Fracciones decimales: expresiones decimales exactas. Expresiones decimales periódicas. como fracción decimal? como fracción decimal?

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CAPÍTULO N° 4: NÚMEROS DECIMALES

Fracciones decimales: expresiones decimales exactas. Expresiones decimales periódicas.

1) Resolvemos juntos:

Encontrar las expresiones equivalentes de 3

4 y 4 : 3 4= 6 8= −12 −16= 15 20= 75 100=...

2) a) ¿Se puede expresar 4

25 como fracción decimal?

b) ¿Se puede expresar 2

3 como fracción decimal?

Para realizar cálculos donde aparezca alguna expresión decimal periódica, es necesaria transformarla previamente en una fracción irreducible y luego operar.

1) Números periódicos puros: a) 0, ̂2 = 2 9 b) 1, ̂2 = 12

1 9 c) 0, ̂36 = 36 99 d) 2, ̂45 = 245

2 99 = 243 99 = 27 11

2) Números periódicos mixtos: a) 0,1 ̂3 = 13

1 90 = 12 90 = 2 15 b) 1,1 ̂6 = 116

11 90 = 105 90 = 7 6 c) 0,1 ̂46 = 146

14 900 = 132 900 = 11 75

3) Dividir las siguientes expresiones y analizar las diferentes situaciones: a) 90 25 = b) 5 3 = c) 29 22 =

4) Clasifica estos números según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos:

1,52929... 0,89555.... -7,5555.... 120,8

-5,12333.... -5, 12121... -1,732 1,0340340...

5) ¿Cuál o cuáles de los tres está equivocado y por qué?

Recuerda que:

Una fracción decimal tiene como denominador la

unidad seguida de cero Para convertir una fracción decimal se resuelve la división que indica la fracción.

Un núme ro enter o se puede expresa r como un a fracció n Cualquier fracción se puede expresar como un número

decimal exacto periódicoEn un número hay cifras decimale

s que se repiten indefinidam

ente

Todo número racional tiene una expresión decimal que puede ser exacta o periódica

(2)

6) Expresa las fracciones como número decimal y viceversa: a) 9 8 = b) − 9 11 = c) 7,35 = d) 1, ̂274 = e) 8,9 ̂1 = f) −18, ̂57 =

7) Expresa como fracción y después escribí tus conclusiones:

7, ̂9 = 12, ̂9 = 3, ̂9 =

8) Piensa y escribe ejemplos de fracciones con denominadores menores o iguales a 10. Escribí

las correspondientes expresiones decimales. ¿ Con qué denominadores se obtienen siempre expresiones decimales exactas?

9) ¿ Cuántas cifras decimales esconde la calculadora? Comprueba con la fracción 1

13 ¿Cuántos términos tiene el período?

10) Hallen con la calculadora la expresión decimal de : 2

7; 3 7 ; 4 7 ; 5 7 ; 6 7 ¿Observas algo curioso?

11) Ordena de mayor a menor las siguientes expresiones decimales:

0,12 ; 0,112 ; 0,2 ; 1,7 ; 1,17 ; 1,07 ; 0,1 ̂2 ; 1,0 ̂7

12) Indica los números que señalan las flechas:

a) b)

13) Con las 5/7 partes de una barra de aluminio hice las puertas, y con el resto, 1,25 metros, una ventana.¿Cuál era la longitud de la barra?

14) Primero vendí los 5/9 de un terreno. Después los 3/8 y me quedé con solo 565,34 m2.¿Cuánto medía el terreno original?

15) ¿Por qué son válidos los métodos?

a) Calcular el 75% de un número es lo mismo que multiplicarlo por 3 y dividirlo por 4. b) Multiplicar por 0, ̂3 es lo mismo que dividir por 3.

c) Dividir un número por 2 equivale a calcular el 50% de él. d) Dividir por 9 equivale a multiplicar por 0, ̂1 .

e) Dividir un número por 0, ̂6 es lo mismo que sumarle su mitad.

Operaciones con decimales Suma y resta Ejemplo 1: 3,42 + 2,7 =342 100+ 27 10= 612 100=6,12 Ejemplo 2 : 9,7 − 2,43 =97 10− 243 100= 727 100=7,27

Para sumar y restar expresiones decimales, se colocan de modo que queden encolumnadas las unidades del mismo orden y luego se operan.

6,4 6,5 6,7

Recuerda que:

La equivalencia entre las Expresiones decimales las Fracciones decimales Permite realizar adición y Sustracción de decimales por medio de fraccione

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16) Observa el siguiente cuadro publicado por la Cooperativa “ Tomates y algo más”: “Tomates y algo más”

“Tomates y algo más”

Costos y precios de un cajón de 20 kg $ Costo de producción (siembra, riego,

cosecha, etc) 7,5

Precio de venta 65,0

Transporte 3,5

Descarga 0,85

Consignatario (15% del precio de venta) 9,75

IVA ( 10,5 % del precio de venta) 6,83

a) Calcula el dinero que tiene que invertir el productor por cada cajón de tomates.

b) Calcula la ganancia que recibe el productor por cada cajón de tomates vendido.

Multiplicación Ejemplo 1: 7,348 . 100=7348 1000 . 100 = 7348 . 100 1000 = 7348 10 =734,8

En la práctica , multilpicar por la unidad seguida de ceros implica correr la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan a la unidad Ejemplo 2: 6,5 . 0,75=65 10 . 75 100= 4875 1000=4,875 En la práctica: 6,5 1 cifra decimal x 0,75 2 cifras decimales 325

455

4,875 3 cifras decimales

Se multiplican los números como si fueran enteros y luego en el producto, se coloca la coma contando desde la derecha, tantos lugares como indica la suma de las cifras de los dos factores.

División Ejemplo 1: 567,23 : 100=56723 100 . 1 100= 56723 10000=5,6723

En la práctica , dividir por la unidad seguida de ceros implica correr la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros sigan a la unidad Ejemplo 2: 13,47 : 2,3= 134,7 : 23=1347 10 : 23= 1347 10 . 1 23= 1347 230≈5,85 17) Calcula y reflexiona 18) Calcula y reflexiona

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19) a) b) c) d) Aproximación y truncamiento

Las cifras de una expresión decimal se pueden acortar por razones prácticas aproximando o truncando a la cifra de los décimos , centésimos, milésimos, etc

Para aproximar primero se debe determinar hasta que cifra decimal se va a considerar y luego, observar la cifra que se encuentra a su derecha .

· Si la cifra de la derecha es 0 ; 1; 2 : 3 o 4, la cifra considerada se deja igual (por defecto)

· Si la cifra de la derecha es 5 ; 6 ;7 : 8 o 9, a la cifra considerada se le suma 1 (por exceso) 1) a los décimos 1) a los centécimos 1) a los milécimos a) 1,4 3≡1,4 a) 4,58 4 ≡4,58 a) 5,806 2≡5,806 b) 2,6 8≡2,7 b) 7,13 5≡7,14 b) 8,0109≡8,011

Al realizar una aproximación se obtiene un nuevo número decimal distinto del original y se genera un error . El error absoluto (ε) es el módulo de la diferencia entre el número original y el nuevo valor.

Ejemplo: ε=∣2,68−2,7∣=0,002

Truncar : es cortar el número en una determinada cifra decimal y eliminar las restantes.

20) Aproximar los siguientes números racionales:

a) A los décimos (ε<0,1) 2,7623 d) A los décimos (ε<0,1) 2

11

b) A los centésimos (ε<0,01) 8,2319 e) A los centésimos (ε<0,01) 6

13

c) A los milésimos (ε<0,001) 6,48972 f) A los milésimos (ε<0,001) 5

(5)

21) Analizar y responder:

a) ¿En qué tipo de expresiones decimales aproximar y truncar es lo mismo?

b) ¿Y en que tipo de expresiones se comete mayor error al truncar?

22) Resolver las siguientes operaciones:

a) 0, ̂8−(1, ̂9+2,3 + 1 10)−0,7 ̂5+ 2 5 = R = − 58 15 b) 3,2 . 0,625 . 0, ̂2+0,4 . 2,5+1, ̂1−2, ̂4 = R = 1 9 c) 2+0, ̂75−1, ̂4+0, ̂9−(1, ̂36+0, ̂93) = R = 1 99 Para practicar

23) A qué números le corresponden los puntos M, N, P, Q y R de esta recta?

24) Encuentren un número racional ”a” tal que:

a) 1a sea igual a 2

b) 3. a sea racional negativo

c) 1

4. a sea igual a 8.

d) −4

a sea un número comprendido entre 0 y 1

25) a) 2+0, ̂75−1, ̂4+0, ̂9−(1, ̂36+0, ̂93) = R = −58 15 b) 22,5 . 0,0 ̂2.(1 2− 1 10+0, 4)−[−(−0,5+ 1 4)− 2 10] = R = 7 20

(6)

CAPÍTULO N° 5: POTENCIAS. NOTACIÓN CIENTÍFICA. RAÍCES POTENCIAS

Resolvemos juntos: 1)

2)

Si elevo el numerador de la fracción 32 a la tercera potencia ¿ que debo hacer con su denominador para obtener una fracción equivalente?

3)

Ailén le pidió un préstamo a su hermana Analía. Para pagar su deuda Graciela se organizó de la siguiente manera: la primera semana le pagará la mitad de su deuda, y en las semana siguientes le abonará la mitad de lo pagado en la semana anterior. ¿ Qué parte de la deuda pagó luego de cuatro semanas? ¿ Qué parte de la deuda deberá abonar la octava semana?

¿ Qué opinan del arreglo?

Veamos como pagó Ailén su deuda:

La primera semana Ailén abonó 12 de su deuda

La segunda semana pagó 12 de 12 de su deuda es decir: 12 . 12 = 14 = (1 2)

2

La tercera semana 12 de 14 de su deuda = 1

8 = (

1 2)

3

La cuarta semana pagó 12 de 18 = 116 = (1 2)

4

En la octava semana deberá pagar entonces (1

2) 8

de la deuda Mi opinión sobre el sistema:

---

(7)

Potencia enésima de un número racional con n∈ℕ∧a b∈ℚ Si n > ℕ , (a b) n =a b . a b . a b... a b

n factores =a n bn Ejemplo: ( 2 7) 2 = 4 49 ; (− 1 3) 3 =− 1 27 ; (− 1 3) 2 =1 9 Si n =1, ( a b) n =a b Ejemplo: ( 27) 1 =2 7 ; (− 13) 1 =−1 3 Si n =0 ∧ a≠ 0 , (a b) n =1 Ejemplo : (−12 5 ) 0 =1 Si el exponente es negativo: (a b) −n =(b a) n Ejemplo: (2 3) −4 = (3 2) 4 = 81 16

4) Teniendo en cuenta lo visto en el punto anterior completen la siguiente tabla y respondan a las preguntas:

(8)

Propiedades de la Potenciación Si a

b y cd son números racionales distintos de cero, y n un número entero entonces se cumplen las siguientes propiedades:

[(a b) n ] m = (a b) n.m Ejemplos : [(1 2) 3 ] 2 = (1 2) 6 = 1 64 (a b . c d) n = (a b) n . (c d) n Ejemplos : (3 2) 2 . (2 5) 2 = (3. 2 2 . 5) 2 = ( 6 10) 2 = 36 100 (a b : c d) n = (a b) n : (c d) n o (a b : c d) n = (a b . d c) n = (a b) n . (d c) n Ejemplos : (1 2) 2 : (2 3) 2 = (1. 3 2 . 2) 2 = (3 4) 2 = 9 16 Si las bases son iguales y n y m dos números enteros, entonces :

a b n . a b m = (a b) n + m Ejemplos : (1 3) 2 . (1 3)= ( 1 3) 1 + 2 = (1 3) 3 = 1 27 a b n : a b m = (a b) n − m Ejemplos: (1 3) 4 . (1 3) 2 = (1 3) 4 − 2 = (1 3) 2 =1 9

6) Resolver las siguientes potencias:

a )

(

1 2

)

4 :

(

1 2

)

2 = b)

(

−1 3

)

1 :

(

−1 3

)

9 = c )

(

1 5

)

8 :

(

1 5

)

5 = e)

(

3 2

)

−2 :

(

3 2

)

8 = f )

(

−3 4

)

7 :

(

−3 4

)

5 = 7) Completar: a ) (−1 4) 5 .( ) = (−1 4) 10 b ) (−3 2) 12 :( ) = (−3 2) 2 c ) ( ) :(1 3) 0 = (1 3) 3

(9)

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Una de las ventajas del sistema decimal es que las cantidades muy grandes o muy pequeñas se pueden expresar utilizando potencias de 10.

9) Calcula:

a) 5,32 . 10 = b) 3,6 . 1000= c) 0,245 . 100 =

d) 2,7 : 100 = e) 13,9 : 100= f) 31 : 1000=

a) 390.000 .000 = 39 . 10 000 000 = 3,9 . 10. 10 000 000 = 3,9 . 100 000 000 = 3,9 . 108escribimos el número en potencias de 10 para expresarlo en notación científica b) 2 370 000

6 cifras =2,37 . 106 a) 0,0000027 = 27 10.000 .000 = 2,7 . 10 10.000 .000 = 2,7 . 10 . 10

−7=2,7 . 10−6expresamos como potencia de 10

b) 0, 00000004

8 cifras

15 = 4,15 . 10−8

(10)

Operaciones con Notación Científica:

11) Resolver aplicando propiedades de potencias y utilizando notación científica:

a) 6,2 . 102+4,5 .105+1,8. 107 = b) 12,48. 106−7, 3. 102 = c) 0,0000006+0,0000012 = d) 102.10−5. 107 = e) 106. 10−2:10−5 = f) 1011 104.102 = g) 0,0000006 :2000 = h) 360 000000 . 0,000005 0,006. 200 = i) 0,0000024 80000 : 1200000 0,0003 =

12) El período de revolución de la Tierra ( tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol ) es de 365 días. Calcula este tiempo en segundos y exprésalo en segundos.

13) El profesor de biología dió los siguientes datos, exprésalos en notación científica: Tamaño de algunos virus:

influenza o gripe : 0,00012 mm = fiebre aftosa : 0,000023 mm = mosaico del tabaco: 0,0002 mm =

Poder de resolución del microscopio óptico: 0,0001 mm =

Poder de resolución del microscopio electrónico: 0,000001 mm = 14)

(11)

RADICACIÓN

La profesora de actividades prácticas nos pidió que lleváramos a la escuela un trozo de madera cuadrado de 144 cm2 de superficie. En mi casa encontré dos trozos de madera: uno tiene 10cm de largo por 25cm de ancho y otro tiene 15cm de largo por 16cm de ancho.

¿ Cualquiera de los dos me sirve para cortar el cuadrado que necesito? Vamos a ayudar a Manuelito:

Necesitamos conocer la longitud del lado del cuadrado. Para ello recurrimos a calcular la superficie del cuadrado es:

superficie □ = L2 144 cm2= L2

¿Qué longitud tiene que tener cada lado del cuadrado?

¿ Le sirve a Manuelito cualquiera de los dos trozos de madera?

15) Calcula las siguientes raíces:

a) 3

√27 = b) 4

√16 = c) 3

√−125 = d) 8

√1 =

16) Piensa como harías para calcular √841 que no sea exacta sin calculadora y haciendo la

menor cantidad de cuentas posibles.( ayuda: 202= 400 y 302= 900 )

17) Calcula sin usar la calculadora

a) √289 = b) √784 = c) √529 = d) √1296

No existe ningún número natural cuyo cuadrado sea 50. Decimos entonces que 50 no es un cuadrado perfecto. Si : 72 = 49 y 82 = 64 entonces 72 < 50 < 82

7 es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor que 50

Decimos entonces que 7 es la raíz cuadrada entera de 50 y a la diferencia entre 50 y 49 la llamamos resto (r) . Lo escribimos como :

√50 =7 , r = 1

18) Usando lo visto anteriormente calcula:

a) √29 = b) √42 = c) √95 = r = r = r =

⇨ Para calcular la raíz de una fracción : n

a b = na n √b donde n , a y b∈ℕ

Para calcular la raíz de una expresión decimal existe una regla práctica : la cantidad de lugares decimales de la raíz es igual a la cantidad de lugares decimales de la base divida el índice :

a.0,09 = 0,3 ; porque 0,32 = 0,09 b.30,008 = 0,2 ; porque 0,23 = 0,008 ⇨Si la cantidad de lugares decimales de la base no se puede dividir exactamente por el índice,

entonces la raíz no es exacta Ejemplos :0,4 ;3 √0,64

(12)

a)

25 49 = b) √0,36 = c) 3

−8 125 = d) √2, ̂7 = e) 3 √0,000064 =

20) Colocar V o F según corresponda:

a) 0,02<√0,0007<0,03

b) 0,1 <√0,05<0,2

d) 0,006<√0,000045 <0,07

21) Resolver las siguientes operaciones aplicando propiedades cuando sea posible:

a)

4 3 .

3 5.

5 = b)

3

64 729 = c) 5

1 3 :

1 3 = d)

1−3 4 = e)

32 5 :

2 5 = f)

( 3 5) −2 −1 = 22) 1. (2 5 +1,2⋅0,̄3): 4−2,2= 2. (85−1)⋅527+(0,̄5−1,̄3)÷7= 3. −3 4⋅0, ̄8−( 1 3+1)÷2= 4. (0,04⋅6+1,2)÷ 12 5 −0,02÷0,4+ 7 4= 5. (3, ̄6−1,̄2)÷1,1−0,̄4÷2−2⋅(1+2 3)= 6. (1,̄3−0,8 ̄3) 3+2−2

3 4−0,5= 7.

(3−2+0,̄6)÷1 7−(1,5−56) 2 −2, ̄3= 8. (2 5−1) −1 +(0, ̄4−1,̄2)÷1 2+2,̄2= 9.

1−0, ̄5−(1,5)−2+(5 18−0,̄7)⋅2, ̄4= 10. (− 3 4) −2 −1,̄5÷

1,1 ̄6⋅10,5+(−1+0,̄6)2=

(13)

PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN

23) El tren de las nubes, en Salta recorre 434 km (ida y vuelta) en casi 15 hs. Juan recorre con

cada paso las 3

4 partes de un metro. ¿ Cuántos pasos tendría que dar Juan para hacer el mismo recorrido que el tren de las nubes? (Usa la notación más conveniente)

24) Esteban es artista plástico y quiere armar una obra sobre un cuadrado de madera de

9,4 dm de lado. El 45% del cuadrado lo quiere cubrir con materiales de textura suave: un tercio con terciopelo blanco y lo demás, con algodón coloreado. En la mitad del resto usará cortezas de árboles y sólo cubrirá con piedras la onceava parte de lo que queda. Aún no decidió que otros materiales rugosos utilizará.

a) ¿ Qué fracción del total asignó a cada material ?

b) ¿ Qué área cubrirá con cada material ?

c) ¿ Es cierto que aún le falta decidir que material usará en la cuarta parte de la obra ?

25) En las computadoras el tamaño de la letra se mide en puntos. Un punto equivale a 3

8 en

milímetro. Según las reglas de edición, la distancia entre dos líneas de texto o interlineado debe ser 2 puntos mayor que el tamaño de la letra, salvo que corresponda a un punto y aparte en cuyo caso debe ser 6 puntos mayor. Si se quiere escribir en cuerpo 10 un texto de 55 líneas con 5 puntos y aparte, ¿ entra en una hoja A4? ¿ por qué?

Considera que una hoja A4 mide 29,7 cm de largo, y hay que dejar un margen superior de 3cm y otro inferior de 2,5 cm.

26) Escribí en un solo cálculo todas las operaciones que hiciste para resolver la actividad anterior

27) Expresa todos los números como fracción y resuelve:

a)

3(−4 7) 0 −[2 3+(0, ̂3) 3 ] = b) [(−3) 2 2 + 4 3].

0, ̂36 . 0,36 . 0,9 ̂9 = d)

(0, ̂1) −1 . 0,25−

5−(1 2) 4 +(1 2) 5 =

28) Efectúa las siguientes operaciones :

(14)

Figure

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