PRESENTACION
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INDICE
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MARCO TEORICO
MARCO TEORICO
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo
La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, aproximado, los los
valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de
abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas.
El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.
La interpolación polinomial (ajustar un polinomio a los puntos dados) es uno de los temas más importantes en métodos numéricos, ya que la mayoría de los demás modelos numéricos se basan en la interpolación polinomial.
Por ejemplo, los modelos de integración numérica se obtienen integrando fórmulas de interpolación polinomial, y los modelos de diferenciación numérica se obtienen derivando las interpolaciones polinómicas.
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783. Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange.
Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.
Esquema de interpolación de Lagrange:
ESQUEMA DE
INTERPOLACIÓN
VENTAJAS
DESVENTAJAS
Interpolación de Lagrange. Forma conveniente
Fácil de programar.
Difícil de manejar para los cálculos manuales.
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE LAGRANGE
¿Pueden ajustarse
tres o cuatro
datos por medio de una curva? Uno de los métodos fundamentales para encontrar una función que pase a través de datos dados es el de usar un polinomio. (Ver Figura 01)La interpolación polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que pueden transformarse entre sí. Entre éstas se encuentran las series de potencias,
la
interpolación de Lagrange (que es la que estudiaremos en la presente
monografía)
y Ia interpolación de Newton hacia atrás y hacia adelante.Como se verá después con más detalle, un polinomio de orden N que pasa a través de N+1 puntos es único. Esto significa que, independientemente de la fórmula de interpolación, todas las interpolaciones polinómicas que se ajustan a los mismos datos son matemáticamente idénticas.
Suponga que se dan N+1 puntos como:
X0 X1… XN
f0 f1… fN
donde son las abscisas de los puntos (puntos de Ia malla) dados en orden
X0 X1…
creciente. Los espacios entre los puntos de Ia malla son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a través de los N+1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como:g
(
x
)
=a0+a1x+a2x2+…+aNxN
Donde los
ai
son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los N+1 puntos dados da un sistema de ecuaciones:f0=a0+a1x0+a2x02+…+aNx0N
f1=a0+a1x1+a2x12+…+aNx1N
.
.
.
fN=a0+a1xN+a2xN2+…+aNxNN
Aunque los coeficientes
ai
pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultáneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales; y segunda, la solución de la computadora quizá no sea precisa. (Realmente, las potencias de xi en la ecuación pueden ser números muy grandes, y Si es así, el efecto de los errores por redondeo será importante.) Por fortuna, existen mejores métodos para determinar una interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales.Entre éstos están Ia formula de interpolación de Lagrange y Ia formula de interpolación de Newton hacia adelante y hacia atrás.
Para presentar Ia idea básica que subyace en Ia formula de Lagrange, considere el producto de factores dados por:
que se refiere a los N+1 puntos dados antes.
x= x1,x2,.…, xN
Si dividimos V0(x)entre V0(x0), la función resultante.V0
(
x)
=(
x-x1)(
x-x2)
…(x-xN)(
x0-x1)(
x0-x2)
…(x0-xN)toma el valor de uno para
x= x0
y de cero parax= x1
,x= x2,…,x=xN
. En forma análoga, podemos escribirVi
como:Vi
(
x)
=(
x-x0)(
x-x1)
…(x-xN)(
xi-x0)(
xi-x1)
…(xi-xN)donde el numerador no incluye(x-xi) y el denominador no incluye (xi-x)
.
Lafunción Vi(x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x-xi , y de cero
enx=xj , j≠i. Asi, si multiplicamos V0(x),V1(x),…,VN(x), porf0,f1,…,fNrespectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio de orden a lo más Ne igual afi para cadai=0hasta
i=N.
g(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xN) (x0-x1)(x0-x2)…(x0-xN)f0+
(x-x0)(x-x2)…(x-xN) (x1-x0)(x1-x2)…(x1-xN)f1 . . .
(x-x0)(x-x1)…(x-xN-1) (xN-x0)(xN-x1)…(xN-xN-1)fN
Ecuación (a)
La ecuación (a) es equivalente a Ia serie de potencias que se determina resolviendo la ecuación lineal. Parece complicado, pero incluso Ia memorización no es difícil si se entiende La estructura.
METODO NUMERICO
Ejemplo:
Las densidades de sodio para tres temperaturas están dadas c omo sigue:
Temperatura (°c) Densidad (
km
/
m3
)
I
Ti pi0
94
929
1
205
902
2
371
860
a. Escriba a formula de
interpolación de Lagrange
que se ajusta a los tres datos. b. Determine Ia densidad para T = 251 °C utilizando a interpolación de Lagrange (aI calcular el valor de g(x), no desarrolle Ia fórmula en una serie de potencias).Resolución:
a. Ya que el número de datos es tres, el orden de Ia formula de Lagrange es
N = 2
. La interpolación de Lagrange queda:b. Sustituyendo T = 251 en Ia ecuación anterior, obtenemos
g (251) = 890.6 kg/m3
(Comentarios: al evaluar g(x) por un valor dado x, no se debe desarrollar Ia formula de interpolación de Lagrange en una serie de potencias, porque no solo es molesto sino además se incrementa Ia posibilidad de cometer errores humanos.)
La ecuación (a) es particularmente larga si el orden N es grande. Sin embargo, su escritura en un programa de computación necesita únicamente un número pequeño de líneas: Observando Ia ecuación (a), se reconoce que el primer término es f0 veces un producto de
(x-xi)(x0-xi)
para todai excepto parai=0. El segundo término esf0 veces un producto de. (x-xi)(x1-xi)
MODELO (Enfoque Algorítmico)
Entrada: Número de datos n, datos (x,f(x)) y el valor para el que se desea interpolar xint
1.- Hacer f(xint)=0 2.- Hacer i=0
3.- Mientras i<=n-1 hacer
4.- Hacer L=1 5.- Hacer j=0 6.- Mientras j<=n-1 hacer 7.- Si i j entonces 8.- Hacer 9.- Hacer j=j+1 10.- Hacer f(xint)=f(xint)+L*f(x(i)) 11.- Hacer i=i+1 12.- Imprimir f(xint)
PROGRAMACION (Codigo en Lenguaje de alto nivel) EN C#
public void lagrange(double[] vector, double[] y, double xvalor)
{
double[] algo = new double[vector.Length];
double Products;
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < vector.Length; i++)
{
Products = 1;
for (int j = 0; j < vector.Length; j++)
{
if (i != j)
{
Products *= (xvalor - vector[j]) / (vector[i] - vector[j]);
}
}
algo[i] = Products;
sb.AppendLine("L" + i + " =" + Products);
Products = 1;
}
double pol = 0;
for (int i = 0; i < vector.Length; i++)
{
pol += algo[i] * y[i];
}
sb.AppendLine("P" + "(" + xvalor + ")" + " =" + pol);
richTextBox1.Text = (richTextBox1.Text + sb.ToString());
sb.Clear();
IMPLEMENTACION DE LA INTERPOLACION DE LAGRANGE EN
MATLAB.-Le damos el nombre de
INTERPOLACION_ DE_LAGRANGE
