Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería
Sanitaria y Ambiental
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Análisis Estructural
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 3
Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los
soportes son:
A=32mm B=62mm C=70mm D=28mm
E=210GPa I=800 (10^6) mm4
MOMENTOS POR CARGAS EXTERNAS:
•
Tramo AB:
•
Tramo BC:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
2 2 AB 2 2 2 2 BA 2 2(Pab )
(300)(3)(3 )
FEM
=-
=-
= -225 kNm
l
6
(Pab )
(300)(3)(3 )
FEM
=
=
=225 kNm
l
6
2 2 BC 2 2 2 2 BA 2 2Pab
(200)(3)(3 )
FEM
=-
=-
= -150 kNm
l
6
(Pab )
(200)(3)(3 )
FEM
=
=
=150 kNm
l
6
•
Tramo CD(igual al tramo AB):
EFECTOS DE ASENTAMIENTO:
•
Tramo AB:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
2
2
CD
2
2
2
2
DC
2
2
(Pab )
(300)(3)(3 )
FEM
=-
=-
= -225 kNm
l
6
(Pab )
(300)(3)(3 )
FEM
=
=
=225 kNm
l
6
0.03m
=
=0.005
6m
l
△
•
Tramo BC:
•
Tramo CD:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
0.008m
=
=0.00133
6m
l
△
0.042m
=
=0.007
6m
l
△
ECUACIÓN DE MOMENTO:
Sabiendo que EI=16800 kNm
MÉTODO PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 3
AB AB A B AB A B BA BA A B BA A B BC BC B C BC B C CB CB B C CB2EI
3
M
=FEM
+
(2θ +θ -
)
L
L
M
=-225+56000(2θ +θ -0.015)
2EI
3
M
=FEM
+
(
+2
-
)
L
M
=225+56000(
+2
-0.015)
2EI
3
M
=FEM
+
(2
+
-
)
L
M
=-150+56000(2
+
-0.00399)
2EI
3
M
=FEM
+
(
+2
-
)
L
M
=150+
L
L
L
θ
θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
△
△
△
△
B C CD CD C D CD C D DC DC C D56000(
+2
-0.00399)
2EI
3
M
=FEM
+
(2
+
-
)
L
M
=-225+56000(2
+
+0.021)
2EI
3
M
=FEM
+
(
+2
-
)
L
L
L
θ
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
△
△
•
Ecuaciones de equilibrio:
luego como las rotulas y las articulaciones no soportan
momentos; se tiene:
Luego de (1):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
AB BA BC CB CD DC
M
=0 (1)
M
+M
=0 (2)
M
+M
=0 (3)
M
=0 (4)
A
B
-225+56000(2
θ θ
+
-0.015)=0 (a)
De (2):
De (3):
De (4):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
A
B
B
C
225+56000(
θ
+2
θ
-0.015)-150+56000(2
θ θ
+
-0.00399)=0 ( b)
B
C
C
D
150+56000(
θ
+2
θ
-0.00399)-225+56000(2
θ θ
+
-0.021)=0 (c)
C
D
225+56000(2
θ θ
+
-0.021)=0 (d)
Resolviendo (a), (b), (c) y (d):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
AB
BA
BC
CB
CD
DC
M
=0
M
=153.88 kNm
M
=-153.88 kNm
M
=-107.08 kNm
M
=107.08 kNm
M
=0
A
B
C
D
=0.0081 rad
=0.0028 rad
=-0.0017 rad
=-0.0117 rad
θ
θ
θ
θ
Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga
continúa de dos luces de igual longitud .
W
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 4
2
2
AB
BC
2
2
CB
BA
-WL
-WL
FEM
=
FEM
=
12
12
WL
WL
FEM
=
FEM
=
12
12
ASENTAMIENTOS:
Δ=0
ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXION:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
2
AB
A
B
2
BA
A
B
2
BC
B
C
2
CB
B
C
2EI
WL
M
=
(2
+
)-
(1)
L
12
2EI
WL
M
=
(
+2
)+
(2)
L
12
2EI
WL
M
=
(2
+
)-
(3)
L
12
2EI
WL
M
=
(
+2
)+
(4)
L
12
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
Además se sabe que:
Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene:
De (2):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
BA BC AB CBM
+M
=0
(5)
M
=0
(6)
M
=0
(7)
2 A B 2 B C4EI
2EI
WL
+
-
=0
(8)
L
L
12
2EI
4EI
WL
+
+
=0
(9)
L
L
12
θ
θ
θ
θ
2 BA A B2EI
4EI
WL
M
+
+
(10)
L
θ
L
θ
12
=
De (3) :
De (5):
De (8) se tiene que:
De (13) en (12) se tiene que:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
2 BC B C4EI
2EI
WL
M
+
-
(11)
L
θ
L
θ
12
=
A B C2 EI
8EI
2EI
+
+
=0
(12)
L
θ
L
θ
L
θ
3 B AWL
=
-
(13)
48EI
2
θ
θ
3 B CWL
2
=-
-
(14)
168EI 7
θ
θ
De (14) en (9) se tiene que:
De (15) en (14) se tiene que:
De (16) en (13) se tiene que:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
3
C
WL
=-
(15)
48EI
θ
B
=0
(16)
θ
3
A
WL
=
(17)
48EI
θ
•
Momentos:
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (10) se obtiene:
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (11) se obtiene:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2 BA
WL
M
=
(18)
8
2 BCWL
M
=-
(19)
8
Diagrama de
cortante y
momentos
MÉTODO
PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 4
Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de
la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12
mm.
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
En este caso no se presentan momentos de empotramiento.
ASENTAMIENTOS:
Δc=12mm
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
MÉTODO
PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 5
AB A B BA A B BC B C CB B C2EI
M
=
(2
+
) (1)
L
2EI
M
=
(
+2
) (2)
L
2EI
3
M
=
(2
+
-
) (3)
L
2EI
3
M
=
(
+2
-
) (4)
L
L
L
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
△
△
CD C D DC C D DE D E ED D E2EI
3
M
=
(2
+
+
) (5)
L
2EI
3
M
=
(
+2
+
) (6)
L
L
2EI
M
=
(2
+
) (7)
L
2EI
M
=
(
+2
) (8)
L
L
θ θ
θ
θ
θ θ
θ
θ
△
△
Además se sabe que:
Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en
(1) y (13) en (8) se obtiene:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
BA
BC
CB
CD
DC
DE
AB
ED
M
+M
=0
(9)
M
+M
=0
(10)
M
+M
=0
(11)
M
=0
(12)
M
=0
(13)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
A B A B BA B C BC B C CB C D CD C D DC D E DE4EI
2EI
+
=0
(14)
7
7
2EI
4EI
+
-M
=0
(15)
7
7
4EI
2EI
9EI
+
-
-M
=0
(16)
7
7
6125
2EI
4EI
9EI
+
-
-M
=0
(17)
7
7
6125
4EI
2EI
9EI
+
+
-M
=0
(18)
7
7
6125
2EI
4EI
9EI
+
+
-M
=0
(19)
7
7
6125
4EI
2EI
+
-M
=0
(20)
7
7
2EI
+
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
4EI
θ
=0
(21)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:
•
(2) y (3) en (9):
•
(4) y (5) en (10):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
A B B C
A B C
2EI
4EI
4EI
2EI
9EI
+
+
+
-
=0
7
7
7
7
6125
2
8
2
9
+
+
-
=0
(22)
7
7
7
6125
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
B C C D B C D2EI
4EI
9EI
4EI
2EI
9EI
+
-
+
+
+
=0
7
7
6125
7
7
6125
2
8
2
+
+
=0
(23)
7
7
7
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
•
(6) y (7) en (11):
•
Despejando θ
A
de (14) y remplazando en (22):
•
(25) en (23):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
C D D E
C D E
2EI
4EI
9EI
4EI
2EI
+
+
+
+
=0
7
7
6125
7
7
2
8
9
2
+
+
+
=0
(24)
7
7
6125
7
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
B B C B C1
8
2
9
-
+
+
-
=0
7
7
7
6125
2
9
=-
+
(25)
7
6125
θ
θ
θ
θ
θ
C D24
18
8
2
-
+
+
+
=0
49
42875
7
7
7
9
Cθ
θ
θ
θ
θ
•
(26) en (24):
•
(27) en (21):
•
(28) en (27)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
D D E D E1
9
8
9
2
-
-
+
+
+
=0
13
79625
7
6125
7
26
108
=-
-
(27)
97
84875
θ
θ
θ
θ
θ
E E E52
216
4
-
-
+
=0
679
594125
7
9
=
(28)
12250
θ
θ
θ
D9
=-
(29)
6125
θ
•
(29) en (26):
•
(30) en (25):
•
(31) en (14)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
C
=0
(30)
θ
B
9
=
(31)
6125
θ
A
9
=-
(32)
12250
θ
CALCULO DE LOS MOMENTOS:
•
(32) y (31) en (15):
•
(31) y (30) en (16):
•
(31) y (30) en (17):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
BA
27
M
=
(33)
42875
BC
27
M
=-
(34)
42875
CB
9
M
=-
(35)
8575
•
(30) y (29) en (18):
•
(30) y (29) en (19):
•
(29) y (28) en (20):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
CD9
M
=
(36)
8575
DC27
M
=
(37)
42875
DE
27
M
=-
(38)
42875
CALCULO DE LAS REACCIONES:
Tramo AB:
Tramo BC:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
B AB BA AB AB Y AB BA BAM =0:
-R
(7)-M
=0
27
-R
(7)-
=0
300125
27
R
=-300125
F =0:
-R
+R
=0
27
R
=
300125
∑
∑
C BC BC CB BC BC Y BC CB CBM =0:
- R
(7)+M
+M
=0
27
9
-R
(7)+
+
=0
42875
8575
72
R
=
300125
F =0:
R
+R
=0
72
R
=-300125
∑
∑
•
Tramo CD:
•
Tramo DE:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
D CD CD DC CD CD Y CD DC DCM =0:
-R
(7)-M
-M
=0
9
27
-R
(7)-
-
=0
8575 42875
72
R
=-
300125
F =0:
-R
+R
=0
72
R
=
300125
∑
∑
D ED DE ED ED Y ED DEM =0:
R
(7)+M
=0
27
R
(7)+
=0
300125
27
R
=-300125
F =0:
-R
+R
=0
27
∑
∑
DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTANTE:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
