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INTRODUCCION AL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE
INTRODUCCION AL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE
ESTADOS DE ESTADOS
ESTADOS DE ESTADOS
Abstract
Abstract —this —this paper paper exposes exposes all all on on thethe introdution to the desi!n o" ontrol s#ste$s "or introdution to the desi!n o" ontrol s#ste$s "or sp
spaae% e% "o"or r &h&hiih h &e &e ususe e ththe e soso"t"t&a&are re $a$atltla'a' si$
si$ulaulatiotions ns "or "or di"di""er"erenent t appappliliatiations ons o" o" thithiss su'(et)
su'(et)
Index
Index TeTermsrms — — ontrol ontrol s#ste$% s#ste$% $atla'% $atla'% trans"ertrans"er "untion)
"untion)
RESUMEN RESUMEN
En
En este este documento documento se se expone expone toda toda sobre sobre lala introducción al diseño de sistemas
introducción al diseño de sistemas de control dede control de espacio, para lo cual utilizaremos el software espacio, para lo cual utilizaremos el software de matlab para realizar las simulaciones de las de matlab para realizar las simulaciones de las diferentes aplicaciones que tiene este tema diferentes aplicaciones que tiene este tema Palabras
Palabras Claves: Claves: sistema sistema de de control, control, matlab,matlab, función de transferencia.
función de transferencia.
II)) IIN
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TR
RO
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UC
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CIIO
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N
La teoría de control moderna se basa en La teoría de control moderna se basa en describ
describir a trair a través vés de las ecde las ecuacionuaciones dees de u
un n ssiisstteemma a een n uun n nnúúmmeerro o n n ddee ec
ecuauacicionones es didifefererencnciaialeles s de de prprimimer er o
orrddeen n qquue e ssoon n coconnffiinnadadaas s een n uunnaa ecuació
ecuación n diferediferencial ncial vectovectorial, rial, de de taltal manera que el incremento de variables manera que el incremento de variables de estado no aumenta complejidad de de estado no aumenta complejidad de las ecuaciones . De tal manera que el las ecuaciones . De tal manera que el an
análálisisis is de side siststemema a cocon múln múltitiplpleses en
entrtradadas as y y sasalidlidas as se se pupuededan an rearealilizar zar m
medediaiantnte e un un pproroceceso so liliereramamenentete complicado los cuales e utilizan para el complicado los cuales e utilizan para el an
análálisisis is de de sisiststememas as de de ececuauaciciononeses d
diiffeerreenncciiaallees s eessccaallaarreess. . !!aarra a llaa re
reaallizizaacicióón n dde e llaas s aapplliicacacicioonnees s oo ejercicios
ejercicios utilizaremos utilizaremos matlab matlab yaya queque es es una
una "er"erramramienienta ta muy versátmuy versátil il parpara a elel model
modelado de ado de este sistema de este sistema de tal maneratal manera que nos permita de una amanera fácil que nos permita de una amanera fácil mi
mirarara ra el el cocompmporortatamimienentotos s de de estestosos sistemas de control.
sistemas de control.
II)
II)
MARCOMARCO TE*RICOTE*RICO++)) R
Reepprreesseennta
taii,,n
n dde
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$a eenn
espaio de estado
espaio de estado
L
La a rereprpresesenentatacicióón n dde e esestataddo o es es unun modelo matemático de sistemas que se modelo matemático de sistemas que se puede
puede e#presar e#presar a a través través de de entradas entradas yy sal
salididas as quque e se se pupuededen en rerelaclacioionanar r coconn ec
ecuauacicionones es didifefererencnciaialeles s de de prprimimer er or
ordeden n quque e se se pupuededen en cocombmbininar ar coconn ecu
ecuacioaciones nes difdiferenerencialciales es matmatriciricialeales s oo v
vecectotoririalales es de de ppririmmer er orordedenn. . $ $ lala re
reprpreseesentntaciación ón estestadado o tamtambibién én se se lala con
conoce oce comcomo la apo la apro#ro#imaimacióción en eln en el do
domimininio o dedel l tietiempmpo, o, titienene e múmúltiltiplpleses entradas y salidas. %l espacio de estado entradas y salidas. %l espacio de estado toma referencia a n dimensiones cuyos toma referencia a n dimensiones cuyos ejes
ejes están constituidos están constituidos por por variables devariables de est
estadado, o, adadememás ás el el estestadado o dedel l sissistemtemaa puede
puede ser ser representado representado como como un un vector vector dentro
dentro de de ese ese espacio.espacio.
Las
Las vvaarriiaabbllees s dde e eessttaaddo o ssoon n eell subconjunto más peque&o de variables subconjunto más peque&o de variables de un sistema que pueden representar su de un sistema que pueden representar su eeststaaddo o ddiinnámámiicco o ccoommpplleetto o en en uunn determinado instante. Las ecuaciones de determinado instante. Las ecuaciones de esta
estado do son son el el conconjunjunto to de de ecuecuacioacionesnes que d
que describeescriben n dinámdinámica de uica de un sisten sistemama mediante la relación entre las variables mediante la relación entre las variables de entrada, salida y
de entrada, salida y variabvariables de les de estadoestado.. %l modelado de sistemas dinámicos en %l modelado de sistemas dinámicos en el espacio de estados permite describir el espacio de estados permite describir el
el cocommpoportrtamamieientnto o de de totodo do titipo po dede sistemas como' ()(*, +)+*, lineales, sistemas como' ()(*, +)+*, lineales,
no lineales, invariantes, variantes, etc La ecuación de estado enérica es'
x1
(
t)
, x2(
t)
,… ,xn(
t)
; u1(
t)
,u2(
t)
, … ´ xi=f i¿ u1(
t)
,u2(
t)
, … , u p(
t)
; w1(
t)
, w2(
t)
, … , wv(
t)
¿
+)+)
Trans"or$ai,n de los
$odelos de siste$as on el
so"t&are MATLA-)
-ransformación del modelo del sistema basado en su función de transferencia al espacio de estados, y viceversa, se debe desde el análisis con la transformación de una función de transferencia al espacio de estados. s9
¿
U¿
Y(
s)
¿
.or$ulai,n en el espaio de estados
de siste$as 'asados en su "uni,n de
trans"erenia)
%l comando tf2ss convierte los parámetros de una función de transferencia de la representación de un sistema dado a los de una representación de espacio de estado equivalente
$, /, 0, D12tf3ss 4num, den5 devuelve las matrices $, /, 0 y D de la representación en espacio de estado para la función de transferencia de entrada única
Del sistemas
%l vector de entrada contiene los coeficientes del denominador en potencias descendentes de s. Las filas de la matriz / contienen los vectores de
coeficientes del numerador 4cada fila corresponde a una salida5. %n el caso de tiempo discreto, debe suministrar b y una para corresponder a los polinomios de numerador y denominador con coeficientes en potencias descendentes de z. !ara los sistemas de tiempo discreto, b tiene el mismo número de columnas que la lonitud de una. (e debe "acer mediante el relleno de cada numerador representa en b con ceros a la derec"a
%jemplo' 0onsidere el sistema definido por la función de transferencia
siuiente'
La representación en variables de estado quedaría'
Trans"or$ai,n del espaio de
estados
a
una
"uni,n
de
trans"erenia)
3
%l comando ss3tf convierte una representación en espacio de estado de un sistema dado a una representación de función de transferencia equivalente. 6um, den1 2 ss3tf 4$, /, 0, D, 7)5 devuelve la función de transferencia
Del sistema
De la iu8t" entrada. 9ector a contiene los coeficientes del denominador en potencias descendentes de s. Los coeficientes del numerador se devuelven en serie b con tantas filas como salidas y. ss3tf también trabaja con los sistemas en tiempo discreto, en cuyo caso se devuelve la representación transformada z
%jemplo' *btener la función de transferencia del modelo de variables de estado del siuiente sistema con entradas y salidas múltiples.
La función de transferencia del sistema para cada entrada y cada salida queda'
+)/)
Solui,n de la euai,n de
estado in0ariante en el tie$po)
$ través de esto obtendrá la solución eneral de la ecuación de estado lineal e invariante en el tiempo. !rimero se considera el caso "omoéneo y lueo el no "omoéneo.
Solui,n de las euaiones de estado
para el aso ho$o!1neo
!rimero realizamos la solución de la ecuación diferencial escalar
´
x=ax
$l resolver esta ecuación, se obtiene una solución x 4t 5 de la forma
(ustituyendo
!or tanto, iualamos los coeficientes de las potencias iuales de t , obteniendo
Donde valor de b: se obtiene sustituyendo t 2:
La solución x 4t 5 es'
M1todo de la trans"or$ada de
Laplae para la solui,n
´
x=ax
-omamos la transformada de Laplace
$l despejar X 4 s5
La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación da la solución
Solui,n de euaiones de estado para
el aso no ho$o!1neo
0onsiderando el caso escala
%l primer término del seundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el seundo término es la respuesta a la entrada u 4t 5. $"ora se considera la ecuación de estado no "omoénea descrita mediante
´
x= Ax ;/u
Donde'
x
2vector de dimensión nu
2vector de dimensión rA
2matriz de coeficientes constantes de n#n-
2matriz de coeficientes constantes de n#r0onsiderando el caso para la ecuación de estado no "omoénea descrita por'
M1todo de la trans"or$ada de
Laplae para Solui,n en t1r$inos de
x 2t 34)
La solución de la ecuación de estado no "omoénea también puede obtenerse mediante el método de la transformada de Laplace.
´
x= Ax ;/u
Donde utilizamos las siuientes ecuaciones
!re multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por
(
sI−
A)
−1 ,obtenemos
La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación se obtiene a partir de la interal de convolución, del modo siuiente'
/) Criterio de ontrola'ilidad #
o'ser0a'ilidad
Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por <alman en el a&o =>?:. %llas afrontan respectivamente la relación que e#iste entre la entrada y el estado 4la controlabilidad5, y entre el estado y la
5
salida 4la observabilidad5. 0ada vez que "aamos referencia a la entrada u 4t 5 del sistema, supondremos que es una entrada de acción de control, y no de una entrada que sea una perturbación al sistema
.
/)+)
Controla'ilidad
7n sistema es controlable a un tiempo t: si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial # 4t:5 a cualquier otro estado en un intercala de tiempo. 7n sistema e#"ibe controlabilidad completa si todos los est ados son contr@lables
)
Contra'ilidad o$pleta del estado de
siste$as en el tie$po ontinuo
0onsidere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por'
,
t A t :, x4t :5 2 x:
Donde , !, C y " son funciones continuas del tiempo. (uponamos que para aluna entrada u 4t 5, t t :,t =1, y
para el estado inicial x:, el estado al tiempo t = es x=. Decimos entonces que la entrada u transfiere el sistema desde el estado #:4en el tiempo t :5 al estado x= 4al tiempo t =5.
(ea t2:
(i se define
Siste$a o$pleta$ente ontrola'le
(i todo estado # 4t:5 del sistema es controlable sobre t:, t=1, el sistema se dice que es completamente controlable sobre t:, t=1.
(ea donde ,
!, C y " son las matrices constantes'
,
, , " 2 :
0omo podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será'
La ecuación de la salida'
y suponiendo que el estado inicial fuere x=4t :5 2 x=:, y x34t :5 2 x3:, podemos raficar el diarama de simulación de dic"o sistema sea'
.or$a alternati0a de la ondii,n
para la ontrola'ilidad o$pleta
(istema definido '
´
x= Ax ;/u
Si los valores propios de Ason distintos, es posible encontrar una matriz de transformación Ptal Que
Si todos los elementos de cualquier la de la matriz .n rson nulos, entonces la variable de estado correspondiente es no controlable por cualquiera de las ui!
Controla'ilidad o$pleta del estado
en el plano S
La condición para una controlabilidad completa del estado se plantea en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. 7na condición necesaria y suficiente para una controlabilidad completa de estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. (i ocurre dic"a cancelación el sistema no puede ser controlado en la dirección del modo cancelado.
%jemplo ' 0onsideremos la función de transferencia siuiente '
Controla'ilidad de salida
%n la mayoría de casos prácticos se desea controlar la salida en luar de los estados del sistema. 0ontrolabilidad
"
completa de los estados no arantiza la controlabilidad de la salida del sistema. (e dene en este caso una matriz (, para la cual debe cumplirse que el
rano debe ser iual a mB el número de variables de salida.
/)/)
O'ser0a'ilidad
Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante las ecuaciones dinámicas
#4t5 2 $#4t5 ; /u4t5 y4t5 2 0#4t5 ; Du4t5
se dice que el estado #4t:5 es observable si dada cualquier entrada u4t5, e#iste un tiempo finito tf A t: tal que el conocimiento de'
=5 u 4t5 para t: C t tf 35 Las matrices $, /, 0 y D E5 la salida y 4t5 para t: C t tf
O'ser0a'ilidad o$pleta para un
siste$a en tie$po ontinuo)
0onsidere al sistema dado' x=¿ Ax ; y=Cx
´¿
%l vector de salida y4t5 es
Donde n es el rado del polinomio característico
O'ser0a'ilidad o$pleta del estado
en el plano S)
Las condiciones para la observabilidad completa también se plantean en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. La condición necesaria y suficiente para una observabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. (i ocurre una cancelación el modo cancelado no se puede observar en la salida.
%jemplo' Demuestre que el sistema
x
=¿
Ax+
Bu; y=
Cx´¿
%n donde!ara definir la observabilidad completa, decimos que el control u 2 :
.or$a alternati0a de la ondii,n
para la o'ser0a'ilidad o$pleta)
Sea el sistema
$ x=¿ Ax ; y=Cx´¿
Supón%ase que la matriz de
transformación P transforma A en una matriz dia%onal, o donde D es una matriz dia%onal! Si se dene
%l sistema es completamente observable si ninuna de las columnas de la matriz
CP
m F n está formada sólo por elementos cero. %sto se debe a que, si la i8ésima columna deCP
está formada sólo por elementos cero, la variable de estado zi4:5 no aparecerá en la ecuación de salida y, por tal razón, no puede determinarse a partir de la observación de#
4t 5. %n este caso,x
4:5, que se relaciona con5
4:5 mediante la matrizP
no sinular, no puede determinarse. 4Gecuérdese que esta prueba sólo se aplica si la matrizP
.=AP
está en forma diaonal.5 (i la matrizA
no se transforma en una matriz diaonal, mediante una matriz de transformación adecuadaS
, se puede transformarA
en su forma canónica de Hordan, oControla'ilidad de prinipio de
dualidad)
$"ora estudiaremos la relación entre la controlabilidad y la observabilidad. )ntroduciremos el principio de dualidad, presentado por <alman, para aclarar las analoías evidentes entre los conceptos de controlabilidad y observabilidad.
0onsideremos el sistema (is= descrito mediante
x=¿ Ax+Bu; y=Cx ´
¿
en donde # 2 vector de estado 4vector de orden n5
u 2 vector de control de orden r y 2 vector de salida 4 de orden m5 $ 2 matriz del sistema de orden n # n / 2 matriz de control de orden n # r 0 2 matriz de salida de orden m # n I al sistema (is3 descrito mediante
z 2 $J z ; 0J v K n 2 /Jz
en donde z 2 vector de estado 4vector de orden n5
v 2 vector de control de orden m n 2 vector de salida 4 de orden r5 $J 2 matriz del sistema de orden n # n /J 2 matriz de salida de orden r # n 0J 2 matriz de control de orden n # m
%l principio de dualidad plantea que sistema (is= es de estado
completamente controlable
4observable5 si y sólo si el sistema (is3
es completamente observable
4controlable5. !ara corroborar este principio repasemos las condiciones
necesarias y suficientes para
la controlabilidad completa y la observabilidad completa de los sistemas (is= y (is3.
!ara el sistema (is='
= 7na condición necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estado es que el rano de la matriz de n # nr
&
3 7na condición necesaria y suficiente para la observabilidad completa del
estado
%s que el rano de la matriz de nm # n
!ara el sistema (is3'
E 7na condición necesaria y suficiente para la controlabilidad completa del estado es que el rano de la matriz de n # nm
7na condición necesaria y suficiente para la observabilidad completa del
estado es que el rano de la matriz de 6r # n
%jercicios'
0alculo de la observabilidad y la controlabilidad
%Este codigo calcula la observabilidad y la controlabilidad %matriz A disp('Matriz A') % A = [-1 1 ! " -#!-$ 1& %matriz disp('Matriz ') % = [1! ! -1& %matriz disp('Matriz ') % = [1 1& %se calcula de la controlabilidad disp('*a matriz de controlabilidad es') +c = ctrb(A, ) %n es el determinante de la matriz de controlabilidad disp('El determinante es') n=det(+c) %si es dierete de es controlable i abs(n) .= disp('Es controlable') else disp('/o es controlable') end disp('*a matriz de observabilidad es') +o = obsv(A,) %si es dierete de es observable i abs(n) .= disp('Es observable') else disp('/o es observable') end calculo de dualidad A=[ ! ! # 1&! =[ 1! 1 ! 1&! =[1 ! 1 &! 0 =zeros()! is1 = ss(A,,,0)!
is = ss(A',',',0)! % istema dual de is1 ctrb(is1) ran2(ans) obsv(is) ran2(ans) obsv(is1) ran2(ans) ctrb(is) ran2(ans)
6) Conlusiones7
%l sistema de espacio de estado son entrado y salido que podemos relacionar con ecuaciones diferenciales de primer rado que nos periten relacionarlas con otras para su resolución.• +ediante +atlab podemos
resolver ejercicios e cada tema propuesto de una manera más fácil y precisa
• %n +atlab podemos utilizar
varios comandos para la resolución de los ejercicios como tf3ss para el sistema de transferencia , ss3tf para la función de transferencia estom dos para el estado de espacio.
• La 0ontrolabilidad puede
controlar varias variables de
entrada solucionando
problemas de la ubicacion de polos
• La observabilidad controla
las variables de estado observando la salida a traves
del sistema linéal
estacionario