Dependencia Estadistica

Consiste en analizar la relación y/o asociación existente

entre dos variables cuantitativas, utilizando, en una

primera etapa, la estadística descriptiva.

Estudio conjunto de dos variables

N°

X

Y

1

X

₁

Y

₁

2

X

₂

Y

₂

3

X

₃

Y

₃

…

…

…

n

X

_n

Y

_n

¿Son dependientes?

Use las medidas de

dependencia

Indicadores que se utilizan para determinar la existencia

o no de la dependencia entre dos variables, y si existe

dependencia permite establecer el tipo de dependencia:

directa o inversa.

Medidas de asociación o dependencia

Medida de

Dependencia

Absoluta

COVARIANCIA

Medida de

Dependencia Relativa

COEFICIENTE DE

CORRELACIÓN

Mide el grado de dependencia o de asociación, en

términos absolutos, que existe entre dos variables.

Covariancia

Población

Muestra

1

,

(

)(

)

( , )

N

X

Y

i

X Y

x

y

Cov x y

N

µ

µ

σ

=

−

−

=

=

∑

1

,

(

)(

)

ˆ ( , )

1

n

i

X Y

x

x

y

y

Cov x y

S

n

=

−

−

=

=

−

∑

Mide el grado de dependencia o de asociación, en

términos relativos, que existe entre dos variables

cuantitativas.

Correlación

Población

Muestra

1

,

2

2

1

1

(

)(

)

(

)

(

)

N

X

Y

i

X Y

_N

_N

X

Y

i

i

x

y

x

y

µ

µ

ρ

µ

µ

=

=

=

−

−

=

−

−

∑

∑

∑

1

,

,

2

2

1

1

(

)(

)

ˆ

(

)

(

)

n

i

X Y

X Y

_n

_n

i

i

x

x y

y

r

x

x

y

y

ρ

=

=

=

−

−

=

=

−

−

∑

∑

∑

Cálculo de la covariancia y de la correlación con datos

muestrales no organizados en cuadros de frecuencias.

, , , , Y

(

, )

ˆ

₍

_{, )}

1

(

, )

ˆ

S

₍

₎

_{( )}

X Y X Y X Y X Y X

S P X Y

C o v X Y

S

n

S

_{S P X Y}

r

S

S C X

S C Y

ρ

=

=

−

=

=

=

i

(

)(

)

(

)

(

)

1

1

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

(

, )

(

)(

)

(

)

(

)

( )

(

)

n

n

i

i

n

n

i

i

n

n

i

i

x

y

S P X Y

x

x

y

y

xy

n

x

S C X

x

x

x

n

y

S C Y

y

y

y

n

=

=

=

=

=

=

=

−

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

siendo:

Cálculo de la covariancia y de la correlación: Cuadro

de frecuencias de doble entrada

K m i j i,j i=1 j=1

SP(X,Y) =

∑∑

x y f

−

n x y

Xi \ Yi

Y

₁

Y

₂

…

Y

_m

Total

X

₁

f

_1,1

f

_1,2

…

f

_1,m

f

_1.

X

₂

f

_2,1

f

_2,2

…

f

_2,m

f

_2.

…

…

…

…

…

…

X

_K

f

_K,1

f

_K,2

…

f

_K,M

f

_K.

Total

f

_.1

f

_.2

…

f

_.m

n

K 2 2 i i. i=1

SC(X) = x f n x

∑

−

m 2 2 j .j j=1

SC(Y) =

∑

y f

−

n y

,

( , )

ˆ

_{( , )}

1

X Y

SP X Y

Cov X Y

S

n

=

=

−

, , , Y

( , )

ˆ

S

( )

( )

X Y X Y X Y X

S

_{SP X Y}

r

S

SC X

SC Y

ρ

=

=

=

i

Interpretación de la covariancia y la correlación

,

( , ) 0,

_{X Y}

1

Cov x y

>

ρ

=

Asociación Lineal directa y perfecta

Interpretación de la covariancia y la correlación

,

( , ) 0, 0

_{X Y}

1

Cov x y

>

<

ρ

<

Interpretación de la covariancia y la correlación

,

( , ) 0,

_{X Y}

1

Cov x y

<

ρ

= −

Asociación lineal inversa y perfecta

Interpretación de la covariancia y la correlación

,

( , ) 0, 1

_{X Y}

0

Cov x y

<

− <

ρ

<

Interpretación de la covariancia y la correlación

Poca o ninguna asociación

,

( , ) 0,

_{X Y}

0

Cov x y

≅

ρ

≅

Covariancia y correlación . Ejemplo con datos originales

En un estudio sobre la relación entre el sueldo promedio de

los integrantes del equipo de trabajo (en miles de soles) y la

productividad (puntaje),se obtuvo la siguiente información

Equipo

(i)

Productividad

(Y)

Sueldo Prom.

(X)

1

42

2.5

2

39

2.0

3

48

3.0

4

51

3.3

5

49

3.1

6

53

3.5

7

51

3.2

8

60

4.0

¿Qué se puede

afirmar sobre la

asociación entre

las variables

Productividad

y Sueldo promedio?

Covariancia y correlación . Ejemplo con datos originales

Covariancia y correlación. Ejemplo para datos originales

2

2

24.6,

78.24,

393,

19601 ;

1235.9

X

X

Y

Y

X Y

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

,

,

( , )

27.425

ˆ

0.9914

[

( )] [

( )]

(2.595)(294.875)

X Y

X Y

SP X Y

r

SC X

SC Y

ρ

=

=

=

=

( , )

27.425

ˆ ( , )

3.91785714

1

8 1

SP X Y

Cov X Y

n

=

=

=

−

−

Covariancia y Correlación: Ejemplo con cuadro de frecuencias

Se tiene el siguiente cuadro sobre el ingreso familiar mensual (X, en

miles de soles) y el gasto familiar mensual en alimentación (Y, en

miles de soles). ¿Cuál es el grado de correlación entre las

variables?

X \

Y

1.5

1.8

2

2.5

Total

2

20

10

0

0

30

3

10

8

2

0

20

4

8

4

2

2

16

5

0

3

6

5

14

Total

38

25

10

7

80

Covariancia y Correlación: Ejemplo con cuadro de frecuencias

x = 3 .1 7 5

X,Y

22.9875

r

0.8710

(99.55)(6.996875)

=

=

4 4 i j i,j i=1 j=1

x y f

=

(2)(1.5)(20) + (2) (1.8) (10) + ... + (5)(2.5) (5) = 465.9

∑ ∑

4 2 2 2 2 2 i i . i=1

x f = (2) (30) + (3) (20) + (4) (16) + (5) (14) = 906

∑

4 2 2 2 2 2 j .j j=1

f = (1.5) (38) + (1.8) (25) + (2) (10) + (2.5) (7) = 250.25

y

∑

SP(X,Y) = 465.9 - (80) (3.175) (1.74375) ) = 22.9875

y= 1 .7 4 3 7 5

2

SC(X) = 906 - (80) (3.175) = 99.55

2

SC(Y) = 250.25 - (80) (1.74375) =6.996875