dado por la ecuación:
dado por la ecuación:
y
yijij
= µ + τ
= µ + τ
ii + u + uijijC
C
on la diferencia de que ahora τi son variables aleatorias.
on la diferencia de que ahora τi son variables aleatorias.
Además Además este este modelomodelorequiere que
requiere que
las variables τ
las variables τ
ii y y uuijij sean independientes y sigan distribuciones normales sean independientes y sigan distribuciones normalescon media 0 y varianza constante σ
con media 0 y varianza constante σ
22ττy σ
y σ
22, respectivamente. Así, por la independencia, respectivamente. Así, por la independencia entre las variablesentre las variables
τ
τ
ii y y uuijij, la varianza de cualquier observación de la muestra, es decir,, la varianza de cualquier observación de la muestra, es decir,la varianza total, denotada por σ
la varianza total, denotada por σ
22TT, vale:, vale:σ
σ
22TT= σ
= σ
22ττ+ σ
+ σ
22 La mecánica del Análisis de la Varianza es la mismaLa mecánica del Análisis de la Varianza es la misma
que en el modelo de efectos fijos,
que en el modelo de efectos fijos,
excepto en el cálculo de las esperanzas de los cuadrados medios, ya que mientras en
excepto en el cálculo de las esperanzas de los cuadrados medios, ya que mientras en
el mode
el mode
lo de efectos fijos, los efectos τ
lo de efectos fijos, los efectos τ
ii eran constantes que cumplían la condición eran constantes que cumplían la condición∑
∑
IIi
i=1=1 nniiττii = 0, ahora son variables aleatorias N (0, = 0, ahora son variables aleatorias N (0,
σ
σ
ττ), no sometidas a ninguna restricción.), no sometidas a ninguna restricción. En este modelo, carece de sentido probar la hipótesisEn este modelo, carece de sentido probar la hipótesis
que se refiere a los efectos de
que se refiere a los efectos de
tratamiento individuales y, en su lugar, debe realizarse el contraste:
tratamiento individuales y, en su lugar, debe realizarse el contraste:
H
H00
: σ
: σ
22ττ = 0 = 0 HSi se acept
Si se acept
a H0, σ
a H0, σ
ττ= 0, significa que todos los tratami
= 0, significa que todos los tratami
entos son idénticos; en cambio,entos son idénticos; en cambio, si se acepta Hsi se acepta H11
, σ
, σ
22ττ> 0, significa que existe variabilidad entre los tratamientos.
> 0, significa que existe variabilidad entre los tratamientos.
Al
Al
igual
igual
que
que
en
en
el
el
modelo
modelo
de
de
efectos
efectos
fijos,
fijos,
se
se
distingue
distingue
entre el caso equilibrado y el entre el caso equilibrado y elcaso no-equilibrado.
caso no-equilibrado.
En este modelo se asume que las
En este modelo se asume que las k k muestras son muestras aleatorias de muestras son muestras aleatorias de k k situaciones situaciones
distintas y aleatorias. De modo que un valor aislado
distintas y aleatorias. De modo que un valor aislado Y Y ij ij se puede escribir como: se puede escribir como:
Donde
Donde µ µ es es la la media media global,global, E E ij ij son variables son variables (una para (una para cada muestra) cada muestra) distribuidasdistribuidas
normalmente, con media 0 y varianza
normalmente, con media 0 y varianza
σ
σ
22 (como en el modelo I) y (como en el modelo I) y A Ai
i es una variable es una variable
distribuida normalmente, independiente de las
distribuida normalmente, independiente de las eeij ij , con media 0 y varianza, con media 0 y varianza
σ
σ
22..La diferencia con respecto al
La diferencia con respecto al modelo de efectos fijosmodelo de efectos fijos es es que que en en lugar lugar de de loslos
efectos a
efectos aii ahora se consideran efectos aleatorios ahora se consideran efectos aleatorios A Ai i ..
Igual que en el
Igual que en el modelo de efectos fijosmodelo de efectos fijos se encuentra que se encuentra que MSE MSE no se modifica en la H no se modifica en la H11yy
que al valor esperado de
que al valor esperado de MSAMSA se le añade el término de se le añade el término de componente añadidacomponente añadida (que (que
aquí es una verdadera varianza ya que
aquí es una verdadera varianza ya que A Ai i es una variable aleatoria): es una variable aleatoria):
Para llegar a este resultado se utiliza la asunción de independencia entre
Para llegar a este resultado se utiliza la asunción de independencia entre A Ai i y y E E ij ij y es, y es,
por tanto, muy importante en el modelo y conviene verificar si es correcta en cada caso.
por tanto, muy importante en el modelo y conviene verificar si es correcta en cada caso.
Por tanto, en
Por tanto, en H H 00 tanto tanto MSAMSA como como MSE MSE estiman estiman
σ
σ
22, mientras que en, mientras que en H H 11,, MSE MSE sigue sigueestimando s
Modelo de efectos aleatorios no-equilibrado
Modelo de efectos aleatorios no-equilibrado
ComoComo
en el modelo de efectos fijos, la variabili
en el modelo de efectos fijos, la variabilidad total de los datos se puede expresar
dad total de los datos se puede expresar como la suma de la variabilidad entre los tratamientos y la variabilidad dentro de los como la suma de la variabilidad entre los tratamientos y la variabilidad dentro de los mismos. A partir de estas variabilidades semismos. A partir de estas variabilidades se
definen
definen las correspondientes varianzas
las correspondientes varianzas muéstrales.muéstrales.
Para establecer el procedimiento del contraste de hipótesis, para el modelo de efectos Para establecer el procedimiento del contraste de hipótesis, para el modelo de efectos aleatorios, calculemos en primer lugar los valores esperados de la varianza a entre aleatorios, calculemos en primer lugar los valores esperados de la varianza a entre tratamientos y de la varianza residual.
tratamientos y de la varianza residual.
Como en el modelo de efectos fijos, co
Como en el modelo de efectos fijos, consideremos las expresiones de y
nsideremos las expresiones de yii., Ӯ., Ӯ
ii., y.. e Ӯ..,., y.. e Ӯ..,
en función de los parámetros del modelo, con objeto de poder hallar las esperanzas de en función de los parámetros del modelo, con objeto de poder hallar las esperanzas de las varianzas muéstrales.las varianzas muéstrales.
yi. = n
yi. = niiµ + nµ + niiττii + u + uii. ; Ӯ
. ; Ӯi. = µ +
i. = µ +ττii +
+ῡ
ῡii..
y..y..
= Nµ + ∑
= Nµ + ∑
IIi=1i=1 n niiττii + u.. ; + u.. ;Ӯ..
Ӯ
..= µ + 1/N ∑
= µ + 1/N ∑
IIi=1i=1 n niiττii + +ῡ
ῡ..
..Modelo de efectos aleatorios equilibrado
Modelo de efectos aleatorios equilibrado
En el modelo equilibrado o balanceado, el número de observaciones en cada nivel del En el modelo equilibrado o balanceado, el número de observaciones en cada nivel del factor es el mismo. Fijando dicho valor en n, el número total de observaciones es N = I factor es el mismo. Fijando dicho valor en n, el número total de observaciones es N = I × n. En este caso se obtiene la siguiente expresión para la esperanza de la varianza × n. En este caso se obtiene la siguiente expresión para la esperanza de la varianza entre tratamientos
entre tratamientos
E(S
E(S22Tr Tr ) = n) = nσ
σ
22ττ +
+σ
σ
22Y los siguientes estimadores para las componentes de la varianza Y los siguientes estimadores para las componentes de la varianza
σ
σ
22 = S = S22RRσ
σ
22 ττ =(S =(S22Tr Tr− S
− S
22RR)/n)/n 2 2Desde el punto de vista práctico, el modelo equilibrado presenta la ventaja de que se Desde el punto de vista práctico, el modelo equilibrado presenta la ventaja de que se pueden obtener con STATGRAPHICS las componentes de la varianza.
pueden obtener con STATGRAPHICS las componentes de la varianza. Además
Además de de efectuar efectuar el el contraste contraste de de hipótesis, hipótesis, en en el el modelo modelo de de efectos efectos aleatoriosaleatorios intere
interesa estimar los valores σ
sa estimar los valores σ
22ττ. El procedimiento utilizado para ello se denomina. El procedimiento utilizado para ello se denomina
“m
“método de
étodo decomponentes de la varianza”. Dicho procedimiento consis
componentes de la varianza”. Dicho procedimiento consis
te en igualar laste en igualar las esperanzas de las varianzas entre tratamientos y residual con sus correspondientes esperanzas de las varianzas entre tratamientos y residual con sus correspondientes valores muéstrales y resolver el sistema resultante:valores muéstrales y resolver el sistema resultante: S
S22Tr Tr = N = N22
−∑
−∑iin
n22ii//N(I − 1) σN(I − 1) σ
22ττ + +σ
σ
22S
S22RR = =
σ
σ
22..Así, se obtienen los siguientes estimadores de las varianzas: Así, se obtienen los siguientes estimadores de las varianzas:
σ
σ
22 = S = S22RRσ
σ
22ττ = =
N(I − 1)/N2 −∑
N(I − 1)/N2 −∑iin
n22ii [S [S22Tr Tr− S
− S
22RR]] Puede comprobarse que si la hipótesis alPuede comprobarse que si la hipótesis alternativa es cierta, entonces σ
ternativa es cierta, entonces σ
22Τ
Τ es un es un
est
estimador insesgado de σ
imador insesgado de σ
22ττ..
En el caso de que la varianza residual sea mayor que la varianza entre tratamientos, el En el caso de que la varianza residual sea mayor que la varianza entre tratamientos, el método de componentes de la varianza conduce a una
método de componentes de la varianza conduce a una
estimación negativa de σ
estimación negativa de σ
22ττ..
Evidentemente esto carece de sentido, al tratarse de un parámetro no negativo. Evidentemente esto carece de sentido, al tratarse de un parámetro no negativo. Cuando esto ocurre se puede adoptar alguna de las siguientes alternativas:
Cuando esto ocurre se puede adoptar alguna de las siguientes alternativas:
Rechazar por Rechazar por inadecuado inadecuado el el modelo modelo propuesto propuesto y y replantear el replantear el problema.problema.
Reinterpretar la estimación de σ
Reinterpretar la estimación de σ
22ΤΤ como evidencia de que su verdadero valor es como evidencia de que su verdadero valor escero; es decir, admitir que σ
cero; es decir, admitir que σ
22ττ = 0. Esto puede ocasionar que las propiedades = 0. Esto puede ocasionar que las propiedades
estadísticas de los restantes estimadores se vean perturbadas por esta decisión. estadísticas de los restantes estimadores se vean perturbadas por esta decisión.