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Introduccion Al Diseño de Sistemas de Control en Espacio de Estados_paper

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1 1

INTRODUCCION AL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE

INTRODUCCION AL DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN ESPACIO DE

ESTADOS DE ESTADOS

ESTADOS DE ESTADOS

 Abstract 

 Abstract  —this  —this paper paper exposes exposes all all on on thethe introdution to the desi!n o" ontrol s#ste$s "or introdution to the desi!n o" ontrol s#ste$s "or sp

spaae% e% "o"or r &h&hiih h &e &e ususe e ththe e soso"t"t&a&are re $a$atltla'a' si$

si$ulaulatiotions ns "or "or di"di""er"erenent t appappliliatiations ons o" o" thithiss su'(et)

su'(et)

 Index

 Index TeTermsrms —  — ontrol ontrol s#ste$% s#ste$% $atla'% $atla'% trans"ertrans"er "untion)

"untion)

RESUMEN RESUMEN

 En

 En este este documento documento se se expone expone toda toda sobre sobre lala introducción al diseño de sistemas

introducción al diseño de sistemas de control dede control de espacio, para lo cual utilizaremos el software espacio, para lo cual utilizaremos el software de matlab para realizar las simulaciones de las de matlab para realizar las simulaciones de las diferentes aplicaciones que tiene este tema diferentes aplicaciones que tiene este tema  Palabras

 Palabras Claves: Claves: sistema sistema de de control, control, matlab,matlab,  función de transferencia.

 función de transferencia.

II)) IIN

NT

TR

RO

OD

DU

UC

CC

CIIO

ON

N

La teoría de control moderna se basa en La teoría de control moderna se basa en describ

describir a trair a través vés de las ecde las ecuacionuaciones dees de u

un n ssiisstteemma a een n uun n nnúúmmeerro o n n ddee ec

ecuauacicionones es didifefererencnciaialeles s de de prprimimer er  o

orrddeen n qquue e ssoon n coconnffiinnadadaas s een n uunnaa ecuació

ecuación n diferediferencial ncial vectovectorial, rial, de de taltal manera que el incremento de variables manera que el incremento de variables de estado no aumenta complejidad de de estado no aumenta complejidad de las ecuaciones . De tal manera que el las ecuaciones . De tal manera que el an

análálisisis is de side siststemema a cocon múln múltitiplpleses en

entrtradadas as y y sasalidlidas as se se pupuededan an rearealilizar zar  m

medediaiantnte e un un pproroceceso so liliereramamenentete complicado los cuales e utilizan para el complicado los cuales e utilizan para el an

análálisisis is de de sisiststememas as de de ececuauaciciononeses d

diiffeerreenncciiaallees s eessccaallaarreess. . !!aarra a llaa re

reaallizizaacicióón n dde e llaas s aapplliicacacicioonnees s oo ejercicios

ejercicios utilizaremos utilizaremos matlab matlab yaya queque es es una

una "er"erramramienienta ta muy versátmuy versátil il parpara a elel model

modelado de ado de este sistema de este sistema de tal maneratal manera que nos permita de una amanera fácil que nos permita de una amanera fácil mi

mirarara ra el el cocompmporortatamimienentotos s de de estestosos sistemas de control.

sistemas de control.

II)

II)

MARCOMARCO TE*RICOTE*RICO

++)) R

Reepprreesseennta

taii,,n

n dde

e ssiisste

te$a

$a eenn

espaio de estado

espaio de estado

L

La a rereprpresesenentatacicióón n dde e esestataddo o es es unun modelo matemático de sistemas que se modelo matemático de sistemas que se  puede

 puede e#presar e#presar a a través través de de entradas entradas yy sal

salididas as quque e se se pupuededen en rerelaclacioionanar r coconn ec

ecuauacicionones es didifefererencnciaialeles s de de prprimimer er  or

ordeden n quque e se se pupuededen en cocombmbininar ar coconn ecu

ecuacioaciones nes difdiferenerencialciales es matmatriciricialeales s oo v

vecectotoririalales es de de ppririmmer er orordedenn. . $ $ lala re

reprpreseesentntaciación ón estestadado o tamtambibién én se se lala con

conoce oce comcomo la apo la apro#ro#imaimacióción en eln en el do

domimininio o dedel l tietiempmpo, o, titienene e múmúltiltiplpleses entradas y salidas. %l espacio de estado entradas y salidas. %l espacio de estado toma referencia a n dimensiones cuyos toma referencia a n dimensiones cuyos ejes

ejes están constituidos están constituidos por por variables devariables de est

estadado, o, adadememás ás el el estestadado o dedel l sissistemtemaa  puede

 puede ser ser representado representado como como un un vector vector  dentro

dentro de de ese ese espacio.espacio.

Las

Las vvaarriiaabbllees s dde e eessttaaddo o ssoon n eell subconjunto más peque&o de variables subconjunto más peque&o de variables de un sistema que pueden representar su de un sistema que pueden representar su eeststaaddo o ddiinnámámiicco o ccoommpplleetto o en en uunn determinado instante. Las ecuaciones de determinado instante. Las ecuaciones de esta

estado do son son el el conconjunjunto to de de ecuecuacioacionesnes que d

que describeescriben n dinámdinámica de uica de un sisten sistemama mediante la relación entre las variables mediante la relación entre las variables de entrada, salida y

de entrada, salida y variabvariables de les de estadoestado.. %l modelado de sistemas dinámicos en %l modelado de sistemas dinámicos en el espacio de estados permite describir  el espacio de estados permite describir  el

el cocommpoportrtamamieientnto o de de totodo do titipo po dede sistemas como' ()(*, +)+*, lineales, sistemas como' ()(*, +)+*, lineales,

(2)

no lineales, invariantes, variantes, etc La ecuación de estado enérica es'

 x1

(

)

, x2

(

)

,… ,xn

(

)

; u1

(

)

,u2

(

)

, … ´  xi= i¿ u1

(

)

,u2

(

)

, … , u p

(

)

; w1

(

)

, w2

(

)

, … , wv

 (

)

¿

+)+)

Trans"or$ai,n de los

$odelos de siste$as on el

so"t&are MATLA-)

-ransformación del modelo del sistema  basado en su función de transferencia al espacio de estados, y viceversa, se debe desde el análisis con la transformación de una función de transferencia al espacio de estados. s9

¿

 ¿

(

s

)

¿

.or$ulai,n en el espaio de estados

de siste$as 'asados en su "uni,n de

trans"erenia)

%l comando tf2ss convierte los  parámetros de una función de transferencia de la representación de un sistema dado a los de una representación de espacio de estado equivalente

$, /, 0, D12tf3ss 4num, den5 devuelve las matrices $, /, 0 y D de la representación en espacio de estado para la función de transferencia de entrada única

Del sistemas

%l vector de entrada contiene los coeficientes del denominador en  potencias descendentes de s. Las filas de la matriz / contienen los vectores de

coeficientes del numerador 4cada fila corresponde a una salida5. %n el caso de tiempo discreto, debe suministrar b y una para corresponder a los polinomios de numerador y denominador con coeficientes en potencias descendentes de z. !ara los sistemas de tiempo discreto, b tiene el mismo número de columnas que la lonitud de una. (e debe "acer mediante el relleno de cada numerador representa en b con ceros a la derec"a

%jemplo' 0onsidere el sistema definido  por la función de transferencia

siuiente'

La representación en variables de estado quedaría'

Trans"or$ai,n del espaio de

estados

a

una

"uni,n

de

trans"erenia)

(3)

3

%l comando ss3tf convierte una representación en espacio de estado de un sistema dado a una representación de función de transferencia equivalente. 6um, den1 2 ss3tf 4$, /, 0, D, 7)5 devuelve la función de transferencia

Del sistema

De la iu8t" entrada. 9ector a contiene los coeficientes del denominador en  potencias descendentes de s. Los coeficientes del numerador se devuelven en serie b con tantas filas como salidas y. ss3tf también trabaja con los sistemas en tiempo discreto, en cuyo caso se devuelve la representación transformada z

%jemplo' *btener la función de transferencia del modelo de variables de estado del siuiente sistema con entradas y salidas múltiples.

La función de transferencia del sistema  para cada entrada y cada salida queda'

+)/)

Solui,n de la euai,n de

estado in0ariante en el tie$po)

$ través de esto obtendrá la solución eneral de la ecuación de estado lineal e invariante en el tiempo. !rimero se considera el caso "omoéneo y lueo el no "omoéneo.

Solui,n de las euaiones de estado

para el aso ho$o!1neo

!rimero realizamos la solución de la ecuación diferencial escalar 

´

 x=ax

$l resolver esta ecuación, se obtiene una solución x 4t 5 de la forma

(ustituyendo

!or tanto, iualamos los coeficientes de las potencias iuales de t , obteniendo

Donde valor de b: se obtiene sustituyendo t 2:

 La solución x 4t 5 es'

M1todo de la trans"or$ada de

Laplae para la solui,n

(4)

´

 x=ax

-omamos la transformada de Laplace

$l despejar X 4 s5

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación da la solución

Solui,n de euaiones de estado para

el aso no ho$o!1neo

0onsiderando el caso escala

%l primer término del seundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el seundo término es la respuesta a la entrada u 4t 5. $"ora se considera la ecuación de estado no "omoénea descrita mediante

´

 x= Ax ;/u

Donde'

x

2vector de dimensión n

u

2vector de dimensión r 

A

2matriz de coeficientes constantes de n#n

-

2matriz de coeficientes constantes de n#r 

0onsiderando el caso para la ecuación de estado no "omoénea descrita por'

M1todo de la trans"or$ada de

Laplae para Solui,n en t1r$inos de

x 2t 34)

La solución de la ecuación de estado no "omoénea también puede obtenerse mediante el método de la transformada de Laplace.

´

 x= Ax ;/u

Donde utilizamos las siuientes ecuaciones

!re multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por

(

sI 

 A 

)

−1 ,

obtenemos

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación se obtiene a partir  de la interal de convolución, del modo siuiente'

/) Criterio de ontrola'ilidad #

o'ser0a'ilidad

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por  <alman en el a&o =>?:. %llas afrontan respectivamente la relación que e#iste entre la entrada y el estado 4la controlabilidad5, y entre el estado y la

(5)

5

salida 4la observabilidad5. 0ada vez que "aamos referencia a la entrada u 4t 5 del sistema, supondremos que es una entrada de acción de control, y no de una entrada que sea una perturbación al sistema

.

/)+)

Controla'ilidad

7n sistema es controlable a un tiempo t: si es posible transferir mediante el uso de un vector de control sin restricciones al sistema desde el estado inicial # 4t:5 a cualquier otro estado en un intercala de tiempo. 7n sistema e#"ibe controlabilidad completa si todos los est ados son contr@lables

)

Contra'ilidad o$pleta del estado de

siste$as en el tie$po ontinuo

0onsidere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por'

,

t  A t :,  x4t :5 2 x:

Donde , !, C  y " son funciones continuas del tiempo. (uponamos que  para aluna entrada u 4t 5, t  t :,t =1, y

 para el estado inicial x:, el estado al tiempo t = es x=. Decimos entonces que la entrada u transfiere el sistema desde el estado #:4en el tiempo t :5 al estado x= 4al tiempo t =5.

(ea t2:

(i se define

Siste$a o$pleta$ente ontrola'le

(i todo estado # 4t:5 del sistema es controlable sobre t:, t=1, el sistema se dice que es completamente controlable sobre t:, t=1.

(ea donde ,

 !, C  y " son las matrices constantes'

,

, ,  " 2 :

0omo podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será'

(6)

La ecuación de la salida'

y suponiendo que el estado inicial fuere x=4t :5 2 x=:, y x34t :5 2 x3:, podemos raficar el diarama de simulación de dic"o sistema sea'

.or$a alternati0a de la ondii,n

para la ontrola'ilidad o$pleta

(istema definido '

´

 x= Ax ;/u

Si los valores propios de Ason distintos, es posible encontrar una matriz de transformación Ptal Que

Si todos los elementos de cualquier la de la matriz .n  rson nulos, entonces la variable de estado correspondiente es no controlable por cualquiera de las ui!

Controla'ilidad o$pleta del estado

en el plano S

La condición para una controlabilidad completa del estado se plantea en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. 7na condición necesaria y suficiente para una controlabilidad completa de estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. (i ocurre dic"a cancelación el sistema no puede ser  controlado en la dirección del modo cancelado.

%jemplo ' 0onsideremos la función de transferencia siuiente '

Controla'ilidad de salida

%n la mayoría de casos prácticos se desea controlar la salida en luar de los estados del sistema. 0ontrolabilidad

(7)

"

completa de los estados no arantiza la controlabilidad de la salida del sistema. (e dene en este caso una matriz (,  para la cual debe cumplirse que el

rano debe ser iual a mB el número de variables de salida.

/)/)

O'ser0a'ilidad

Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante las ecuaciones dinámicas

#4t5 2 $#4t5 ; /u4t5 y4t5 2 0#4t5 ; Du4t5

se dice que el estado #4t:5 es observable si dada cualquier entrada u4t5, e#iste un tiempo finito tf A t: tal que el conocimiento de'

=5 u 4t5 para t: C t  tf  35 Las matrices $, /, 0 y D E5 la salida y 4t5 para t: C t  tf 

O'ser0a'ilidad o$pleta para un

siste$a en tie$po ontinuo)

0onsidere al sistema dado'  x=¿ Ax ; y=Cx

´¿

%l vector de salida y4t5 es

Donde n es el rado del polinomio característico

O'ser0a'ilidad o$pleta del estado

en el plano S)

Las condiciones para la observabilidad completa también se plantean en términos de las funciones de transferencia o las matrices de transferencia. La condición necesaria y suficiente para una observabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. (i ocurre una cancelación el modo cancelado no se puede observar en la salida.

%jemplo' Demuestre que el sistema

 x

=¿

 Ax

+

Bu; y

=

Cx

´¿

%n donde

!ara definir la observabilidad completa, decimos que el control u 2 :

.or$a alternati0a de la ondii,n

para la o'ser0a'ilidad o$pleta)

(8)

Sea el sistema

$  x=¿ Ax ; y=Cx

´¿

Supón%ase que la matriz de

transformación P transforma A en una matriz dia%onal, o donde D es una matriz dia%onal! Si se dene

%l sistema es completamente observable si ninuna de las columnas de la matriz

CP

m F n está formada sólo por  elementos cero. %sto se debe a que, si la i8ésima columna de

CP

está formada sólo por elementos cero, la variable de estado zi4:5 no aparecerá en la ecuación de salida y, por tal razón, no puede determinarse a partir de la observación de

#

4t 5. %n este caso,

x

4:5, que se relaciona con

5

4:5 mediante la matriz

P

no sinular, no puede determinarse. 4Gecuérdese que esta prueba sólo se aplica si la matriz

P

.=

AP

está en forma diaonal.5 (i la matriz

A

no se transforma en una matriz diaonal, mediante una matriz de transformación adecuada

S

, se puede transformar

A

en su forma canónica de Hordan, o

Controla'ilidad de prinipio de

dualidad)

$"ora estudiaremos la relación entre la controlabilidad y la observabilidad. )ntroduciremos el principio de dualidad,  presentado por <alman, para aclarar las analoías evidentes entre los conceptos de controlabilidad y observabilidad.

0onsideremos el sistema (is= descrito mediante

 x=¿ Ax+Bu; y=Cx ´

¿

 en donde # 2 vector de estado 4vector  de orden n5

u 2 vector de control de orden r y 2 vector de salida 4 de orden m5 $ 2 matriz del sistema de orden n # n / 2 matriz de control de orden n # r 0 2 matriz de salida de orden m # n I al sistema (is3 descrito mediante

z 2 $J z ; 0J v K n 2 /Jz

en donde z 2 vector de estado 4vector  de orden n5

v 2 vector de control de orden m n 2 vector de salida 4 de orden r5 $J 2 matriz del sistema de orden n # n /J 2 matriz de salida de orden r # n 0J 2 matriz de control de orden n # m

%l principio de dualidad plantea que sistema (is= es de estado

completamente controlable

4observable5 si y sólo si el sistema (is3

es completamente observable

4controlable5. !ara corroborar este  principio repasemos las condiciones

necesarias y suficientes para

la controlabilidad completa y la observabilidad completa de los sistemas (is= y (is3.

!ara el sistema (is='

= 7na condición necesaria y suficiente  para la controlabilidad completa del estado es que el rano de la matriz de n # nr 

(9)

&

3 7na condición necesaria y suficiente  para la observabilidad completa del

estado

%s que el rano de la matriz de nm # n

!ara el sistema (is3'

E 7na condición necesaria y suficiente  para la controlabilidad completa del estado es que el rano de la matriz de n # nm

 7na condición necesaria y suficiente  para la observabilidad completa del

estado es que el rano de la matriz de  6r # n

%jercicios'

0alculo de la observabilidad y la controlabilidad

%Este codigo calcula la observabilidad y la controlabilidad %matriz A disp('Matriz A') % A = [-1 1 ! "  -#!-$  1& %matriz  disp('Matriz ') %  = [1! ! -1& %matriz  disp('Matriz ') %  = [1  1& %se calcula de la controlabilidad disp('*a matriz de controlabilidad es') +c = ctrb(A, ) %n es el determinante de la matriz de controlabilidad disp('El determinante es') n=det(+c) %si es dierete de  es controlable i abs(n) .=  disp('Es controlable') else disp('/o es controlable') end disp('*a matriz de observabilidad es') +o = obsv(A,) %si es dierete de  es observable i abs(n) .=  disp('Es observable') else disp('/o es observable') end calculo de dualidad A=[  !   !  # 1&! =[ 1! 1 !  1&! =[1  !  1 &! 0 =zeros()! is1 = ss(A,,,0)!

is = ss(A',',',0)! % istema dual de is1 ctrb(is1) ran2(ans) obsv(is) ran2(ans) obsv(is1) ran2(ans) ctrb(is) ran2(ans)

6) Conlusiones7

%l sistema de espacio de estado son entrado y salido que podemos relacionar con ecuaciones diferenciales de  primer rado que nos periten relacionarlas con otras para su resolución.

• +ediante +atlab podemos

resolver ejercicios e cada tema propuesto de una manera más fácil y precisa

(10)

• %n +atlab podemos utilizar 

varios comandos para la resolución de los ejercicios como tf3ss para el sistema de transferencia , ss3tf para la función de transferencia estom dos para el estado de espacio.

• La 0ontrolabilidad puede

controlar varias variables de

entrada solucionando

 problemas de la ubicacion de  polos

• La observabilidad controla

las variables de estado observando la salida a traves

del sistema linéal

estacionario

8) -i'lio!ra"9a7

In!enier9a de ontrol $oderna de

:atsuhi:o O!ata

http7;;&&&)unet)edu)0e;<(lrodri!ue5p

;sstrlo's)pd" 

http7;;!a$a)"i$e)uanl)$x;<salinas;la

se=CM)pd" 

http7;;&&&)itesa$)edu)$x;prinipal;

s#la'us;"pd';reursos;r>?/@=)PD.

ftp'MMece.buap.m#MpubMprofesorMacadem> =M0ontrolNprocesosNporNcomputadoraM LibrosM0ontrolO3:enO3:el O3:%spacioO3:deO3:%stado.pdf  "ttp'MMes.slides"are.netMcamiloreneMclase 8P8espacio8de8estado "ttp'MMes.QiRipedia.orMQiRiM%spacioNde  Nestados "ttp'MMfisica.udea.edu.coMSlab8 icmM)nstrumentacionM3:=N%spacio O3:deO3:estados.pdf  "ttp'MMama.fime.uanl.m#MSsalinasMclase T0+.pdf  "ttp'MMQQQ.Qeb.valles.ud.m#MvallesQe  bMsitesMdefaultMfilesMcanalesM:3NofertaNe ducativaMmaestriasMmecatronicaM0ursoN  (istemasNLinealesNdeN0ontrol.pdf  "ttp'MMQQQ.mat"QorRs.comM"elpMmatlab MrefMss3tf."tml

(11)

Referencias

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