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Situaciones Lógicas y Recreativas
OBJETIVOS:
“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”. Hipatía
Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones proble-máticas.
Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas.
Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situacio-nes, a veces familiares pero relacionadas con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento. Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar con-clusiones con solamente un criterio lógico, sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica. Se verán problemas sobre relación de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre traslados, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información.
Siendo jueves el mañana de hoy, ¿qué día será el ante-ayer del mañana de pasado mañana?
a) miércoles b) jueves c) martes d) lunes e) sábado
♦ Jueves < > + 1 + 0
Jueves < > + 1 (Dato) ♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > Jueves
Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana?
a) sábado b) miércoles c) lunes d) jueves e) domingo ∴ Rpta.: d ♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2 ∴ Rpta.: e
-2 -1 0 +1 +2 +3
J V S D L M
(Piden) (Dato) Nociones PreviasI. PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN DE TIEM-POS
Ejemplo 1:
Resolución:
Ejemplo 2:
Resolución:
* SISTEMA RELACIÓN - TIEMPO
Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana?
a) lunes b) sábado c) martes d) viernes e) jueves
En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo?
a) 30 soles b) 40 soles c) 20 soles d) 50 soles e) 60 soles
En este tipo de problemas debemos tener en cuenta, en el momento de la resolución, que cada uno de los integrantes de la familia puede desempeñar en un mis-mo problema papeles diferentes. Así por ejemplo, una misma persona puede ser padre e hijo a la vez. Luego haciendo un esquema utilizando la menor can-tidad de personas, se tiene:
∴ Como mínimo estuvieron 4 personas. Luego pagaron 4(S/. 5) = S/. 20
∴ Rpta.: b Ejemplo 2:
Resolución:
Piden: Ayer del ayer de anteayer
-1 -1 -2
= -1 - 1 - 2 = - 4
Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila?
a) padre b) tío c) tío abuelo d) abuelo e) suegro
Hagamos un gráfico
∴
Del gráfico se deduce que el hermano de ese hombre es el abuelo de Camila.∴ Rpta.: d Dato: -2 + 5 <> domingo
+3 <> domingo ... (I) Piden: +2 - 1 - 3 + 2 + 1 = 1 ...(II) ahora de (I) y (II):
viernes sábado domingo
+1
+2
+3
Incógnita
Dato
Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer?
a) lunes d) sábado b) martes e) viernes c) jueves
Dato:
Anteayer del mañana de
pasado mañana <> martes +1 -1 +2 ∴ Rpta.: e
⇒
-2 + 1 + 2 <> martes +1 <> martes abuelo Resolución: Ejemplo 4: Resolución: jueves- 4
viernes- 3
sábado- 2
domingo- 4
lunes0
martes+1
retroceder Dato Incógnita ∴ Rpta.: cII. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO Ejemplo 1:
Rpta: 2 Rpta: 4 Rpta: 1 Rpta: 3
¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para formar siete cuadrados?
¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?
La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi:
¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mamá de mi madre?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta:
5
Rpta:
6
Rosa ve en el mercado a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Rosa?
Si el mañana del pasado mañana del ayer de mañana de hace 3 días es miércoles, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del mañana del pasado mañana?
7. De las fichas que se muestran en la figura, ¿cuáles deben ser invertidas para que la suma de los puntos de la parte superior sea el triple de la suma de las partes de la parte inferior?
a) 2 y 5 b) 3 y 4 c) 1 y 3
d) 2 y 4 e) 1 y 2
(1) (2) (3)
(4) (5)
8. Si el ayer del pasado mañana del mañana de an-teayer de mañana es jueves, ¿qué día fue ayer?
a) lunes d) jueves b) martes
e) domingo c) miércoles
9. El hermano de Sofía tiene un hermano más que hermana. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Sofía?
a) 3 b) 1 c) 2
d) 5 e) 4
10. Si el presente mes tiene 5 martes, 5 miércoles y 5 jueves, ¿qué día caerá el 20 de dicho mes? a) sábado d) jueves b) lunes
e) viernes c) domingo
1. Si hoy es jueves, ¿qué día de la semana fue hace 100 días? a) lunes d) viernes b) martes e) domingo c) sábado
2. ¿Cuántos cerillos se debe mover como mínimo para obtener 5 cuadrados iguales a los mostrados?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mel-lizo de Leonel si la madre de Leonel es la hermana de mi hermano gemelo?
a) abuelo d) padre b) hijo e) yerno c) tío
11. Coloca los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20. Da como respuesta la suma de los números que van en los vértices.
12. En la siguiente figura, distribuye los números del 1 al 12, de modo que la suma de los números que se hallan en cada lado del cuadrado sea 22. De como respuesta la suma de los números que van en los vértices (x + y + z + w).
x
y
w
z
4. Si el ayer del anteayer de mañana es sábado, ¿qué día será el mañana del mañana del pasado mañana de ayer?
a) lunes d) viernes b) miércoles e) sábado c) jueves
5. Martín se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué?
a) es su mamá b) es su hermano c) es su hermana d) es su tío e) es su abuela
6. Mi nombre es Mentorcito y mi hermano Miguelito, además mi abuela tuvo un hijo solamente. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la nuera de la mamá de mi madre?
a) mi hermana d) prima b) tía e) abuela c) madre
7. Si m = 2m, calcula:
m + m + m + m + m
a) 5m b) m c) 3m
d) 0 e) 1
8. Siendo viernes el mañana de mañana de hace 5 días, ¿qué día será el anteayer del anteayer de den-tro de 4 días? a) lunes b) martes c) jueves d) sábado e) viernes
9. Cuatro profesores de la academia y 2 alumnas tienen que cruzar un río en una canoa. En cada viaje puede ir uno de los profesores o las dos alum-nas, pero no un profesor y una alumna a la vez. ¿Cuál es el mínimo número de veces que la canoa tiene que cruzar el río en cualquier sentido para que todos logren cruzar dicho río?
a) 12 b) 16 c) 17
d) 21 e) 9
10. ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para dejar la basurita fuera del recogedor?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) ninguno
11. En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes?
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
12. Saúl, Anibal y Marco son médicos. Dos de ellos son cardiólogos y uno pediatra. Anibal y Marco afirman que uno de ellos es cardiólogo y el otro es pediatra, por lo que podemos deducir que: a) Anibal y Marco son pediatras.
b) Saúl es pediatra.
c) Anibal y Marco son cardiólogos. d) Anibal es cardiólogo y pediatra. e) Saúl es cardiólogo.
En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente:
La información que nos da el problema necesita ser ordenada.
Se comienza el ordenamiento utilizando la información precisa o la más relacionada.
Debemos verificar que la respuesta final que hallamos cumpla con las condiciones del problema.
Para su mejor estudio han sido agrupados, según la manera de ordenar la información, en:
a) Ordenamiento lineal.
b) Ordenamiento por posición de datos.
c) Relación de datos (cuadro de afirmaciones). d) Ordenamiento circular.
En este caso se procede a ordenar la información, ubi-cando los datos en forma vertical u horizontal, según corresponda.
a) Creciente o decreciente
En una fiesta se encuentran 4 amigos Sandro, Luis, Pedro y Martín. Además:
Sandro es más alto que Martín pero más bajo que Luis.
Pedro es más alto que Sandro.
Indica verdadero (V) o falso (F), según correspon-da.
El más alto de los 4 es Luis. ( ) El más bajo es Martín. ( ) Es imposible que Pedro sea el más alto. ( )
Se sabe que:
Carlos es 3 cm más alto que Diego. Juan es 2 cm más bajo que Diego. Juan es 5 cm más bajo que Carlos. Lucy es 3 cm más baja que Diego.
Indica verdadero (V) o falso (F) según correspon-da.
Diego y Juan son de la misma talla. ( ) Lucy es la más baja. ( ) Diego es el más alto. ( )
Genio e Ingenio
Durante su etapa como profesor activo, al final de un examen un alumno se acercó a Albert Einstein y le comentó sorprendido:
“¡Las preguntas del examen de este año son las mismas q u e l a s d e l a ñ o pasado!”
“Sí” - le contestó
Einstein-, “pero este año las respuestas s o n t o t a l m e n t e diferentes”. Nociones Previas Orden de Información I Orden de Información II A. ORDENAMIENTO LINEAL Ejemplo 1: Ejemplo 2:
2
Orden de Información
(Horizontal y Vertical)
OBJETIVOS: Afianzar el desarrollo de la creatividad y el ingenio. Potenciar la habilidad analítica.
Nota
Un postulante a la Católica compra 6 libros y los ubica en un estante de su biblioteca de la siguiente manera:
El libro de Aritmética está siempre junto y a la izquierda del de Álgebra.
El libro de Física está siempre junto y a la izquierda del libro de Química.
El libro de Geometría está a la izquierda del de Álgebra.
El libro de Trigonometría está a la derecha del de Aritmética y a la izquierda del libro de Física. Indica verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda.
El libro que está a la derecha de los demás es el libro de Química. ( )
El libro que está a la izquierda de los demás es el libro de Aritmética. ( )
El cuarto libro contando desde el extremo derecho es el libro de Álgebra. ( )
El quinto libro contando desde el extremo izquierdo es el libro de Física. ( )
Existen ejercicios en los que hay más de un ordenamiento; para que una afirmación sea verdadera debe cumplirse
en todos los posibles ordenamientos.
¡Cuidado!
En este tipo de ejercicios algunos datos ya tienen una posición determinada y la ubicación de los otros está en función de ellos. Los problemas más comunes son los problemas de edificios y los de carreras.
Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Arturo vive en el primer piso, Mario vive abajo de Jorge y Willy vive en el piso inmediatamen-te superior al de Mario, ¿en qué piso vive Willy?
4 3 2 1
Se observa nueve automóviles estacionados en fila, y cada uno de ellos es de un color determinado. Se desea saber el color del auto que está en el segundo lugar, sabiendo que:
El primero es blanco.
El de color habano está entre el negro y el gris. El verde está entre el azul y el rojo.
El de color arena está al último. El rojo está entre el verde y el lila. El negro está después del habano. El gris entre el lila y el habano. Las proposiciones:
A no es mayor que B, significa que A pued e ser menor o igual que B.
A no es menor que B, significa que A puede ser mayor o igual que B.
b) Lateral
El procedimiento es similar al seguido en el ordena-miento creciente o decreciente.
izquierda ↔ derecha oeste ↔ este occidente ↔ oriente
Cinco amigos van al estadio Monumental a ver el clásico “U” vs. Alianza Lima y ocupan 7 asientos seguidos en fila. Si se sientan juntos siempre que no sean del mismo sexo, y en ese caso se deja un asiento desocupado, entonces un jugador desde el campo observa que:
Susy está en el extremo derecho. Braulio está entre Leandro y Lucía.
Boris está a la izquierda de Leandro que está sentado junto a Susy.
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Lucía se sienta en el extremo izquierdo. ( ) Braulio se sienta junto a Lucía. ( ) La quinta posición a partir del extremo derecho
está vacía. ( )
La quinta posición a partir del extremo izquierdo está vacía. ( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ejemplo 2:
Ejemplo 2:
B. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS
Ejemplo 1:
Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias, cada familia ocupa un piso , los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2 pisos más abajo que los Barrera, los Durán viven en el segundo piso y los Gómez no viven adyacentes con los Aburto. ¿En qué piso viven los Muñoz?
Según el primer dato hay 2 posibilidades: (1) Barrera Aburto Calderón 6.° 5.° 4.° 3° 2.° 1.° (2) Barrera Aburto Calderón
Puesto que los Durán viven en el 2.º piso, sólo es posible (1). Los Gómez no viven en el 4.º piso, sino en el 6.º En consecuencia los Muñoz viven en el 4.º piso.
En conclusión Aburto Calderón 6° 5° 4° 3° 2° 1° Gómez Durán Barrera Muñoz
Pedro es menor que Pepe, Pipo es menor que Pino y Pepe es menor que Pipo, ¿cuál es el mayor?
Resolución:
Empecemos representando en segmentos verticales la información inicial con precisión, no debemos suponer lo que el enunciado no indique; veamos:
“Pedro” es menor que “Pepe” Pepe Pedro
“Pipo” es menor que “Pino” Pino Pipo
Nótese que es necesario trazar 2 segmentos, debido a que no se presenta ningún vínculo entre las anteriores proposiciones.
* Ahora utilicemos el vínculo que los relaciona: “Pedro” es menor que “Pipo”
Pino Pipo Pepe Pedro
∴
Se aprecia que el mayor es Pino.En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid, un periodista hizo las siguientes anotaciones de los siete atletas participantes (Ñol, Pepe, Mario, Cano, Kilito y Makito).
Ñol llegó antes que Pepe y después que Mario. Mario llegó después que Cano y éste después que
Kilito.
Trilcito llegó antes que Cano. ¿Quién llegó en cuarto lugar?
Resolución:
Pepe Ñol Mario
Mario Cano Kilito
Cano Makito Pepe Ñol Mar io Cano 6.° 5.° 4.° 3.° 2.° 1.° “Makito” y “Kilito”
∴
En cuarto lugar Mario.Dada la siguiente información: I) Aristóteles es menor que José. II) José es un año menor que Walter. III) Walter es 21 años menor que Renán. Si resto las edades de Renán y José, obtengo:
Resolución:
∴
22 años. Renán Walter José Aristóteles 21 1 = 22 -Ejemplo 3: Ejemplo 4: Ejemplo 5: Ejemplo 6: Resolución:Rpta: 2 Rpta: 4 Rpta: 1 Rpta: 3
Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia “Mendez” vive un piso más arriba que la familia “García”. La familia “Dueñas” vive más arriba que la familia “Prado” y la familia “Mendez” más abajo que la familia “Prado”. ¿En qué piso viven los “Mendez”?
En un edificio Beatriz vive más arriba que Álex, Javier más arriba que Saúl y éste más arriba que Álex. Si Beatriz y Javier viven en el mismo piso, ¿cuáles de las afirmaciones son necesariamente verdaderas?
I. Javier vive más arriba que Álex. II. Javier vive más abajo que Álex. III. Beatriz vive más arriba que Saúl. IV. Beatriz adora a Javier.
Cinco amigos están sentados en una banca en el parque, ubicados uno a continuación de otro. Zarahí y Pedro se ubican en forma adyacente, Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan y Zarahí está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados (no se sientan juntos), ¿quién se sienta al lado de Silvia?
Sobre una mesa hay un lapicero, un color y un plumón. Si sabemos que:
- A la izquierda del color hay un lapicero. - A la derecha del plumón está el que pinta
azul.
- A la izquierda del que pinta azul está el que
pinta verde.
- A la derecha del que pinta rojo hay un
plumón.
Entonces al extremo derecho, ¿qué objeto está?
Resolución: Resolución:
Resolución:
Rpta:
5
Rpta:
6
En una competencia de motocrós participan 6 personas cada una con sus motos numeradas del 1 al 6. Se sabe que:
- Los tres últimos lugares lo ocupan motos
con numeración de los primeros números primos.
- La moto 6 llegó inmediatamente después del 1. - La diferencia entre el quinto y el segundo es 4. - La moto de cuarto lugar es la semisuma de
los números de las motos de lugares extremos. ¿Qué moto se encuentra a dos lugares de la moto número 1?
En una carrera participan 4 amigas: Milena, Rosa, Katy y Úrsula. Si del orden en que lle-garon se conoce:
- Ni las trampas ayudaron a ganar a Rosa. - Úrsula y Katy llegaron una detrás de otra
en orden alfabético.
- Milena aventajó a Rosa en 3 puestos.
¿Quién ganó la carrera? ¿Quién llegó tercera?
7. En cierto examen, Sara obtuvo menos puntaje que Nataly, Vanessa menor puntaje que Karina, Irene el mismo puntaje que Susana, Sara más que Silvia, Vanessa el mismo puntaje que Nataly e Irene más que Karina. ¿Quién obtuvo menos puntaje?
8. En una carrera participan 6 personas: A, B, C, D, E y F. Se sabe que A llegó antes que D, pero 2 puestos después que F, y B llegó inmediatamente después que A, pero antes que E. Se puede afirmar que:
I. C llegó en segundo lugar. II. D llegó antes que E. III. E llegó en sexto lugar.
9. En un edificio de 5 pisos viven las familias: Flores, Zanabria, Miranda, Pérez e Islas cada una en pisos diferentes.
- Los Islas viven encima de los Zanabria. - Los Flores viven lo más alejado de los Miranda. - Los Miranda no pueden subir las escaleras. - A los Pérez les hubiera gustado vivir en el último
piso. Son ciertas:
I. Los Flores viven en el piso dos. II. Los Pérez viven en el piso tres. III. Los Miranda viven en el piso uno.
10. Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, pero más arriba que David. Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. El tercer piso lo ocupa:
Resolución:
11. Se colocan en un estante seis libros de razonamiento matemático, aritmética, álgebra, física, historia y geometría. Si:
- El libro de aritmética está junto y a la izquierda del de álgebra.
- El libro de física está a la derecha del de aritmética y a la izquierda del de historia. - El libro de historia está junto y a la izquierda del
de geometría.
- El libro de razonamiento matemático está a la izquierda del de álgebra.
De derecha a izquierda, el cuarto libro es de:
12. Seis amigas están escalando una montaña, Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso?
1. Cinco profesores: Medina, Parodi, Fernández, Cartolín y López están sentados en fila. Parodi está en el extremo de una fila y Fernández en el otro extremo. Cartolín estaba al lado de Parodi y Medina al lado de Fernández. ¿Quién estaba en el medio? a) Medrano b) Cartolín c) Fernández d) López e) Parodi
2. En una banca en el parque se sientan Juana a la derecha de María y Ana a la izquierda de Juana, por lo tanto:
a) Juana está al medio. b) Juana está a la derecha. c) Juana está a la izquierda. d) Ana está al medio. e) María está al medio.
3. Si María es mayor que Lucía, Irene es menor que María y Lucía es menor que Irene, ¿quién no es mayor ni menor?
a) María b) Lucía c) Irene d) Ninguna e) F.D.
4. Cinco amigos A, B, C, D y E viven en un edificio de 6 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que:
- El departamento del cuarto piso está desocu-pado.
- D vive adyacente a A y C. - E no vive en el último piso. Se afirma:
I. B vive en el sexto piso. II. A no vive en el tercer piso. III. C vive más arriba que A. Son verdaderas: a) Sólo I b) II y III c) I y III d) Todas e) I y II
5. Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que: - B obtuvo un punto más que D.
- D obtuvo un punto más que C. - E obtuvo dos puntos menos que D. - B obtuvo dos puntos menos que A.
Ordénalos de mayor a menor puntaje.
a) ABCDE b) EDCBA c) ECDBA d) CBADE e) ABDCE
9. Cuatro amigos viven en un edificio de 4 pisos. Alberto vive en el primer piso, Martín vive más abajo que José y Walter vive en el piso inmediatamente superior a Martín. ¿En qué piso vive Walter?
a) Primero b) Cuarto c) Segundo d) Tercero e) F.D.
10. En un examen de Razonamiento Matemático Luis obtuvo menos puntos que Álex, Ábner menos pun-tos que Luis y Cristian más punpun-tos que Jessica. Si Jessica obtuvo más puntos que Álex, ¿quién obtuvo el mayor puntaje?
a) Luis b) Jessica c) Álex d) Ábner e) Cristian
11. Se deben realizar cinco actividades A, B, C, D y E una por día desde el lunes hasta el viernes. B se realiza después de D. C se realiza el jueves o el miércoles. D se realiza el jueves o el viernes. Halla la secuencia en que se realizan las actividades si A se realiza antes que E.
a) AECBD b) CEADB c) AECDB d) EACBD e) CAEDB
12. De un total de 30 inculpados; habían 8 que El Chino quería castigar y a los demás dejarlos libres. Puso a los 30 en círculo y castigó a cada uno que ocupara el 8.° lugar. Hay 2 castigados que inicialmente ocuparon lugares consecutivos. ¿Cuáles son esos lugares?
a) 8.° y 9.° b) 2.° y 3.° c) 16.° y 17.° d) 20.° y 21.° e) 24.° y 25.°
6. En un examen de Razonamiento Matemático Rosa obtuvo menos puntos que María, Laura menos puntos que Lucía, Noemí el mismo puntaje que Sara, Rosa más que Sofía, Laura el mismo puntaje que María; y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo menos puntaje? a) Laura b) Sofía c) María d) Sara e) Rosa
7. Se sabe que Pablo es 4 cm más alto que Julio, Mónica es 3 cm más baja que Julio. Ricardo es 7 cm más bajo que Pablo, Ruth es 4 cm más baja que Julio. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
I. Ricardo y Mónica son de la misma talla. II. Julio es más alto.
III. Ruth es la más baja. a) Todas
b) II y III c) I y II
d) Sólo una es cierta e) I y III
8. Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto, Carlos a la derecha de Toño entre Flavio y Dante, y Dante está junto y a la izquierda de Erick. ¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de izquierda a derecha? a) Carlos b) Flavio c) Erick d) Toño e) Dante
3
Orden de Información
(Relación de Datos - Cuadro de Decisiones)
C. RELACIÓN DE DATOS
(CUADRO DE AFIRMACIONES)
Se debe construir una tabla en la cual se relacionan los datos proporcionados, marcando las relaciones correctas y eliminando las negativas.
Tres amigas: Carmen, Fátima y Milagros comentan sobre el color de polo que llevan puesto.
- Carmen dice: “Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes”.
- Milagros dice: “Me gustaría tener un polo verde como el tuyo”.
- Fátima dice: “Me gusta mi polo rojo”. ¿Qué color de polo tiene cada una?
Primero construimos un cuadro con todas las posibi-lidades.
Resolución
Azul Rojo Verde
Carmen Fátima Milagros
Primer Dato:
Como Carmen no usa polo rojo ni azul, entonces usa polo verde.
Tercer Dato:
Fátima tiene polo rojo.
Por lo tanto:
Carmen Verde ; Fátima Rojo
∴ Milagros Azul
Azul Rojo Verde
Carmen X X
Fátima X
Milagros X
Ejemplo 1:
Azul Rojo Verde
Carmen Fátima Milagros X X
X X X X
Gauss, a la edad de diez años su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y
cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas.
Reto
¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?
Mily, Pili, Lenín y Ely terminaron sus estudios de Medi-cina, Ingeniería, Matemática y Derecho, se sabe que: - Mily no estudia Medicina.
- Pili hubiera estudiado Derecho si Lenín hubiera estudiado Ingeniería.
- Ely quiere empezar a estudiar Matemática. - Lenín estudiaría Medicina si Pili no lo hiciera. - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a
Matemática, ¿qué estudia Pili? Resolución
* De los dos primeros enunciados: - Lenín no estudia Medicina.
- Pili no estudia Derecho, Lenín no estudia Ingeniería.
- Lenín estudiaria Medicina si Pili no lo hiciera. - Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a
Matemática. Se tiene:
- Ely no estudia Matemática.
- Lenín no estudia Medicina, Pili si estudia Medicina. - Mily estudia Matemática.
Mily Pili
Medicina Ingeniería Matemática Derecho
Lenín Ely No No No Mily Pili Medicina Ingeniería No Matemática Derecho Lenín Ely Sí No No No No No Sí Sí No No No No No Sí No
De tres amigas se sabe que:
- Ana y la divorciada visitan siempre a Carmen. - Ana era muy amiga del fallecido esposo de la señora
Cruz.
- La viuda y Betty son menores que la señora Quiroz. - La señora Páez es bien alegre.
El nombre correcto es:
a) Betty Ruiz b) Betty Páez c) Ana Páez d) Carmen Páez e) Carmen Ruiz
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Resolución Viuda
Ruiz Quiroz Páez
Ana Carmen Betty No Sí No Sí No No No No Sí ∴ Betty Páez
∴
Rpta.: b RetoTres amigos en el bar
Les voy a contar una vieja historia que muy bien pudiera ser real:
Van tres amigos a tomarse un refresco. Después de tomarlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lío.
- Amigos : Camarero, nos trae la cuenta, por favor. - Camarero: Son 300 pesetas, caballeros.
Y cada uno de ellos pone 100 pesetas.
Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo ve el jefe y le dice:
- Jefe : No, esos son amigos míos. Cóbrales sólo 250 ptas.
El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente:
- Camarero: Ya está. Me quedaré con 20 ptas y les devuelvo 30, diez para cada uno.
Les devuelve a cada uno 10 ptas.
Ahora es cuando viene el problema. Si cada uno puso 100 ptas y le devuelven 10 ptas, realmente puso cada uno de ellos 90 ptas.
90 x 3 = 270 ptas. Si añadimos las 20 que se queda el camarero son 290 ptas.
C. ORDENAMIENTO CIRCULAR
En estos casos se presenta la información indicando que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia).
Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa.
- Julio está al lado de Carlos y al frente de Ana. - David no se sienta nunca al lado de Ana y de Carlos. Entonces es siempre cierto que:
A) Ana y Carlos se sientan juntos. B) David está a la derecha de Julio. C) David está a la izquierda de Julio.
D) Ana y Carlos están separados por un asiento.
Resolución Carlos Ana Julio (Primera posibilidad) Ana Julio Carlos (Segunda posibilidad)
Al analizar las alternativas, observamos que la que cum-ple en ambas posibilidades es la “D” (no es necesario el segundo dato).
Seis amigos juegan dominó alrededor de una mesa re-donda. David no está al lado de Coquito ni de Silvia. Piero no está al lado de Liz ni de Silvia. Coquito no está al lado de Piero ni de Liz. Regina está junto y a la izquierda de Coquito. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Coquito? Resolución * Empezando por el último dato, tendremos: R L S P D C
∴
A la derecha de Coquito esta Silvia.∴
Rpta.: d Ejemplo 1:Ejemplo 2:
Ana invita a cenar a sus amigos: Betty, Coryna, Daniel, Ely y Felipe; este último por razones de trabajo no pudo asistir.
Se sientan alrededor de una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente y se sabe que: - Ana se sienta junto a Ely y Daniel.
- Frente a Ely se sienta Betty.
- Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío. ¿Entre quiénes se sienta Ely?
Resolución
- Ana se sienta junto a Ely y Daniel.
- Frente a Ely se sienta Betty.
- “Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío”. Entonces, dicho asiento debe de estar entre las dos mujeres, luego:
∴ Ely se sienta entre Ana y Corina. D E A D E A B D E A B C Ejemplo 3:
Rpta: 2 Rpta: 4 Rpta: 1 Rpta: 3
Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes ocupaciones y se sabe que:
Raúl y el gasfitero son amigos del mecánico. Carlos es amigo del mecánico.
El comerciante es familia de Bruno.
El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico. Raúl es comerciante.
¿Cuál es la ocupación de Carlos?
Resolución:
Felipe, Marco, Pedro, Daniel y Carlos harán una encuesta en cinco distritos de Lima: La Molina, San Isidro, Pueblo Libre, Lince y Mi-raflores cada uno en un distrito diferente. Y se sabe que:
Felipe irá a La Molina, pero Marco la hará en su propio distrito.
Las suegras de Pedro y Daniel viven en San Isidro, por lo cual ellos no aceptan ir a ese distrito.
Marco vive en Lince y es el único que en-cuesta en su distrito.
Daniel vive en Pueblo Libre. ¿Dónde encuesta Carlos?
Resolución:
Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alre-dedor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente.
Además:
D no se sienta junto a B.
A se sienta junto y a la derecha de B y fr-ente a C.
E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F?
Resolución:
En una mesa circular de 7 sillas se sientan a discutir cuatro obreros A, B, C y D y tres em-pleados: X, Y, Z, y se sabe que:
Ningún empleado se sienta junto a otro empleado.
B se sienta junto a D, pero Z no se sienta junto a ellos.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son correctas?
I. Entre D y Z hay por lo menos 2 asientos. II. X se sienta junto a B.
III. A se sienta junto a Y.
Rpta:
5
Rpta:
6
7. Alicia, Carmen, Francis y Edith tienen diferentes profesiones: periodista, médico, kinesiólogo y matemático y viven en las ciudades X, Y, Z y W. Además, se sabe que:
Francis no vive en X ni en Y. El médico vive en X. Alicia vive en W. Edith es kinesióloga.
El periodista nunca ha emigrado de Z. ¿Qué profesión tiene Alicia?
8. Un estudiante, un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco difer-ente:
“Yo ahorro en Interbank”, dice el médico a Ro-berto.
Tito comenta: “El banco que más interés paga es el Wiese”.
El abogado dice: “¨Mi secretaria lleva mi dine-ro al Banco de Lima”
El tercer personaje se llama José. ¿Cómo se llama el estudiante?
Cinco amigos A, B, C, D y E se sientan alred-edor de una mesa circular y se sabe que: Las 5 sillas se encuentran distribuidas
simé-tricamente.
A se sienta junto a B. D no se sienta junto a C. Podemos afirmar con certeza que: I. D se sienta junto a A.
II. E se sienta junto a C. III. B se sienta junto a D.
Resolución:
En una mesa circular hay 6 asientos y se sien-tan 4 amigos: A, B, C y D.
Nadie se ha sentado junto a A.
Si llega un amigo más, podría estar junto a B.
Frente a D no hay nadie. ¿Quién está frente a C?
Resolución:
9. Están en una sala de conferencia: un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres, aunque no necesariamente en ese orden, de los pro-fesionales son: Pedro, Diego, Juan y Luis. Y si se sabe que:
1. Pedro y el contador no se llevan bien. 2. Juan se lleva muy bien con el médico.
3. Diego es pariente del abogado y éste es amigo de Luis.
4. El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico. ¿Quién es el médico?
10. Juana tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Lima, Cusco e Iquitos; pero cada uno tiene carácter diferente: tímido, agresivo y liberal. Marcos no está en Lima.
Luis no está en el Cusco.
El que está en Lima no es tímido. Luis no es liberal, ni tímido.
Se quiere saber en qué ciudad vive Víctor, que es uno de los amigos, y qué carácter tiene. Además se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo.
1. Tres amigos: Ana, Beto y Carlos tienen diferentes profesiones; profesor, médico y electricista, no nec-esariamente en ese orden y se sabe que:
Ana es el médico. Beto no es el electricista. ¿Cuál es la profesión de Carlos? a) Profesor
b) Contador c) Médico d) Mecánico e) Electricista
2. Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes pro-fesiones: ingeniero, profesor, abogado y médico pero ninguno en ese orden.
Y se sabe que:
Carlos, el abogado y el médico juegan fútbol. Raúl, el médico y el abogado juegan ajedrez. ¿Qué profesión tiene Pedro?
a) Ingeniero b) Médico c) Abogado d) Profesor e) Contador
11. Ana, Betty, Carol y Dina son 4 señoritas cuyas ocupaciones son: enfermera, profesora, secretaria y actriz (aunque no en ese orden necesariamente). Además se sabe lo siguiente:
Ana y Betty son vecinas y se turnan para llevarse el auto al trabajo.
Betty gana más dinero que Carol.
Ana le gana siempre a Dina jugando casino. La actriz no vive cerca de la casa de la
profe-sora.
La enfermera camina siempre a su trabajo. La única vez que la secretaria vio a la actriz
de-tuvo su auto para pedirle un autógrafo. La actriz gana más dinero que la profesora o la
secretaria, pero no tiene auto. ¿Qué ocupación tiene Carol?
12. “A”, “B”, “C” y “D” corresponden a los nombres de Roberto, Gerardo, Manuel y Jesús (no necesari-amente en ese orden).
Roberto, “C” y “D” fueron al teatro juntos. Gerardo, “A” y “B” trabajan en la misma
fábri-ca.
“A”, “C” y Manuel concurren a los juegos mecánicos con regularidad.
“D”, “B” y Jesús juegan en el mismo equipo. “C” es moreno, en cambio, Gerardo es de tez
blanca.
Determina quién es moreno y quién es “A”.
3. En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco hermanos: Erica, Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco.
Se sabe que:
Francisco y Miluska no se sientan juntos. Guisela se sienta junto a Erica y Francisco. Fabiola se sienta frente a Guisela.
¿Quién se sienta frente al sitio vacío? a) Erica
b) Guisela c) Miluska d) Fabiola e) Francisco
4. Tres personas X, Y, Z disponen de A, B y C libros aunque no necesariamente en ese orden.
Además se conoce que:
Y le dice a la que tiene B que la otra tiene A libros.
Z le dice a la que tiene A que tiene sed. Se pregunta:
¿Quién tiene A libros?
a) X b) Y c) Z
5. A, B y C tienen una mascota cada uno, perro, gato y mono. Si B le dice al que tiene el gato, que la otra tiene un perro, y C le dice a la que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; entonces: a) A tiene el mono
b) C tiene el gato c) B tiene el perro d) A tiene el gato e) B tiene el gato
6. Por mi casa vive un gordo, un flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Uno para alegre, el otro colérico y el otro triste y se sabe que: Al gordo nunca se le ve reír.
El enano para molesto porque siempre lo fasti dian por su tamaño.
Entonces:
a) El gordo para alegre b) El flaco para triste c) El enano para triste d) El flaco para alegre e) El gordo para colérico
7. Rommel, Álex, Luis y Eduardo practican los si-guientes deportes: fútbol, atletismo, natación y tenis; y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores.
Y se sabe que:
Luis no vive en Los Olivos ni en Breña. El atleta vive en Los Olivos.
Rommel vive en Miraflores. Eduardo es futbolista.
El nadador nunca ha emigrado de San Borja. ¿Qué deporte practica Rommel?
a) Natación b) Atletismo c) Fútbol
d) Tenis e) Básquet
8. Tres hermanos practican natación, atletismo o bás-quet; cada deporte se identifica con un color: azul, rojo o verde, Juan no sabe nadar; el que juega por el verde es atleta; los rojos no juegan básquet y Gustavo participa por el verde. ¿Qué deporte le cor-responde a Alberto y Gustavo, respectivamente? a) Natación y básquet
b) Básquet y atletismo c) Atletismo y natación d) Natación y atletismo e) Faltan datos
9. Luis, Judith, Armando y su prima Marilyn orden-aron helados de sus sabores favoritos. Cada uno ordenó un sabor diferente, tomaron helado de chocolate, fresa, vainilla y marrasquino. A Ar-mando y Marilyn no les gusta la fresa. Judith tomó chocolate. Marilyn solía tomar marrasquino pero se cansó de éste. ¿Qué ordenaron Armando y Mari-lyn, respectivamente? a) Chocolate y fresa b) Vainilla y fresa c) Marrasquino y chocolate d) Marrasquino y vainilla e) Fresa y marrasquino
10. Los señores Pérez, Sánchez, García y Lazo son médico, abogado, ingeniero y matemático, aunque no necesariamente en ese orden. Pérez no sabe de medicina ni de leyes, Sánchez no sabe de números ni de planos García sabe los códigos legales y Lazo no sabe medicina ni tampoco de construcción. ¿Qué profesión tiene el Sr. Pérez?
a) Médico d) Matemático b) Abogado
e) Pintor c) Ingeniero
11. Marcos, Janeth, Manuel y Magaly son hinchas de los siguientes equipos (no necesariamente en ese or-den): Boys, Universitario, Cristal y Alianza. Mar-cos no es hincha de Boys y su amigo tampoco. Si sabemos que Magaly es hincha de Universitario y su en amorado es hincha de Cristal y es el único amigo de Marcos, ¿hincha de qué equipo es Marcos? a) Universitario b) Boys c) Cristal d) Boys y Cristal e) Alianza 12. Los cursos de R.M. y R.V., Aritmética y Álgebra
son dictados por Andrés, Carlos, Luis y César; y se sabe que:
Luis es amigo del profesor de R.M.
El profesor de R.M. no conoce a Carlos ni al que dicta Aritmética.
César y el profesor de Aritmética son amigos en común con el profesor de R.V.
El único amigo de Andrés es Carlos. Entonces la relación correcta es:
a) César - R.V. b) Luis - R.M. c) Andrés - Álgebra
4
Habilidad Matemática
OBJETIVOS:
Dominar métodos prácticos en las operaciones, para aplicarlos en la multiplicación, adición, potenciación, etc. Resolver las situaciones complejas con fluidez y habilidad.
CÁLCULO DE NÚMEROS AL CUADRADO
En este capítulo aprenderemos técnicas y formas de solu-ción que nos permitan efectuar operaciones aritméticas con mayor rapidez que lo común, para ello utilizaremos un poco de habilidad matemática, basándonos en las propiedades básicas de las matemáticas.
1) CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN 5 (N5)2 = ...25 1. (35)2 = 12 25 x 4 Nociones Previas Ejemplos 3. (8,5)2 = 72 , 25 x 9 ¡Con decimales! 1. (24)2 = ? (24)2 = 22 ...2(2)(4)...42 llevo 1 llevo 1 576 2. (83)2 = ? (83)2 = 82 ...2(8)(3)...32 llevo 4 no llevo 6889
2) CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS
2. (145)2 = 210 25 x 15
(ab)2 = a2 ...2(a)(b)...b2
Desarrollo del Binomio
Ejemplos
x 17
4. (16,5)2 = 272 , 25
3) CUADRADO DE UN NÚMERO CUALQUIERA
Donde “a” es el C.A. para ser un múltiplo de 10 una unidad inmediata superior o inferior.
1. (108)2=(108 - 8) (108+8)+ 82 =(100) (116) + 64 = 11 664 (N)2 = (N - a) (N + a) + a2 Ejemplos 2. (212)2 =(212 - 12) (212+12) + 122 =(200) (224) + 144 = 44 944
¿Cómo lo hizo?
Una profesora sacó a un alumno a la pizarra para multiplicar: 57 324 x 236 el alumno multiplicó comenzando por la izquierda y sorprendió a todos, ¿cómo lo hizo? 5 7 3 24 x 2 3 6 1 1 4 6 4 8 1 7 1 9 7 2 3 4 3 9 4 4 1 3 5 2 8 4 6 4 CIFRAS TERMINALES
1) PARA NÚMEROS QUE TERMINEN EN: 0, 1, 5 Y 6 1. (11)2 = 121 (31)2 = 961 2. (20)2 = 400 (40)2 = 1600 3. (15)2 = 225 (65)2 = 4225 4. (26)2 = 676 (16)2 = 256 terminan en “6” terminan en “5” terminan en “0” terminan en “1”
2) PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN: 4 Y 9 (...4)impar = ...4 (...4)par = ...6 (...9) impar = ...9 (...6)par = ...1 (...0)n = ...0 (...1)n = ...1 (...5) n = ...5 (...6)n = ...6 Ejemplos
1. ¿En qué cifra termina 20042004 (2004)2004 = (...4)par = ...6? ∴ Termina en 6
3) PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN: 2, 3, 5 Y 8
1. ¿En qué cifra termina el desarrollo de: E = 3256261 ?
Resolución: En el exponente:
2. ¿En qué cifra termina el desarrollo de RM = (5673)9763? Resolución: En el exponente: 63 4 3 15 9763 = 9700 + 63 ° ° 4 4 + 3 ° 4 + 3 2. Si A = 99999
hallar la cifra terminal. A = 99999 par = ...1 ∴ Termina en 1 2222555 33 (...7)4 = ...1 (...8)4 = ...6 ° ° ° Ejemplos 61 4 1 15 ∴ 9763 E = (...2)4 + 1° = (...2)1 = ...2 ∴ RM = (...3)4+3 = (...3)3 = ...7
Soldados en apuros
Una patrulla de soldados, de maniobras por la jungla, se encuentra de pronto con un gran río, profundo e infestado de cocodrilos. En la otra orilla ven a dos muchachos nativos con una canoa. La canoa sólo puede transportar a un soldado con su fusil y su mochila, o a los dos muchachos. ¿Cómo conseguirán los soldados atravesar el río sin “alimentar” a los cocodrilos?
Solución:
La clave de la solución depende del hecho de que la canoa pueda transportar a los dos muchachos, pero sólo se necesita a uno de ellos para llevar la canoa de una orilla a la otra. Así pues, uno de los muchachos lleva la canoa hasta la orilla en que se encuentran los soldados. A continuación este muchacho se baja y el primer soldado con todo su equipo cruza el río; allí desembarca y el segundo muchacho regresa con la canoa y recoge de vuelta a su compañero. Ya están los dos muchachos y la canoa como al principio. Basta repetir la maniobra tantas veces como soldados haya, hasta que el último haya cruzado el río.
° (...2)4 = ...6 (...3)4 = ...1
Rpta: 2 Rpta: 4 Rpta: 1 Rpta: 3
Halla la cifra terminal de “A”
A = (9971+2345)(9971+2345)
Resolución:
9998
Halla la suma de las cifras de la operación: J = 24363548 (99999999) Resolución: 3+35+353+3535+ ...= ...SAN 20 sumandos Si: Halla: S + A + N Resolución: Halla: L + U + I + S en 99 Resolución: 2 2 8 2 8 2 2 8 2 8 . . . . L U I S 28 sumandos +
Rpta:
5
Rpta:
6
Calcula la suma de cifras del resultado:
Resolución: P =64(2+1)(22+1)(24+1)...(218+1)+1 Calcula: Resolución: P = 2x4 x10 x 82x 6562 x(38x38+1)+1 16 7. Calcula: (F - E)3 F = (87654) (87662) + 16 E = (87654) (976660) + 9
8. Calcula la suma de cifras del resultado: (111...1113)2 - (111...11)2 50 cifras 50 cifras E = A = (88888) +(99999)77777 22222+5 7 4 3 2 9. ¿En qué cifra termina:
10. ¿Cuál es el resultado de la expresión? E=(x - a) (x - b) (x - c) ... (x - z)
2. Indica la suma de las cifras del resultado de efec-tuar:
a) 270 b) 300 c) 360
d) 400 e) 630
1. Halla el resultado de efectuar “E”: E = (107 + 1)2 - (9999999)2 a) 15 x 106 b) 30 x 106 c) 20 x 106 d) 18 x 106 e) 40 x 106 (353535...35) (9999...99) 30 cifras 40 cifras
3. Halla la cifra terminal en el desarrollo total de “A”:
A=999 x 888 x 777 x 666 x 222
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
4. Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: P = (777778)2 - (222223)2 a) 60 b) 30 c) 35 d) 42 e) 43 6. Calcula: (20032003)2 - (20032001)2 e indica la suma de cifras del resultado.
a) 27 b) 11 c) 19
d) 17 e) 8
5. Después de efectuar:
E = 10305050301 + 2040604020 calcula la suma de las cifras del resultado:
a) 10 b) 9 c) 12 d) 6 e) 8 A + B + C + D E + F ABCDEF x 999...99 = ...634528 12. Si: n ≥ 6 Calcula: n cifras
(
5(
252525 161616 + 393939...39161616...16 40 cifras 40 cifras 11. Calcula:7. Si: Halla: L + I + M + A a) 10 b) 18 c) 16 d) 15 e) 17 4 + 44 + 444 + ... = ...LIMA 24 sumandos 8. Halla: M + I + N + A si: a) 17 b) 18 c) 19 d) 16 e) 20 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 . . . 9 9 9 9 . . . M I N A 21 sumandos +
9. Halla el valor de:
N = 0,982081 + 0,017838 + 0,000081
a) 1 b) 2 c) 0,81
d) 0,7 e) 0,83
O =(13+1)(23+1)(33+1)(43+1)...(203+1) 10. ¿Cuál es la última cifra del producto?
a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 6 P = (111...1) 15 cifras Q = (222...2) 30 cifras M = (333...3) 60 cifras 11. Se sabe que:
Calcula la suma de las cifras del resultado de: (P + Q + M) a) 225 b) 255 c) 155 d) 125 e) 120 12. Simplifica: a) 1 b) 2 c) 9 d) 3 e) 4 E = 123456787654322 - 11111111088888889
5
Cálculo Inductivo
OBJETIVOS:
Desarrollar la capacidad de observación para establecer relaciones que permitan llegar a la solución de un problema. Dotar al estudiante de herramientas metodológicas adecuadas para la resolución de problemas que exigen el uso
del pensamiento creativo.
Consiste en la observación y análisis de casos particulares lo cuál nos permite el descubrimiento de leyes generales, con la particularidad de que la validez de las últimas se deduce de la validez de las primeras.
La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial.
Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel, uno de los ocupantes era un oficial alemán, de uniforme, otro, un civil francés, enrolado en la resistencia. La tercera ocupante era una atractiva joven, y la cuarta, una dama de edad, ninguno conocía a los demás. Hubo de pronto un corte de energía. El ascensor se detuvo, las luces se fueron y todo quedó en profunda oscuridad, se oyó el chasquido de un beso, seguido por el retallar de un bofetón. Un instante después volvieron las luces. El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo. La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!, menos mal que las jóvenes de hoy saben hacerse respetar”. La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!, en lugar de besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”.
El alemán pensó: “¿pero qué ha pasado? ¡Yo no he hecho nada!, quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error”.
Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido. ¿Sabrías deducirlo? Lógica Inductiva Ejemplo 1: CASO I CASO II CASO III CASO GENERAL ... Casos Particulares Razonamiento Inductivo
Al sumar números impares consecutivos en forma or-denada, tenemos: S1 = 1 = 1 = 12 S2 = 1 + 3 = 4 = 22 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 S10 = 1+3+5+7+...+19= 100 = 102 ... ... ... ... ... ... ... Sn = 1+3+5+7+ ... = n2
Vemos que el resultado de sumar números impares consecu-tivos es de la forma n2 donde “n” es la cantidad de números
impares que se suman.
Ejemplo 2:
Halla la suma de cifras de: E = (111...111)2
25 cifras Resolución: Para 2 cifras: (11)2 = 121 Suma de cifras = 4 = (1 + 1)2 Para 3 cifras: (111)2 = 12321 Suma de cifras=9 = (1+1+1)2 Para 4 cifras:(1+1+1+1)2= 1234321 Suma de cifras=16=(1+1+1+1)2 2 cifras 4 cifras 3 cifras Por inducción: (n sumandos) Reto
Al número que te den le sumas 8 y esta suma la multiplicas por 9.
También se puede hacer cuando los días están ordenados en vertical. La suma de los nueve números contenidos en el cuadrado es:
(2 + 8) . 9 = 90
Suma de números en un calendario
En cualquier hoja de calendario se pasa de un número al que hay debajo de él, sumando 7. En cualquier cuadrado de nueve números, se pasa del número menor al que ocupa el centro sumando 8. Los nueve números de cada cuadrado de números se pueden escribir en función del número que ocupa el centro del cuadrado.
Se trata de poder sumar los nueve números contenidos en el cuadrado seleccionado en el calendario, bastando que nos digan el número menor del cuadrado. En este caso se trata del número 7.
Para averiguar la suma, debemos sumar 8 y después multiplicar por 9:
(7 + 8) . 9 = 135
2 x 3 2
Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuar “E” sería:
Suma de cifras = (1+1+1+...+1)2 = 252 = 625
25 veces
Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo.
1 2 3 98 99 100
Resolución:
Debido a que la distribución de las esferas responde a una forma triangular, entonces analizaremos, recurriendo a la inducción, los casos iniciales a dicha formación.
# esferas Números triangulares 1 = 1 = 1 x 22 N.° esferas de la base 1 + 2 = 3 = N.° esferas de la base 1 2 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 42 N.° esferas de la base ... 3 2 1 ... ... 1 2 3 98 99 100 1 + 2 + 3 + ...+100 = 100 x 101 2 N.° esferas de la base = 5050 Ejemplo 3: 1.er caso 2.º caso 3.er caso En general L M M J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 OCTUBRE L 2 9 16 23 M 3 10 17 24 M 4 11 18 25 J 5 12 19 26 V 6 13 20 27 S 7 14 21 28 D 8 15 22
∴ Suma de esferas del arreglo triangular 5050.
Ejemplo 4:
N N N
¿De cuántas formas distintas se puede leer “SAN MARCOS” en el siguiente arreglo? S S S S S S S S SO O O O O O O O C C C C C C CR R R R R R A A A A A M M M M N N NA A S Resolución:
Analizamos casos particulares: # maneras que se puede leer 1 = 21 - 1 N° esfera de la base ... S 2 = 22 - 1 N° esferas de la base A S A A A S 4 = 23 - 1 N° esferas de la base S S S S S S M M M MN N N A A S = 29 - 1 N° esferas de la base = 256
Halla la suma de todos los elementos de la siguiente matriz. 1 2 3 4 ... 9 10 2 3 4 5 ... 10 11 3 4 5 6 ... 11 12 4 5 6 7 ... 12 13 9 10 11 12 ... 17 18 10 11 12 13 ... 18 19 ... ... ... ... ... ... Resolución:
Sumar los 100 elementos que conforman la matriz va a ser demasiado operativo, aplicando inducción tendremos:
1er. caso 1 Suma = 1 = ( 1 )3 2 3 Suma = 8 = ( 2 )3 1 2 2 Suma = 27= ( 3 )3 N.° de Filas 3 1 2 4 3 4 5 3 1 2 3 ... 9 10 2 3 4 ... 10 11 3 4 5 ... 11 12 4 5 6 ... 12 13 10 11 12 18 19 ... ... ... ... ... Suma = ( 10 )3 = 1000 N.° de Filas ∴ Suma de todos los
elementos 1000 ... ... 1.er caso 2.º caso 3.er caso En general Ejemplo 5: 1.er caso 2.º caso 3.er caso En general
∴ Maneras distintas de leer “San Marcos”: 256
Reto
Estas frente a tres apagadores, un pasillo y al fondo una habitación con la puerta cerrada. ¿Cómo saber cuál de los apagadores enciende el foco de la habitación recorriendo el pasillo una sola vez?
Enciendes el apagador 1 y esperas 5 minutos, lo apagas y enciendes el 2. Recorres el pasillo y abres la puerta: Si el foco está encendido, el apagador 2 es el bueno, si está apagado pero caliente es el 1 y si está frío, debe ser el 3.
N.° de Filas N.° de Filas
Rpta: 2 Rpta: 4 Rpta: 1 Rpta: 3
Calcula la suma de cifras de “A”, si:
Resolución:
A = (333...34)2 100 cifras
Halla la última cifra luego de efectuar el pro-ducto:
R=(22004+1)(22003+1)(22002+1)...(22 + 1)
Resolución:
Calcula la suma de cifras del resultado de efec-tuar:
P = 997 x 998 x 999 x 1000+1
Resolución: E =(333...33)2
40 cifras
Calcula la suma de cifras del resultado en “E”, si:
Rpta:
5
Rpta:
6
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer MENTOR en el siguiente arreglo?
Resolución: M M E M M E N E M M E N T N E M M E N T O T N E M M E N T O R O T N E M
Halla el valor de la F(100), si: F(1) = 1
F(2) = 3 + 5 F(3) = 7 + 9 + 11 F(4) = 13 + 15 + 17 + 19
Resolución:
7. Halla la suma de los elementos de la siguiente ma-triz de 10 x 10. 2 4 6 ... 18 20 4 6 8 ... 20 22 6 8 10 ... 22 24 18 20 22 ... 34 36 20 22 24 ... 36 38
8. Halla el valor de n si:
22 33 2222 3333 222222333333 222...2333...3 n cifras n cifras 22= + + +...+
9. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer “JESSICA”? J E E E S S S S S S S S S S S S I I I I I I I I I C C C C C C C C C C C A A A A A A A A A A A A A
10. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “RECONOCER” pudiendo repetir letras?
R E E C C C O O O O N N N N N
1. Calcula la suma de cifras de:
a) 108 b) 102 c) 110
d) 104 e) 103
M = (666...66)2 12 cifras
3. Calcula la suma de cifras del resultado de:
M = 100 x 101 x 102 x 103+1
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 10
2. Calcula la suma de cifras del resultado de:
a) 900 b) 925 c) 625
d) 90 e) 907
B = (999...995)2 101 cifras
1 2 3 48 49 50
11. Halla el total de palitos en:
5. Los puntajes que tiene un alumno en la academia en sus exámenes son:
N.º examen Puntaje
1 ... 2
2 ... 5
3 ... 10
4 ... 17
¿Cuál fue la nota que obtuvo en el décimo segundo examen? a) 120 b) 146 c) 145 d) 148 e) 150 ... ... 12. Si: M(1) = 4 x 1 + 1 M(2) = 8 x 4 + 8 M(3) = 12 x 9 + 27
Calcula el valor de x, si: M(x)= 4 x 104
4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la pa-labra INGENIO en el siguiente arreglo?
a) 128 b) 127 c) 126 d) 125 e) 124 I I N I I N G N I I N G E G N I I N G E N E G N I I N G E N I N E G N I I N G E N I O I N E G N I
10. En la siguiente secuencia gráfica, halla el número total de cuadrados de la figura 60.
a) 120 b) 200 c) 100
d) 240 e) 241
11. Halla el total de palitos que conforman la figura.
a) 1 599 b) 1 521 c) 24
d) 1 650 e) 989
1 2 3 4 38 39 40
12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer trotamundos? a) 130 b) 128 c) 135 d) 166 e) 120 N O U D R T M N O T O A U D S R T M N O O U D N 6. ¿En qué cifra termina:
P = 4+(10700 +1) ... (103+1) (102 + 1) (10+1)? a) 1 b) 4 c) 8 d) 5 e) 9 8. Calcula: a) 35 b) 12 c) 13 d) 20 e) 24 E= + + +...+35 12 35351212 353535121212 3535...351212...12 24 cifras 24 cifras
9. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “INGRESO”? a) 16 b) 24 c) 14 d) 20 e) 30 I N N G G G R R R R E E E S S O
7. Halla la suma de todos los elementos de la siguien-te matriz: a) 100 b) 500 c) 1000 d) 1001 e) 3000 1 2 3 4 ... 9 10 2 3 4 5 ... 10 11 3 4 5 6 ... 11 12 4 5 6 7 ... 12 13 9 10 11 12 ... 17 18 10 11 12 13 ... 1 8
6
Ecuaciones
OBJETIVOS:
Relacionar matemáticamente hechos de nuestra vida diaria.
Ejecutar la capacidad de abstracción para representar y relacionar simbólicamente los datos de un problema con las variables elegidas para las incógnitas.
Plantear una ecuación es traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) lo expresado en un lenguaje común (verbal). Nuestro lenguaje está lleno de expresiones que en algunos casos puede ser medido (el costo de un libro, el número de alumnos de un aula, la altura de un estudiante, etc.) y en otros no pueden ser medidos (la alegría de un estudiante, la habilidad de una persona, el heroísmo de un soldado, etc.).
En este tema nos ocuparemos de aquellas expresiones que sí podemos representar matemáticamente: Nociones previas
* Traducir al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados:
Me agrada ver sufrir a los que no logran hacerlo. Tal regocijo me causa ver sus rostros demacrados por la derrota... ¡Me temen! Je, je, je. Mas aquéllos que me encuentran me causan admiración por su gran habilidad y perseverancia. Incluso muchas veces los he retado con ayuda de mis amigas las fracciones, pero ellos se sonríen y siguen jugando, como si supiesen que van a ganarme.
?
¡Hola! me llamo incógnita, mi juego favorito son las escondidas, muchos me buscan, pero son muy pocos los que me encuentran.LENGUAJE COMÚN (VERBAL) LENGUAJE MATEMÁTICO (Forma simbólica)
El triple de un número, aumentado en su mitad. El triple de un número aumentado en su mitad. El cuadrado de un número, aumentado en cinco. El cuadrado de un número aumentado en cinco. La suma de dos números consecutivos es 99. La suma de tres números pares consecutivos es 36. La suma de tres números impares consecutivos es 45. Gastó la tercera parte de lo que no gastó.
El número de varones es la quinta parte del total de los reunidos.
Resolución: 1 2 2C = 10 C = 5 L = 3 Por tanto: Ejemplo 1:
Si ganara S/. 300, tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/. 300. ¿Cuánto tengo?
Tengo al inicio “S/. x” Si ganara S/.300 tendría: x + 300 Si perdiera S/.300 me quedaría: x - 300 Planteamos la ecuación: x + 300 = 3(x - 300) x + 300 = 3x - 900 300 + 900 = 3x - x 1200 = 2x 600 = x ∴ Tengo S/. 600 Ejemplo 2:
Halla el número de hojas de un libro de R.M. si sabemos que si arrancamos 25 quedarán la mitad de hojas que si el libro tuviera 50 hojas más.
Resolución:
Número de hojas “x”
Si arranco 25 hojas me quedaría: x - 25 Si tuviera 50 más tendría: x + 50 Planteamos la ecuación: x - 25 = (x + 50) 2x -50 = x + 50 2x - x = 50 + 50 x = 100 ∴ Número de hojas 100. Ejemplo 3:
Halla la longitud de un puente si sabemos que el séxtuplo de dicha longitud disminuido en 300 metros es equivalente al triple de dicha longitud disminuido en 60 metros. Resolución:
Longitud del puente: “x” metros Planteamos la ecuación: 6x - 300 = 3x - 60 6x - 3x = 300 - 60 3x = 240
x = 80
∴ Longitud del puente 80 metros.
Ejemplo 4:
Si compro 7 cuadernos y 3 lápices, gasto S/. 44; pero si compro 7 lápices y 3 cuadernos, gasto S/. 36. ¿Cuánto cuesta 1 cuaderno y cuánto 1 lapicero?
Resolución:
Costo de 1 cuaderno: S/. C Costo de 1 lapicero: S/. L
De los datos planteamos las ecuaciones: 7C + 3L = 44 ... (1)
3C + 7C = 36 ... (2) (1)+(2): 10(C + L)=80 ⇒ C+L= 8 (1)-(2): 4(C - L)= 8 ⇒ C - L= 2
Reto
Un chiquito cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales resultan 54 patas.
¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?
Las arañas y los escarabajos
Curiosidades
Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son mas difíciles de construir?. La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego «igual perímetro»). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso,
la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados.
Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las
abejas?...
∴ 1 cuaderno cuesta S/. 5 y 1 lapicero cuesta S/. 3.
Rpta: 2 Rpta: 4 Rpta: 1 Rpta: 3
De los 200 soles que tenía, gasté la tercera parte de lo que no gasté. ¿Cuántos soles gasté?
Resolución:
En una reunión, la cuarta parte de las personas son hombres. Si la diferencia entre el número de mujeres y hombres es 80, ¿cuántas mujeres hay en dicha reunión?
Resolución:
Compré un lote de pantalones a 180 soles el ciento y vendí a 24 soles la docena, ganando en el negocio 600 soles. ¿Cuántos cientos de pantalones compré?
Resolución:
Sobre un estante se pueden colocar 30 libros de ciencias y 6 libros de letras o 18 librosde letras y 10 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de letras únicamente se pueden colocar?
Rpta:
5
Rpta:
6
En un pueblo, a cada habitante le correspondía 60 litros de agua por día; como llegan 40 per-sonas, corresponden ahora 2 litros menos por semana. ¿Cuántas personas hay en el pueblo?
Resolución:
En un asamblea todos deben votar a favor o en contra de una moción. En una primera rueda, los que votaron en contra ganaron por 20 vo-tos; en una segunda vuelta se aprobó la mo-ción por una diferencia de 10 votos. ¿Cuántos asambleístas cambiaron de opinión?
Resolución:
7. En una reunión se contaban tantos caballeros como 3 veces el número de damas. Después llegaron 300 caballeros más y 40 damas más, y ahora por cada dama hay 5 caballeros. ¿Cuántas damas habían al comienzo?
8. En una reunión se observa que los hombres y las mujeres están en la relación de 3 a 5 respectivamente; los que bailan y los que no bailan están en la relación de 2 a 3. ¿En qué relación están los hombres que bailan y las mujeres que no bailan?
9. Se tiene un grupo de 84 fichas de 10 gramos cada una y otro grupo de 54 fichas de 25 gramos cada una. ¿Cuántas fichas deben intercambiarse para que ambos adquieran el mismo peso?
10. El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número. Halla el número.
11. Se tiene un número impar, se le añade el par de números impares que le anteceden y los tres números pares que son inmediatamente anteriores a dicho número, dando un resultado de 939 unidades. Calcula la suma de cifras del número impar mencionado.
12. Nandito pagó una deuda con monedas de S/.5 y S/.2, el número de monedas de S/.5 excede a las de S/. 2 en 15, y la cantidad de dinero que pagó con monedas de S/.5 es 2 veces más que la cantidad que pagó con monedas de S/. 2. ¿Cuál es el valor de la deuda?
1. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8.
a) 13 b) 10 c) 7
d) 3 e) 8
2. Un niño le dice a su padre: “de los 140 soles que me diste, gasté 58 soles más de los que no gasté”. ¿Cuánto no llegó a gastar el niño?
a) S/. 21 b) S/. 25 c) S/. 31
d) S/. 37 e) S/. 41
3. Pedro paga por 2 polos y 5 faldas un total de 495 soles. Si cada falda cuesta S/. 15 más que un polo, ¿cuántos soles cuestan un polo y una falda juntos?
a) 120 b) 105 c) 145
d) 95 e) 135
4. A cierto número par, se le suma los dos números impares que le anteceden y los dos números pares que le preceden, obteniéndose en total 630. El producto de los dígitos del número par de referencia, es:
a) 10 b) 14 c) 16
d) 60 e) 12
5. Nicolás tiene tres veces más dinero de lo que tiene Víctor. Si Nicolás le diera 15 soles a Víctor, entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre los dos?
a) S/. 25 b) S/. 30 c) S/. 45
d) S/. 50 e) S/. 60
6. Tengo cierta cantidad de nuevos soles. Si regalara (2x - 3), me quedaría (8x - 6). ¿Cuánto tengo? a) 6x - 9 b) 10x - 9 c) 8x - 3
d) 6x + 3 e) 9x -10
7. Del producto de dos números enteros positivos consecutivos se resta la suma de los mismos y se obtiene 71. El número mayor es:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
8. En dos cajas de lapiceros hay 68 de éstos. Si de la caja con más lapiceros extraemos 14 de éstos y los colocamos dentro de la otra, logramos que ambas cajas tengan la misma cantidad. ¿Cuántos lapiceros había inicialmente en la caja con menor cantidad?
a) 18 b) 28 c) 16
d) 20 e) 15
9. Alex y Omar juntos tienen S/. 80. Si el triple del dinero que tiene Omar excede en S/. 5 al doble de lo que tiene Alex, ¿cuánto más tiene Alex que Omar?
a) S/. 10 b) S/. 12 c) S/.14
d) S/. 15 e) S/. 16
10. Un alumno tiene 30 caramelos y los vende a 3 caramelos por 10 soles, otro alumno tiene 30 caramelos y los vende a 2 caramelos por 10 soles. Los alumnos juntan sus caramelos y los venden a 5 caramelos por 20 soles. Entonces, ¿ganan o pierden? y ¿cuánto? a) Ganan 10 soles b) Pierden 20 soles c) Pierden 10 soles d) Pierden 5 soles e) Ganan 15 soles
11. En una fiesta los invitados ingresaban de la siguiente manera: un caballero con 2 damas o una dama con tres niños. Si en total hay 220 asistentes y además ingresaron tantas damas con los caballeros como damas con los niños, halla el número de niños asistentes.
a) 120 b) 130 c) 140
d) 150 e) 160
12. Juan dice: “Al contar mi dinero, he contado mal porque me confundí contando por 1 sol las monedas que son de 5 soles, así que al final tuve que agregar a ese conteo 240 soles”. ¿Cuántas monedas fueron las que conté mal?
a) 200 b) 120 c) 48
