

Comprimida 2 KB !!!

0.065277 bpp Compresión 122:1

Compresión (con pérdida)

Original 256 KB

(26)

– 8 bandas

– Respuestas a ciertas frecuencias del espectro

electromagnético

– Objetivo: aprovechar correlación entre las bandas

...

Investigación conjunta con Daniel Acevedo (estudiante de doctorado)

Problema: grandes volúmenes de datos 1 banda Æ 50 MB

8 bandas Æ 400 MB

Compresión sin pérdida

de imágenes satelitales

(27)

...

Wavelets de enteros a enteros

Imagen Pixeles: 0-255 Imagen transformada biyección Coeficientes: -300 - 300 DH1 DD1 DV1 DH2 DV2 DD2 DV3 DH3 DD3

Compresión sin pérdida

de imágenes satelitales

(28)

• Wavelet: se reduce la correlación espacial.

• Se clasifica la imagen.

• Se predice cada coeficiente (utilizando coefs ya codificados).

• Se codifican las diferencias de predicción

• Codificador aritmético (basado en la entropía)

COMPRESOR 136,65 125,10 118,83 179,80 116,72 Mendoza 117,92 111,30 105,33 159,24 103,98 San Luis 105,61 99,54 98,43 139,94 90,37 Santa Cruz 121,67 113,53 106,88 161,05 104,76 Buenos Aires PNG JPEG2000 LOCO-I WINZIP NUESTRO METODO

4.23 :1

Tasa de compresión

Resultados en MB Imágenes originales: 400MB

Compresión sin pérdida

de imágenes satelitales

(29)

Transformada wavelet invariante

Los detalles horizontales, verticales y diagonales tienen el mismo tamaño que la imagen original.

Transformada redundante. Invariante a traslaciones.

(30)

0 50 100 150 200 250 0 0.5 1 0 50 100 150 200 250 0 0.5 1 0 1 2 −1 0 1 0 1 2 −1 0 1 0 2 4 −1 0 1 0 2 4 −2 0 2 0 5 −2 0 2 2 4 6 −2 0 2 4 5 6 −2 0 2 7.56 −1 0 1 Aproximaciones Detalles

Detección de bordes

(31)

Máximos locales del módulo Detalles

Las singularidades más importantes se propagan hacia las escalas más gruesas

(32)

(33)

(34)

(35)

Detección de bordes

(36)

Fig. 2: Brodatz texture collection

16 imágenes de 64x64 de cada textura

(37)

Histograma conjunto de detalle horizontal y vertical

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3

Transformada Wavelet Discreta Transformada Wavelet Invariante

De Ves, Ruedin, Acevedo, Benavent, Seijas, CAIP 2006

(38)

Histograma de módulos

Identificación de texturas

Nivel 1 Nivel 2

Transformada Wavelet

Invariante Histograma circular de ángulos

Nivel 3

Recuperación en una base de diferentes texturas En promedio

De Ves, Ruedin, Acevedo,

Benavent, Seijas, CAIP 2006

89 %

Distancia basada en la diver-gencia Kullback Leibler

(39)

Algunas muestras de la base de dígitos CENPARMI, de la Universidad de Concordia

Se utiliza una red neuronal.

Tesis de licenciatura en curso. Alumno: D.J.Romero. Codirección: L.Seijas.

Reconocimiento de dígitos manuscritos .

(40)

Transformada wavelet continua para imágenes

2 1 2 1 2 1 1 ₍ _, ₎ ( ,( )/ ) ) , , , , ( dx dx a b x b x R x x f b b a W_f _x _y _a

∫

x y ∞ ∞ − ∞ ∞ − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − Ψ = ε ε θ θ f(x) b a 1 D Se estira la wavelet Se hace una rotación Son 5 parámetros.

(41)

i. Curvatura

ii. Suma de cuadrados de los módulos del gradiente iii. Entropía de módulos del gradiente

iv. Entropía de los ángulos del gradiente

v. Suma de cuadrados de la transf. Sombrero Mejicano para distintos ángulos vi. Entropía de módulos de la transf. Sombrero Mejicano para distintos ángulos vii. Densidad escala-ángulo

V

(42)

Dígito Versión suavizada + Vector V Red Neuronal Perceptrón multicapa Clase PREPROCESAMIENTO BASADO EN LA TRANSFORMADA WAVELET

Reconocimiento sobre el conjunto de entrenamiento Reconocimiento sobre el conjunto de testeo

99.28 %

92.70 %

(43)

Bases estables para música en dominio tiempo-frecuencia

Investigación conjunta con Juan Vuletich, tesista de licenciatura

Bases wavelets para música.

(44)

Gabor Weyl-Heisenberg

{

e

i

2 π

j

b

t

g

(

t

−

ka

)

}

estables

frames

ab

inestables

bases

ab

1

1 <

=

tiempo frecuencia g Gaussiana

Localización tiempo- frecuencia óptima

Representaciones redundantes Grilla uniforme

2

1 ≥

f

t

σ

Principio de incertidumbre Heisenberg

a

b

(45)

Música

1 0 2 a F F = 1 0 2

a

F

=

1

F

1 1 12 0 13

a

F

2 F

F

=

1 octava 12 1 0

=

2 a

irracional progresión geométrica

Cociente de 2 frecuencias de notas adyacentes = constante

(46)

Wavelets usadas para la trasformada

wavelet discreta

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

Ψ

_jj j

k

t

2

1

2 / 1 octava 1 octava= 12 notas Bases estables

Excelente localización en el tiempo Localización de las frecuencias: no muy buena

Mosaico: área constante Se necesita mayor tiempo para identificar una

frecuencia baja

(47)

Grilla especial para una octava

1

F

12

F

tiempo Mosaicos: área constante

Mosaicos más largos para frecuencias más bajas

(48)

(49)

Distintas wavelets:

usos diferentes!