Mecanica de Fluidos Con Aplicaciones en LabVIEW-Resumen

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(1)

Profesor del Departamento Académico de

Ingeniería Química de la Universidad

Nacional de San Antonio Abad del Cusco.

CUSCO – PERU

2010

(2)

________________________________________________________________

INDICE ANALITICO

Prólogo ix

Cap. 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS

1.1. Concepto General de Fluidos. 1

1.2. Propiedades de los Fluidos. 1

1.3. Regímenes de Flujo 5

1.4. Ley de la Viscosidad de Newton. 6

1.5. Estática de los Fluidos. 17

1.5.1 Ecuación Fundamental. 17

1.5.2 La Presión y sus Propiedades. 19

1.6. Manometría. 21

1.7. Cambios de Presión causado por la Traslación de Masas Líquidas 29 1.8. Cambios de Presión causado por la Rotación de Masas Líquidas. 36

Cap. 2: OPERACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES CON VECTORES.

2.1. Gradiente de un campo escalar. 49

2.2. Divergencia de Un Campo Vectorial. 54

2.3. Rotacional de un Campo Vectorial. 57

2.4. Integral de Vectores. 58

Cap. 3: CONSERVACION DE LA MASA

3.1. Campo de Velocidades.. 63

3.1.1. Método de Euler. 63

3.1.2. Método de Lagrange. 64

3.2. Campo de Aceleraciones. 67

3.3. Balance de Masa: Método Diferencial. 73

(3)

3.5. Perfil de Velocidades para Flujo Laminar. 93

3.6. Velocidad Media. 95

3.7. Distribución Universal de Velocidades. 96

Cap. 4: CONSERVACION DE LA ENERGIA

4.1. Balance de Energía Global en un Sistema Abierto. 117 4.2. Balance de Energía Mecánica a partir del

Balance Global de Energía. 127

4.3. Balance de Energía Mecánica a partir de la Ecuación de Euler. 128 4.4. Potencia para el Transporte de los Fluidos. 131

Cap. 5: CONSERVACION DEL MOMENTO

5.1. Conservación del Momento: Método Diferencial. 141 5.1.1. En Función de las Tensiones Cortantes. 141 5.1.2. En Función de los Gradientes de Velocidad. 144 5.2. Balance de Cantidad de Movimiento: Método Integral. 151

5.3. Aplicaciones a casos Particulares. 153

5.3.1. Codos. 153 5.3.2. Placas o Alabes. 163 5.3.3. Toberas. 176 5.3.4. Cohetes. 177 5.3.5. Jet. 178 5.3.6. Bomba de Fluido. 179 5.3.7. Turbinas. 181

Cap. 6: FLUJO DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES 6.1. Perdida de carga

6.1.1.1. Pérdida de Carga en una Tubería. 211

6.1.1.2. Pérdida de carga en accesorios. 212

6.2. Diámetro Equivalente. 213

6.3. Factor de Fricción para Fluidos Newtonianos. 216 6.4. Factor de Fricción para Fluidos no Newtonianos. 235 6.4.1. Factor de fricción – Plásticos de Bingham 235 6.4.2. Factor de fricción – fluidos de La ley de La potencia 236 6.5. Pérdida de Carga en Sistemas de Tuberías. 243

6.5.1. Sistema de tuberías en serie. 243

6.5.2. Sistema de tuberías en paralelo. 244

6.5.3. Sistema de tuberías ramificadas. 245

(4)

________________________________________________________________ Cap. 7: FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES

7.1. Condiciones Isotérmicas. 260

7.1.1. Sin pérdidas por fricción. 260

7.1.2. Con pérdidas por fricción. 261

A. En términos de las presiones 261

B. En términos del número de Mach 281

7.1.3. Velocidad máxima en conducto circular – Condiciones

Isotérmicas. 284

7.2. Condiciones Adiabáticas. 290

7.2.1. Sin pérdidas por fricción (isentrópicas) 290 A. Velocidad máxima de descarga bajo condiciones

Isentrópicas. 295

B. Tiempo de descarga critica o sonica bajo

Condiciones isentrópicas. 299 7.2.2. Con pérdidas por fricción (Adiabáticas e Irreversibles). 307

A. En términos de las presiones. 308

B. En términos del número de Mach. 312

7.2.3. Velocidad máxima en conducto circular bajo

Condiciones Adiabáticas. 313 7.3. Flujo Isentrópico y Adiabático a Través de Conductos de

Area Variable. 332

7.3.1. Velocidad de gases a través de una tobera,

bajo condiciones Isentrópicas. 333

7.3.2. Ondas de Choque Normal. 336

7.4. Sistemas de tuberías para fluidos compresibles 347

Cap. 8: EQUIPOS Y ACCESORIOS PARA EL TRANSPORTE DE FLUI-DOS

8.1. Bombas. 357

8.2. Clasificación. 357

8.2.1. Bombas Centrífugas. 358

8.2.2. Curvas Características de las Bombas Centrífugas. 358 8.2.3. Curva del Sistema y Punto de Operación. 359

8.2.4. Instalación de Bombas. 360

A. Bombas en Serie. 360

B. Bombas en Paralelo. 362

8.2.5. Cavitación y Golpe de Ariete de una Bomba. 371

8.2.6. Leyes de Semejanza de las Bombas. 378

8.2.7. Selección de las bombas centrifugas 378

(5)

8.3. Medidores de Flujo. 382

8.3.1. Medidores de Orificio. 382

8.3.2. Toberas. 387

8.3.3. Tubo de Venturi. 387

8.3.4. Tubo de Pitot. 388

8.3.5. Medidor Magnético de Flujo. 389

8.3.6. Medidor de Turbina. 390

8.4. Válvulas. 390

Cap. 9: FILTRACION

9.1. Ecuación de Ergun a través de medios porosos 397 9.2. Caída de Presión a través del medio poroso. 403 9.3. Filtración a Caída de Presión Constante. 407 9.4. Filtración a Flujo Volumétrico Constante. 407

Cap. 10: FLUIDIZACION

10.1. Comportamiento del Lecho Fluidizado. 413

10.2. Dinámica del Lecho Fluidizado. 414

10.2.1. Forma y Tamaño de las Partículas. 414

10.2.2. Fracción de Vacíos. 415

10.2.3. Caída de Presión en un Lecho Fluidizado. 415 10.2.4. Velocidad Mínima de Fluidización. 416

(6)

________________________________________________________________

CAP 1: CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS.

1.1 CONCEPTO GENERAL DE FLUIDOS.

Los fluidos tienden a fluir espontáneamente. Deben ser almacenados en contenedores para prevenir su movimiento hacia otros lugares, en contraste con los sólidos que no necesitan ser almacenados. El volumen de los líqui-dos es conservado cuando es transportado de un lugar a otro, pero los ga-ses siempre se expanden para llenar el depósito, debido al movimiento libre de sus moléculas. Los fluidos no tienen la habilidad de mantener una forma independiente de sus alrededores. Esta propiedad de los fluidos es una consecuencia directa de su incapacidad de sus fuerzas intermoleculares para mantener una orientación angular de sus moléculas con respecto a otras. Las moléculas de los fluidos que están cercanas unas a otras en un instante pueden moverse de un lugar a otro con relativa facilidad.

Muchos fluidos son mezclas de especies químicas, tal como el aire el cual es compuesto por nitrógeno, oxígeno y trazas de otros componentes. Los líquidos pueden ser soluciones de soluto disuelto en un solvente, tal como el agua de mar.

1.2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS.

Densidad.- La densidad de un fluido es la relación de la masa de un fluido en un elemento fluido a su volumen. Al identificarse un elemento fluido co-mo un volumen infinitesimal, la densidad puede ser considerado coco-mo una función continua de la posición dentro del campo fluido. La ecuación que lo representa es la siguiente:

=

3

m

kg

V

m

ρ

(1.1)

La densidad de un fluido afecta su flujo en dos formas. Primero, cuando está sujeta a una fuerza, determina la inercia de una unidad de volumen del fluido y de aquí su aceleración. Los fluidos de densidad baja, tales como los gases, aceleran más rápidamente que los fluidos de densidades elevadas, como los líquidos. Así, los fluidos de densidad baja como el aire requieren menos fuerza por unidad de volumen para acelerar que los fluidos de densi-dad elevada, como el agua. Por esta razón es más difícil caminar por el agua que en el aire. En forma similar, la fuerza de gravedad por unidad de volumen es determinado por la densidad del fluido. Se requiere más trabajo para impulsar un volumen de agua que volumen igual de gas.

(7)

La densidad de un líquido es una función de su temperatura y presión. Bajo presión constante, a medida que la temperatura se incrementa su densidad disminuye, debido a que la masa constante del fluido se expande con el incremento de la temperatura. Bajo temperatura constante, cuando la pre-sión se incrementa la densidad crece. En gases, estos cambios son más acentuados que para líquidos.

La densidad para gases, asumiendo comportamiento ideal (presión at-mosférica o cerca de ella)

PV

=

nRT

, es igual a:

)

( pm

RT

P

=

ρ

ó

T

R

P

'

=

ρ

(1.2)

Donde: P = Presión (Pa) V = Volumen (m3 )

T = Temperatura (K)

R = Constante Universal de los gases,

)

/(

'

R

pm

R

=

kmol

K

Pa

m

R

=

8314

3

kmol

K

kPa

m

kmol

K

kJ

gmol

K

J

R

=

=

=

8

.

314

3

gmol

K

Atm

lts

R

= 082

0

,

gmol

K

cal

lbmol

R

Btu

R

=

=

1

,

987

0

lbmol

R

psia

pie

R

°

=

10

,

73

3

lbmol

R

kWh

R

°

=

−4

10

*

83

,

5

lbmol

R

Hph

R

°

=

−4

10

*

82

,

7

La densidad para gases, asumiendo comportamiento real

PV

=

ZnRT

, es igual a:

)

( pm

ZRT

P

=

ρ

ó

T

ZR

P

'

=

ρ

(1.3)

(8)

________________________________________________________________ • tarse en una, dos o más fases. Cuando se transporta en una fase, se

dice que el sistema es homogéneo (gas o líquido) y si se transporta en dos o más fases se dice que el sistema es heterogéneo (aire + partícu-las de carbón).

• Estable o estacionario (permanente) e Inestable o transitorio: El flujo de los fluidos se considera estable o estacionario cuando la veloci-dad, densiveloci-dad, temperatura y/o concentración (en un volumen de con-trol) permanece constante a lo largo del tiempo. Caso contrario, se de-nomina inestable cuando las variables, arriba mencionadas, varían co-mo una función del tiempo.

• Newtoniano y No Newtoniano: Los fluidos pueden comportarse de acuerdo a la ley de Newton de la Viscosidad o tener otro comportamien-to como el de Pseudoplasticos, etc.

• Isentrópico: De acuerdo a la termodinámica, significa que no hay cam-bio de entropía, es decir Δs = 0.

• Isotérmico: El fluido puede circular bajo condiciones isotérmicas, es decir que este, se mantiene a temperatura constante.

• Adiabático: Los fluidos que se transportan en tuberías pueden adquirir energía del medio que los rodea o cederlas a esta. Cuando esta energía es igual a cero,

=

0

q

, se dice que el proceso de transporte es adiabá-tico.

• Subsónico, sónico y supersónico: Los fluidos pueden alcanzar las velocidades del sonido (Ma = 1, crítico), velocidades mayores de la ve-locidad del sonido (Ma > 1; supersónicos) ó veve-locidades menores del sonido (Ma < 1; subsónicos).

1.4 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON

.

Considerar dos placas paralelas de área A, separadas con distancia Yo, ver Fig 1.1. El espacio entre las placas esta lleno de un fluido, la placa inferior permanece fija y la superior libre. Sobre la placa superior actúa una fuerza F constante, haciendo desplazar a una velocidad Vo, Se asume que el fluido esta dividido en placas infinitesimales de espesor dy paralelas a las placas. Por lo que, la capa de fluido en contacto con la placa móvil tiene la misma velocidad Vo y la capa de fluido en contacto con la laca fija se man-tiene en reposo. Las capas del fluido intermedias se desplazan unas sobre las otras.

(9)

(b) Como en el caso anterior los valores de To y μo son 300 y 2,27E-05 respectivamente. Acomodando los datos experimentales y empleando los mínimos cuadrados del error, el resultado es el siguiente:

)

83

,

142

(

)

83

,

442

(

)

300

/

(

05

27

,

2

5 , 1

+

=

i i

T

T

E

μ

0.00E+00 5.00E-06 1.00E-05 1.50E-05 2.00E-05 2.50E-05 3.00E-05 3.50E-05 4.00E-05 4.50E-05 5.00E-05 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 T/To visco s id a d , P a -s

1.5 ESTATICA DE FLUIDOS

Un fluido estático es aquel que no se mueve, por ejemplo; agua almacenada en un reservorio, gasolina en un tanque de combustible, propano bajo pre-sión en un balón de gas. Las fuerzas que actúan sobre estos fluidos se mantienen en balance y no realizan movimiento.

1.5.1. ECUACION FUNDAMENTAL.

Para determinar la ecuación fundamental de la estática de los fluidos, con-sideremos un elemento de estudio de volumen infinitesimal dx, dy, dz, en coordenadas cartesianas, sujeta a dos tipos de fuerzas tal como se muestra en la Fig. 1.3.

La primera, conocida como esfuerzo o tensión (en ingles como stress) que depende de la posición de una molécula a la superficie (conocida como presión) y del movimiento relativo de estas moléculas (esfuerzo viscoso).

(10)

________________________________________________________________ Como el elemento en estudio se encuentra en reposo el esfuerzo se debe únicamente a la acción de la presión.

Si a este elemento en estudio se aplica el concepto de fuerza (presión por área) en cada una de las caras del volumen infinitesimal, obtenemos el si-guiente esquema:

Fig. 1.3: Fuerzas debido a la presión en un volumen infinitesimal.

La presión esta expresado en Pascal (N/m2) y el diferencial de área (ejm dydz) en m2, de donde la fuerza resultante del producto presión por área

esta expresado en Newtons (N).

La suma de fuerzas, perpendiculares al área, de un líquido en reposo en cada una de las direcciones es igual a la fuerza que entra menos la fuerza que sale, así:

(

)

F

=

Pdydz

P

+

∂∂

dx

dydz

=

∂∂x

dxdydz

P

x P

x (1.12a)

(

)

F =PdxdzP+∂∂ dydxdzgdxdydz=−∂∂ydxdydzgdxdydz

P y

P

y ρ ρ (1.12b)

(

)

F

=

Pdxdy

P

+

∂∂

dz

dxdy

=

∂∂z

dxdydz

P

z P

z (1.12c)

De donde, la suma total de las fuerzas debido a la presión y la gravedad estará expresado por:

F

T

=

F

x

+

F

y

+

F

z

(

)

=

+

+

∂ ∂ ∂ ∂

dxdydz

gdxdydz

F

Pz y P x P T

ρ

(1.13)

(11)

Fig. 1.4: Esquema de la relación entre las presiones atmosférica, relativa y absoluta

La presión media normal, conocida como atmósfera estandar, a 0 ºC y en el nivel del mar es de:

1 Atmósfera 1,033 kgf/cm2 760 mm de Hg. 10,33 m de H2O 14,7 lbf/plg2 101,3 kPa 1,0 bar

1.6. MANOMETRIA

.

Conocido también como medida de las presiones, pueden determinarse por medio de:

• Tubos piezométricos, que son tubos transparentes de vidrio o plástico, económico y de gran presición. Se emplean para medir presiones rela-tivamente pequeñas. El fluido manométrico es el mismo fluido que circu-la por circu-la tubería, por eso circu-la denominación de altura de columna de flui-do. Si el fluido que circula es agua la lectura se realiza en metros o centímetros de columna de agua; si el fluido es aceite la lectura se reali-za en metros o en centímetros de columna de aceite.

Manómetros de líquido en U.- Al igual que el piezómetro sirven para medir la presión relativa. Estos medidores de presión emplean gran varie-dad de líquidos manométricos como mercurio, agua, alcohol, glicerina etc. que, son

(12)

________________________________________________________________

1.7 CAMBIOS DE PRESION CAUSADO POR LA

TRASLA-CION DE MASAS LIQUIDAS

.- Hasta el momento se ha considerado que el nivel del fluido se encontraba en reposo para el calculo de las presio-nes o que podía estar en movimiento uniforme sin ninguna aceleración. Sin embargo cuando el fluido se encuentra en depósitos y estos en movimiento se observa que el líquido va tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración del sistema. El movimiento de traslación de las masas líqui-das puede realizarse en forma horizontal o vertical.

Para su estudio supondremos a un recipiente con cierta cantidad de liquido que se mueve con movimiento de traslación hacia arriba en un plano incli-nado con una aceleración constante “a “ (Fig. 1.5). Durante el movimiento se forman los planos de presión constante, paralelas entre si, formando un ángulo de inclinación θ. Si realizamos el estudio de fuerzas sobre una partícula A observaremos que se encuentra en equilibrio. Las fuerzas que intervienen son; la fuerza de la presión Fp normal a la superficie libre, el peso W (W =m·g) de la partícula y la fuerza de la aceleración que actúa sobre la partícula del fluido, tal como se muestra en la figura 1.5:

Fig. 1.5: Diagrama vectorial de traslación de masas líquidas.

Del diagrama vectorial: En la dirección x:

Fx

=

Fp

cos(

90

θ

)

Fx

=

0

θ

θ

Fpsen

Fp

Fx

=

cos(

90

)

=

En la dirección y:

Fy

=

Fpsen

(

90

θ

)

W

Fy

=

0

θ

θ

)

cos

90

(

Fp

Fpsen

W

Fy

+

=

=

(13)

1.8. CAMBIOS DE PRESION CAUSADO POR LA

ROTA-CION DE MASAS LIQUIDAS

Supongamos un recipiente cilíndrico, vertical, que esta lleno de un líquido hasta cierta altura; si se hace girar dicho cilindro alrededor del eje vertical con una velocidad angularω, la superficie libre del líquido cambiara, for-mándose los perfiles de presión constante de forma parabólica, tal como se muestra en la figura 1.6:

Fig. 1.6: Diagrama vectorial de rotación de masas líquidas.

El estudio de la partícula A, diagrama vectorial, muestra el equilibrio. En la dirección x, la fuerza centrífuga es igual al componente en la dirección x de la fuerza de la presión. En la dirección y, el componente de la fuerza de la presión es igual al peso, así:

Dirección x:

Fx

=

Fp

cos(

90

θ

)

+

Fc

=

0

c

ma

Fp

)

cos(

90

− )

=

(

θ

c

ma

sen

Fp

)

θ

=

(

Dirección y:

Fy

=

(

Fp

)

sen

(

90

θ

)

W

=

0

W

sen

Fp

)

(

90

− )

=

(

θ

mg

Fp

)

cos

θ

=

(

Dividiendo las ecuaciones anteriores:

g

r

dr

dy

tan

2

ω

θ

=

=

(1.27)

(14)

________________________________________________________________ Integrando:

(15)

PARTE II: DINAMICA DE LOS FLUIDOS

CAP 2: OPERACIONES DIFERENCIALES E

INTE-GRALES CON VECTORES

Muchos autores sobre la mecánica de fluidos emplean los vectores en la explicación del movimiento de los fluidos. La posición, velocidad y acelera-ción de una partícula fluida, así como las fuerzas que actúan sobre este son cantidades vectoriales. El balance de la masa, momento y energía de una partícula fluida son expresados utilizando las formas vectoriales

El operador diferencial denominado “NABLA” ha sido definido en coordena-das cartesianas por la ecuación (1.15) como:

z

k

y

j

x

i

+

+

=

, (longitud)-1

Tiene componentes igual que un vector, no puede estar solo sino que ha de operar sobre una función escalar, vectorial o tensorial.

2.1 GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

.

Si P es un campo escalar, el gradiente de P estará expresado por un vec-tor, ecuación (1.16):

z

P

k

y

P

j

x

P

i

GradP

P

+

+

=

=

Para la operación del gradiente es preciso tener en cuenta las siguientes propiedades: 1.-

P

P

2.-

(

P

)

Q

(

PQ

)

3.-

(

P

+

Q

)

=

P

+

Q

4.-

(

PQ

)

=

P

Q

+

Q

P

5.-

(

α )

P

=

α

P

(16)

________________________________________________________________

2.2 DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

Si el vector

v

es una función de las variables espaciales x, y, z puede formarse un producto vectorial con el operador nabla :

z y x

j

v

k

v

v

i

v

=

+

+

z

k

y

j

x

i

+

+

=

)

(

)

(

iv

x

jv

y

kv

z

z

k

y

j

x

i

v

+

+

+

+

=

z

v

y

v

x

v

v

x y z

+

+

=

(2.1)

Las propiedades del operador divergente son: 1.-

v

v

2.-

(

P

v

)

(

P

v

)

3.-

(

v

+

u

)

=

v

+

u

4.-

(

φ

u

)

=

(

φ

)

u

+

φ

(

u

)

5.-

(

v

x

u

)

=

u

(

x

v

)

v

(

x

u

)

Interpretación.- Si la diferencial de volumen de un fluido sufre un estiramiento o una compresión paralela a los ejes coordenados, entonces la variación del volumen

V = xyz, es:

dt

dz

xy

dt

dy

xz

dt

dx

yz

dt

dV

+

+

=

1

si

x

=

y

=

z

=

dt

dz

dt

dy

dt

dx

dt

dV

=

+

+

(A)

(17)

2.3 ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

El rotacional de una función vectorial denotado por

x

v

, es el vector:

=

=

z y x

v

v

v

z

y

x

k

j

i

v

x

k v y v x j v z v x i v z v y x y z z y z ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (2.3)

Análogo a la divergencia cumple la propiedad distributiva, pero no la conmu-tativa ni la asociativa. Otras propiedades son:

1.-

x

(

f

+

g

)

=

x

f

+

x

g

2.-

x

(

φ

f

)

=

(

φ

)

x

f

+

φ

(

x

f

)

3.-

x

(

f

x

g

)

=

f

(

g

)

g

(

f

)

+

(

g

)

f

(

f

)

g

4.-

x

(

φ

)

=

0

Interpretación.- Supongamos que un fluido rota alrededor de un eje que

pasa por el origen, tal como se muestra en la Fig-2.2, con una velocidad angular ϖ constante. La velocidad lineal en un punto r (x,y,z) es:

Fig. 2.2: Rotacional de un campo vectorial.

r

x

v

=

ω

; por lo tanto el rotor será igual a:

)

(

x

r

x

v

x

=

ω

(18)

________________________________________________________________

2.4 INTEGRAL DE VECTORES.

En la mecánica de fluidos a veces es conveniente expresar las leyes de la conservación en la forma integral. Hay tres tipos de integrales usados para este propósito: Integrales de línea, área y volumen. Existen relaciones entre las integrales de línea superficie y volumen de ciertas cantidades vectoria-les.

A.- TEOREMA DE GAUSS.

Para una función escalar “a” cualquiera, la ecuación vectorial conocida como teorema de Gauss es igual a:

∫∫

∫∫∫

=

S

V

a

(

dV

)

a

n

(

dS

)

(2.4)

Donde el elemento de volumen es designado por dV (dx, dy, dz) y el ele-mento de superficie por dS. El vector

n

es el vector normal unitario a la superficie S.

B.- TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

Para una función vectorial “A” cualquiera, la ecuación escalar conocida como teorema de la divergencia es igual a.

∫∫

∫∫∫

=

S

V

A

(

dV

)

A

n

(

dS

)

(2.5)

C.- TEOREMA DE STOKES.

Es una ecuación escalar que relaciona las integrales de línea y de superfi-cie:

∫∫

=

c

S

n

(

xA

)

dS

A

dc

(2.6)

Aquí (dc) es el elemento vector línea de la curva cerrada C y

n

es el vector normal unitario a la superficie S encerrado por la curva C.

En la mecánica de fluidos algunos ejemplos del uso de las ecuaciones ante-riores son: la fuerza neta causada por la presión sobre un elemento de flui-do:

∫∫∫

(

P)

n

dV

. Ecuación equivalente a la Ec.(1.13). Y el eflujo neto a través de una superficie imaginaria dado por:

(19)
(20)

________________________________________________________________

CAP 3: CONSERVACION DE LA MASA

3.1 CAMPO DE VELOCIDADES.

El estudio del movimiento de las partículas, que origina el campo de veloci-dades, en la dinámica de los fluidos se realiza desde dos puntos de vista, uno conocido como el método de Euler y el otro como el método de

Lagran-ge

3.1.1 METODO DE EULER.- Consiste en fijar las coordenadas o el punto (X, Y, Z) a través del cual pasaran un rosario continuo de partículas en dis-tintas direcciones. Significa que el observador (0) se mantiene en una posi-ción fija a una distancia

r

del punto por donde pasan las partículas en es-tudio. La velocidad de las partículas del fluido v es una función de la posi-ción r y el tiempo t ;

v

=

v

x

i

+

v

y

j

+

v

z

k

=

f

( t

r

,

)

;

r

=

X

i

+

Y

j

+

Z

k

En el Método Euleriano otras variables físicas de interés, tales como la pre-sión y la densidad son considerados como función de la posición y del tiem-po, tal como se muestra en la figura 3.1:

Fig. 3.1: Método de Euler

Como un ejemplo consideremos la velocidad de cambio de la densidad de una partícula fluida que esta ubicada en la posición r al tiempo t. Durante el intervalo de tiempo dt, la partícula se mueve una cantidad

vdt

r

d

=

. El incremento total de la Ecuación Ecuación conocida como la derivada sustancial.

3.1.2 METODO DE LAGRANGE.- Significa que para estudiar una partícu-la del fluido, se debe de seguir a dicha partícupartícu-la en su movimiento. Esto significa que X, Y, Z no permanecerán constantes sino que variarán de

(21)

for-ma continua, dando en cada instante la posición de la partícula, tal como se muestra en la figura 3.2:

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

3 2 1

t

z

y

x

f

Z

t

z

y

x

f

Y

t

z

y

x

f

X

=

=

=

Fig. 3.2: Método de Lagrange.

Donde las velocidades en cada una de las direcciones son funciones del espacio y del tiempo. Recordando que las variables de flujo de interés son la velocidad, densi-dad, presión etc.

]

),

(

),

(

),

(

[

x

t

y

t

z

t

t

f

t

X

v

X

=

=

]

),

(

),

(

),

(

[

x

t

y

t

z

t

t

f

t

Y

v

Y

=

=

]

),

(

),

(

),

(

[

x

t

y

t

z

t

t

f

t

Z

v

Z

=

=

La trayectoria de una partícula se le conoce como línea de corriente. Las líneas de corriente nunca se intersecan unas con otras porque, en cualquier punto, solamente puede haber una dirección de la velocidad. Un infinito número de líneas de corriente representa a un campo de flujo. La tangente en cada punto a lo largo de la línea de corriente y en cualquier instante de tiempo t es la velocidad

(22)

________________________________________________________________

3.2 CAMPO DE ACELERACIONES

.

Por definición se conoce que la aceleración es igual a la variación de la velocidad como una función del tiempo. Para el estudio de una partícula de fluido, en un campo de aceleraciones, se emplea el método de Lagrange. Por lo tanto la aceleración se expresa así:

+

⎟⎟

⎜⎜

+

+

=

=

t

v

dt

dz

z

v

dt

dy

y

v

dt

dx

x

v

dt

t

z

y

x

dv

a

(

,

,

,

)

+

⎟⎟

⎜⎜

+

+

=

=

t

v

z

v

v

y

v

v

x

v

v

Dt

Dv

a

x y z (3.2a)

Donde al primer miembro del lado derecho de la aceleración se le conoce como la Aceleración de transporte o Aceleración convectiva y al segun-do miembro se le conoce como la Aceleración local.

En forma vectorial:

( )

v

v

t

v

Dt

v

D

+

=

(3.2b)

Las ecuaciones escalares correspondientes a la aceleración, en el sistema cartesiano son:

+

⎟⎟

⎜⎜

+

+

=

t

v

z

v

v

y

v

v

x

v

v

a

x x z x y x x x (3.3a)

⎟⎟

⎜⎜

+

⎟⎟

⎜⎜

+

+

=

t

v

z

v

v

y

v

v

x

v

v

a

y x y y y z y y (3.3b)

+

⎟⎟

⎜⎜

+

+

=

t

v

z

v

v

y

v

v

x

v

v

a

z z z z y z x z (3.3c)

Si el movimiento de la partícula de fluido se realiza bajo condiciones esta-cionarias, el segundo componente de la aceleración es igual a cero, así:

(23)

Para obtener la ecuación de continuidad por el método diferencial aplicare-mos el balance de masa a un elemento diferencial de volumen (dx,dy,dz) de un fluido que se encuentra en movimiento, tal como se muestra en la Fig.3.3:

El balance de masa, sin reacción química, esta definido por la expresión general:

[flujo que entra] – [flujo que sale] = [acumulación] (3.5)

Efectuando la diferencia de las ecuaciones del flujo de masa que entra y el flujo de masa que sale, obtenemos:

Fig. 3.3: Volumen de control para la ecuación de continuidad.

dxdydz

v

dydz

dx

v

v

dydz

v

x

:

ρ

x

(

)

[

ρ

x

+

x

(

ρ

x

)

]

=

x

(

ρ

x

)

(3.6a)

dxdydz

v

dxdz

dy

v

v

dxdz

v

y

:

ρ

y

(

)

[

ρ

y

+

y

(

ρ

y

)

]

=

y

(

ρ

y

)

(3.6b)

dxdydz

v

dxdy

dz

v

v

dxdy

v

z

:

ρ

z

(

)

[

ρ

z

+

z

(

ρ

z

)

]

=

z

(

ρ

z

)

(3.6c) la acumulación es igual a:

(dxdydz

)

t

∂ρ

. Reemplazando en la ecuación general se tiene la expresión de la ecuación de continuidad, así:

0

)

(

=

+

v

Dt

D

ρ

ρ

(24)

________________________________________________________________

3.4 BALANCE DE MASA: METODO INTEGRAL

Para aplicar el principio de la conservación de la masa en un sistema, se elige un elemento diferencial de estudio representativo del sistema, cuyo volumen es denominado volumen de control (VC) y es limitado por la super-ficie de control (SC). Si a través de la supersuper-ficie de control se hace circular un fluido, tal como se muestra en la Fig-3.4:

El balance de masa para el sistema en estudio se expresará como:

∫∫∫

∫∫

+

=

⎥⎦

⎢⎣

VC sc sistema

dV

t

dA

n

v

dt

dm

ρ

ρ

)

(

(3.14)

La ecuación 3.14 indica que “la variación de la masa, del sistema en

estu-dio, como una función del tiempo es igual al eflujo neto de masa a través de la superficie de control más la variación del cambio de masa para un volu-men de control.”

Fig. 3.4: Volumen de control.

El sistema es el universo en el que cualquier variación de la masa en el volumen de control no le afecta, es decir que la masa en el sistema perma-nece constante. Entonces la ecuación (3.14) se expresa como:

0

)

(

=

+

∫∫∫

∫∫

VC sc

dV

t

dA

n

v

ρ

ρ

(3.15a) ó

(25)

∫∫∫

∫∫

=

VC sc

dV

t

dA

n

v

ρ

ρ

(

)

(3.15b)

La ecuación (3.15b), aplicable a sistemas continuos, discontinuos, significa que el eflujo neto de masa a través de la superficie de control es igual a la disminución de la masa que ocupa el volumen de control por unidad de tiempo.

Para los sistemas continuos, si el volumen de control en estudio permanece constante, no hay acumulación de la masa (∂m/∂t) = 0, es decir que si el volumen V es constante, entonces (∂ρ/∂t) = 0. A este fluido se le conoce como permanente. Luego, la ecuación de la conservación de la masa que-da expresaque-da como:

0

)

(

=

∫∫

sc

dA

n

v

ρ

(3.16a)

Para un fluido de densidad constante o incompresible:

0

)

(

=

∫∫

sc

dA

n

v

ρ

(3.16b)

Aplicando la ecuación anterior a un fluido que circula en una sección tubu-lar, obtenemos:

0

)

(

)

(

)

(

2 2 2 2 1 1 1 1

+

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

v

n

dA

v

n

dA

v

n

dA

sc

ρ

ρ

ρ

2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1

cos

180

º

cos

0

º

0

A

v

A

v

A

v

A

v

ρ

ρ

ρ

ρ

=

=

+

Para un fluido incompresible ρ = constante, por lo tanto la ecuación se re-duce a la conservación de volumen o ecuación de continuidad.

EJEMPLO 3.13: Acumulación de fluido.

El flujo volumétrico de la alimentación (agua) hacia el depósito cónico, Q1,

se mantiene constante. El flujo volumétrico Q2 de la descarga es una

fun-ción de la raíz cuadrada de la altura h e igual a

α

h

. En el tiempo inicial, el depósito se encuentra vacío.

(26)

________________________________________________________________ (a) Hallar la ecuación diferencial que determine la variación de la altura de

agua en el depósito por unidad de tiempo.

(b) Realice un programa en LabVIEW para la solución de la ecuación re-sultante. Muestre el efecto de la variación del flujo volumétrico y de la constante alfa en el rango de 1 a 10, sobre la altura del líquido en el depósito.

SOLUCION:

(b) Un programa en LabVIEW nos permite mostrar lo siguiente:

Manteniendo constante los valores de D, H, ho, en 2, 6 y 4 m

respectiva-mente; Q1 en 0,1 m3/s, α en 0,05. La altura del líquido permanece constante

en 4m, esto es así porque el flujo volumétrico de entrada es exactamente igual al flujo volumétrico de salida.

Ligeros cambios en la altura inicial incrementa o disminuye la altura del flui-do en el tanque hasta alcanzar su estabilidad en 4 m.

(27)

Si se disminuye el flujo volumétrico hasta 0,024 m3/s, manteniendo

constan-te las otras condiciones, el nivel del fluido disminuye hasta alcanzar una estabilidad, sin embargo la disminución del flujo hasta 0,022 m3/s el compor-tamiento del nivel del fluido se mantienen en una condición de cuasi estabi-lidad.

(28)

________________________________________________________________

Si se incrementa la constante α hasta 0,17, manteniendo constante las otras condiciones, el nivel del fluido disminuye hasta alcanzar la estabilidad en una altura de 0,5 m. y un tiempo de 40 s. A mayores valores de α el compor-tamiento es inestable o descarga total.

(29)

Los tanques de almacenamiento intermedios son empleados entre unidades de proceso químico para la transferencia de corrientes de gas. Considerar el tanque de la figura donde F1 y F2

son los flujos molares de entrada y salida que varían de acuerdo a la siguiente expresión:

i i

i

K

P

F

=

(

Δ

)

(a) Desarrollar un modelo que des-criba la variación de la presión en el tanque con el tiempo, en

función de las presiones en las corrientes de entrada P1 y salida P2,

vo-lumen y temperatura.

(b) Solucionar el modelo resultante mediante las transformadas de Lapla-ce.

(c) Realice un programa en LabVIEW para la solución de la ecuación re-sultante. Muestre el efecto de la variación de las presiones 1 y 2 y el cambio de la temperatura sobre la presión en el tanque.

SOLUCION:

(c) La solución de la ecuación diferencial resultante en (a), mediante la pro-gramación en LabVIEW es la siguiente:

Para un volumen y temperatura constante de 25 lt y 300 K, cuando las pre-siones de entrada, inicial y descarga se mantienen en 15, 1 y 0,7 atm., res-pectivamente; la presión en el tanque alcanza el nuevo estado estacionario en 8 atm, y en un tiempo de 175 s.

(30)

________________________________________________________________ EJEMPLO 3.20: Balance en Reactores CSTR en serie.

Los reactores continuos de tanque perfectamente agitado (CSTR) en serie, son empleados en la industria de proceso químico para reacciones en fase líquida. Si, en el sistema mostrado en la figura, se efectúa una reacción de primer orden (

r

A

=

kC

A; kmol/m3-s) de acuerdo a

A

B

. Desarrollar: (a) Las ecuaciones

diferencia-les del modelo matemático que describa la variación de la concentración de A y B en los reactores 1 y 2.

(b) Presentar una solución de las ecuaciones anteriores para las condiciones de CAo = 1

kmol/m3, Q0 = 0,08 m3/s, QR =

0,02 m3/s, k = 0,06 s-1, varíe los volúmenes V1 y V2, para

las condiciones optimas de la concentración en la salida del

tanque 2, mediante la programación en LabVIEW. SOLUCION:

(31)

Las ecuaciones A, B, C y D son las ecuaciones del modelo que describen la variación de las concentraciones CA1, CB1, CA2 y CB2, como una función del

tiempo. La solución de estas ecuaciones efectuada, mediante métodos numéricos, con la programación en LabVIEW permite modificar los paráme-tros que intervienen en la reacción, obteniéndose en forma grafica los resul-tados de la concentración como una función del tiempo. El estudio de estos parámetros permite, inclusive, determinar el resultado óptimo de las concen-traciones sin necesidad de efectuar cálculos matemáticos muy complicados.

3.5 PERFIL DE VELOCIDADES PARA FLUJO

LA-MINAR

Consideremos que el líquido que fluye en régimen laminar, en un conducto circular, es incompresible, unidimensional y en estado estacionario y que se comporta de acuerdo a la ley de potencia. Del balance de fuerzas en el elemento de volumen de control, que se muestra en la Fig. 3.5, encontra-mos que:

(32)

________________________________________________________________ Se alimenta agua a un tanque

cilíndri-co cilíndri-con un flujo volumétricilíndri-co cilíndri-constante, Q1 m3/s. El tanque tiene un tubo en la

base, a través del que se descarga el agua, con flujo equivalente a Q2=k(h) -0,5.

La sección transversal del tanque es A y su altura H. Encuentre: (a) La ecua-ción diferencial de h en funecua-ción del tiempo. (b) La solución matemática mediante Laplace, suponiendo que h = H, cuando t = 0. (c) La simulación dinámica empleando métodos numéri-cos con la programación en LabVIEW. SOLUCION:

(c) La simulación dinámica de la ecuación de h(t) en el dominio del tiempo, empleando la Programación en LabVIEW, muestra los siguientes resulta-dos:

EJEMPLO 3.30: Ecuación de continuidad en sistema de tuberías. Determinar el flujo volumétrico y la velocidad media con que circula el agua en cada una de las tuberías. El flujo volumétrico de alimentación es de 30

(33)

lt/s, asuma que la densidad se mantiene constante y equivalente a 1000 kg/m3, los diámetros internos de las tuberías son iguales a 10 cm.

(34)

________________________________________________________________

CAP 4: CONSERVACION DE LA ENERGIA

4.1 BALANCE DE ENERGIA GLOBAL EN UN SISTEMA

ABIERTO.

Consideremos inicialmente a un elemento diferencial de volumen como sistema de estudio, para quien el balance de energía global es igual a:

∫∫∫

∫∫

+

=

VC SC SISTEMA

dV

e

t

dA

n

v

e

Dt

DE

ρ

ρ

)

(

(4.1)

Esta ecuación es conocida con el nombre de “Transporte de Reynolds”, nos indica que la derivada sustancial de la energía es igual al eflujo neto de energía a través de la superficie de control, más la velocidad de cambio de la energía dentro del volumen de control en el mismo momento. Si el siste-ma global de energía persiste-manece constante, la ecuación se establece como:

∫∫

∫∫∫

=

VC SC

dV

e

t

dA

n

v

e

ρ

(

)

ρ

(4.2a)

Indica que bajo condiciones de estado no estacionario, el eflujo neto de la energía es igual a la variación de la energía en el interior del volumen de control.

Para un sistema abierto, con admisión y/o eliminación de energía, la ecua-ción del balance de la energía en estado no estacionario se escribe como:

• •

±

±

=

∫∫∫

∫∫

e

dV

q

W

t

dA

n

v

e

VC SC

ρ

ρ

(

)

(4.2b)

Ahora consideremos a un sistema estacionario, en el que no existe varia-ción de la velocidad de la energía dentro del volumen de control. La super-ficie de control para el balance de energía es permeable, es decir, que exis-te energía adicionada o eliminada del sisexis-tema como trabajo de eje o calor. La ecuación del balance de energía global, en el sistema de la Fig 4.1, se escribe como: ' 2 ' 2 s D dx Q W D v f gdz vdv dP

δ

δ

ρ

+ + + =± ± (4.10)

(35)

EJEMPLO 4.1: Variación de la temperatura en un tanque discontinuo. Para el tanque de calentamiento discontinuo, sin pérdidas de

calor (aislado), que se encuentra perfectamente mezclado, mostrar: (a) La ecuación diferencial que muestre la variación de la temperatura como una función del tiempo. (b) La solu-ción numérica mediante LabVIEW.

SOLUCION:

(b) Empleando la programación con LabVIEW se presenta la solución en modo grafico de los resultados, así:

EJEMPLO 4.3: Variación de la temperatura en un tanque con chaqueta de calentamiento.

El tanque que se muestra en la figura utiliza como sistema de calentamiento una chaqueta de vapor con temperatura Tv y flujo constante. El coeficiente y área de transferencia de calor para la chaqueta es igual a U (Kcal/m2-K-s) y A (m2) Los flujos de alimentación y descarga son continuos, se encuentra perfectamente mezclado. El volumen y la temperatura iniciales en el tanque son iguales a Vo y To respectivamente. La temperatura de alimentación, T1,

se mantiene constante.

(c) Efectúe un programa en LabVIEW para la simulación en forma dinámica de los efectos de flujo y temperatura de alimentación, coeficiente global de transmisión de calor sobre la temperatura a la salida del tanque. Muestre la (c) Mediante la programación con LabVIEW

(36)

________________________________________________________________

4.2 BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA A PARTIR DEL

BALANCE GLOBAL DE ENERGÍA.

Los fluidos incompresibles son los que mantienen su densidad constante o sufren pequeños cambios con la presión. Los líquidos generalmente son considerados como fluidos incompresibles o de volumen constante. Los gases bajo presión atmosférica o bajo pequeños cambios de presión tam-bién son considerados incompresibles.

Si consideramos a un fluido incompresible que circula a través de la tubería bajo condiciones de estado estable, sin transporte de energía del sistema o hacia el sistema, sin trabajo de eje y unidireccional, tal como se muestra en la Fig. 4.3, el balance de energía global (Ec. 4.10) se convierte en el BA-LANCE DE ENERGIA MECANICA conocida también como la ECUACIÓN

DE BERNOULLI y se expresa así:

0 2 2 = + + + dx D v f gdz vdv dP D

ρ

;

masa

energía

(4.11a) Integrando de 1 a 2:

(37)

z

P

z

v

v

y

v

v

x

v

v

t

v

z z z y z x z

=

+

+

+

ρ

1

(4.16c) Como el elemento diferencial en estudio se encuentra estático, entonces (vx

= vy = vz = 0). Multiplicando las ecuaciones (4.16) por las derivadas dx, dy ó

dz respectivamente, obtendremos:

dx

x

P

dx

dt

dv

x

=

ρ

(4.17a)

gdy

dy

y

P

dy

dt

dv

y

ρ

ρ

=

(4.17b)

dz

z

P

dz

dt

dv

z

=

ρ

(4.17c)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones (4.17) y sabiendo que vx =

dx/dt , vy =dy/dt, vz=dz/dt . Obtendremos: gdy dz z P dy y P dx x P dv v dv v dv vx x y y z z

ρ

ρ

⎟⎟− ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = + + ) ( (4.18)

Diferenciando el primer miembro de la ecuación y sabiendo que la derivada

total de P es igual: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = dz z P dy y P dx x P dP y reemplazando en (4.18), tendremos:

0

=

+

+

vdv

gdy

dP

ρ

(4.19)

Integrando entre los límites 1 y 2 de acuerdo a la fig.4.3, y dividiendo la ecuación resultante entre g (si altura y = z) se obtiene la ECUACIÓN DE BERNOULLI sin pérdida por fricción en metros de columna de fluido:

2 2 2 2 1 2 1 1

2

2

g

z

v

g

P

z

g

v

g

P

+

+

=

+

+

ρ

ρ

(4.20)

4.4 POTENCIA PARA EL TRANSPORTE DE LOS FLUIDOS

Las bombas, compresores, soplantes y ventiladores son los equipos que se emplean para hacer que los fluidos (que pueden ser líquidos, gases o sóli-dos fluidizasóli-dos) circulen por los tubos para ser transportasóli-dos de un lugar a otro.

(38)

________________________________________________________________ El agua de un gran depósito, abierto a la atmósfera como se muestra en la Fig., es bombeada y expulsada en forma de chorro libre mediante boquillas intercambiables desde 0,01 hasta 0,08 m, de diámetro interno.

(a) ¿Cuál es la potencia en Hp requerido por la bomba, para cada boquilla, para lanzar el fluido una distancia máxima de 10,2 m.?

(b) ¿Cual es la altura, longitud máxima y flujo volumétrico para cada boqui-lla, si la potencia de la bomba es de 2 Hp?

SOLUCION:

4.4.2 PARA GASES: COMPRESORES.

Asumiendo que el comportamiento del gas es ideal y que la compresión es isentrópica, el trabajo del compresor (en energía por unidad de masa) efec-tuado sobre el gas se obtiene a partir de la ecuación del balance global de

(39)

energía Ec. (4.10), despreciando las pérdidas por fricción y la energía po-tencial: ' s W vdv dP

δ

ρ

+ = ; considerando que k P P !/ 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =ρ ρ E S ideal C

E

E

W

,

=

(4.25)

2

2

1

'

1

2 1 2 2 1 1 2 1 ,

v

v

P

P

T

R

k

k

W

k k ideal C

+

⎟⎟

⎜⎜

=

− (4.26) Si la velocidad en la entrada es igual a la velocidad a la salida, el trabajo del compresor en energía por unidad de masa, será:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − 1 1 1 1 2 1 1 , k k Ideal C P P P k k W ρ (4.27) ó ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − 1 ' 1 1 1 2 1 , k k Ideal C P P T R k k W (4.28)

La potencia, en energía por unidad de tiempo, para un flujo de masa •

m

de gas que circula por el compresor, será:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − • 1 ' 1 1 1 2 1 , k k Ideal C P P T R m k k P (4.29)

La potencia del compresor para N etapas de compresión, en energía por unidad de tiempo: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − • 1 ' 1 1 1 2 1 , Nk k Ideal C P P T R m k Nk P (4.30

Para la conversión de la potencia en Hp se emplea la equivalencia de: Joule/s = 1 watt; 1,341 Hp.= 1 kw

El trabajo real o trabajo actual del compresor se determina, al igual que en

el caso de las bombas, por la división del trabajo ideal o el cambio de en-talpía ideal bajo las condiciones de entrada y salida del gas como se obser-va en la Fig. 4.4 y la eficiencia del compresor:

(40)

________________________________________________________________ EJEMPLO 4.8: Cálculo de la potencia de un compresor de una y tres etapas.

Un flujo de gas metano de 1 kg/s., se desea comprimir desde una presión de 10 000 Pa con una temperatura de alimentación de – 100 °C a 100 000 Pa, Calcular:

a.- La temperatura de salida bajo condiciones isentrópicas y adiabáticas e irreversibles (

η

Adiab

=

0

,

75

) y la potencia del compresor de una sola etapa. Grafique en el diagrama P-H.

b.- La potencia del compresor de tres etapas.

c.- Grafique en el diagrama P-H, las etapas de compresión mostrando las presiones intermedias.

SOLUCION:

Del anexo 9: k (metano) = 1,315

a) A partir de la ecuación (4.28) de trabajo del compresor: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − 1 ' 1 1 1 2 1 , k k Ideal C P P T R k k W Fig. E-4.8a

(41)
(42)

________________________________________________________________

CAP. 5: CONSERVACION DEL MOMENTO

La conservación del momento o cantidad de movimiento es un concepto fundamental en la mecánica de fluidos conjuntamente con la conservación de la energía y la conservación de la masa. El momento es simplemente la masa de un objeto multiplicado por la velocidad del objeto. El momento es una cantidad vectorial que tiene magnitud y dirección.

5.1 CONSERVACION DEL MOMENTO: METODO

DIFE-RENCIAL.

La ecuación de la conservación del momento en forma vectorial puede ex-presarse asumiendo tensiones cortantes (considerando ρ y μ variables) o en función de los gradientes de velocidad con ρ y μ constantes (flujo Newto-niano).

5.1.1. EN FUNCION DE LAS TENSIONES CORTANTES:

En forma general, el balance de cantidad de movimiento para un elemento diferencial de volumen se expresa de acuerdo a:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ movimiento de cantidad de n acumulació de Veloc. sistema el sobre actuan que fuerzas las de Suma movimiento de cantidad de salida de Veloc. movimiento de cantidad de entrada de Veloc. (5.1)

La cantidad de movimiento de entrada y salida o eflujo neto de cantidad de movimiento se debe al flujo global del fluido (convección) y a los gradientes de velocidad (transporte molecular), tal como se muestra en las siguientes figuras:

Fig 5.1: Elemento de fluido que muestra el balance de cantidad de movimiento porConvección en la dirección x

(43)

g

P

Dt

v

D

ρ

ρ

=

−∇

+

(5.10b)

La ecuación de EULER, bajo condiciones de estado estacionario en las direcciones x,y,z: x:

x

P

x

v

v

x x

=

ρ

y: y y y

g

y

P

y

v

v

ρ

ρ

=

z:

z

P

z

v

v

z z

=

ρ

EJEMPLO 5.1: Determinación del perfil de velocidades en placa incli-nada.

Un fluido con flujo laminar en estado estable fluye por un plano inclinado, cuyo ángulo con la horizontal es υ en una región de longitud L, suficiente-mente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas. Determínese el perfil de veloci-dades dentro de una capa líquida de espesor δ, así como la velocidad máxima en la superficie libre, cuando:

a.- El fluido es Newtoniano con ρ y μ constantes.

b.- El fluido es de densidad ρ constante y la viscosidad μ varía de la siguiente forma:

) ( 0 δ α

μ

μ

=

e

y Donde μ 0 es la viscosidad en la superficie de la película y α es una constante que expresa la rapidez con que disminuye μ al aumentar y.

SOLUCION:

a.- Empleando la ecuación (5.13.a) de NAVIER – STOKES para el compo-nente de la cantidad de movimiento en la dirección x:.

Figure

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Referencias

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