UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO
:
CURSO
:
MECÁNICA
MECÁNICA DE
DE SÓLIDOS
SÓLIDOS II
PROFESOR :
PROFESOR :
Ing.
Ing. JORGE
JORGE MONTAÑO
MONTAÑO PISFIL
PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y C
PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES
ABLES
PROBLEMA Nº 1
PROBLEMA Nº 1
La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene
La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene
por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la
por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la
viga.
viga.
Resolución
Resolución
Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta
Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta ABC ABC (viga (viga
conformada por las vigas
conformada por las vigas AB AB yy BC BC ) ) y luego y luego una de una de sus partessus partes, de esta , de esta manera demanera determino ltermino lasas
reacciones en los apoyos
reacciones en los apoyos A A,, BB y y C C ..
An
An
á
á
lisis
lisis
de la viga c
de la viga c
om
om
pu
pu
esta AB
esta AB
C
C
Por segunda condición de equilibrio:
Por segunda condición de equilibrio:
M
M
A ATotalesTotales
0
0
AA BB CC
3 pies
3 pies 6 pies6 pies
pi
pie
e
bf
bf //
50
500
0
A A BB C C 3 pies3 pies 6 pies6 pies
bf
bf
4500
4500
4,5 pies 4,5 pies C CR
R
Y Y A AR
R
X X A AR
R
A AM
M
+
+
0
)
5
,
4
(
4500
9
M
AR
C
M
A
9
R
C
20250
bf
pie
. . . (1)
Por primera condición de equilibrio:
0
F
XR
A X
0
0
F
YR
AY
R
C
4500
bf
. . . (2)
An ális is d e la vi ga B C
Por segunda condición de equilibrio:
M
BTotales
0
0
)
3
(
3000
)
6
(
R
Cpies
bf
pies
R
bf
C
1500
Por primera condición de equilibrio:0
F
XR
B X
0
0
F
YR
BY
R
C
3000
bf
R
BY
1500
bf
Reemplazando en la ecuación (1), tenemos que:
M
A
6750
bf
pie
Reemplazando en la ecuación (2), tenemos que:
R
AY
3000
bf
Determin ación del número de co rtes y análisis d e segm entos de vig a obtenid os
Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte, porque entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actúan más fuerzas o momentos externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de “corte” es el punto D, a una distancia x del extremo A, tenemos que:
C B 3 pies 3 pies
bf
3000
CR
Y BR
X BR
+
Por segunda condición de equilibrio:
M
DTotales
0
0
3000
6750
)
2
/
(
500
M
Dx
x
x
pie
bf
x
x
M
D
(
3000
250
2
6750
)
x
bf
dx
dM
V
D
D
(
3000
500
)
*
Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para x
0, tenemos:pie
bf
M
bf
V
D
3000
;
D
6750
*
Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector parax
9pies
, tenemos:0
;
1500
D Dbf
M
V
Diagramas “V vs. x ” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x ” (momento
flector en función de la posición x)
Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo de este dibujar los diagramas solicitados.
A
x
bf
x
)
500
(
DV
bf
3000
pie
bf
6750
M
Dx/2
D+
*
De estos diagramas se observa que:pie
bf
M
y
bf
V
MAXIMO
3000
MAXIMO
6750
3000 3000 lbf 4500 lbf 1500 lbf -1500 2250 -6750 6 9 x ( pies) x ( pies) 6 9 0 0V (lbf)
M (lbf.pie)
6750 lbf.pie1 m
1m
4 m
1 m 1 m
6 kN
6 kN
5 kN/m
A
B
w
PROBLEMA Nº 2
Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga A B que muestra la figura está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. Determine asimismo los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.
Resolución
Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las reacciones en los apoyos. A continuación, se determina el número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de V y de M , en función de x, para cada uno de los segmentos de viga que resulten después de realizar los “cortes”. Finalmente se dibujan los diagramas de “V vs x” y “M vs x” a partir de las ecuaciones halladas anteriormente.
DCL de la viga completa y cálculo de “w ” (reacción por unidad de longitud que ejerce
el suelo sobre la viga)
1 m
1m
4 m
1 m 1 m
6 kN
6 kN
20 kN
A
B
R =8w
En este diagrama de cuerpo libre, las fuerzas de
20 kN
y8w
representan las fuerzas resultantes de las fuerzas distribuidas que actúan sobre la viga. Recuerde que estas fuerzas están aplicadas en un punto de la viga que tiene la misma dirección de la recta que pasa por el centroide del área de la figura formada por las fuerzas distribuidas (o área encerrada por la curva de carga).1 m
1m
4 m
1 m 1 m
6 kN
6 kN
5 kN/m
A
B
Por condición del problema, la reacción del suelo sobre la viga A B está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida, por lo tanto la figura dada equivale a la que se muestra a continuación. En ella, “w ” representa la reacción por unidad de longitud que ejerce el suelo sobre la vi a.
Por primera condición de equilibrio: 0
F y 8w
32kN
0w
4
kN
/
m
Determinación del número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y
del número de segmentos de viga que se deben analizar
Analizando las fuerzas que actúan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que, desde el extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO “cortes” imaginarios (puntos C, D, E, F y G en la figura siguiente).
Al realizar los CINCO “cortes” imaginarios y observando el lado izquierdo de cada “corte”, tenemos CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A de la viga es el origen de coordenadas (ver la figura), la posición x del punto de corte viene dada por:
- Para el segmento de vigaA C :
0
x 1
m
- Para el segmento de vigaA D :1
m
x
2
m
- Para el segmento de vigaA E :2
m
x
6
m
- Para el segmento de vigaA F :6
m
x
7
m
- Para el segmento de vigaA G :7
m
x
8
m
Análisis del segmento de viga
A C(0 < x < 1 m)
Observando el segmento de viga A C notamos que sobre el actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante V C y
el momento de flexión M C , como se muestra en la figura siguiente.
A
B
y
x (m)
0
1
2
6
7
8
x
x
x
x
x
1er corte 2 d o c o r te 3er corte 4 t o c o r t e 5 t o c o r t e C D E F GPor segunda condición de equilibrio:
M
TotalesC
0
0
)
2
/
(
4
M
Cx
x
m
kN
x
M
C
(
2
2)
Luego:kN
x
dx
dM
V
C
C
(
4
)
(Es una ecuación
cuadrática)
(Es una ecuación
lineal)
+
4x V CM
C C A x x /2Análisis del segmento de viga
A D(1 m < x < 2 m)
Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 k N dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V D y el momento de flexión M D (ver figura siguiente).
Análisis del segmento de viga
A E(2 m < x < 6 m)
Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 k N dirigida hacia
abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V E y el momento de flexión M E (ver figura siguiente).
Análisis del segmento de viga
A F(6 m < x < 7 m)
En este caso, sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V F y el momento de flexión M F (ver figura siguiente).
4x V F
M
F F A x 6 kN1 m
20 kN1 m
2 m
2 m
4x V DM
D D A x 6 kN1 m
4x V EM
E E A x 6 kN1 m
5(x-2)1 m
Por segunda condición de equilibrio:
M
Totales D
0
0
)
2
/
(
4
)
1
(
6
M
Dx
x
x
m
kN
x
x
M
D
(
2
2
6
6
)
Luego:kN
x
dx
dM
V
D
C
(
4
6
)
Por segunda condición de equilibrio:
M
Totales F
0
0
)
2
/
(
4
)
4
(
20
)
1
(
6
M
Fx
x
x
x
m
kN
x
x
M
F
(
2
2
26
86
)
Luego:kN
x
dx
dM
V
F
C
(
4
26
)
Por segunda condición de equilibrio:
M
Totales E
0
0
)
2
/
(
4
)
1
(
6
2
/
)
2
(
5
2
M
Ex
x
x
x
m
kN
x
x
M
E
4
4
)
2
1
(
2 Luego:kN
x
dx
dM
V
E
C
(
4
)
Análisis del segmento de viga
A G(7 m < x < 8 m)
En este caso, Sobre el segmento de viga A G actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), las dos fuerzas concentradas de 6 k N dirigidas hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza cortante V G y el momento de flexión M G (ver figura siguiente).
Diagramas “V vs. x ” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x ”
(momento flector en función de la posición x)
4x V G
M
G G A x 6 kN1 m
20 kN1 m
2 m
2 m
6 kN1 m
Por 2da condición de equilibrio:
M
Totales F
0
0
)
2
/
(
4
)
7
(
6
)
4
(
20
)
1
(
6
x
x
x
x
x
M
Gm
kN
x
x
M
G
(
2
2
32
12
8
)
Luego:kN
x
dx
dM
V
G
C
(
4
32
)
6 kN 6 kN 20 kN 32 kN 0 1 2 4 6 7 8 x (m) -2 -4 2 4 V kNDe la figura se concluye que:
kN
V
max.
4
;M
max.
4
kN
m
PROBLEMA Nº 3
Un cable de transmisión eléctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensión máxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).
Resolución
Según el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la acción de su propio peso, por lo tanto la forma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente:
M kN.m
x (m) 2
4
0 1 2 4 6 7 8
Par ábo las
x y x B x A
c
y B 24m B A C CableSi consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical “ c ” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud “ S” del segmento de cable CB y la coordenada “y” del punto B, vienen dados por:
m
S 120
;y
c
24
m
Además, se cumple que:2 2 2
c
S
y
Reemplazamos y y S :
2 2 2
120
)
24
(
c
c
Despejando “c ” (parámetro de la catenaria) , obtenemos:
c 288
m
Cálc u lo d e
T maxdel cable:
Se sabe que la tensión del cable es máxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o mayor inclinación. En nuestro caso sería cualquiera de los apoyos, dado que los dos están al mismo nivel. Para calcular esta tensión máxima aplicamos la ecuación
2 2
S
c
w
T
Al reemplazar la carga por unidad de longitud “w”, igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s2), el parámetro “c” de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud “S” del cable, igual a 120 m, obtenemos:
N
T
max
1836
,
432
Cálculo del claro (distancia h orizontal entre los dos pun tos d e apoyo)
De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias x A y x B , pero como
estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Además, de la ecuación de la catenaria c x h Cos c
y , despejando x obtenemos:
c y h arco c x cos Luego:
m
m
m
h
arco
m
c
y
h
arco
c
x
Claro
B B 288 24 288 cos ) 288 ( 2 cos 2 2m
Claro
233
,
5479
PROBLEMA Nº 4
Un cable eléctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable es de 2,1 kg/m, determine:
a) La distancia desde la casa hasta el punto más bajo, C, del cable.
b) La tensión máxima del cable.
c) La longitud del cable.
Resolución
Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de coordenadas cuyo origen se encuentre a una distancia verti cal “
c
” debajo del punto más bajo de la catenaria (ver figura siguiente).
c
x
h
Cos
c
y
Además, cuando los apoyos están a diferente nivel el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
c
x
h
Cos
c
y
A A , Donde:y
A
0
,
5
c
(
y
Aen
m
)
Reemplazando
y
A y despejandox
A obtenemos:
cosh
0
,
5
1
c
arco
c
x
A
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
x
h
Cos
c
y
B B , Donde:y
B
1
,
2
c
(
y
Ben
m
)
Reemplazando
y
B y despejandox
B obtenemos:
cosh
1
,
2
1
c
arco
c
x
BDe la figura dada observamos que:
m
x
x
A
B
8
Reemplazando
x
A yx
B tenemos8
1
2
,
1
cosh
1
5
,
0
cosh
c
arco
c
c
arco
c
. . . (1)
Para resolver esta ecuación (1) tenemos dos métodos:
Primer método:
utilizando una calculadora programableSi utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX – 570 PLUS, obtenemos que:
m
c 99873243
9
,
Segundo método:
por TANTEOSPara aplicar este método, primero hallo el valor referencial de “
c
” aplicando la ecuación de la parábola. Es decir: 0 22T
x
w
y
, donde:T
0
w
c
Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:
c
w
x
w
A2
5
,
0
2
x
A
c
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
w
x
w
B2
2
,
1
2
x
B
2
,
4
c
Además:
x
A
x
B
8
m
c
2
,
4
c
8
m
Resolviendo esta ecuación obtenemos:c 848598
9
,
m
A partir de este valor referencial de
c (
c 848598
9
,
m
) hallo el verdadero valor dec.
Para ello construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor dec
a este valor referencial, los demás valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor dec
.)
(m
c
1
cosh
1
,
2
1
5
,
0
cosh
c
arco
c
c
arco
c
La suma
debe
resultar
igual a
8 m
848598
,
9
,7
,
9388135
m
9
,
9
7
,
959815
m
10
8
,
0005
m
99
,
9
7
,
99645391
m
998
,
9
7
,
9997026
m
De la tabla se concluye que el valor que más se aproxima a
8 m
(sin sobrepasarlo) es7,9997026
m
, por lo tanto asumimos que:m
c
9
,
998
NOTA.- para mayor exactitud (que la sum a se aproxim a muc ho más a 8m) po demo s agregar más decimales al valor de “
c ”
, es decir asum ir que “c ”
es por ejemp lo9
,
9985
m
, hasta hallar su valor verdad ero. En eso co nsis te el métod o d e tanteos.a) Cálculo de “
x
A” (distancia de la casa hasta el p un to m ás b ajo d el cab le):
Se halló que:
x
A
c
Reemplazando
c
9
,
998
m
(el valor hallado por el método de tanteos), obtenemos:m
x
A
3
,
162
b) Cálcu lo de la tensi ón máxim a del cable
La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.
N
y
w
T
T
maxima
B
B
230
,
69
Donde:
y
B
c
1
,
2
m
; siendoc
9
,
998
m
(el valor hallado por el método de tanteos)Valor
c) Cálcu lo de la lon gitu d del cable (
s
TOTAL )Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:
x
s c senh
c
Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del cable viene dada por:
)
/
(
)
/
(
x
c
c
sen
h
x
c
h
sen
c
s
s
s
TOTAL
AC
CB
A
BReemplazando
x
A
3
,
162
m
,x
B
4
,
838
m
yc
9
,
998
m
(el valor hallado por el método de tanteos), obtenemos que:m
s
TOTAL
8
,
244
PROBLEMA Nº 5
El cable de transmisión eléctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 bf / pie. Si el punto más
bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensión máxima desarrollada en el cable y la longitud del cable entre A y B .
Resolución
Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una distancia vertical “c ” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura siguiente) .
Se sabe que la ecuación de la catenaria es:
c
x
h
Cos
c
y
Como los apoyos están a diferente nivel, el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
c
x
h
Cos
c
y
A A , Donde:y
A
c
90
(
y
Aen
pies
)
Reemplazando
y
A y despejandox
A obtenemos:
c
arco
c
x
Acosh
1
90
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
x
h
Cos
c
y
B B , Donde:y
B
c
30
(
y
Ben
pies
)
Reemplazando
y
B y despejandox
B obtenemos:
c
arco
c
x
Bcosh
1
30
De la figura dada observamos que:
pies
x
x
A
B
300
Reemplazando
x
A yx
B tenemos que:pies
c
arco
c
c
arco
c
cosh
1
90
cosh
1
30
300
CPara resolver la ecuación anterior
utilizamos una calculadora programable CASIO FX
–570 PLUS,
y obtenemos que:
pies
c
211
,
3054592
a) Cálc u lo de la ten si ón m áxi m a de l ca bl e
La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo A.
bf
y
w
T
T
ima A A4519
,
58188
max
Donde:
y
A
c
90
pies
; siendoc
211
,
3054592
pies
b) Cálcu lo de la lon gitu d del cable (
s
TOTAL )Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:
x
s c senh
c
Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del cable viene dada por:
)
/
(
)
/
(
x
c
c
sen
h
x
c
h
sen
c
s
s
s
TOTAL
AB
BC
A
BReemplazando: