Teoria de Exponentes 1 de Secundaria

CONTENIDOS

Capítulo 1: ... 205 Leyes de Exponentes Tema 1: Potenciación Tema 2: Radicación Capítulo 2: ... 215 Expresiones Algebraicas

Tema 3: Expresión Algebraica

Tema 4: Multiplicación, División y Potenciación con Expresiones Algebraicas

Capítulo 3: ... 225 Valor Numérico

Tema 5 : Valor numérico

Capítulo 4: ... 231 Polinomios

Tema 6: Polinomios

Tema 7: Grado de un Polinomio

Tema 8: Polinomios especiales

Tema 9: Adición y sustracción con Polinomios

Tema 10: Multiplicación con polinomios

Capítulo 5: ... 249 Productos Notables

Tema 11: Productos Notables

Capítulo 6: ... 255 Factorización

Tema 12: Factorización

Tema 13: Casos especiales de factorización

Capítulo 7: ... 263 Ecuaciones

Tema 14: Resolución de Ecuaciones Tema 15: Clases de ecuaciones

Tema 16: Resolución de problemas aplicando ecuaciones

Capítulo 8: ... 275 Inecuaciones Tema 17: Desigualdad Tema 18: Intervalos Tema 19: Inecuaciones Capítulo 9: ... 289 Funciones Tema 20: Funciones

Tema 1: Potenciación

Tema 2: Radicación

Razonamiento y

Demostración

Comunicación

Matemática

Resolución de

Problemas

- Hal la potenci aciones y radicaciones.

- Reconoce las definiciones básicas de la potenciación . - Aplica los teoremas básicos de la potenciación y radicación

- Representa en forma simbólica las definiciones básicas de la potenciación. - Representa en forma simbólica los teoremas de la potenciación y radicación.

- Resuelve operaciones aplicando las definiciones y teoremas de la potenciación y la radicación.

LEYES DE

EXPONENTES

«Con respecto a los exponentes, el primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x2_{, lo escribía como}

52_».

«En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viéte en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual, salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x2 _{lo escribía}

como 5xii_.

Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso, sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como muchos hasta entonces, x2 _{como xx».}

(www.espsilones.com- origen de los signos matemáticos)

Potenciación

...

TEMA 1: Potenciación

En forma simbólica la potenciación se representa así:

Ejemplos:

n

P  a

Potencia  exp onente base a n P      

Definiciones básicas

Entre las definiciones básicas de la potenciación tenemos:

1. Exponente cero

Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a la unidad. En forma simbólica: Ejemplos: 0

1,

0

a



 

a

2. Exponente uno

Todo número elevado a la unidad es igual al mismo número. En forma simbólica: Ejemplos: 1

a



a

3. Exponente negativo

Cuando el exponente es negativo, se invierte la base(diferente de cero) y el exponente se vuelve positivo.

En forma simbólica: Ejemplos:

1

;

0

n n

a

a

a







Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número llamado base (a) por sí mismo varias veces como lo indica el exponente (n). El resultado de la operación se llama potencia(P).                          3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 125 ( 2) ( 2)( 2)( 2)( 2) 16 3 3 3 3 3 81 veces veces veces            0 0 0 0 4 1 ( 5) 1 5 1 0 0 0 7 1 ( 3) 1      0 0 6 1 (3 2) 1       1 1 1 1 6 6 ( 7) 7 y y x x                       1 2 2 2 3 2 3 1 1 3 3 1 1 5 5 y y x x

Aplicación de las definiciones

bási-cas



 _{Analice el desarrollo de la siguiente}

operación: 2 1 0 1 3 5 2 K        _{ }  + + 3 1 4 2 6 Ejemplo:

Teoremas Principales

...

.

m n m n

a a



a



,

0

m m n n

a

a

a

a







Entre los teoremas principales de la potenciación tenemos:

1. Producto de Bases Iguales

El producto de varias potencias de la mis-ma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

En forma simbólica: Ejemplos: 4 5 4 5 9 6 8 6 8 14 8 4 8 4 12 2 2 2 2 3 3 3 3 a a a a               

2. Cociente de Bases Iguales

El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la dife-rencia de los exponentes.

En forma simbólica: Ejemplos: 7 5 7 5 2 16 8 16 8 8 10 10 3 7 3 2 2 2 2 4 3 3 3 3 a a a a               

( . )

a b

n



a b

n

.

n 3. Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al pro-ducto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia.

En forma simbólica: Ejemplos: 5 5 5 4 4 4 9 9 9 (2 3) 2 3 ( ) (5 6) 5 6 a b a b            

4. Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo expo-nente es el producto de ambos expoexpo-nentes En forma simbólica: Ejemplos:

 

m n m n.

a



a

3 5 3 5 15 4 5 4 5 20 ((2) ) 2 2 (( ) )a a a         , 0 n _n n a a b b b        

5. Potencia de una fracción

La potencia de una fracción es igual al nu-merador y denominador elevados al mismo exponente. En forma simbólica: Ejemplos: 9 2 9 2 9 9 18 9 9 7 (7) ( ) 7 6 _{6 6} a a a    _ _     Aplicación 

 _{Analice el desarrollo de la siguiente}

operación: 3 4 5 15 (2 ) 2 2 M   12 5 17 15 2 2 2 15 2 2 2 2 4 M M M

M

  







Simplificar: 12 2 2 8 2 10 12 6 5 8 10 3 T      Resolución:

 Descomponiendo las bases en números

primos.

 Aplicando las propiedades:

2 12 2 2 3 8 2 10 2 12 12 2 2 2 3 8 2 2 10 24 (2 3) (2 3) 5 (2 ) (5 2) 3 2 3 2 3 5 2 5 2 3 2 T T T                    12 2 3 2   32  52 24 2  52  22 10 12 2 14 10 4 10 3 3 3 3 81 3 T T         12 2 2 8 2 10 12 6 5 8 10 3 T      Reducir: 2 2 0 1 1 ₄ 3 3 4 E        _{ } _{ }      Resolución:  Entonces: Simplificar: 1 5 5 5 n n n L    Resolución:  Entonces: 3.

Si xx  , halle el valor de:3

2x 1 x M x  Resolución:  Entonces: 4. 1. 2. 2 2 1 (3) (4) 3 9 16 3 25 3 5 3 2 E E E E E           

Primero se desarrollan las opera-ciones en el interior de la raíz y lue-go se reduce. 1 1 5 5 5 5 5 .5 5 5 (1 5) 5 1 5 6 n n n n n n n n L L L L L          

Hay que descomponer 5n+1 _{en 5}n_.5

luego se factoriza 5n _{y se simplifica}

Descomponiendo M buscando ex-presiones del tipo xx_{, para}

reempla-zarlos por su valor y reducir.

9 2 1 1 2 . 2 . 2 ₂ ( ) ₃ ( ) (3) 3 x x M x x x x M x x x x M x x x x M x M         Simplificar: Resolución:  Entonces: 30 2 5 19 ... ( ) .... veces veces a a a N a a a a          30 10 19 30 29 a N a a a N a N a    

Escribiendo en forma de potencia-ción y aplicando sus propiedades.

2 2 2 2 1 (3) 9 3 1 (4) 16 4      _{  }      _{  }   Recuerda: aaba(1b) Recuerda: m n m n a  a .a Recuerda: 5.

1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 5 13) 1 1 3 2 V                                        2 2 2 2 1 1 6 8 14) 1 1 3 4 A                                2 4 0 5 5 (3 ) 24 n n n C     2. Si 15 . .... veces A_{  ;} x x x 3 3 3 6 . .... veces Bx x_{}x , hallar el expo-nente de x en B A 3. Reducir: 4. Simplificar: 5. 6. 7. 8. 9. 10.Simplificar: 32 4 4 4 3 3 3 42 ( )( )...( ) ( )( )...( ) veces veces x x x M x x x    8 4 10 7 2 .2 3 .3 5) 2 9 L     2 3 4 2 2 ( ) ( . ) 6 ) ( . ) x x x A x x  4 1 3 .5 7) 15 .27 x x x S    2 1 7 7 11) 7 7 n n n n I      6 2 4 9) 3 1 2 n n n n P    20 4 5 ... 10) ( ) veces a a a R a      2 3 2 2 4 ( . ) . 8) .( ) x x x G x x      3 1 2 2 12) 2 2 n n n n H     

1. Reducir los siguientes ejercicios:

3 2 2 2 4 1 0 1) 5 8 T    2 4 3 4 5 3 8 .5 .6 3) 1 0 .2 .3 E  10 12 11 20 6 5 4 3 2 4) 2 9 4 Q     4 2 2 3 16 100 2) 25 8 Q   Reducir: 2 2 ₀2 3 1 1 4 13 12 R        _{ } _{ }      Simplificar: 1 2 3 3 4 4 3 4 (1 4 ) n n n n n n n K      

Si xx  , halle el valor de:2

2x _x2x 1 Nx x  Simplificar: 40 3 5 24 ... ( ) .... veces o a veces a a a E a a a a a           Simplificar: 4 7 10 7 3 5 3 2 6 5 P     3 2 2 2 2 n n n L  _  

4. Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es igual a un radicando cuyo índice es igual al producto de los índi-ces de los signos radicales.

En forma simbólica se representa por:

Ejemplos: . m n m n

a



a

0 b  n n n a a b  b

TEMA 2: Radicación

Radicación

...

En forma simbólica la radicación se representa por:

Elementos de la radicación

1. El radicando (a) es cualquier número

dado del que deseamos hallar la raiz.

2. El indice radical (n) indica las veces que

hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.

3. La raíz (b) es el número que multiplicado

por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando.

La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.

n

n_{a b  b a nn2}

Ejemplos:

Entre los principales teoremas de la radicación tenemos:

2. Raíz de un producto

El signo radical se reparte para cada uno de los factores que forman el radicando. En forma simbólica se representa por:

n > 0 m n m n

a



a





1 4 4 2 2 3 2 3 2 3 3 5 3 5 16 16 2 27 27 27 3 9 m m           n

_{a b}

_{ }

n

_a

_

n

_b

Completa el desarrollo de la operación

2 3 3 81 9 9 81 27 3 ( 3) 27            

Teoremas de la Radicación

...

1. Exponente Fraccionario

El denominador del exponente se convier-te en índice y el numerador en exponenconvier-te de la base.

En forma simbólica se representa por:

Ejemplos: Ejemplos: 9 4 9 4 3 2 6 16 81 16 81 4 9 36               3. Raíz de un cociente

El signo radical se reparte tanto para el nu-merador como para el denominador del radicando.

En forma simbólica se representa por:

Ejemplos: 3 3 2 6 3 5 3 5 15 a a a m m m         25 25 5 16 16 4 16 16 4 a a a      

1. 2. 49 = 49 = 49 = 7 2 -1 1 2 1 2 8 = 8 = 8 = 2 3 -1 1 3 1 3 3

Reducir la siguiente expresión: 1 1 ₃ 2 49 8 H     Resolución:

 Hallando el valor de cada sumando:

 Entonces en H tenemos:

H = 7 + 2 H = 9

En este tipo de ejercicios se debe empezar el desarrollo por el exponente de arriba hacia abajo.

Simplificar la siguiente expresión:

3 2 3 4 4 2 3 2 4 m m m L m    Resolución:  Entonces: 3. Aplicando el teorema: n n n _n a a a 2 3 2 4 6 3 2 m m m L m m L L m        Si se cumple: 3 a 1 x x x  , determine el valor de a. Resolución:  Entonces: 1 1 5 1 26 a a3 1 3 1 1 6 2 1 1 1 6 2 1 1 1 2 6 . . . a a a a x x x x x x x x x x x         

Aplicando exponente fraccionario y luego igualamos los exponentes de x.  Igualando exponentes: Simplicar la expresión: 1 2 3 3 3 11 n n n n T  _  _  Resolución:  Entonces: 1 2 3 (3 3 1) 11 3 (3 9 1) 11 3 (11) 11 3 3 n n n n T T T T T n n n n          

Descomponiendo las potencias de 3 y luego factorizando 3n_.

4.

Si: a. b 3, halle el valor de la expresión:

4 2 4 2

K  a a  b

Resolución:

 Entonces:

Dando Forma a K, y encontrando una relación parar reemplazar la condición y hallar su valor.

2 4 2 4 2 4 ₄ 1 4 2 ₂ a K a a b K a a b K a b        2 4 1 2 3 K a b K a b K a b K        5.

16.Si 1 2 4 9 A    y 1 2 4 25 B    , halle: _{M } 3 _AB

17.Halle el valor de verdad de:

1 4 2 5 0 . 81 9 . 6 36 . 0 1 1 . 1 2 I II III IV             15. Reducir: 1 1 2 2 3 3.3 2 a a b b N       14. Simplificar: 2 1 2 3 3 6 3 n n n n n n H      8. Si a 3 b  , hallar 81. a J b  9. Si a 5 b, hallar 4 . 2 a Q a b  12. Si 48 5 5 5 3 3 3 42 . ... . ... . ... veces n veces veces x x x x x x x x x     , hallar «n»

13. Si P x x x x , halle el exponente final de x. 1 1 _{1 4}2 2 4 5 2 Q   _{ }  _{  }   1 1 9 4 125 4 U               2-1 2-1

6. Reduzca las siguientes operaciones

1 1 2 4 1)F 25  16  3 3 4 4 5 5 2) m m m m   3 3 3 5 . . 3)M x x x x x x   1 1 2 2 4)G36  49  12 3 1 5) 4 H          4 2 4 2 6) m m m m x x P x x    1 1 2 2 25 4 7)F . x x               7. Si a. b 2, halle el valor de 3 3 . 2 B ab 10. Simplifica: 11. Simplifica:

1. Reducir la siguiente expresión:

2 3 1 1 3 2 64 100 8 K     

2. Simplificar la siguiente expresión:

3 4 6 4 8 4 4 6 4 5 4 9 m m m G m m     3. Si se cumple: 3 3 a x x x x , determine el valor de a.

4. Si: a b . 2, halle el valor de la expresión:

12 5 2 4 2 M a a  b b 5. Simplicar la expresión: 1 2 5 5 5 29 n n n n H  _  _ 

Ejercicio 1.- Simplificar: 5 3 2 2 3 5 6 .4 .5 10 .8 .3 T  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Ejercicio 2.- ¿Cuál de las sigui entes

expresiones es mayor? A) -23 _{B) (-2)}3 _{C) (-2)}2 _{D) -(-2)}2 Ejercicio 3.- Si: A (26 5) 0 y 4 3 0 2 (8 ) B  , halle A + B. A) 2 B) 65 C) 64 D) 63 Ejercicio 4.- Reducir: 5 6 7 8 4 5 6 7 2 3 4 5 2 3 4 5 S     A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Ejercicio 5.- Reducir: 1 1 1 2 6 2 3 3 R        A) 9 B) 7 C) 3 D) 2 Ejercicio 6.- Si x x 4, halle x. A) 2 B) 1 D) 4 D) 8

Ejercicio 7.- Si x x 1  , halle el valor de:8 1

x 

A) 2 B) 1 D) 4 D) 8

Ejercicio 8.- Halle el valor de:

1 1 1 1 1 1 2 3 4                        A) 3 B) 1 D) 4 D) 5 Ejercicio 9.- Halle: 3 6 8 4 7 0 4 3 0 2 3 M    A) 11/3 B) 6/5 C) 15/4 D) 16/3 Ejercicio 10.- Reducir: 2 2 2 2 2 10 11 12 13 14 365 P     A) 5 B) 1/2 C) 3 D) 2 Ejercicio 11.- Si xx 2, halle: 2x x ₁ P x  x  A) 5 B) 7 C) 9 D) 1 Ejercicio 12.- Simplificar: 12 8 10 7 10 8 2 .5 .3 5 .3 .2 F  A) 90 B) 70 C) 80 D) 20 Ejercicio 13.- Simplificar: 2 3 3 .5 15 .125 x x x N    A) 5 B) 7 C) 9 D) 1 Ejercicio 14.- Reducir: 1 2 2 2 n n n N    A) 8 B) 7 C) 3 D) 2

Ejercicio 15.- Simplificar: 1 1 2 2 4 4 3 2 Y     A) 16 B) 15 C) 14 D) 13

Ejercicio 16.- Halle el valor de:

1 1 3 2 27 4 2 3 Q     A) 17 B) 15 C) 14 D) 18 Ejercicio 17.- Simplificar: 2 2 2 2 2 100 2 5 3 16 T         _{ }  _{ }      A) 1/7 B) 5/2 C) 1/4 D) 1/8 Ejercicio 18.- Simplificar: 2 3 3 3 2 2 n n n n R  _{   }                 A) 6 B) 2 C) 4 D) 3

Ejercicio 19.- Halle el valor de x.

7 / 8 3 x x x 

A) 5 B) 2 C) 4 D) 3

Ejercicio 20.- Si xx _{= 2, halle el valor de:} 1

x x G x 

A) 3 B) 2 C) 4 D) 5

Ejercicio 21.- Simplicar la expresión:

1 2 2 2 2 5 n n n n F  _  _  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Ejercicio 22.- Si ab  , halle el valor de:3

1 ( 1) 2 ( ) b a b T a    A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Ejercicio 23.- Sea: A 2324 y B 2325 , ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? A) A = B B) A > B C) A < B D) A - B = 1 Ejercicio 24.- Simplificar: 2 3 3 3 3 4 4 2 (2 ) .(3 ) .(10) 2 _{2 2} 9 8 2 8 .81 .10 D   A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 Ejercicio 25.- Si 2n _{+ 3}n _{= a, halle:} L= 4n _{+ 9}n _{+ 2.6}n A) a B) a2 _{C) a}3 _{D) a}4 Ejercicio 26.- Simplificar: 6 4 9 3 11 13 4 15 .12 .5 .6 10 .3 .5 M  A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Ejercicio 27.- Simplificar: 1 1 2 2 1 3 1 5 3 3 5 2 8 G     _{   }   _{ }   _{ } _{ }   _{ }                A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 Ejercicio 28.- Simplificar:



5

  

3 15 3



3 5 25 5 25 5. 125 E  A) 1 B) 5 C) 25 D) 125 Ejercicio 29.- Reducir:

 

4 2 ₀ 13 12 ₅ 27 8 n n n n n n P        A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Ejercicio 30.- Simplificar: A) a6 _{B) a}4 _{C) a}5 _{D) a}3 52 13 13 13 13 7 5 5 5 5 . . ... . . .... factores a a a a Q a a a a   35 factores 