Momento 2 – Trabajo Colaborativo Unidad 1 -Calculo Diferencial

Momento 2 – Trabajo colaborativo unidad 1

Presentado por:

Franklin Smith Galvis Daza Eliana Yisel Garcia

Jose Luis Mariño Daniel Fernando Becerra Yeimar Andres Gonzalez

Grupo: 100410_425

Presentado a:

CARLOS EDUARDO OTERO MURILLO

Universidad nacional abierta y a distancia Calculo Diferencial

CEAD Duitama 2016

Fase No. 1.

A continuación se presentan 12 problemas cada uno concerniente a las temáticas de la unidad 1 del curso “Análisis de sucesiones y Progresiones”.

PROBLEMA 1

Sergio ingresa a una dieta para subir de peso, esta dieta, le exige iniciar tomando 100mg de multivitamínico el primer día e ir tomando 5 mg más cada día durante los Z días que el doctor le ha programado la dieta. 1 Mg de multivitamínico cuesta 2,5 Pesos. Responda las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto multivitamínico consumirá Sergio en el total de su dieta? Datos

z= Numero de Grupo 425 p= Valor en pesos de cada mg

a_{n = termino general}

d= cantidad de aumento del multivitamínico por día a1= cantidad del primer día

n= total de días de consumo de multivitamínico (425) an = a 1+(n−1). d

a_{n =} 100 mg+(425−1). 5 mg

a_{n = 2220 mg}

Rta: En el total de su dieta Sergio consumirá 2220 mg de multivitamínico. b) ¿Cuánto dinero gastará comprando este multivitamínico? costo=a_n. p

costo=2220mg . 2,5 costo=5550 pesos Rta. Gasto 5500 pesos.

c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar

Es una progresión aritmética, porque la diferencia entre los términos sucesivos es constante. dz=100+5(z−1)

d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar La progresión es creciente, a mayor tiempo, mayor costo.

PROBLEMA 2

Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 1000(Z), a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 135% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su veinteavo mes de la deuda se gana un chance por valor de 300(Z), por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas.

Datos

Z= Numero de Grupo 425 Deuda=1000(425) = 425000 Chance = 300 (425) = 127500

El valor del porcentaje será de: 425000 * 1.35 = 573750

a) Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance?

Como serán 24 pagos, se divide el monto de la deuda por 24 y se tiene el valor de cada pago.

Pago = 573750 / 24 = 23906, 25

Al cancelar su veinteavo (20) mes, sólo quedan 4 meses de pagos Para calcular el valor de la deuda restante, multiplicamos la cantidad de meses que faltan por el valor del pago.

Restante = 4 x 23906, 25= 95625

Rta: En el momento que Pedro se gana el chance, le queda por pagar 95625. b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el

momento en que se gana el chance?

El valor que gano es de 127500 y el monto que le falta es de 95625 Entonces: 127500– 95625 = 31875

Rta: Pedro si alcanza a cubrir la deuda y le sobra dinero aun.

e) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar le porque

RTA: Es una progresión aritmética, porque la diferencia entre los términos

sucesivos es constante.

f) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar el porque

RTA: La progresión es descendiente, cada término es menor al inmediatamente anterior.

PROBLEMA 3

Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila.

Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de (Z) kg.

Responda las siguientes preguntas.

DATOS

Z= Numero de Grupo 425

Capacidad de carga de la mochila = 425 kg

a) ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero?

Lo primero que se debe hacer es convertir 425 kg (peso de la mochila) a gramos:

Entonces= 425 kg * 1000g = 425000 gramos 1kg

Ahora se divide este valor en el peso de cada moneda (2 gr) 425000 gr / 2 gr = 212500

b. ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo? Día 1= (1.1)=1 Día 2 = (2.1)=2 Día 3= (2.2)=4 Día 4= (2.4)=8 Día 5= (2.8)=16 Día 6= (2.16)=32 Día 7= (2.32)=64 Día 8= (2.64)=128 Día 9 = (2. 128)=256 Día 10 = (2. 256)=512 Día 11 = (2. 512)=1024 Día 12 = (2. 1024)=2048 Día 13 = (2. 2048)=4096 Día 14 = (2. 4096)=8192

Día 15 = (2. 8192)=16384 Día 16 = (2. 16384)=32768 Día 17 = (2. 32768)=65536 Día 18 = (2. 65536)=131072 Día 19 = (2. 131072)=262144 S_n=n(a1+an) 2 S₁₉=19(1+262144) 2 =24.90375

Si le dejan volver el día 19 a recoger hasta completar la mochila obtendrá 262144 en 24 días

c. ¿La progresión es aritmética o geométrica?

Es una progresión geométrica, cada término es el doble del anterior. d. La progresión es creciente o decreciente? Justificar Y es creciente por ser la razón positiva y mayor de 1

PROBLEMA 4

En un laboratorio, un científico descubre un catalizador para hacer que una sola bacteria se reproduzca por tripartición cada media hora, el científico requiere desarrollar en 4 horas un cultivo de bacterias superior a 10.000(Z). Responda las siguientes

preguntas. DATOS:

Z= Numero de Grupo 425 R = razón (3)

N= tiempo

Cantidad de bacterias a obtener 10000(425)= 4250000

a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? 3¿7u8=6561 u₈=arn−1=3¿ si n = 1 (30 min) u1 = u0 + 3 (1) = 3 si n = 2 (60 min) u2 = u1 + 3 (3) = 9 si n = 3 (90 min) u3 = u2 + 3 (9) = 27

si n = 4(120 min) u4 = u3 + 3 (27) = 81 si n = 5(150 min) u5 = u4 + 3 (81) = 243 si n = 6(180 min) u6 = u5 + 3 (243) = 729 si n = 7(210 min) u7 = u6 + 3 (729) = 2187 si n = 8(240 min) u8 = u7 + 3 (2187) = 6561

Rta. El tamaño de cultivo de bacterias, después de 4 horas es de 6561.

b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere?

S=Ur−a r−1 =

6561(3)−3

2 =9840<4250000

No lo logra, ya que el cultivo que esperaba era de 4250000 y solo obtiene 9840. c)

d) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?

Geométrica de r = 3 arn−1 =4250000 rn−1=4250000 3 =141666,6 3n−1_=141666,6 log 3n−1 =log141666,6 (n−1)log 3=log141666,6 n−1log 141666,6 log 3 = 6.15 0.48=12.81 n=12.8+1n=13.8

Problema 5

Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 167 Kg y su peso ideal debería ser de 82Kg. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de 1/Z Kg diariamente.

Datos

Z= número de grupo 425

¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal? El término general de la sucesión es

a_n=a₁∗d (n−1) En este caso a₁=167 d=−1 425 a_n=167−n−1 425

No creo que merezca la pena simplificarse Veamos en que día alcanza los 82

82=167−n−1 425 n−1 425 =82 n−1=82∗425=34850 n=34851dias

Más de 95 años ¡!!

¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar

La progresión es aritmética ya que la diferencia entre dos términos consecutivos va a ser la constante (-1/425 kg).

¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 35% de su peso actual? pesa 167 kg el 35 es

0.35∗167=58.45 kg Luego debe quedarse en

167−−58.45=108.55 108.55=167−n−1 425 n−1 425 =58.45 n−1=58.45∗425=24841,25 n=24841,25 dias=68,0582191 años

¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar La sucesión es decreciente, ya que va desde 167 hasta 82. La diferencia es negativa .

PROBLEMA 6

Planteé el término general de una progresión aritmética cuyo primer término es Z y la diferencia común es Z. Adicionalmente encuentre la suma de los 10 primeros términos y el valor del veinteavo término.

d=z=425 a_n=a₁+(n−1)∗d

La suma de los 10 primeros términos a₁₀=425+(10−1)∗425 a₁₀=4250 s_n=a1+an 2 ∗n s₁₀=425+4250 2 ∗10 s₁₀=3803750

El valor del veinteavo termino a₂₀=425+

[

]

a₂₀=8500

Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es Z y la razón común es Z. Adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término.

Termino general

r = 425

(r

(

Problema 8.

Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 1/4 y la suma de sus tres primeros términos es Z. Adicionalmente, plantee el término general. a₁=? d=1 4 a₃=425 a₃=a₁+(n−1)∗1 4 425=a₁+(3−1)∗1 4 a₁=425−(3+1) 1 4 a₁=409 Problema 9

Se está excavando un pozo para encontrar petróleo, el gerente de la obra requiere saber cuántos metros de excavación van hasta el momento y solo conoce que el costo del primer metro excavado es de 1000(Z), el costo por metro adicional es de 10.000 y a la fecha se han invertido 1.000.000 para la excavación.

1000000=1000(425)+1000 (x−1)

1000000=425000+1000 x −1000

576000=1000 x

576=x

Rta

: hasta el momento van 576 metros excavados

Problema 10.

Se reparte un bono de Navidad a los 10 mejores vendedores de una empresa. Se sabe que, a mayor venta mayor bono, y que la diferencia entre 2 bonos

consecutivos es siempre constante y es de 10(Z). Además el vendedor 1 recibe el menor bono y el vendedor 10 recibe el mayor bono. Si el vendedor 3 recibe un bono de 1000(Z).

Datos

Z= número de grupo 425

La diferencia de dos bonos consecutivos es 10(425) = 4250 El tercer vendedor recibe = 1000(425)= 425000

b_n=b₁+(n−1)d b_n=b₁+4250 (n−1) Sabemos que b₃=425000 luego b₃=b₁+4250 (3−1)=425000 b₁+4250∗2=425000 b₁+8500=425000 b₁=425000−8500=416500 b₁₀=416500+4250 (10−1)=454750

b₁₀=416500+4250 (10−1)=454750

b₁₀=454750

b) ¿Cuánto recibe el peor vendedor? b₁=425000−8500=416500

b1=416500

c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar

Al ser la diferencia constante, la sucesión de bonos es una sucesión Es aritmética como decía antes ya que la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante.

c) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar Es creciente porque esta diferencia es 38250 que es positiva.

Problema 11

En una colonia de abejas el primer día de investigación, alumnos de ingeniería agrícola contabilizaron 3 abejas, el segundo habían 9y el tercero habían 27. Datos

Z= número de grupo 425

Respuesta:

Para hallar el término en una progresión geométrica utilizamos la siguiente formula:

an=a1∗r n−1

Donde

a₁=primer terminno

r=razon, que es igual=an +1 an n=terminoenesimo de la progresion Entonces az=a1∗r z−1 =3∗3425−1 a425=59776881674212

que es el numero de abejasque nacieron el dia425

¿Cuántas abejas había después de un mes (sabiendo que un mes es igual a 30 días?

S_n=an∗r−a1 r−1

Pero primero debemos hallar an a30=3∗3 30−1 a30=205891114 2058911 (¿¿14∗3)−3 3−1 S30=¿

Problema 12.

A un electricista le ofrecen 100(Z) de sueldo fijo y le ofrecen 2(Z) de aumento mensual desde el siguiente mes de ser contratado (a modo de incentivo para que no se cambie de empresa).

Datos

Z= número de grupo 425

a) ¿Cuál será su sueldo, durante el quinto mes de trabajar en esa empresa? Sueldo fijo = 100(425) Aumento mensual = 2(425)

= 42500 = 852

Debemos hallar el quinto término en la sucesión, para esto usamos la siguiente formula: n=¿a₁+(n−1 )r a¿ a_n=termino enesimo a₁=primer termino

r = razón

n = cantidad de términos

a₅=45908

_{Es el salario que recibe el quinto mes}

Para hallar el total de dinero recibido en 22 meses debemos hallar el salario que recibió en el mes 22

a₂₂=425 00+(21) 852 a₂₂=42500+17892 a₂₂=60392

b) ¿Cuál será el total de dinero recibido en 22 meses de trabajo en la misma empresa?

y después usar la siguiente formula

S = n(ua₂+un) u_a=primer termino

u_n=termino hasta donde se desea hacerla sumatoria

n = número de términos

S=22(42500+60392) 2

S=1 ´ 131. 812

El total de dinero recibido al cabo de 22 meses de trabajo

FASE 2

Haciendo uso de la Aplicación Geogebra y siguiendo las indicaciones del video “Fase 2 – Trabajo Colaborativo 1”, Graficar los 5 primeros términos de las siguientes progresiones y determinar para cada progresión si es geométrica o aritmética, su razón o diferencia común y si es creciente o decreciente.

Los términos son: N= 1 un= -4 N=2 un=-2 N=3 un=0 N=4 un=2 N=5 un=4

 Es una progresión aritmética porque cada termino se obtiene sumando al anterior numero llamado diferencia de la progresión

 Su diferencia común es 2

 Y es una progresión creciente porque cada término es mayor que el otro.

Los términos son: N= 1 un= 6 N=2 un=4 N=3 un=2 N=4 un=0 N=5 un=-2

 Es una progresión aritmética porque cada termino se obtiene sumando al anterior numero llamado diferencia de la progresión

 Su diferencia común es 2

 Y es una progresión decreciente porque cada termino es menor que el otro

Los términos son: N= 1 un= 1 N=2 un=2 N=3 un=4 N=4 un=8 N=5 un=16

 Es una progresión geométrica porque cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón de la progresión.

 Su razón es 2

 Y es una progresión creciente porque cada termino es mayor que el otro

d) _{�� = −3 �−1}

Los términos son: N= 1 un= -1 N=2 un=-3 N=3 un=-9 N=4 un=-27 N=5 un=-81

 Es una progresión geométrica porque cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón de la progresión.

 Su razón es 3

 Y es una progresión creciente porque cada término es mayor que el otro.

FASE 3 Las progresiones

Aporte individual – Franklin Galvis

Las progresiones, aritméticas son un conjunto de números, cuya diferencia es constante y a esa diferencia contaste la llamamos razón. En donde no me solicitan el siguiente término sino un término que está mucho más alejado, a un término enésimo, en cambio a la progresión geométrica es un conjunto de números cuya diferencia constante llamada razón es un producto de tal forma que el término enésimo lo podemos encontrar a través de una fórmula de multiplicación

Donde lo podemos aplicar, en las fases anteriores se aplicó de tal manera que debimos identificar si era aritmética o geométrica, dependiendo su razón.

Conclusiones

 Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de un término al Siguiente sumando un número fijo (positivo o negativo) al que se llama diferencia y de la progresión y la representamos con la letra d, y Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.