A x B = {(a, ), (a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, ), (b, ), (c, ), (c, ), (c, ), (c, )}

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(1)

Producto cartesiano, aplicaciones y relaciones binarias. Profesor: Gerardo Gómez Ávalos.

Producto Cartesiano

Definición: Dados dos conjuntos X e Y, llamamos producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y, al conjunto formado por todos los pares ordenados (x, y) con x ∈ X e y ∈ Y:

X × Y = { (x, y ) / x ∈ X e y ∈ Y }  Ejemplo:

Sean A = { a, b, c } y B = { ♥,♦,♣,♠}.

A x B ♥ ♦ ♣ ♠

A (a, ♥) (a, ♦) (a, ♣) (a, ♠)

B (b, ♥) (b, ♦) (b, ♣) (b, ♠)

C (c, ♥) (c, ♦) (c, ♣) (c, ♠)

A x B = {(a, ♥), (a, ♦), (a, ♣), (a, ♠), (b, ♥), (b, ♦), (b, ♣), (b, ♠), (c, ♥), (c, ♦),

(c, ♣), (c, ♠)}

 Ejemplo 2: En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

∈ ∈ es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Propiedad: (x, y) = (x’, y’) ⇐⇒ x = x’ e y = y’  Ejemplo: (a, b) = (5, 6) ⇐⇒ a = 5 y b = 6.

Proposición: Dados dos conjuntos X e Y finitos, se verifica que: #(X × X) = #(X)*#(Y)  Ejemplo: Sea A ={ a, b, c } y B = { 1, 2, 3, 4}

 Ejemplo 2: Sea A= {1, 2, 3}. Calcular la cardinalidad del conjunto AxA.

Definición: Dados dos conjuntos X e Y, llamamos correspondencia o relación de X en Y a cualquier subconjunto de X × Y.

• X se llama conjunto inicial o Dominio. • Y conjunto final o Codominio.

• Se escribe: f : X → Y.

Observaciones:

 Representación: Mediante un diagrama sagital o en algunos casos gráficamente en el plano cartesiano.

(2)

 Si (a, b) es un par de la correspondencia, entonces: se dibuja una flecha desde a hasta b: a → b. Se dice que a es un origen de b y que b es una imagen de a (f(a) = b).

 Ejemplo 1:

Sea A = { 2, 5, 3}, B = { 4, 9, 11, 12, 25} Sea f : A→B definida por f(x) = .

 Ejemplo 2:

Sea f: IR2→ IR2 definida por f(x) = x2 + 1 x Y = f(x)

Aplicaciones

Definición: Una aplicación o función de X en Y, es una correspondencia de X en Y tal que cada elemento de x ∈ X tiene una única imagen en Y, denotada por f (x) ∈ Y.

Ejemplos Gráficos:

 Ejemplo1: Función afín y lineal.  Ejemplo 2: Función cúbica.  Ejemplo 3: Función raíz cuadrada.  Ejemplo 4: Función cuadrática. Definición: Sea f : X → Y una aplicación

• Dado A ⊆ X se llama imagen de A, y se denota f (A), al conjunto de todos los elementos de Y de la forma f (a), siendo a ∈ A:

f (A) = {f (a) ∈ Y / a ∈ A }.

• Se llama imagen de la aplicación f, y se denota Im f, al conjunto: Im f = f (X) = {f (x) ∈ Y / x ∈ X}. • Im f ⊆ Y y si A ⊆ X ⇒ f (A) ⊆ Im f.

B

A

12

9

4

11

a

f

f(a)

(3)

• Se llama conjunto recorrido, y se representa por Rec(R) al conjunto formado por todos los elementos de B que son elementos imágenes por la relaciones R.

 Ejemplos: anteriores ejemplos 1, 2, 3 y 4. Definiciones: Una aplicación f : X → Y se llama:

• Sobreyectiva: si Im f = Y.

• Inyectiva: si ∀x, x’∈ X, x x’ ⇒ f (x) f (x’). • Biyectiva: si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Observaciones:

• Como Im f ⊆ Y , f es sobreyectiva ⇐⇒ ∀y ∈ Y ∃x ∈ X con f (x) = y . • f NO es sobreyectiva ⇐⇒ ∃y ∈ Y tal que y Im f.

• f es inyectiva⇐⇒ ∀x, x’∈ X, f (x) = f (x’) ⇒ x = x’.

• f NO es inyectiva ⇐⇒ ∃x, x’∈ X, x x’ tales que f (x) = f (x’).  Ejemplos: anteriores ejemplos 1, 2, 3 y 4.

Definición: La aplicación identidad, id: X → X, se define como id(x) = x, ∀ x ∈ X.

Definición: Dadas dos aplicaciones f : U → V y g : V’→ W, con V ⊆ V’, se llama composición de f con g a la aplicación g ◦ f : U → W definida por g ◦ f (u) = g(f (u)), ∀u ∈ U.

 Ejemplo 1: la aplicación h(x) = puede ser representada por la composición de dos aplicaciones f(x) y g(x).

 Ejemplo 2: Dadas las funciones: ; ; Calcular:

1.- 2.- 3.-

Proposición: La composición de aplicaciones de un conjunto en sí mismo, en general, NO es conmutativa.

(4)

Definición: Dada una aplicación f : X → Y llamamos inversa de f, caso de que exista, a una aplicación g : Y → X tal que g ◦ f = idX y f ◦ g = idY .

 Ejemplo1: Calcular la aplicación inversa de  Ejemplo 2: Calcular la función inversa de

Observación: Para calcular la inversa de una función f(x) = y, primero despejamos la variable

independiente (x), y segundo cambiamos x por y e y por x.

Proposición: La inversa de f, si existe, es única y la denotaremos .

Observaciones:

• Si g = entonces f = . Ejemplo f(x) = x. • f tiene inversa ⇐⇒ f es biyectiva.

 Ejemplo:

Proposición: Dada una aplicación f : X → Y , si X e Y son conjuntos finitos y #(X) =#(Y) se verifica que:

 f inyectiva ⇒ f es biyectiva. • f sobreyectiva ⇒ f es biyectiva.

Observación: No es cierto con conjuntos no finitos.

Relaciones binarias.

Definición: Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria de A con B es cualquier correspondencia de A en B, es decir, cualquier subconjunto R del producto cartesiano de A × B R ⊆ A × B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}.

• Diremos que un elemento a ∈ A esta relacionado con un elemento b ∈ B por la relación binaria R si se verifica que (a, b) ∈ R. Se notará: a R b.

• Se notará: a /R b cuando a NO está relacionado con b.

Ejemplo: Dado el conjunto de los números reales, definimos la relación binaria x R y de los puntos del plano, tal que y = 2x2 − 3x + 5.

Observación: Una relación también puede definirse mediante una propiedad P:

a R b ⇐⇒ P(a, b) es cierta. Y entonces R puede expresarse como:

R = { (a, b) ∈ A × B / P(a, b) es cierta }. Del ejemplo anterior R = { (x, y) ∈ × / y = 2x2 − 3x + 5 }

Notas:

• A partir de ahora trabajaremos solo con relaciones binarias definidas sobre un mismo conjunto A, es decir: R ⊆ A × A.

• Representación: Mediante un diagrama sagital.

(5)

• Reflexiva: si ∀x ∈ A se verifica que x R x.

Ejemplo: En N la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” es reflexiva ya que ∀x∈N, x R x porque x divide a x.

• Simétrica: si ∀x, y ∈ A se verifica que x R y ⇒ y R x.

Ejemplo: En Z la relación R definida por: “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. es simétrica ya que si a R b ⇒ existe p ∈ Z tal que a – b = 2p

⇒ b – a = 2(-p) con -p ∈ Z ⇒ b R a • Transitiva: si ∀x, y, z ∈ A se verifica que x R y , y R z ⇒ x R z.

Ejemplo: En N la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈N ⇒ bRc.

• Antisimétrica: si ∀x, y ∈ A se verifica que x R y , y R x ⇒ x = y.

Ejemplo: En N la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétrica Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈N tales que:

b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m ⇒ n.m = 1 ⇒ n = m = 1 ⇒ a = b.

Observación: Sea R una relacion binaria sobre un conjunto A. Se verifica que R:

• No es Reflexiva: si ∃x ∈ A se verifica que x /R x. Ejemplo: En N la relación R definida por:

“a R b ⇔ a es el doble de b”.

no es reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de 1. • No es Simétrica: si ∃x, y ∈ A se verifica que x R y e y /R x.

Ejemplo: En N la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”

no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2, por lo tanto (4,2) R.

• No es Transitiva: si ∃x, y , z ∈ A se verifica que x R y , y R z y x /R z.

Ejemplo: En N la relación R definida por: “a R b ⇔ a es el doble de b”. no es transitiva ya que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1) R.

• No es Antisimétrica: si ∃x, y ∈ A se verifica que x R y, y R x y x y.

Ejemplo: En Z la relación R definida por: “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. no es antisimétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2≠4

Definición: Sea R una relación binaria en A. Se dice que R es una:

• Relación de orden en A si R verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Se dice que (A, R) es un conjunto ordenado.

(6)

 Ejemplo 1: Son conjuntos ordenados (N, ≤), (Z, ≤), (Q, ≤), (R, ≤), siendo ≤ el menor usual en cada conjunto.

 Ejemplo 2: En Z la relación R definida por: a R b ⇔ a – b es múltiplo de 3 es una relación de equivalencia.

Ejercicios:

1.- Sea A = {1, 2, 3, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientes propiedades:

i) Reflexiva, simétrica y no transitiva ii) Reflexiva, no simétrica y transitiva iii) No reflexiva, simétrica y transitiva

2.- Determine las propiedades que satisfacen las siguientes relaciones en A y verifíquelas (demuéstrelas): a) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3)}. b) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4) , (1,2) , (1,4) , (2,1), (3,2) , (4,3) }. c) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4)}. d) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (3,2) , (2,3) }. e) R = { (1,1) , (1,2) , (1,4) , (2,3), (4,3) }.

3.- Sea A = IR2-{(0, 0)}. Definimos en A la siguiente relación:

∀ ∈ ∃ ∈

Definición: Sea A un conjunto y R una relación de equivalencia sobre A. Para cada ∈ se llama clase de equivalencia de , y se denotará por , al conjunto:

Figure

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Referencias

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