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4.4 Modelo de Efectos Aleatorios

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Academic year: 2021

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(1)

dado por la ecuación:

dado por la ecuación:

y

yijij

= µ + τ

= µ + τ

ii + u + uijij

C

C

on la diferencia de que ahora τi son variables aleatorias.

on la diferencia de que ahora τi son variables aleatorias.

 Además  Además este este modelomodelo

requiere que

requiere que

las variables τ

las variables τ

ii y y uuijij sean independientes y sigan distribuciones normales sean independientes y sigan distribuciones normales

con media 0 y varianza constante σ

con media 0 y varianza constante σ

22ττ

y σ

y σ

22, respectivamente. Así, por la independencia, respectivamente. Así, por la independencia entre las variables

entre las variables

τ

τ

ii y  y uuijij, la varianza de cualquier observación de la muestra, es decir,, la varianza de cualquier observación de la muestra, es decir,

la varianza total, denotada por σ

la varianza total, denotada por σ

22TT, vale:, vale:

σ

σ

22TT

= σ

= σ

22ττ

+ σ

+ σ

22 La mecánica del Análisis de la Varianza es la misma

La mecánica del Análisis de la Varianza es la misma

que en el modelo de efectos fijos,

que en el modelo de efectos fijos,

excepto en el cálculo de las esperanzas de los cuadrados medios, ya que mientras en

excepto en el cálculo de las esperanzas de los cuadrados medios, ya que mientras en

el mode

el mode

lo de efectos fijos, los efectos τ

lo de efectos fijos, los efectos τ

ii  eran constantes que cumplían la condición  eran constantes que cumplían la condición

II

i

i=1=1 nniiττii = 0, ahora son variables aleatorias N (0, = 0, ahora son variables aleatorias N (0,

σ

σ

ττ), no sometidas a ninguna restricción.), no sometidas a ninguna restricción. En este modelo, carece de sentido probar la hipótesis

En este modelo, carece de sentido probar la hipótesis

que se refiere a los efectos de

que se refiere a los efectos de

tratamiento individuales y, en su lugar, debe realizarse el contraste:

tratamiento individuales y, en su lugar, debe realizarse el contraste:

H

H00

: σ

: σ

22ττ = 0 = 0 H

(2)
(3)

Si se acept

Si se acept

a H0, σ

a H0, σ

ττ

= 0, significa que todos los tratami

= 0, significa que todos los tratami

entos son idénticos; en cambio,entos son idénticos; en cambio, si se acepta H

si se acepta H11

, σ

, σ

22ττ

> 0, significa que existe variabilidad entre los tratamientos.

> 0, significa que existe variabilidad entre los tratamientos.

 Al

 Al

igual

igual

que

que

en

en

el

el

modelo

modelo

de

de

efectos

efectos

fijos,

fijos,

se

se

distingue

distingue

  entre el caso equilibrado y el  entre el caso equilibrado y el

caso no-equilibrado.

caso no-equilibrado.

En este modelo se asume que las

En este modelo se asume que las k k  muestras son muestras aleatorias de muestras son muestras aleatorias de k k  situaciones situaciones

distintas y aleatorias. De modo que un valor aislado

distintas y aleatorias. De modo que un valor aislado Y Y ij ij  se puede escribir como: se puede escribir como:

Donde

Donde µ µ es es la la media media global,global, E E ij ij son variables son variables (una para (una para cada muestra) cada muestra) distribuidasdistribuidas

normalmente, con media 0 y varianza

normalmente, con media 0 y varianza

σ

σ

22  (como en el modelo I) y  (como en el modelo I) y A A

i   es una variable  es una variable

distribuida normalmente, independiente de las

distribuida normalmente, independiente de las eeij ij , con media 0 y varianza, con media 0 y varianza

σ

σ

22..

La diferencia con respecto al

La diferencia con respecto al modelo de efectos fijosmodelo de efectos fijos es es que que en en lugar lugar de de loslos

efectos a

efectos aii ahora se consideran efectos aleatorios ahora se consideran efectos aleatorios A Ai i ..

Igual que en el

Igual que en el modelo de efectos fijosmodelo de efectos fijos se encuentra que se encuentra que MSE MSE  no se modifica en la H no se modifica en la H11yy

que al valor esperado de

que al valor esperado de MSAMSA  se le añade el término de  se le añade el término de componente añadidacomponente añadida (que (que

aquí es una verdadera varianza ya que

aquí es una verdadera varianza ya que A Ai i  es una variable aleatoria): es una variable aleatoria):

Para llegar a este resultado se utiliza la asunción de independencia entre

Para llegar a este resultado se utiliza la asunción de independencia entre A Ai i  y y E E ij ij  y es, y es,

por tanto, muy importante en el modelo y conviene verificar si es correcta en cada caso.

por tanto, muy importante en el modelo y conviene verificar si es correcta en cada caso.

Por tanto, en

Por tanto, en H H 00 tanto tanto MSAMSA como como MSE MSE  estiman estiman

σ

σ

22, mientras que en, mientras que en H H 11,, MSE MSE  sigue sigue

estimando s

(4)

Modelo de efectos aleatorios no-equilibrado

Modelo de efectos aleatorios no-equilibrado

Como

Como

en el modelo de efectos fijos, la variabili

en el modelo de efectos fijos, la variabilidad total de los datos se puede expresar

dad total de los datos se puede expresar como la suma de la variabilidad entre los tratamientos y la variabilidad dentro de los como la suma de la variabilidad entre los tratamientos y la variabilidad dentro de los mismos. A partir de estas variabilidades se

mismos. A partir de estas variabilidades se

definen

definen  las correspondientes varianzas

  las correspondientes varianzas muéstrales.

muéstrales.

Para establecer el procedimiento del contraste de hipótesis, para el modelo de efectos Para establecer el procedimiento del contraste de hipótesis, para el modelo de efectos aleatorios, calculemos en primer lugar los valores esperados de la varianza a entre aleatorios, calculemos en primer lugar los valores esperados de la varianza a entre tratamientos y de la varianza residual.

tratamientos y de la varianza residual.

Como en el modelo de efectos fijos, co

Como en el modelo de efectos fijos, consideremos las expresiones de y

nsideremos las expresiones de yii., Ӯ

., Ӯ

ii., y.. e Ӯ..,

., y.. e Ӯ..,

en función de los parámetros del modelo, con objeto de poder hallar las esperanzas de en función de los parámetros del modelo, con objeto de poder hallar las esperanzas de las varianzas muéstrales.

las varianzas muéstrales.

yi. = n

yi. = niiµ + nµ + niiττii + u + uii. ; Ӯ

. ; Ӯi. = µ +

i. = µ +

ττii +

 +

ῡii..

y..

y..

= Nµ + ∑

= Nµ + ∑

IIi=1i=1 n niiττii + u.. ; + u.. ;

Ӯ..

Ӯ

..

= µ + 1/N ∑

= µ + 1/N ∑

IIi=1i=1 n niiττii + +

ῡ..

..

Modelo de efectos aleatorios equilibrado

Modelo de efectos aleatorios equilibrado

En el modelo equilibrado o balanceado, el número de observaciones en cada nivel del En el modelo equilibrado o balanceado, el número de observaciones en cada nivel del factor es el mismo. Fijando dicho valor en n, el número total de observaciones es N = I factor es el mismo. Fijando dicho valor en n, el número total de observaciones es N = I × n. En este caso se obtiene la siguiente expresión para la esperanza de la varianza × n. En este caso se obtiene la siguiente expresión para la esperanza de la varianza entre tratamientos

entre tratamientos

E(S

E(S22Tr Tr ) = n) = nσ

σ

22

ττ +

 +

σ

σ

22

Y los siguientes estimadores para las componentes de la varianza Y los siguientes estimadores para las componentes de la varianza

σ

σ

22  = S  = S22RR

σ

σ

22 ττ =(S =(S22Tr Tr 

− S

− S

22RR)/n)/n 2 2

(5)

Desde el punto de vista práctico, el modelo equilibrado presenta la ventaja de que se Desde el punto de vista práctico, el modelo equilibrado presenta la ventaja de que se pueden obtener con STATGRAPHICS las componentes de la varianza.

pueden obtener con STATGRAPHICS las componentes de la varianza.  Además

 Además de de efectuar efectuar el el contraste contraste de de hipótesis, hipótesis, en en el el modelo modelo de de efectos efectos aleatoriosaleatorios intere

interesa estimar los valores σ

sa estimar los valores σ

22

ττ. El procedimiento utilizado para ello se denomina. El procedimiento utilizado para ello se denomina

“m

“método de

étodo de

componentes de la varianza”. Dicho procedimiento consis

componentes de la varianza”. Dicho procedimiento consis

te en igualar laste en igualar las esperanzas de las varianzas entre tratamientos y residual con sus correspondientes esperanzas de las varianzas entre tratamientos y residual con sus correspondientes valores muéstrales y resolver el sistema resultante:

valores muéstrales y resolver el sistema resultante: S

S22Tr Tr  = N = N22

−∑

−∑iin

n22ii//N(I − 1) σ

N(I − 1) σ

22ττ + +

σ

σ

22

S

S22RR = =

σ

σ

22..

 Así, se obtienen los siguientes estimadores de las varianzas:  Así, se obtienen los siguientes estimadores de las varianzas:

σ

σ

22  = S  = S22RR

σ

σ

22

ττ = =

N(I − 1)/N2 −∑

N(I − 1)/N2 −∑iin

n22ii [S [S22Tr Tr 

− S

− S

22RR]] Puede comprobarse que si la hipótesis al

Puede comprobarse que si la hipótesis alternativa es cierta, entonces σ

ternativa es cierta, entonces σ

22

Τ

Τ  es un  es un

est

estimador insesgado de σ

imador insesgado de σ

22

ττ..

En el caso de que la varianza residual sea mayor que la varianza entre tratamientos, el En el caso de que la varianza residual sea mayor que la varianza entre tratamientos, el método de componentes de la varianza conduce a una

método de componentes de la varianza conduce a una

estimación negativa de σ

estimación negativa de σ

22

ττ..

Evidentemente esto carece de sentido, al tratarse de un parámetro no negativo. Evidentemente esto carece de sentido, al tratarse de un parámetro no negativo. Cuando esto ocurre se puede adoptar alguna de las siguientes alternativas:

Cuando esto ocurre se puede adoptar alguna de las siguientes alternativas:

 Rechazar por Rechazar por inadecuado inadecuado el el modelo modelo propuesto propuesto y y replantear el replantear el problema.problema. 

Reinterpretar la estimación de σ

Reinterpretar la estimación de σ

22ΤΤ como evidencia de que su verdadero valor es como evidencia de que su verdadero valor es

cero; es decir, admitir que σ

cero; es decir, admitir que σ

22

ττ  = 0. Esto puede ocasionar que las propiedades  = 0. Esto puede ocasionar que las propiedades

estadísticas de los restantes estimadores se vean perturbadas por esta decisión. estadísticas de los restantes estimadores se vean perturbadas por esta decisión.

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