Par ordenado:
Par ordenado:
Llamaremos par ordenado a un ente matemático que consiste de
Llamaremos par ordenado a un ente matemático que consiste de
un
un par d
par de
e elementos
elementos que está
que están ord
n ordenados.
enados.
a
a
es la
es la primera componente y
primera componente y
b
b
es la
es la segunda componente .
segunda componente .
Observación:
Observación:
,,
,,
(
Producto Cartesiano
Producto Cartesiano
Sean A y B dos
Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío.
conjuntos diferentes del vacío.
( (
))
{{
,,
//
B
B
a
a b
b a
a A
A b
b B
B
×
×
=
=
∈
∈
∧
∧
∈
∈
Ejemplos:
Ejemplos:
Sean
Sean A
A ={1,2,3}
={1,2,3} y
y B={3,4},
B={3,4}, hallar
hallar
a) A
a) A
××B
B
b) B
b) B
××A
A
c)
c) A
A
××A
A
Solución
Solución
(
( )
) (
( )
) (
( )
) (
( )
) (
( )
) (
( ))
{{
1
1,,3
3 ,, 1
1,, 4
4 ,, 2
2,,3
3 ,, 2
2,, 4
4 ,, 3
3,,3
3 ,, 3
3,, 4
4
A
A B
×
×
B
=
=
Propiedades
1. En general A
×B
≠B
×A.
2.
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
B C A B A C B C A B A C × ∪ = × ∪ × × ∩ = × ∩ ×3. Si
⊂B
y
D E A D B E
⊂⇒
× ⊂ ×B B B
×
⊂
×
A
A B
⊂
×
⊂
×
4.
× − = × − ×
(
B C
) (
A B
) (
A C
)
Nota:
veces vecesSi
entonces
A
...
...
n n n nA A
A
=
= × × × =
= × × ×
ℝ
ℝ ℝ ℝ
ℝ
R es una relación(binaria) de A en B
;
,
R A B A
φ
B
φ
⇔
⊂
×
≠
≠
Dados los conjuntos:
{
2/ .
4
0
A x
= ∈ℕ
x
− =B x
={
∈ℝ
/ .
x
−4
=3
{
Para
B :
− = ⇔ − = ∨ − = −
x
4
3
x
4
3
x
4
3
Solución:
{ }
2Para :
4
0
2
2
pero
2
A
x
x
x
x
A
− = ⇔ = ∨ = −
∈
ℕ
⇒
=
{ }
7
1
como
1,7
x
x
x
B
⇔
= ∨ =
∈
ℝ
⇒
=
( ) ( )
{
Luego
A B
×
=
2,1 , 2,7
Ahora como la relación R es un subconjunto cualquiera de A
×B,
tendremos que todas las relaciones R de A en B son:
( )
{
12,1
R
=
{
(
)
}
22,7
R
=
R
3 ={
( ) ( )
2,1 , 2,7
}
4R
=
φ
Observaciones:
1. A×B tiene2
#( A B× ) elementos.2. Si un elemento (x,y) pertenece a una relación R, entonces lo simbolizaremos
(
x y
,
)
∈ ⇔
R
R
x y y
⇔ =
R
(
x
)
3. Si el conjunto de partida A fuese igual al conjunto de llegada B, entonces
decimos que R es una relación de A en A o simplemente R es una relación en A.
Dominio y Rango de una Relación
Dominio de R:
Llamaremos dominio de una relación R al conjunto formado por
todas las primeras componentes de los pares ordenados de R.
( )
{
( )
}
Dom R
=x
/ ,
x y
∈R
ango e :
Llamaremos rango de una relación R al conjunto formado por todas
las segundas componentes de los pares ordenados de R.
( )
{
( )
Relación inversa
Toda relación R de A en B tiene una relación inversa (recíproca) de B a A, que se define por
( ) ( )
{
}
1,
/
,
b a
a b R
− = ∈Es decir, la relación inversa consta de los pares ordenados que 1
−
al ser invertidos, es decir, permutados, pertenecen a R.
Ejemplo:
Sean A={1,2,3} y B= {a, b} entonces( ) ( ) ( )
{
1,
a
, 1,
b
, 3,
a
=
La relación inversa es( ) ( ) ( )
{
}
1,1 ,
,1 ,
,3
R
− =a
b
a
Propiedades
Dadas las relaciones y de A en B, decimos que:
1 2 1).
(
)
1 1 1 1R
2R
1R
2 − − − ∪ = ∪ 2).(
1 ∩R
2)
−1 =R
1− 1 ∩R
2−1 3).(
R R
1 − 2)
−1 =R R
1− 1 − 2−1Diremos que R es reflexiva si
∀a
∈A, a R a
⇔(a,a)
∈R
Definición:
Sea R una relación binaria R en A, (A
≠ ∅).
Ejemplo:
Relación reflexiva
1) En la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”
es reflexiva ya que ∀x∈ , x R x porque x divide a x. 2) En la relación R definida por:
“a R b ⇔ a es el doble de b”.
no es reflexiva ya que (1, 1) ∉R puesto que 1 no es el doble de 1
ℕ
ℕ
ℕ
Relación reflexiva
Representación Cartesiana
A
Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación.A
Representación Sagital:
A
Si la relación R es reflexiva entonces todo elemento tiene una flecha queDiremos que R es simétrica si
∀a, b
∈A: a R b
⇒b R a
Definición:
Ejemplo:
Relación simétrica
1) En la relación R definida por: “aR b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. es simétrica ya que si a R b ⇒ hay p∈ tal que a – b = 2p
⇒ b – a = 2(-p) con -p ∈ ⇒ b R a
2) En la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”
no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R.
ℤ
ℤ
relación simétrica
Representación Cartesiana
Si la relación R es simétrica sobre A entonces los
pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal
A
p r n c p a .
Representación Sagital:
A
Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos direcciones
Diremos que R es antisimétrica si
∀a, b
∈A: [a R b
∧b R a]
⇒a = b
Otra manera de expresarlo:Si a
≠b
⇒[ (a,b)
∉R
∨(b,a)
∉R ]
Definición:
Ejemplo:
Relación anti simétrica
1) En la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétrica Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈ tales que:
b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m ⇒ n.m = 1 ⇒
n = m = 1 ⇒ a = b.
2) En la relación R definida por: “aR b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. no es antisimétrica ya que 2R 4 y 4R 2, pero 2≠4
ℕ
ℕ
Relación antisimétrica
A
Representación Cartesiana
Si la relación R es antisimétrica
pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal pr nc pa excep o a agona m sma.
Representación Sagital:
A
La relación R es antisimétrica si para cada par de elementos distintos
relacionados la flecha está solo en un sentido
Definición:
Ejemplo:
Diremos que R es transitiva si
∀a, b, c
∈A: [a R b
∧b R c]
⇒a R c
Relación Tansitiva
“ ”
es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ∈ tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈
⇒ b R c.
2) En la relación R definida por: “a R b ⇔ a es el doble de b”.
no es transitiva ya que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)∉ R
ℕ
ℕ
Relación Transitiva
Representación Sagital:
La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos,
también está la flecha que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino.
Cuadro Resumen
Propiedad R
Se satisface sii No se satisface sii
Reflexiva ∀a∈A a R a
Completa la siguiente tabla:
Simétrica ∀ a, b ∈A: a R b ⇒ b R a Antisimétrica ∀ a, b ∈A: [a R b ∧ b R a] ⇒ a = b Transitiva ∀ a, b, c ∈A: [a R b ∧ b R c] ⇒ a R c
Cuadro Resumen
Propiedad R
Se satisface sii No se satisface sii
Reflexiva ∀a∈A a R a ∃ a∈A (a,a)∉R
Verifique:
m tr ca ∀ a, b ∈A: a R b ⇒ b R a ∃ a, b ∈A: (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∉ R Antisimétrica ∀ a, b ∈A: [a R b ∧ b R a] ⇒ a = b ∃ a, b ∈A: (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ∧ a ≠ b Transitiva ∀ a, b, c ∈A: [a R b ∧ b R c] ⇒ a R c ∃ a, b, c ∈A: (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∉ REjercicios
Ejercicio 1:
Sea A = {1, 2, 3, 4}.
i) Represente gráficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y sagital.
e erm ne as prop e a es que sa s acen as s gu en es re ac ones en y verifíquelas (demuéstrelas) a) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3)}. b) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4) , (1,2) , (1,4) , (2,1), (3,2) , (4,3) }. c) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4)}. d) R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (3,2) , (2,3) }. e) R = { (1,1) , (1,2) , (1,4) , (2,3), (4,3) }.
Ejercicios
Ejercicio 2:
Sea A = {1, 2, 3, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientes propiedades:
i) Reflexiva, simétrica y no transitiva e ex va, no s m r ca y rans va iii) No reflexiva, simétrica y transitiva
Ejercicios
Ejercicio 3:
Sea A = {1, 2, 3, 4}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:
(a)
(b)
A
1 2 3 4A
1 2 3 4a) Exprese las relaciones anteriores por extensión
b) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y pruébelas!
Ejercicios
Ejercicio 4:
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:
(c)
(d)
i) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y pruébelas!
A
1 2 5 3 4A
1 2 5 3 4Ejercicios
Ejercicio 5:
Definimos en ℜ, el conjunto de los números reales, la relación R : x R y ⇔⇔⇔⇔ x – y ∈∈∈∈ Ζ ΖΖ Ζ
Determina las propiedades que cumple R y demuestra, usando la e n c n, que e ec vamen e as ver ca
Tipos de relaciones
Relación de equivalencia
Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de equivalencia si satisface las tres propiedades:
R es reflexiva R es simétrica R es transitiva
Ejemplos:
1) En Z la relación R definida por: a R b ⇔ a – b es múltiplo de 3. 2) Dado un conjunto D⊆ U , la relación:
AR B ⇔ A ∩ D = B ∩D
Tipos de relaciones
Relación de orden
R es una relación de orden en A, si y sólo si R es reflexiva R es antisimétrica R es transitiva Sea
R
⊂ 2 ( , ) R a A ∈ ⇒ a a ∈ ( ) ( ) { a b R , ∈ ∧ b a R , ∈ }⇒a b= , , ,Relación de orden parcial
Sea R una relación de orden en A
R es de orden parcial si y sólo si (existen pares de elementos incomparables)
( )
( )
,
/
,
,
a b a b R b a R
Relación de orden total
Sea R una relación de orden en A R es de orden total si
( )
( )
{
,
,
}
Ejemplo:
En
ℕ
definimos la relación de divisor, es decir/
n a
⇔ ∃ ∈
k
ℕ
a nk
=
Esta relación es de orden y parcial . En efecto: i) Reflexiva:
a
∈ℕ
:
a a
=.1
⇒
a
a
n s m r ca:ean
a
∧
a
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2y
/
.
1
1
luego
nk k
b ak
a bk
ab ak bk
k
k
k
k
a b
⇒
∃
∈
=
∧
=
⇒
=
⇒
=
⇒
= =
=
ℕ
iii) Transitiva: Sean
{
a b b c
∧
⇒
{
b ak
=
1∧
c bk k k
=
2,
1,
2∈
ℕ
}
(
)
1 2 1 2 1 2entonces .
.
.
.
b c ak bk
c a k k
c ak
k k k
=
⇒
=
⇒
=
=
∈
ℕ
a c
⇒
También es una relación de orden parcial, pues