Potencias y Raíz Cuadrada

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Texto completo

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Programación* . . . .

2

Sugerencias didácticas . . . .

7

Actividades de refuerzo . . . 10

Actividades de ampliación . . . 12

Propuesta de evaluación . . . 14

Solucionario . . . 17

*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación

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ES

O

G U Í A D I D Á C T I C A

U N I DA D

3

Potencias y

raíz cuadrada

C O N T E N I D O

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INTRODUCCIÓN

Los contenidos de este tema se deben dar una vez que los alumnos dominen las operaciones básicas (suma, resta, mul-tiplicación y división) con los números enteros. Las potencias y las raíces cuadradas son conceptos instrumentales que se van a utilizar profusamente en toda la secundaria, por lo que conviene que se capten correctamente.

El concepto de potencia se puede introducir como una forma abreviada de escribir multiplicaciones de un mismo ente-ro. Conviene relacionar el estudio de las potencias con la geometría, las potencias de exponente 2 con los cuadrados y las de exponente 3 con los cubos.

La aplicación de la definición de potencia para las potencias de base negativa, junto con las reglas de los signos, debe llevarnos a la relación del signo de la potencia con la paridad del exponente.

El concepto de raíz no es nuevo para los alumnos. En esta unidad no se explica el algoritmo para su cálculo, lo que se pretende es que las calculen por tanteo, entendiendo la raíz cuadrada como la operación inversa de elevar al cuadrado. Conviene empezar con el cálculo de raíces cuadradas exactas, y una vez dominado, pasar al cálculo de raíces cuadra-das enteras mediante aproximación de cuadrados, calculando el resto.

• Potencia de exponente natural. Base y exponente. • Potencias de exponentes 2 y 3: cuadrados y cubos. • Potencias de base de un número negativo.

• Calcular el signo de potencias de base negativa. • Potencia de un producto y de un cociente. • Producto y cociente de potencias de igual base.

• Reducción de expresiones sencillas a una sola potencia. • Reducción de expresiones complejas a una sola potencia. • Cuadrados perfectos.

• Raíz cuadrada exacta. • Cálculo de raíces exactas.

• Raíz cuadrada entera, resto de la raíz.

Unidad

3

Potencias y raíz cuadrada

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOS

CRITERIOS

DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Entender los conceptos de

poten-cia y raíz cuadrada, así como uti-lizar e interpretar las potencias y raíces cuadradas en expresiones matemáticas sencillas, manipu-lando los algoritmos de cálculo necesarios.

1.1 Distinguir la base y el expo-nente de una potencia entera. 1.2 Operar con potencias de pro-ductos y cocientes, con produc-tos y cocientes de potencias de la misma base o con potencias de potencias.

1.3 Calcular la raíz exacta de un número.

1.4 Calcular la raíz cuadra entera de un número y su resto.

• Lingüística • Matemática

• Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana

• Tratamiento de la información y competencia digital

• Aprender a aprender 2. Resolver problemas relacionados

con la vida cotidiana describiendo verbalmente el proceso elegido y las soluciones obtenidas, y utili-zando correctamente las poten-cias y las raíces cuadradas.

2.1 Plantear y resolver problemas utilizando potencias y/o raíces cuadradas.

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Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previos

Los alumnos deben dominar todo lo relativo a las operaciones con números naturales y números enteros para com-prender el concepto de potencia.

2. Previsión de dificultades

La principal dificultad que van a encontrar los alumnos es la aplicación simultánea, en un mismo ejercicio, de dos o más propiedades de las potencias. Para evitarlo sería conveniente dedicar una sesión a realizar las actividades 28, 34, 37 y 65 a 68.

3. Vinculación con otras áreas

En los epígrafes se detallará de una forma más concreta la vinculación con otras áreas, aunque podemos afirmar que las potencias y la aplicación de sus propiedades para el cálculo están presentes en todos los campos de la ciencia, la eco-nomía, la técnica y la sociedad.

4. Esquema general de la unidad

Esta unidad es fundamental en el desarrollo algebraico de toda la etapa. Captar correctamente los conceptos de poten-cias y raíz cuadrada evita posibles errores en el futuro. Se va a ver la potencia como una multiplicación abreviada, y la raíz cuadrada, como la operación inversa de la potencia de exponente 2. Se puede considerar que la unidad está dividi-da en dos partes, una relacionadividi-da con potencias y otra con raíces cuadradividi-das.

Comienza la unidad con la definición de poten-cia como una expresión abreviada de una mul-tiplicación de factores iguales, definiendo la base y el exponente de la potencia. Se resaltan las potencias de exponentes 2 y 3, los cuadra-dos y cubos, y las potencias de base negativa. A continuación se expone cómo operar con las potencias de un producto y de un cociente expandiéndolas a productos y cocientes de potencias.

Seguidamente se enseña a trabajar con el pro-ducto y el cociente de potencias de la misma base y a pasarlos a una única potencia de la mis-ma base. Como caso particular aparecen las potencias de exponente 1 y 0. Las potencias de potencias permiten obtener una única potencia. Una vez terminada la parte de potencias se pasa a definir cuadrado perfecto y la raíz cuadrada exacta como la base de un cuadrado perfecto. Si el radicando no es un cuadrado perfecto, se puede definir la raíz cuadrada entera y el res-to de la raíz.

5. Temporalización

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Potencias de exponente natural.

2.ª Potencia de un producto y de un cociente. Producto y cociente de potencias de la misma base. 3.ª Potencia de potencia. Reducción de expresiones a una sola potencia.

4.ª Cuadrado perfecto. Raíz cuadrada exacta. 5.ª Raíz cuadrada entera. Resto.

6.ª y 7.ª Actividades de consolidación.

8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

Potencias de exponente natural POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA Operaciones con potencias de la misma base Potencia de un producto Potencia de un cociente Potencia de una potencia

Raíz cuadrada entera Resto Cuadrados perfectos Raíz cuadrada exacta

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüística

Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En especial, con el texto de entrada, el epígrafe 1 y los proble-mas contextualizados se desarrolla de una forma más concreta la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemática

Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias e indicadores.

Como la unidad está dedicada a las potencias y sus propiedades, se trabaja sobre todo la subcompetencia uso de ele-mentos y herramientas matemáticas.

Competencia para la interacción con el mundo físico

En la unidad hay varias actividades que hacen referencia a la aplicación de las potencias y las raíces a situaciones con-cretas de la vida real.

Competencia social y ciudadana

A partir del texto de entrada podremos hacer una reflexión que nos ayude a desarrollar la subcompetencia desarrollo personal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital

A lo largo de la unidad aparecen en LIBROSVIVOS y EN LA RED varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetencia del uso de herramientas tecnológicas.

El texto de entrada, junto con la primera actividad de “Pon a prueba tus competencias”, contribuye de forma especial a desarrollar la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprender

Algunas de las actividades propuestas, y con mayor carácter las de ampliación, permiten averiguar la adquisición de esta competencia, en especial la subcompetencia conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propio aprendizaje.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensar

El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate.

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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD

A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias que prescribe el currículo. Para esta unidad, en con-creto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

Programación de aula

COMPETENCIA

1.ernivel de concreción

SUBCOMPETENCIA

2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR

3.ernivel de concreción

DESEMPEÑO

4.º nivel de concreción Lingüística Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Extrae información de varias lecturas, determina cuál es relevante y la emplea en la resolución de problemas reales.

Pon a prueba tus competencias.

Matemática

Razonamiento y argumentación.

Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentación, utilizando vocabulario matemático.

– Aplica las potencias para representar situaciones de la vida cotidiana. En toda la unidad.

Resolución de problemas.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas. Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación.

– Interpreta y resuelve problemas con ayuda de las potencias y las raíces.

En toda la unidad.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Opera con rigor y precisión con potencias para reducir expresiones. En toda la unidad. Interacción con el mundo físico Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar situaciones en diversos contextos (académico, personal y social).

– Aplica las potencias para calcular cantidades. Actividades 6, 83 y 84.

Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

– Conoce en qué consiste la prueba del carbono 14. Pon a prueba tus competencias.

Analiza y deduce.

– Conoce las unidades de capacidad de memoria electrónica. Actividad 22. Competencia social y ciudadana Desarrollo personal y social.

Conocerse, valorarse y aprender a comunicarse en diferentes contextos.

– Es crítico con el uso de las redes sociales. Desarrolla tus competencias.

Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en páginas de internet para complementar la información.

En la red

– Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades.

Actividades 7, 15, 38, 44 y 51, organiza tus ideas, autoevaluación.

Uso de herramientas tecnológicas.

Identificar y utilizar las tecnologías de la información y comunicación como herramienta de aprendizaje, trabajo y ocio.

– Conoce cómo usar las redes sociales. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar.

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EDUCACIÓN EN VALORES

Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación ambiental: actividad “Carbono 14” de “Pon a prueba tus competencias”.

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu-cación para la convivencia y la eduedu-cación en comuniedu-cación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

En este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS

Programación de aula

SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de Matemáticas básicas.

– Unidad 3. Potencias.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO. – Unidad 1. Números naturales.

• Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 1. “Números naturales”. – Unidad 2. Potencias y raíces.

• Cuaderno de resolución de problemas I. 1.º de ESO.

SM www.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Potencias en la página del proyecto Descartes, educación digital a distancia del Ministe-rio de Educación.

www.e-sm.net/1esomatprd03

Potencias y raíces en la página del proyecto Averroes. www.e-sm.net/1esomatprd04

Otros materiales

• Juegos de dominó en los que intervengan potencias, raíces cuadradas y sus soluciones. • Tablas de cuadrados perfectos y cubos.

• La calculadora científica permite la simplificación de los cálculos numéricos y la obtención de las poten-cias cuyos resultados son de varias cifras.

Otr os material e s Internet B ibliográfic os

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Sugerencias didácticas

Desarrolla tus competencias

Entrada

1. Potencias de exponente mayor que 1

2. Potencia de un producto y de

un cociente

I. Podemos realizar esta actividad a la vez que vamos explicando la teoría de los seis grados de separación y comprobar así si los alumnos la han comprendido. II. Esta actividad nos servirá para comprobar cuántos

alumnos utilizan redes sociales y para qué las utilizan, facilitando el trabajo para la actividad III.

III. La puesta en común de la actividad III puede ser el pun-to de partida para establecer un debate sobre el uso adecuado de las redes sociales, pidiendo a los alum-nos que expongan situaciones concretas, tanto perju-diciales como ventajosas.

Algunas de las situaciones ventajosas serían:

– Las redes pueden permitir el intercambio de infor-mación entre los alumnos, la comunicación entre ellos para explicarse dudas, el préstamo de apuntes. – Potencian las relaciones socioafectivas.

El principal inconveniente del uso de las redes es que los alumnos no son conscientes de que lo que en ellas regis-tran puede ser visto por muchas personas, siempre y cuan-do no hayan configuracuan-do bien las opciones de privacidad. Para comprender la teoría de los seis grados de separación podemos proponer ejemplos sencillos como el de que el número de intermediarios entre cualquiera de ellos y el padre o la madre de un compañero es 2.

• Conviene detenerse en el concepto de potencia de base y exponente natural, entendido como una forma abrevia-da de escribir un producto de factores iguales. Con nume-rosos ejemplos, los alumnos deben identificar como base el factor y como exponente el número de veces que se repite dicho factor, ya que es muy frecuente que multi-pliquen la base por el exponente.

• Hay que tener cuidado al trabajar con potencias de base negativa e insistir en el signo de la potencia según sea el exponente par o impar. Un error común es no utilizar los paréntesis cuando la base de la potencia es negativa.

6, 83 y 84. Estos tres problemas contextualizados permiten ver de una forma concreta cómo el lenguaje matemá-tico sirve para expresar situaciones del mundo que nos rodea.

• Remarcar con ejemplos la potencia de un producto o de un cociente. Cada ejemplo se puede realizar de dos for-mas distintas, primero operando el paréntesis o prime-ro desarprime-rollando el paréntesis.

• Es conveniente realizar también ejemplos como los de la actividad resuelta, en los que se apliquen estas pro-piedades en el sentido inverso, es decir:

(an·bn) = (a · b)n

(an: bn) (a: b)n

• Hay que tener cuidado en que la potencia solo se puede aplicar si se tiene un producto o un cociente. No se pue-de aplicar el pue-desarrollo a la potencia pue-de una suma o pue-de una resta.

3. Producto y cociente de potencias

de la misma base

• Los alumnos deben conseguir averiguar la regla del pro-ducto mediante ejemplos en los que se desarrollen las potencias para luego comprimir el producto como una única potencia.

• Hacer hincapié en el orden de prioridad de las operacio-nes cuando haya sumas y restas de potencias de la mis-ma base.

• La regla del cociente la demostraremos mediante ejem-plos en los que se desarrollen las potencias, posterior-mente se simplifique el cociente y se escriba la potencia resultante.

• Hacer observar que al dividir potencias del mismo expo-nente resultan potencias de expoexpo-nente 0, y relacionarlo con que el cociente de dos números iguales es la unidad. • Se debe tener cuidado de que el exponente del divisor no sea mayor que el exponente del dividendo. A alumnos avanzados se les pueden explicar las potencias de expo-nente negativo.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 2, 3, 52 a 55, 61 y 82 a 84 Medio 4 a 6, 56, 57 y 85

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico 17 a 19, 23, 24 y 62

Medio 20 a 22, 25 a 29, 63 y 64 ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 9 a 11 y 58 Medio 8, 69.12, 13 y 14

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Sugerencias didácticas

5. Raíz cuadrada exacta y cuadrados

perfectos

6. Raíz cuadrada entera

• La raíz cuadrada entera es una generalización de la raíz cuadrada exacta. Algunos alumnos creen que solo exis-ten raíces cuadradas exactas.

• El concepto de resto de la raíz es complicado. Se puede ver como los puntos que sobran para formar el mayor cuadrado posible, como se muestra en el margen y en las actividades de refuerzo.

• Realizar numerosos ejemplos hasta que se asimile el concepto de raíz cuadrada entera y su resto.

• Para calcular raíces de números superiores a 100, si el alumno no está familiarizado con los cuadrados perfec-tos mayores que 100, es bueno seguir esperfec-tos pasos:

1. Determinamos el número de cifras de la raíz. Para ello hacemos grupos de dos cifras empezando por la derecha, teniendo en cuenta que el grupo de la izquierda puede tener una cifra o dos. La raíz cua-drada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado.

2. Se calcula la raíz del primer grupo: = 3. La primera cifra de la raíz de 1357 es 3.

3. Vamos probando hasta obtener el mayor número que elevado al cuadrado es menor que el radicando.

302= 900

352= 1225

362= 1296

372= 1369 > 1357

La raíz cuadrada entera es 36

4. Calculamos el resto: 1357 − 1296 = 61 13 1357

Organiza tus ideas

En esta página se muestran los contenidos vistos a lo lar-go de la unidad. Se empieza por las potencias, dando la definición de potencia y las operaciones con potencias. A continuación se da la definición de raíz cuadrada exacta, cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera.

• Es importante que el alumno realice sus propios esque-mas. Pero para empezar se le puede pedir que comple-te el que aparece en esta página, con los conceptos y ejemplos que a su juicio falten, o que le sirvan para com-prender mejor lo estudiado.

• El concepto de raíz cuadrada se puede explicar como el cálculo de la base de un cuadrado perfecto.

• La palabra cuadrada hace referencia al objeto geométri-co. Se puede explicar dibujando cuadrados de puntos, siendo la raíz cuadrada el número de puntos del lado del cuadrado.

• Puede ser útil construir una tabla con los 25 primeros cuadrados perfectos, para el posterior cálculo de raíces cuadradas.

• Una vez que hayan elaborado la tabla con los primeros 25 cuadrados perfectos, sería un buen momento para rea-lizar la actividad 78.

• Como ampliación, y de forma análoga a la raíz cuadrada, puede introducirse la raíz cúbica como operación inver-sa a la potencia cubo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico 32, 33 y 35

Medio 34, 36, 37 y 65 Alto 66 a 68, 103 y 107

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico 40, 69, 70, 72 y 73

Medio 41 a 43, 71, 74 a 76, 86, 87, 92, 93 y 96 Alto 81, 97, 100 a 102, 105 y 107

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico 46 a 48, 77 y 78

Medio 49, 50, 79, 80, 88 a 91, 94 y 95 Alto 98 y 99

4. Potencia de potencia

• Si se desarrolla la potencia exterior, la potencia de una potencia es un caso particular de productos de potencias de la misma base.

• Hay que tener cuidado si la base de la potencia es nega-tiva para escribir correctamente los paréntesis.

• Al finalizar este epígrafe conviene detenerse en realizar ejercicios en los que haya que expresar diversas expre-siones en una sola potencia, siendo necesario para ello aplicar las cinco propiedades de las potencias.

22. Podemos utilizar este ejercicio para hacer una refle-xión sobre la aportación del desarrollo tecnológico a la sociedad, con la evolución que han sufrido las unida-des de memoria y las repercusiones que esto supone para el medio ambiente, con menos gasto de papel. Un ejemplo para ilustrar este fenómeno es la presentación en el Congreso de los Presupuestos Generales del Esta-do. Antiguamente eran cajas y cajas de folios, poste-riormente se utilizaron DVD, y por último, un pendrive.

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Sugerencias didácticas

Pon a prueba tus competencias

Actividades de ampliación

APRENDE A PENSAR: EL PODER DE LAS REDES SOCIALES

Para que los alumnos respondan a las actividades 1, 2 y 3 deberemos guiarles para que sean capaces de deducirlas por sí mismos.

Para ello partiremos de supuestos más sencillos, supo-niendo que la información la transmite una persona a 2, 3 y 5 personas que no la han recibido anteriormente, y com-pletaremos en la pizarra una tabla como la siguiente:

Al ver las secuencias que aparecen en las diferentes columnas, no les costará deducir que a las 10.00 la infor-mación la saben 1 + 20 personas, a las 11.00 ha llegado a 1 + 20 + 20 · 102; y así sucesivamente. Velocidad de transmisión 2 3 5 Antes de las 10.00 1 1 1 10.00 2 3 5 11.00 22 32 52 12.00 23 33 53 Total 15 40 156

Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

Para responder a las preguntas 2 y 3 deberán encontrar, con ayuda de la calculadora, cuál es el número n que verifica que:

1 + 20 + 20 · 10 + 20 · 102+ ... + 20 · 10n

sea igual a 2000 o 6000 millones.

La última actividad es una extensión de las actividades de la entrada de la unidad.

Una vez que los alumnos hayan comprobado lo vertigino-so que es el ritmo de crecimiento de las pervertigino-sonas que reci-ben la información, valorarán la importancia que tiene el ser críticos con la información que cuelgan en la red.

ANALIZA Y DEDUCE: LA PRUEBA DEL CARBONO 14 Esta actividad muestra la utilidad de las potencias para escribir números grandes.

Puede servirnos de pie para introducir, como contenido de ampliación, la notación científica, para lo que primera-mente tendríamos que repasar las potencias de 10 y los números decimales.

Para completar la tabla los alumnos tienen que darse cuenta de que mientras los años transcurridos se duplican, la can-tidad de unidades de carbono 14 queda dividida por 2, por lo que habrá un momento en el que el fósil ya no contenga más unidades y sea imposible datarlo.

CREA UN JUEGO: MAGIA CON LAS POTENCIAS Esta actividad se realizará de forma individual. Tiene carác-ter lúdico y permite a los alumnos ver el lado divertido de las matemáticas.

Al calcular los diferentes números, los alumnos se darán cuenta de que podemos escribir cualquier número como suma de potencias de 2.

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Actividades de refuerzo

Unidad

3

Potencias y raíz cuadrada

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: distinguir la base y el exponente de una potencia y operar con potencias de forma básica.

• Hay que insistir en la diferencia entre una potencia y un producto. A veces, los alumnos creen que es una multipli-cación; por ejemplo, 24= 16 lo confunden con 2 · 4 = 8.

• Es importante recalcar el uso correcto de los paréntesis. Un error común ocurre con las potencias de base negati-va. Confunden con , siendo cierto si n es impar, pero no si es par.

• También es fundamental el cálculo de raíces cuadradas enteras por aproximaciones de números de pocas cifras para asi-milar el concepto, ya que las raíces de un gran número de cifras se pueden calcular con la ayuda de una calculadora. A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándoles a comprenderlos mediante esque-mas o dibujos.

−xn

(−x)n

1. a) 35= 243 b) 73= 343 c) 83= 512

2.

3. a) Raíz, 5. Resto, 2 b) Raíz, 7. Resto, 7 c) Raíz, 7. Resto, 14 4. 22·23= 25= 32 24: 2 = 23= 8 (10: 5)4= 24= 16 (24)0= 20= 1 22·22·22 = 26= 64 A B C D E 1 2 2 5 1 2 8 2 5 6 3 9 9 4 3 6 4 5 1 0 2 4

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Dominó de potencias

Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y en otro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado es el número entero escrito. Dividid la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados.

Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominó con un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid las operaciones y los números.

Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas.

Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas. Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de los extremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga poner todas sus fichas.

Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete el círculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

(11)

1. Relaciona cada piloto con su moto. 2. Completa el crucigrama. Horizontales 1. 152; 20 2. 23; (2 · 8)2 3. (−3)2; 32 4. 3; 82 5. 45 Verticales A) 174: 172; 1 B) 21; C) 232; 2 D) 53: 52; 26 E) 24; (−2)2 900

3. Las raíces cuadradas enteras de un número y el resto pueden calcularse gráficamente con ayuda de una

cuadrícula. Fíjate en el ejemplo y calcula con ayuda de la cuadrícula las raíces y restos de los números indicados.

Para calcular la raíz cuadrada entera de 18, pintamos 18 cuadrados en la cuadrícula, for-mando cuadrados. El lado del mayor cuadrado que podamos formar es la raíz, y los cua-drados que quedan sueltos indican el resto.

a) 27 b) 56 c) 63

Unidad

3

Potencias y raíz cuadrada

gin a f o tocopia b le

ACTIVIDADES de

REFUERZO

243 343 512

4. Une con flechas cada expresión con la potencia correspondiente, y cada potencia con su valor.

22·23 24 8 24: 2 23 16 (10: 5)4 25 32 (24)0 26 1 22·22·22 20 64

8

3

3

5

7

3 A B C D E 1 2 3 4 5 a) b) c)

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Actividades de ampliación

Unidad

3

Potencias y raíz cuadrada

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas.

Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora. La calculadora es una herramienta que sirve para comprobar los resultados o para operar números con muchas cifras decimales. Las calculadoras simples realizan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para la mayoría de las actividades de la unidad es suficiente con este tipo de calculadoras.

1. Depende de la factorización de la base y del exponente. a) 42 b) 26u 82 c) 56ó 1252 d) 493ó 3432 2. 1 vez: 21mm 2 veces: 22= 4 mm 3 veces: 23= 8 mm 4 veces: 24= 16 mm 5 veces: 25= 32 mm 100 veces: 2100mm 3. 1 + 3 + 32+ 33+ 34= 121 personas 4. a) 24·( − 2)3= 24·23= 27 b) : 23= (11 − 9)5: 23= 25: 23= 22 c) = ·53= 5 · 53= 54 d) = (9 − 6)5: 9 = 35: 32= 33

5. No es posible. La raíz cuadrada entera de 450 es 21, y el resto es 9.

6. Si acaba en 5, su raíz acaba en 5. Si acaba en 6, su raíz acaba en 4 ó 6. Un cuadrado perfecto no puede acabar en 3.

7. Se puede formar un cuadrado de lado 223 fichas y sobran 271 fichas.

Para el cuadrado de lado 224 faltan 176 fichas.

8. El método no es correcto. Por ejemplo, no se cumple para 2116. 9. 263 = 17 576 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26 273 = 19 683 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27 10. 12= 22+ 22+ 22 16= 42 23= 32+ 32+ 22+ 12 238= 152+ 32+ 22 239= 152+ 32+ 22+ 12 32 36 9 5 −

(

)

: 25 32+42 53

(

)

⋅ 121 81 5 −

(

)

16

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Dominó de potencias

Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y en otro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado sea el número entero escrito. Divi-did la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados.

Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominó con un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid las operaciones y los números.

Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas.

Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas. Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de los extremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga poner todas sus fichas.

Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete el círculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

(13)

1. Escribe las siguientes potencias como otra potencia distinta de exponente distinto de 1. ¿Existen varias

formas? ¿De qué depende?

a) 24 b) 43 c) 253 d) 76

2. Un folio mide 1 milímetro de grueso. Calcula el grosor si lo doblas 1 vez por la mitad. ¿Y si lo doblas 2,

3, 4 ó 5 veces? ¿Es posible doblarlo 100 veces? ¿Cuál será su grosor?

3. Gonzalo cuenta un secreto a tres amigos. A su vez, cada amigo les cuenta el secreto a tres de sus

ami-gos, y así sucesivamente.

¿Cuántas personas saben el secreto si se repite otras dos veces?

4. Expresa como una sola potencia.

a) 24· = c) =

b) : 23= d)

5. Ana le dice a Belén que su padre tiene una parcela cuadrangular de lado un número entero de metros

y de superficie 450 metros cuadrados. ¿Son posibles estos datos de la parcela?

6. Un número de 10 cifras acaba en 5 y es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la última cifra de su raíz

cua-drada? ¿Y si el número de 10 cifras acabara en 6? ¿Y si acabara en 3?

7. ¿Cuál es el cuadrado mayor que se puede formar con 50 000 fichas iguales? ¿Cuántas fichas sobran?

¿Cuántas fichas más serán necesarias para obtener el cuadrado inmediato superior?

8. Fíjate en el siguiente método para calcular la raíz cuadrada de un número de 4 cifras:

Queremos calcular la raíz cuadrada de 2025.

a) Dividimos el número en 2 grupos de 2 cifras, 20 y 25. b) Sumamos ambos números, 20 +25 =45.

c) El cuadrado de este número es igual al dado, 452=2025.

La raíz cuadrada de 2025 es 45.

Comprueba que también se cumple para 3025 y 9801. ¿Es este método correcto?

9. El número 17 tiene una curiosa propiedad. Si lo elevamos al cubo, 173ⴝ 4913, y sumamos sus cifras,

4 ⴙ 9 ⴙ 1 ⴙ 3 ⴝ 17, el resultado es el número inicial. Comprueba que ocurre lo mismo con 18. Encuentra dos números con la misma propiedad en la siguiente decena.

10. Hay un teorema de matemáticas que afirma: “Todo entero positivo es una suma de un máximo de

cua-tro cuadrados perfectos”. Por ejemplo: 215 ⴝ 142ⴙ 32ⴙ 32ⴙ 12. A veces hace falta usar menos

cua-drados: 430 ⴝ 152ⴙ 142ⴙ 32.

Escribe los siguientes números como suma de cuadrados: 12, 16, 23, 238 y 239. 16 2 3 −

(

)

32 36 9 5 −

(

)

: = 121 81 5 −

(

)

32+42 53

(

)

Unidad

3

Potencias y raíz cuadrada

ACTIVIDADES de

AMPLIACIÓN

gin a f o tocopia b le

(14)

APELLIDOS

:

NOMBRE

:

FECHA

:

CURSO

:

GRUPO

:

1. Calcula el resultado de las siguientes potencias.

a) 25 c) (−3)4 e) (−2)7 g) 54

b) 103 d) 70 f) 81 h) (−7)3

2. Expresa las siguientes potencias como producto o cociente de potencias.

a) (3 · 5)4 c) (4: 9)3 e) [(−3) : 5]7

b) (7 · 2 · 5)6 d) [(−2) · 11]10 f) [(−5) · 3 · (−13)]21

3. Calcula las siguientes operaciones con potencias.

a) (25)2 c) 5 · 54: 52 e) [23·(22)2·(24)3]0

b) ((−2)3)2·23 d) (((−1)3)5)4 f) (73)4: (75)2

4. Expresa como una sola potencia y calcula su valor.

a) (252: 53) · 52 c) (247: 67): 45

b) 43: (22·24) d) (92: 27)2: 32

5. Completa la siguiente tabla.

6. Escribe entre qué cuadrados se encuentran los siguientes números e indica cuál es la raíz cuadrada

ente-ra y el resto de cada número.

a) 1001 b) 1550 c) 5103

7. Una empresa quiere realizar una mudanza y necesita nueve camiones. Cada camión contiene nueve

cajas. Cada caja contiene nueve mesas. ¿Cuántas mesas posee la empresa?

8. Un campo en forma de cuadrado tiene 8100 metros cuadrados de superficie. Calcula cuánto mide su lado. 9. Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 35, y el resto, 12.

10. La finca de Luis tiene la forma de la figura. Cada parcela pequeña tiene una superficie de 9 metros

cua-drados. ¿Cuántos metros cuadrados tendría que añadir Luis para que su finca tuviera forma de cuadrado?

Raíz cuadrada exacta 200 21

Cuadrados perfectos 121 49 144

b

le

Unidad

3

Potencias y raíz cuadrada

(15)

gin a f o tocopia b le 1. a) 25= 32 c) (−3)4= 81 e) (−2)7 = −256 g) 54= 625 b) 103= 1000 d) 70= 1 f) 81= 8 h) (−7)3= −343 2. a) (3 · 5)4= 34·54 c) (4: 9)3= 43: 93 e) [(−3) : 5]7= (−3)7: 57 b) (7 · 2 · 5)6= 76·26·56 d) [(−2) · 11]10= (−2)10·1110 f) [(−5) · 3 · (−13)]21= (−5)21·321·(−13)21 3. a) (25)2= 210 c) 5 · 54: 52= 53 e) [23·(22)2·(24)3]0= 20 b) ((−2)3)2·23= 29 d) (((−1)3)5)4= 160 f) (73)4: (75)2= 712: 710= 72 4. a) (252: 53) · 52= ((52)2: 53) · 52= (54: 53) · 52= 5 · 52= 53= 125 b) 43: (22·24) = (22)3: 26= 26: 26= 20= 1 c) (247: 67): 45= 47: 45= 42= 16 d) (92: 27)2: 32= ((32)2: 33)2: 32= (34: 33)2: 32= 32: 32= 30= 1 5. 6. a) 312< 1001 < 322 b) 392< 1550 < 402 c) 712< 5103 < 722 7. 9 · 9 · 9 = 93= 729 8. El lado mide m. 9. El número es 352+ 12 = 1225 + 12 = 1237.

10. Tendría que añadir 15 parcelas; en total, 15 · 9 = 135 m2.

8100=90

Raíz cuadrada exacta 11 200 7 21 12

Cuadrados perfectos 121 40 000 49 441 144

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación

Figure

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Referencias

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