Transformada Z

(1)

TRANSFORMADA Z

Ing. Juan Sacerdoti Ing. Juan Sacerdoti

Departamento de Matemática Departamento de Matemática

Facultad de Ingeniería Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires Universidad de Buenos Aires

2003 2003 V 2.07 V 2.07

(2)

(3)

ÍNDICE

TRANSFORMADA Z

1.- INTRODUCCIÓN

1.1-

1.1- SISTEMAS

SISTEMAS Y

Y SEÑALES

SEÑALES

1.1.1.- DESCRIPCIÓN

1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS

Y ELEMENTOS DE

DE UN

UN SISTEMA DE

SISTEMA DE SEÑALES

SEÑALES

1.1.2.-

1.1.2.- VARIANTES DE

VARIANTES DE MODELOS DE

MODELOS DE SISTEMA

SISTEMA

1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO)

1.1.2.2.- SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO)

1.1.2.3.- S

1.1.2.3.- SISTEMAS

ISTEMAS CON

CON PERTURBACIONES

PERTURBACIONES

1.1.2.4.- EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES

1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS

1.2.1.- SEÑALES Y

1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS

SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y

DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO

DISCRETO

1.2.1.1.-

1.2.1.1.- DEFINICIONES DE

DEFINICIONES DE SEÑALES Y

SEÑALES Y SISTEMAS

SISTEMAS DE TIEMPO

DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO

CONTINUO Y DISCRETO

1.2.1.2.-

1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D)

CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y

Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A)

DIGITAL/ANALÓGICA (D/A)

1.2.1.2.1.-

1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN

CONVERSIÓN A/D

A/D

1.2.1.2.2.-

1.2.1.2.2.- CONVERSIÓN

CONVERSIÓN D/A

D/A

1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA

1.2.3.- SISTEMA CAUSAL

1.2.4.- SISTEMA ESTABLE

1.2.5.- SISTEMAS LINEALES

1.2.6.- SISTEMAS INVARIANTES

1.3.- TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA

1.3.1.- QUE ES UNA TRANSFORMADA

1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES

1.4.-

1.4.- APLICACIONES

APLICACIONES DE

DE TRANSFORMADA

TRANSFORMADA ZETA:

ZETA: SISTEMAS

SISTEMAS TDLI

TDLI

1.5.- SEÑALES PARTICULARES

1.6.-

1.6.- ELEMENTOS

ELEMENTOS DE

DE LOS

LOS SISTEMAS

SISTEMAS TDLI

TDLI

2.-

2.- DEFINICIÓN DE

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA

LA TRANSFORMADA ZETA

ZETA

2.1.-

2.1.- TEOREMA DE

TEOREMA DE LA SERIE

LA SERIE DE LAURENT

DE LAURENT

2.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA

2.3.-

2.3.- CAMPO

CAMPO O

O REGIÓN

REGIÓN DE

DE CONVERGENCIA (ROC)

CONVERGENCIA (ROC)

2.4.- NOTACIÓN

2.5.-

2.5.- REDUCCIÓN

REDUCCIÓN A LA

A LA TRANSFORMADA FINITA

TRANSFORMADA FINITA DE

DE FOURIER

FOURIER

3.- TRANSFORMADA ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES

3.1.-

3.1.- ESCALON

ESCALON UNITARIO

UNITARIO u[n]

u[n]

3.2.- IMPULSO UNITARIO

δδδ δ δ δ δ δ

[n]

3.3.- TABLA

(4)

4.- PROPIEDADES

4.1.- LINEALIDAD

4.2.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO

4.3.- DESPLAZA

4.3.- DESPLAZAMIENTO

MIENTO z

z –

– aa

4.4.- MODULACIÓN DE SUCESIÓN EN TIEMPO

4.4.1.- M

4.4.1.- MODULACIÓN

ODULACIÓN CON

CON aa

n n

4.4.2.- M

4.4.2.- MODULACIÓN

ODULACIÓN CON

CON ee

iiα α ααα α α α n n

4.5.-

4.5.- CAMBIO

CAMBIO DE E

DE ESCALA

SCALA

4.5.1.- GENÉRICO

4.5.2.- INVERSIÓN EN z

4.6.-

4.6.- TZ

TZ DE

DE LA

LA DIFERENCIA

DIFERENCIA FINITA

FINITA

4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA

4.6.2.- SEGUNDA DIFERENCIA

4.7.-

4.7.- TZ

TZ DE

DE LA

LA SUMA

SUMA FINITA

FINITA

4.8.-

4.8.- DERIVADA DE

DERIVADA DE LA TZ

LA TZ

4.9.-

4.9.- PRIMITIVA

PRIMITIVA DE LA

DE LA TZ

TZ

4.9.1.-

4.9.1.- PRIMITIVA

PRIMITIVA DE

DE LA TZ

LA TZ EN

EN EL

EL ANILLO

ANILLO A(r

A(r

11

,r

2 2

)

4.9.2.-

4.9.2.- PRIMITIVA

PRIMITIVA DE

DE LA

LA TZ

TZ EN

EN EL

EL ANILLO

ANILLO A(r

A(r

11

, ,

∞∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

)

4.10.-

4.10.- CONVOLUCIÓN

CONVOLUCIÓN DE S

DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA

UCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL

DEL PRODUCTO

PRODUCTO DE

DE

TRANSFORMADAS.

4.11.- CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE

SUCESIONES

4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA

4.13.- RESUMEN DE PROPIEDADES

5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL

5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CAUSAL

5.2.- DEFINICIÓN

5.2.- DEFINICIÓN DE LA

DE LA TRANSFORMADA ZETA

TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL

UNILATERAL

5.3.- CAMPO

5.3.- CAMPO DE CONVERGENCIA DE

DE CONVERGENCIA DE LA CAUSAL

LA CAUSAL

5.4.- NOTACIÓN

5.5.- PROPIEDADES DE LA CAUSAL

5.5.1.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DE LA CAUSAL

5.5.2.- DIFERENCIAS FINITAS

5.5.2.1.-

5.5.2.1.- CAUSAL

CAUSAL DE

DE LA

LA PRIMERA

PRIMERA DIFERENCIA

DIFERENCIA

5.5.2.2.-

5.5.2.2.- CAUSAL

CAUSAL DE

DE LA

LA SEGUNDA

SEGUNDA DIFERENCIA

DIFERENCIA

5.5.3.- CONVOLUCIÓN DE LA CAUSAL

5.5.4.- TEOREMA DE RIEMANN Y COROLARIOS

5.5.5.- TEOREMA DEL VALOR INICIAL

5.5.6.- TEOREMA DEL VALOR FINAL

5.6. RESUMEN DE PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL

6.- APROXIMACIÓN ENTRE

6.- APROXIMACIÓN ENTRE LAS SEÑALES DE

LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO

TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO

Y DISCRETO

6.1.- ERRORES DE LA APROXIMACIÓN

6.2.- RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE

LAPLACE

6.3.- APROXIMACIÓN DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS

6.4.-

6.4.- APROXIMACIÓN

APROXIMACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES

CON ECUACIONES EN DIFERENCIAS

EN DIFERENCIAS

FINITAS

6.5.-

6.5.- APROXIMACIÓN

APROXIMACIÓN DE

DE INTEGRALES CO

INTEGRALES CON

N SUMAS

SUMAS FINITAS

FINITAS

6.5.1.- INTEGRALES DE RIEMANN

6.5.2.- INTEGRALES IMPROPIAS

(5)

7.- APLICACIONES

7.1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

7.1.1.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS SIN CONDICIONES INICIALES

7.1.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS CON CONDICIONES INICIALES

7.2 .- APLICACIONES A

7.2 .- APLICACIONES A SISTEMAS

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E

DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES. (TDLI)

INVARIANTES. (TDLI)

7.2.1.- SIST

7.2.1.- SISTEMAS

EMAS TDLI

TDLI EN EL

EN EL CAMPO z

CAMPO z

7.2.2.- EJEMPLOS DE TDLI

7.3.- APROXIMACIÓN DE

7.3.- APROXIMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES

ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES EN

EN

DIFERENCIAS FINITAS

8.-

8.- TABLA DE

TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA

TRANSFORMADAS ZETA

9.- EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADAS ZETA

Agradecimientos:

Se agradece a todos los docentes y alumnos que han aportado observac

Se agradece a todos los docentes y alumnos que han aportado observaciones y comentarios iones y comentarios al texto,al texto, especialmente a mi ayudante Juan Pablo Frías.

(6)

TRANSFORMADA ZETA

1.– INTRODUCCIÓN

La

Transformada Zeta (TZ)

es un modelo matemático que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales Digitales, como son el análisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de Radar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras.

La

TZ

es un ejemplo más de Transformada, como lo son la T ransformada de Fourier para el caso de tiempo discreto y las Transformada de Fourier y Laplace para el caso del tiempo continuo.

La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

Se introducen en primer término algunos elementos de Sistemas y Señales.

1.1.- SISTEMAS Y SEÑALES

1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES

Se llama Sistema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales (construidos por el hombre) como mecanismos, máquinas, circuitos etc.

Un Sistema está sometido a la excitación de una Señal de Entrada o de Control (causa) a la cual le responde transformándola en una Señal de Salida (efecto).

Las señales de Entrada y de Salida son funciones de una o más variables.

El modelo de un Sistema para analizar y diseñar el comportamiento

causa- efecto

se puede representar por el siguiente esquema:

Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingeniería: electricidad, mecánica, comunicaciones, astronáutica, aeronáutica, naval, control de procesos químicos, construcciones, etc.

Los problemas que se presentan en el estudio de Sistemas son dos: Análisis y Síntesis

Análisis:

Dado un Sistema sometido a una entrada determinada

X

analizar que salida

Y

produce.













S

X

→ → → →

Y

Síntesis:

Dadas una entrada X y una salida Y determinadas diseñar el Sistema que transforma una en otra.



















Y

X

→ →→ →

S

(7)

Ejemplos simples de Sistemas son:

Ejemplos de Sistemas

Entrada

Sistema

Salida

Presión en el acelerador Automóvil Velocidad del automóvil Acciones del conductor:

- Giro del volante

- Presión en el acelerador - Freno

- etc.

Automóvil Movimiento del automóvil

Fuerza vibratoria excitatriz Sistema vibratorio Movimiento vibratorio del cuerpo

Movimiento de la Luna Mar Altura mareas Programa de mecanizado Central de mecanizado Pieza mecanizada Tensión eléctrica Circuito eléctrico Corriente eléctrica Corriente eléctrico Circuito eléctrico Tensión eléctrica Energía Hidráulica o Térmica

etc

Sistemas de generación y distribución de energía

Energía Eléctrica

Energía combustible Cohete Movimiento

Onda electromagnética Radio Emisión de la voz

Onda emitida Radar Información sobre la posición de objetos

Luz Cámara fotográfica Fotografía

Ritmo cardíaco Equipo para

electrocardiograma

Electrocardiograma Ingreso de Materias Primas,

temperatura, humedad, etc

Proceso químico Producto químico Recursos minerales y

orgánicos, Producción de alimentos y equipos, polución y Reproducción humana

Sociedad Crecimiento de población

1.1.2.- VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA

Los modelos de sistemas usuales tienen diferentes formas de clasificarse: 1.- Sistema de Lazo Abierto: Sin Control

2.- Sistema de Lazo Cerrado o con realimentación: Con Control 3.- Sistemas con Perturbaciones

(8)

1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO)

Los

Sistemas Sin Control

también llamados de

Lazo Abierto

son los sistemas más sencillos caracterizados por una Señal de Entrada no afectada por una eventual modificación de la Señal de Salida , es decir la entrada no depende de la salida.

El esquema que lo representa es

1.1.2.2.- SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO)

Los

Sistemas con Control

también llamados de

Lazo Cerrado

o

con realimentación

son aquellos donde la Señal de Entrada es modificada o regulada también en función de la Señal de Salida

Su esquema es:

1.1.2.3.- SISTEMAS CON PERTURBACIONES

Los

Sistemas con Perturbaciones

son aquellos donde la Señal de salida es

afectada por fenómenos externos

al Sistema. En general estas perturbaciones son indeseables porque hacen el sistema no predecible, por lo menos con buena aproximación.

Las Perturbaciones pueden estar presentes tanto en los Sistemas sin o con Control. Se representan del siguiente modo:

En los Sistemas con Control pueden presentarse también perturbaciones o desviaciones producidas por los elementos componentes del mismo control.

(9)

1.1.2.4.- EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES

Un ejemplo de un Sistema con Control con Perturbaciones, es él de una Antena dirigible con un movimiento angular y que puede recibir como Señales de Entrada, además de la Orden de Posición de Referencia, a perturbaciones externas, como por ejemplo fuerzas producidas por el viento, o también perturbaciones en el Control producidas por errores de lectura en las mediciones de la Señal de Salida o en el proceso del Computador.

El esquema que representa el sistema es:

donde se distinguen los siguientes elementos que lo componen:

Sistema Base : Antena + Plataforma + Engranaje + Motor + Amplificador de Potencia

Y: Señal de Salida:

Posición angular de la Antena

Pert.:

Perturbación externa

A:

Antena

P:

Plataforma de la Antena

E:

Engranaje

M:

Motor

AP:

Amplificador de Potencia

Sistema Control : Medidor de Posición de Antena + Comparador + Controlador

Med:

Medidor de Posición de la Antena (Potenciómetro)

Cmp:

Comparador

Ctrl:

Controlador (Computador)

X:

Señal de entrada (Referencia )

(10)

1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS

1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO

Las Señales y los Sistemas que las operan también se pueden clasificar como:

1.- De

tiempo continuo

(funciones continuas) que son las llamadas señales

analógicas.

2.- De

tiempo discreto (

sucesiones) que son las llamadas señales

digitales

.

En los Sistemas se establece esta clasificación porque para ellos es necesario un tratamiento con modelos matemáticos diferentes para el Procesamiento de Señales y Resolución de Sistemas (o Circuitos)

1.- Para el caso de Tiempo Continuo se emplean las Transformadas de Laplace o la de Fourier .

2.- Para el caso de Tiempo Discreto se emplean las Transformadas Zeta o la transformada de Fourier Discreta (basada en la Serie de Fourier Exponencial).

La

razón principal

del empleo de

la variable discreta

es que

permiten el proceso y almacenamiento de la

información (datos) en computadoras digitales

. Para ello finalmente se reduce la información a códigos binarios.

1.2.1.1.- DEFINICIONES DE SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO

Def:

Señales de tiempo continuo o analógicos := Son funciones de tiempo continuo o analógicas

Señales de tiempo discreto o digital

:= Son funciones de tiempo discreto (sucesiones) o digital

Señales de tiempo continuo

Señales de tiempo discreto

Analógicas

Digitales

t

∈∈∈∈

R

n

∈∈∈∈

Z ó N

f:D

⊂⊂ ⊂ ⊂

R

→→ → →

R

f:D

⊂⊂ ⊂ ⊂

N

→→ → →

R

Def:

Sistemas de tiempo continuo o analógicos := Son los Sistemas que procesan Señales de tiempo continuo o

analógicas

Sistemas de tiempo discreto o digitales

:= Son los Sistemas que procesan Señales de tiempo discreto o digitales

Sistema de tiempo continuo

Sistema de tiempo discreto

(11)

1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A)

El Control de Procesos por Computadoras o Procesadores digitales hace necesario la conversión de la información analógica a digital y viceversa.

La primera conversión para ingresar datos de origen analógico al procesador digital se llama Conversión Analógica/Digital (A/D) y la segunda para alimentar la entrada analógica al Sistema Base desde el Computador de Control se llama Conversión Digital/Analógica (D/A)

1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN A/D

La

Conversión A/D

significa tomar registros a intervalos discretos regulares de señales (eléctricas o de otra índole) consideradas variables de forma continua en el tiempo ( representables por números reales). Dichos valores discretos llamados

muestras

conforman

una sucesión cuyo dominio son los números enteros y su codominio los

reales (fraccionarios).

Por ejemplo si se considera una función

f(t)

continua , las muestras de la función, tomados a intervalos regulares de tiempo

T

empezando de t =0 forman la sucesión de números reales (fraccionarios):

f[0], f[T], f[2T], f[3T], ..., f[nT], ...

La ventaja fundamental de la variable discreta como ya se dijo, es que permite el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadoras digitales. Como los datos son números fraccionarios, entonces la Conversión A/D debe transformar dichos fraccionarios (o eventualmente enteros) a código binario.

La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error en la señal de entrada.

(12)

Aproximaciones de la Conversión A/D

1.- Aproximación por la conversión de la función continua (números reales) a función escalonada (

sucesión o función discreta sobre los números enteros o fraccionarios)

En esta aproximación se presentan errores por exceso o por defecto según la forma de la señal de entrada. La aproximación depende esencialmente del período T de muestreo.

2.- Aproximación por la conversión de un Código de número entero (o fraccionario) a Código Binario

La aproximación al código binario depende a su vez de la cantidad de bits que se tomen para representar a los números enteros o fraccionarios en el procesamiento digital.

Por ejemplo la suma de los errores de conversión A/D de una señal de tensión de 0 a 10 V lineal (recta) se representa en código binario de 4 bits

Cada salto de código binario representa un

4

2 1

10 V = 6.25 % * 10V que es la cota del error para una conversión con 4 dígitos. Si se hubiera empleado un código de 16 bits la cota del error es

16 2 1 10 V = 0.001525890625 %*10 V

1.2.1.2.2.- CONVERSIÓN D/A

La

Conversión D/A

es el proceso inverso para transformar los valores discretos en señales (eléctricas o de otra índole) de variable continua en el tiempo ( representables por números reales). Esto significa que las funciones son escalonadas con un período

T.

(13)

1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA

Un

Sistema sin memoria

es aquel cuya salida

depende solamente

de la entrada en ese mismo instante de tiempo Por ejemplo:

1.- Un circuito eléctrico con una resistencia y(t) = R x(t) 2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias y[n] = a x[n]

Un

Sistema con memoria

por el contrario es aquel cuya salida

no depende solamente

de la entrada en ese mismo instante de tiempo sino también de entradas en instantes anteriores

Por ejemplo:

1.- La tensión sobre un capacitor (incluido en un circuito eléctrico) y(t) = C 1

∫

₋t_∞ x(

τ

) d

τ

2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias y[n] = a x[n] + b x[n– 1]

1.2.3.- SISTEMA CAUSAL

Un

Sistema es causal

cuando su salida

depende solamente de la entrada presente y pasada y no depende de la

entrada futura.

En consecuencia, un sistema causal , se llama así porque a dos entradas de tiempo iguales hasta un instante dado le corresponden dos salidas iguales en ese mismo instante de tiempo (independencia de entradas futuras). Por ejemplo:

1.- El movimiento de un automóvil es causal porque no depende de acciones futuras del conductor.

2.- x[n] + y[n–1] = y[n] es causal porque sólo depende de x[n] y no de valores futuros: de x[n+1] , x[n+2],... 3.- x[n] + x[n+1] = y[n]

no

es causal porque depende de x[n+1]

En general en los sistemas donde las señales dependen del tiempo, son causales.

En las aplicaciones prácticas donde el tiempo no es la variable independiente , los sistemas son

no

causales. Por ejemplo procesamiento de imágenes, estudios demográficos estudio de la tendencia de los mercados de valores, etc.

Un ejemplo de un sistema no causal para promediar valores con fluctuaciones de alta frecuencia tiene en cuenta los futuros como el dado por la siguiente ecuación:

y[n] = 1 p 2 1

+

[ x[n+p] + x[n+p – 1] + ...+ x[n+1] + x[n] +x[n – 1] + x[n – (p – 1)] + x[n – p] ]

(14)

1.2.4.- SISTEMA ESTABLE

Un

Sistema estable

es aquel cuya salida es acotada, es decir no diverge. A entrada acotada le corresponde una salida acotada.

Un

Sistema inestable

es el caso contrario: a entrada acotada le corresponde una salida

no

acotada.

Ejemplos:

Sistemas estables

Sistemas inestables

1.2.5.- SISTEMAS LINEALES

Los Sistemas regidos por funciones lineales (en particular sistemas de ecuaciones lineales) son los modelos más sencillos y de mayor aplicación en la ingeniería. La condición de linealidad implica que a una combinación lineal de entradas le corresponde la combinación lineal de salidas. Esto es la propiedad de superposición de sistemas.

Sistema de Tiempo Continuo Lineal







→

) t ( y ) t ( x ) t ( y ) t ( x 2 2 1 1 ⇒ a x₁(t) + b x₂(t)

→

a y₁(t) + b y₂(t)

Sistema de Tiempo Discreto Lineal







→

] n [ y ] n [ x ] n [ y ] n [ x 2 2 1 1 ⇒ a x₁[n] + b x₂[n]

→

a y₁[n] + b y₂[n]

En resumen los Sistemas Lineales son modelos regidos por

Ecuaciones Lineales .

Ecuaciones diferenciales lineales en el caso de Sistema de tiempo continuo y Ecuaciones en Diferencias lineales en el caso de tiempo discreto.

(15)

1.2.6.- SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO

Los

Sistemas lineales son invariantes en el tiempo

, cuando cumplen las condiciones:

x(t)

→

y(t) ⇒ x(t-a)

→

y(t-a)

x[n]

→

y[t] ⇒ x[n-a]

→

y[n-a]

Estos Sistemas son los regidos por

Ecuaciones Lineales con Coeficientes Constantes

1.2.7.- MEDIDAS RELATIVAS A LAS SEÑALES

En los modelos de señales se emplean algunas medidas ligadas a ellas.

Una medida genérica en un espacio E de sucesiones es la norma || x ||p correspondiente para un real p

≥

1 , así

definida

Def:

E:= { x[n] }

p

≥ ≥≥ ≥

1 || x ||

p

:= (

∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = n

| x[n] |

p

₎

1/p

p = +

∞∞ ∞ ∞

|| x ||

+∞ ∞∞ ∞

:= sup

n∈∈∈∈ Z

| x[n] |

En particular se destacan por su aplicación 3 de estas medidas que se llaman acción, energía y amplitud .

p = 1

|| x ||

1

:=

∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = n

| x[n] |

acción

p = 2

|| x ||

2

:= (

∑

+∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞−∞ −∞ = == = n

| x[n] |

2

)

½

energía

p = +

∞∞ ∞ ∞ || x ||+∞ ∞ ∞∞

:=

supn∈Z

| x[n] |

amplitud

(16)

1.3. – TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA

Las

Transformadas en general y la Transformada Zeta (TZ) en particular

son modelos matemáticos que se emplean entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales y Resolución de Circuitos Digitales.

En el párrafo siguiente se recuerda el concepto de Transformada.

1.3.1.- QUE ES UNA TRANSFORMADA

Dadas dos Estructuras

(E T)

y

(E’ T’)

conformadas por los espacios

E

y

E’

dotados respectivamente de las Leyes de Composición Interna

T

y

T’

, se llama Transformada a una aplicación biyectiva :

f: E

→→ → →

E’

que establezca un Isomorfismo entre dichas Estructuras .

T: ExE

→→ → →

E

T’: E’xE’

→ →→ →

E’

(a,b)

→→ → →

c

(a’,b’)

→→ → →

c’

f: E

↔ ↔↔ ↔

E’ f

∈∈∈∈

biyectiva

a

↔↔ ↔ ↔

a’

b

↔↔ ↔ ↔

b’

c = a T b

↔ ↔↔ ↔

c’ = a’ T’ b’

Las estructuras isomorfas

(E T)

y

(E’ T’)

se comportan en forma análoga, hecho que permite obtener usando la transformada

f

(función biyectiva) de puente, el resultado de una composición interna en una de ellas

T

, conociendo la de

T’

, o viceversa.

Apoyándose en la analogía el resultado de T en E se obtiene en forma indirecta en 3 pasos: 1.- transformando

f: a

↔ ↔↔ ↔

a’

b

↔ ↔↔ ↔

b’

2.- componiendo

T’: (a’,b’)

→→ → →

c’ = a’T’b’

3.- antitransformando

f

-1

: c’

→ →→ →

c = a T b

El uso de la transformada, por supuesto, se justifica siempre y cuando el camino indirecto de: transformación, composición y antitransformación sea más sencillo que el camino directo de la composición

T

.

Un ejemplo simple de la idea de transformada es el cálculo logarítmico para el producto de dos números reales positivos.

(17)

E = R

+

E’= R

T =

•• • • R+

T’ = +

R • •• • _R

: R

+

xR

+→ →→ →

R

+

R

: RxR

→→ → →

R

(a,b)

→→ → →

c = a

• •• •

b

(La,Lb)

→ →→ →

Lc = La + Lb

L: R

+↔ ↔↔ ↔

R

L

∈∈∈∈

biyectiva

a

↔↔ ↔ ↔

La

b

↔↔ ↔ ↔

Lb

c = a

• •• •

b

↔ ↔↔ ↔

Lc = La + Lb

1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES

La

Transformada Zeta

es una aplicación entre un espacio de Sucesiones (funciones discretas) y un espacio de Funciones Analíticas (desarrollables en serie de Laurent).

La función que los liga es la Serie de Laurent cuyos coeficientes son los elementos de la Sucesión de origen. La importancia del modelo de la Transformada Zeta radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficiente constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

a

0

y[n] + a

1

y[n–1] +...+ a

k

y[n–k] = x[n]

↔ ↔↔ ↔

Y(z) [ a

0

+ a

1

z

–1

+ ... + a

k

z

–k

] = X(z)

Ecuaciones en Diferencias Lineales

↔ ↔↔ ↔

Ecuaciones Algebraicas Lineales

con coeficientes constantes

(18)

El modelo que se procesa resuelve en su esencia Ecuaciones en Diferencias donde se emplea la Transformada Zeta.

Ecuaciones en diferencias se emplean también en economía , crecimiento de poblaciones, biología, etc. y en problemas de la misma matemática.

1.4.- APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI

La

Transformada Zeta

es de particular aplicación sobre los

Sistemas de Tiempo Discreto Lineales e

Invariantes. (TDLI)

1.5.- SEÑALES PARTICULARES

Dos señales de uso frecuente en los Sistemas TDLI son el Escalón Unitario y el Impulso Unitario.

Def: Impulso Unitario

δ δδ δ

: Z

→ →→ →

R

n

→ →→ →



















=

==

=

≠

≠≠

≠

0 n

1

0 n

0 Def:- Escalón Unitario

u: Z

→ →→ →

R

n

→ →→ →













≥

≥≥

≥

<

<<

<

0 n

1

0 n

0 1.6.- ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI

Los elementos de un Sistema TDLI son 3: 1.- Suma.

2.- Producto por una Constante. 3.- Demora (Delay)

(19)

Ejemplos:

los circuitos siguientes con las ecuaciones que l os representan:

x[n] + y[n–1] = y[n]

b x[n] + a y[n–1] = y[n]

Obs.:

Los Sistemas TDLI que incluyan elementos Delay necesitan memoria para computar oportunamente los valores y[n –1] , y[n–2], etc.

2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA

La definición de la Transformada Zeta se basa en el desarrollo de funciones complejas en Serie de Laurent. Se recuerda entonces el Teorema de Laurent .

2.1.- TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT

Teorema de Laurent



















⊂

∈

A

)

I

(

)

r

,

r

(

A

/

H

F

₁ ₂

γ

γγ

γ

⇒ ⇒⇒ ⇒







































−

−−

−

=

==

=

−

−−

−

====

+ ++ + +∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞−∞ −∞ = == =

∫ ∫∫ ∫

∑

ς

ςς

ς

ςς

ς

ςς

ς

π

γ γγ γ

(

a

)

d

)

(

F

i

2

1 )

n

(

f

)

a

z

(

)

n

(

f

)

z

(

F

1 n n n

A(r

1,

r

2

) : Campo de CV (Anillo de CV)

Obs:

La Serie de Laurent (SL) dentro del Anillo de CV (Anillo de Convergencia) es simultáneamente CV (Convergente) , CA (Absolutamente Convergente) y también CU (Uniformemente Convergente) para el Anillo A(r 1+δ 1,r 2 –δ 2) conδ 1 yδ 2 arbitrarios y positivos

2.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA

(20)



















⊂

∈

A

)

I

(

)

r

,

r

(

A

/

H

F

₁ ₂ γ γγ γ ⇒ ⇒⇒ ⇒







































=

==

=

====

− −− − − −− − +∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞−∞ −∞ = == =

∫ ∫∫ ∫

∑

ς

ςς

ς

ζ

ζζ

ζ

ζζ

ζ

π

i

γ γγ γ

F

(

)

d

2

1 ]

n

[

f

z

]

n

[

f

)

z

(

F

1 n n n

F : Transformada Zeta de la Sucesión f

f : Antitransformada de F

Obs:

Nótese que en la definición de Transformada Zeta

1.- En la presentación de la serie se empieza con las potencias positivas 2.- El centro del desarrollo de Laurent es a = 0

3.- Se ha tomado por simplicidad y sin perder generalidad en el análisis a la Sucesión:

f[0], f[1], f[2], f[3],..., f[n],...

en vez de

f[0], f[T], f[2T], f[3T],..., f[kT],...

que representa un cambio de escala:

n = kT .

Es decir: F(z) =

∑

+∞ −∞ = n f(n) z– n =

∑

+∞ −∞ = k f(kT) z– kT

Un caso particular de esta definición es la llamada

Transformada Zeta unilateral

también llamada

Causal

que corresponde a las sucesiones que tienen todos los términos de la serie de p otencias positivas nulos, es decir la serie sólo está compuesta por los términos de potencias negativas y el término independiente.

A la Transformada Zeta general se la denomina también como

Transformada Zeta bilateral

.

La

Transformada Zeta unilateral

es la de mayor aplicación y es esencialmente similar a la general salvo detalles que se estudiarán por separado. Su utilidad mayor es análisis de los sistemas causales regidos por ecuaciones en diferencias y con condiciones iniciales ( es decir, aquellos que en su inicio no se encuentran en reposo).

La

Transformada Zeta unilateral

de una sucesión

x[n]

se puede considerar como

Transformada Zeta

bilateral

de la sucesión

x[n] u[n]

2.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA (ROC)

El Campo de Convergencia de la

Transformada Zeta

es el anillo:

A(r

1

, r

2

) = { z: r

1

< |z| < r

2

}

En el caso de

Transformada Zeta unilateral

el Campo de Convergencia es una Bola de centro

∞

y radio r:

A(r

1

, r

2

) = B(

∞∞ ∞ ∞

,r)

Obs:

La abreviatura ROC para el Campo de Con vergencia proviene del inglés: Region of Convergence

2.4.- NOTACIÓN

La Transformada Zeta es una aplicación del conjunto de sucesiones

{ f[n] }

sobre el conjunto de funciones complejas

{ F(z) }.

Por la unicidad de la Serie de Laurent y unicidad del valor de una Serie la Transformada Zeta es biyectiva. La notación que se conviene es:

(21)

donde se usará en general para las Sucesiones

f[n]

letras minúsculas, (como por ejemplo

f ,g

) con el

argumento entre corchetes

[n]

y las correspondientes mayúsculas para las transformadas (en el ejemplo

F,G

) con el respectivo argumento entre paréntesis

(z).

2.5.- REDUCCIÓN A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER

Partiendo de la definición de Transformada Zeta, se puede reducir a un caso particular de Transformada finita de Fourier:

Esta proposición se prueba tomando el Anillo de CV la circunferencia de gráfica

z = r e

iϕϕ ϕ ϕ . Queda entonces:



















⊂

∈

A

)

I

(

)

r

,

r

(

A

/

H

F

₁ ₂ γ γγ γ ⇒ ⇒⇒ ⇒











π

+

α

=

ϕ

π

=

ϕ ϕ ϕ − − +∞ −∞ = ϕ

∫

∑

] 2 , [ I : d e r ) e F(r 2 1 ] n [ f e r ] n [ f ) e r ( F in n i I in n n i

3.- TRANSFORMADAS ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES

3.1.- ESCALÓN UNITARIO u[n]

Def.- Escalón Unitario

u: Z

→ →→ →

R

n

→ →→ →













≥

≥≥

≥

<

<<

<

0 n

1

0 n

0

u[n] =







≥

<

0 n 1 0 n 0

→

U(z) =

∑

+∞ −∞ = n u(n) z– n

=

_∑

+∞ =0 n 1 z– n = ) z / 1 ( 1 1

−

= 1 z z

−

|z| > 1

3.2.- IMPULSO UNITARIO

δδ δ δ

Def.- Impulso Unitario

δ δδ δ

: Z

→ →→ →

R

n

→ →→ →



















=

==

=

≠

≠≠

≠

0 n

1

0 n

0 δ

[n] =







=

≠

0 n 1 0 n 0

→ Λ

(z) =

∑

+∞ −∞ = n

δ

(n) z-n = 1

Obs:

La función

δ

[n] puede expresarse en función del escalón unitario:

(22)

3.3.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCIONES ELEMENTALES

f[n]

F(z)

ROC

1 u[n]

)

z

/

1 (

1

1 −

−−

−

|z|

>> > >

1

2

δδ δ δ

[n]

1 z

∈∈∈∈

C

4.- PROPIEDADES

Las propiedades de la Transformada Zeta están dadas por los siguientes teoremas:

4.1.- LINEALIDAD

T

1

.-

















→

)

z

(

G

]

n

[

g

)

z

(

F

]

n

[

f

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

a f[n] + b g[n]

→→ → →

a F(z) + b G(z)

D.-

_∑

+∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞−∞ −∞ = == = n ( a f[n] + b g[n] ) z– n = a

∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = n f[n] z– n + b

∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ ==== n g[n] z– n = a F(z) + b G(z)

Obs:

La ROC de la combinación lineal propuesta es la intersección de las respectivas ROC de f y de g:

A(f)

∩ ∩∩ ∩

A(g)

4.2.- DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO

T

2

.- k

∈∈∈∈

Z

f[n]

→→ → →

F(z)

⇒ ⇒⇒ ⇒

f[n – k]

→ →→ →

z

– k

F(z)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

f[n – 1]

→→ → →

z

–1

F(z)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

f[n + 1]

→ →→ →

z F(z)

D

1

.-

∑

+∞ −∞ = n f[n–k] z– n



 →

n



−−−− k



====



p

→

=

∑

+∞ −∞ = p f[p] z– (p+k) =

z

– kF(z)

D

2

.-

z– k F(z) =

∑

+∞ −∞ = n f[n] z– (n+k)



 →

n



++++ k



====



p

→

=

∑

+∞ −∞ = p f[p – k] z– k En particular se tiene:

(23)

f[n–1]

→→ → →

z

–1

_F(z)

f[n+1]

→→ → →

z F(z)

4.3.- DESPLAZAMIENTO z – a

T

3

.-

f[n]

→→ → →

F(z)

⇒⇒ ⇒ ⇒

∑

− = 1 n 0 k

C

n – 1 , k

a

n–1– k

f[ k+1]

→→ → →

F(z – a)

D.-i 2 1

π

∫

γ F(z – a) z n–1 dz



 →

z−a



=w = i 2 1

π

∫

γ F(w) (w+a) n–1 dw = i 2 1

π

∫

γ F(w) [

∑

− = 1 n 0 k Cn – 1, k wk an – 1 – k ] dw =

∑

− = 1 n 0 k Cn–1,k a n – 1 – k f[ k+1] = an–1f[1] + Cn – 1, k a n – 2 f[2] + ...+ Cn–1, k a n – 1 – k f[ k+1] + ...+ f[n]

4.4.- MODULACIÓN DE LA SUCESIÓN EN TIEMPO

4.4.1.- MODULACIÓN CON a

n

T

4

.-

f[n]

→ →→ →

F(z)

  

a

n

f[n]

→→ → →

F(z/a)

D

1

.- a

n

f[n]

→ →→ →



+∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞−∞ −∞ = == = n f[n] (z/a)–n = F(z/a)

D

2

.-i 2 1

π

³

γ F(z/a) z n–1 dz



 →



ς ςς



ς === a= z



/



→

= i 2 1

π

³

γ F(

ζ

) a n–1

_ζ

n–1 a d

ζ

= an i 2 1

π

∫

γ F(

ζ

)

ζ

n–1 d

ζ

= an f[n]

4.4.2.- MODULACIÓN CON e

iα αα α n

T’

4’

.-

f[n]

→→ → →

F(z)

⇒⇒ ⇒ ⇒

e

+iαα α α n

f[n]

→ →→ →

F(e

–iα αα α

z) z =

ρ ρ ρ ρ

e

iϕ ϕϕ ϕ

w =

ρ ρ ρ ρ

e

i( ϕϕ ϕ ϕ ––α αα α )

D

1

.-

Este Teorema es corolario del anterior. e+iαnf[n]

→

F(z/e+iα) = F(e–iα z)

(24)

representa una rotación de en el plano complejo. Esto corresponde a un desplazamiento de la frecuencia de la

Transformada de Fourier. En el caso de la modulación

a

n

f[n]

→ →→ →

F(z/a)

esta, representa además de la rotación dada por el argumento de

a,

una dilatación del módulo del complejo z en |

a |.

4.5.- CAMBIO DE ESCALA

4.5.1.- GENÉRICO

T

5

.-

f[n]

→ →→ →

F(z)

f[an]

→ →→ →

F(z

1/a

)

ROC = A(r

1

r

2

)

⇒⇒ ⇒ ⇒

A(r

₁1/a

r

₂1/a

)

D.-

f[a n]

→

∑

+∞ −∞ = n f[a n] z–n



 →

an



=p =

∑

+∞ −∞ = n f[p] z–p/a =

∑

+∞ −∞ = n f[p] (z1/a)–p= F(z1/a) En cuanto a La ROC

{ z: r

1

< | z | < r

2

}

⇒ ⇒⇒ ⇒

{ z: r

₁1/a

< | z |

1/a

< r

₂1/a

}

4.5.2.- INVERSIÓN EN z

T’

5

.- f[n]

→ →→ →

F(z) :ROC = A(r

1

r

2

)

⇒ ⇒⇒ ⇒

f[ – n]

→→ → →

F(1/z) ) : ROC = A(r

₂–1

r

₁–1

)

Corolario

: ROC ={ z: |z| < r }

⇒ ⇒⇒ ⇒

f[ – n]

→→ → →

F(1/z) ) : ROC = {z: |z| > 1/ r}

D

1

.-

Este Teorema es corolario del anterior.

(25)

4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA

T

6

.-

f[n]

→ →→ →

F(z)

⇒ ⇒⇒ ⇒ ∆∆∆∆

f[n] := f[n+1] – f[n]

→ →→ →

(z

–

1) F(z)

D

1

.- ∆

f[n] := f[n+1] – f[n]

→

z F(z) – F(z) = (z–1) F(z)

D

2

.-i 2 1

π

∫

γ (z

–

1) F(z) z n–1 dz = i 2 1

π

∫

γ F(z) z n dz

–

i 2 1

π

∫

γ F(z) z n–1 dz = f[n+1]

–

f[n]

4.6.2.- SEGUNDA DIFERENCIA

T’

6

.- f[n]

→ →→ →

F(z)

⇒ ⇒ ⇒⇒ ∆∆∆∆ 2

f[n] :=

∆∆∆∆

f[n+1] –

∆∆∆∆

f[n]

→ →→ →

(z

–

1)

2

F(z)

D

1.- [Aplicando T6]

∆

2f[n]

→

(z–1) [(z–1) F(z)]

D

2.-[Aplicando la definición de

∆

2f[n]]

∆

2f[n] = f[n+2] – 2 f[n+1] + f[n]

→

(z 2– 2 z + 1) F(z)

4.7.- TZ DE LA SUMA FINITA

T

7

.- f[n]

→ →→ →

F(z)

⇒⇒ ⇒ ⇒

∑

= p 0 k

f[n+k]

→→ → →

F(z)

z

1 z

1

p 1

−

−−

−

−−

−

++++

_{: z}

∈ ∈∈

∈

A(f) (Anillo de Convergencia de f)

D

1

.-

∑

= p 0 k f[n+k] = F(z) + z F(z) + z2F(z) + z3F(z) + ... + zk F(z)+...+ zpF(z) = F(z) z 1 z 1 p 1

−

+

4.8.- DERIVADA DE LA TZ

T

8

.-

f[n]

→ →→ →

F(z)

⇒ ⇒⇒ ⇒

n f[n]

→→ → → –

z F’(z)

D

1

.-

F(z) =

∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = n f[n] z– n

Como la SL es CU se puede derivar término a término en su ROC F’(z) =

∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = n (– n) f[n] z – (n+1) – z F’(z) =

∑

+∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = n n f[n] z– n

D

2.-i 2 1

π

∫

γ – z F’(z) z n–1 dz = i 2 1

π

∫

γ – F’(z) z n dz

(26)

= – F(z) zn

γ

+ n2 i 1

π

∫

γ F(z) z n–1 dz = 0 + n f[n]

La parte integrada es nula porque en el anillo de CV de la serie F(z) – F(z) zn

γ

= – F(z) z n ) 2 ( i e A

=

ρ

ϕ+ π + F(z) z n ϕ

ρ

=

i e A = 0

4.9.- PRIMITIVA DE LA TZ

4.9.1.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r

1

,r

2

)

En el caso de la Región de CV

A(r

1

,r

2

)

T

9

.-











⊂

=

==

=

→

)

r

,

r

(

A

])

ab

[

I

(

)

z

(

F

]

n

[

f

2 1 Γ Γ Γ Γ ⇒ ⇒⇒ ⇒ –

f[n+1] / n

→→ → →

∫ ∫∫ ∫

z a

F(

ζ ζζ ζ

) d

ζζ ζ ζ

D

1

.-

Llamando G(z) :=

∫

z a F(

ζ

) d

ζ

– z G’(z) = – z F(z) n g[n] = – f[n+1]

D

2

.-i 2 1

π

∫

γ [

∫

z a F(

ζ

) d

ζ

] z n–1 dz = i 2 1

π

n 1 [

∫

z a F(

ζ

) d

ζ

] z n α+π α – i 2 1

π

n 1

∫

_γ F(z) zn dz = La parte integrada es nula porque la función G(z) :=

∫

z

a

(27)

∫

_az F(

ζ

) d

ζ

←

– f[n+1] / n

4.9.2.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r

1

,

∞∞ ∞ ∞

)

En el caso de la Región de CV

A(r

1

,

∞∞ ∞ ∞

)

el Teorema queda así:

T’

9

.-











+∞

⊂

→

)

,

r

(

A

)

I

(

)

z

(

F

]

n

[

f

1 γ γγ γ ⇒ ⇒⇒ ⇒

-- f[n+1] / n

→ →→ →

∫ ∫∫ ∫

∞∞∞∞ z

F(

ζζ ζ ζ

) d

ζ ζζ ζ

Aplicando el Teorema anterior e invirtiendo el orden de integración::













+∞

⊂

→

)

,

r

(

A

)

I

(

)

z

(

F

]

n

[

f

1

γ

γγ

γ

⇒⇒ ⇒ ⇒

f[n+1] / n

→ →→ → –

∫

∞ z

F(

ζ ζζ ζ

) d

ζ ζζ ζ

=

∫ ∫∫ ∫

∞∞∞∞ z

F(

ζζ ζ ζ

) d

ζζ ζ ζ

4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE

TRANSFORMADAS.

T

10

.-

















→

)

z

(

G

]

n

[

g

)

z

(

F

]

n

[

f

⇒ ⇒⇒ ⇒

h[n] := f[n] * g[n] :=

∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = k

f[k] g[n

–

k]

→→ → →

F(z) G(z)

D

1

.-

F(z) G(z) =

∑

+∞ −∞ = k f[k] z– k

∑

+∞ −∞ = j g[j] z– j =

∑

+∞ −∞ = k f[k]

∑

+∞ −∞ = j g[j] z– (k+j) Haciendo n – k = j =

∑

+∞ −∞ = k f[k]

∑

+∞ −∞ = n g[n– k] z– n =

∑

+∞ −∞ = k

∑

+∞ −∞ = n f[k] g[n– k] z– n Queda h[n] =

∑

+∞ −∞ = k f[k] g[n–k]

D

2

.-i 2 1

π

∫

γ F(z) G(z) z n–1 dz = i 2 1

π

∫

γ [

∑

+∞ −∞ = k f[k] z– k ] G(z) zn–1dz =

∑

+∞ −∞ = k f[k] [ i 2 1

π

∫

γ G(z) z n–k–1 dz ]

(28)

=

∑

+∞ −∞ = k f[k] g[n–k]

4.11.- CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE

SUCESIONES

T

11

.-

















→

)

z

(

G

]

n

[

g

)

z

(

F

]

n

[

f

⇒ ⇒⇒ ⇒

f[n] g[n]

→→ → →

F(z)*G(z) :=

i

2

1 π

π

∫ ∫∫ ∫

γγ γ γ

ζ

ζζ

ζ

ζζ

ζ

ζζ

ζ

)

G

(

z

/

)

(

F

d

ζ ζζ ζ

D

1.- f[n] g[n]

→

F(z)*G(z) :=

∑

+∞ −∞ = n f[n] g[n] z– n =

∑

+∞ −∞ = n [ i 2 1

π

∫

γ F(

ζ

)

ζ

n–1 d

ζ

] [ i 2 1

π

∫

γ G(

ψ

)

ψ

n-1 d

ψ

] z– n =

∑

+∞ −∞ = n [ i 2 1

π

∫

γ [2 i 1

π

∫

γ F(

ζ

)

ζ

n –1_G(

_ψ

₎

_ψ

n-1_d

_ζ

_d

_ψ

_{] ] z}– n =



 →



τ ττ τ



====



ζψ ζψ ζψ ζψ



→

∑

+∞ −∞ = n [ i 2 1

π

∫

γ [2 i 1

π

∫

γ

ζ

τ

ζ

)G( / ) ( F d

ζ

]

τ

n–1d

τ

] ] z– n f[n] g[n]

→

F(z)*G(z) := i 2 1

π

∫

γ

ζ

)G(z / ) ( F d

ζ

D

2

.-ζ

ζ

)G(z / ) ( F =

ζ

1 (

∑

+∞ −∞ = n f[n]

ζ

– n) (

∑

+∞ −∞ = k g[k] (

ζ

z )– k ) =

∑

+∞ −∞ = n

∑

+∞ −∞ = k f[n] g[k] z– k

ζ

– n+k –1 i 2 1

π

∫

γ

ζ

)G(z / ) ( F d

ζ

= i 2 1

π

∫

γ

∑

+∞ −∞ = n

∑

+∞ −∞ = k f[n] g[k] z– k

ζ

– n+k–1 d

ζ

= i 2 1

π

∑

+∞ −∞ = n

∑

+∞ −∞ = k f[n] g[k] z–n [

∫

γ

ζ

– n+k– 1 d

ζ

]

∫

_γ

ζ

–n+k –1 _d

_ζ

₌







≠

=

π

k n 0 k n i 2 i 2 1

π

∫

γ

ζ

)G(z / ) ( F d

ζ

= i 2 1

π

∑

+∞ −∞ = n f[n] g[n] z– n

4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA

T

12

.- f[n] = f[n–T]

f[0], f[1], f[2], ... , f[T–1]

⇒ ⇒⇒ ⇒

f[n] u[n]

→→ → →

F(z)

= T

z

1

− −− −

−

−−

−

[ f[0] + f[1] z

–1

_{+ f[2] z}

–2

_{+ ...+ f[T-1] z}

–(T -1)

_]

= _T

z

1

− −− −

−

−−

−

∑

− −− − = == = 1 T 0 k

f[k] z

– k

_{| z | > 1}

(29)

D.-

∑

+∞ =0 n f[n] z– n = f[0] + f[1] z–1 + f[2] z–2 + ... + f[T

–

1] z– (T –1) + f[0] z–T+ f[1] z–(T+1) + f[2] z–(T+2) + ... + f[T

–

1] z– (2T –1)+ + ... + + f[0] z– nT+ f[1] z– (nT+1)+ f[2] z– (nT+2) + ... + f[T

–

1] z– ((n+1)T – 1)+ ... = T z 1 ] 0 [ f −

−

+ T 1 z 1 z ] 1 [ f − −

−

+ T 2 z 1 z ] 2 [ f − −

−

+ ... + T ) 1 T ( z 1 z ] 1 T [ f − − −

−

. = T z 1 1 −

−

[ f[0] + f[1] z –1 + f[2] z–2 + ... + f[T–1] z– (T –1)] La ROC es | z–T| < 1

⇔

| z | > 1

4.13. RESUMEN DE PROPIEDADES

f[n]

F(z)

f[n] =

i

2

1

π ππ π

∫ ∫∫ ∫

I

F(z) z

n–1

_dz

F(z) =

_∑

+∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ = == = n

f[n] z

– n

A(r

1

,r

2

)

1 a f[n] + b g[n]

a F(z) + b G(z)

A(f)

∩ ∩∩ ∩

A(g)

2 k

∈∈∈∈

Z

f[n–1]

f[n+1]

f[n–k]

z

– 1

_F(z)

z F(z)

z

– k

_F(z)

A(f)

2’ k

∈∈∈∈

N

f[n+k] u[n]

f[n–k] u[n]

z

k

[F(z)– f[0]– f[1] z

-1

– ... – f[k–1] z

–(k–1)

_]

z

-k

F(z)

B(

∞ ∞∞ ∞

,r)

3 ∑

− = 1 n 0 k

C

n–1,k

b

n–1– k

f[ k+1]

F(z –b)

A(f , b)

4 a

n

f[n]

e

+iα αα α n

_f[n]

F(z/a)

F(e

–iα αα α

_z)

A(|a|r

1

, |a|r

2

)

A(r

1

,r

2

)

5 f[an]

f[

–

n]

F(z

1/a

₎

F(1/z)

A(r

11/a

, r

21/a

)

A(r

2–1

, r

1–1

)

6

∆∆∆∆

f[n] :=(f[n+1] – f[n]) u[n]

∆ ∆∆ ∆ 2

f[n] := (

∆∆∆∆

f[n+1] –

∆∆∆∆

f[n]) u[n]

(z–1) F(z)

(z–1)

2

F(z)

A(f)

(30)

6’

∆∆∆∆

f[n] := f[n+1] – f[n]

∆ ∆∆ ∆ 2

f[n] :=

∆∆∆∆

f[n+1] –

∆∆∆∆

f[n]

(z–1) F(z) – z f[0]

(z–1)

2

_{F(z) – z ( z – 2) f[0] – z f[1]}

B(

∞ ∞∞ ∞

,r)

7 ∑

∑

= == = p 0 k

f[n+k]

F(z)

z

1 z

1

p 1

−−−−

−

−−

−

++++

A(f)

8 n f[n]

– z F’(z)

A(f)

9 n

)

1 n

(

f

++

+

−

−−

−

n

)

1 n

(

f

+

++

+

∫ ∫∫ ∫

_a z

F(

ζ ζζ ζ

) d

ζζ ζ ζ

∫ ∫∫ ∫

_z∞∞∞∞

F(

ζ ζζ ζ

) d

ζζ ζ ζ

A(r

1

,r

2

)

A(r

1

,

∞ ∞∞ ∞

)

10 f[n] * g[n] :=

_∑

∑

_∑

+∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞−∞ −∞ = == = k

f[k] g[n

–

k]

F(z) G(z)

A(f)

∩ ∩∩ ∩

A(g)

10’

( f[n] u[n] )*( g[n] u[n] ) :=

:=

_∑

= == = n 0 k

f[k] g[n– k]

F(z) G(z)

B(

∞ ∞∞ ∞

,r)

11 f[n] g[n]

F(z)*G(z):=

i

2

1 π

π

∫ ∫∫ ∫

γ γγ γ

ζ

ζζ

ζ

ζζ

ζ

ζζ

ζ

)

G

(

z

/

)

(

F

d

ζ ζζ ζ

_A(f)

_∩_∩_∩_∩

_A(g)

12 f[n] = f[n+T]

_T

z

1

− −− −

−−−−

[ f[0]+f[1] z

-1

_+...+f[T

_–

_{1] z}

-(T-1)

_]

| z | > 1

5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL

Los

Sistema son del tipo causal

cuando su salida depende solamente de la entrada presente y pasada, es decir

no depende de valores futuros

.

En los S

istemas TDLI causales

donde se quiere analizar el efecto de condiciones iniciales, se hace por medio de la

Transformada Zeta Unilateral

que se estudia a continuación:

5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CAUSAL

Def.- Función Causal

f: Z

→ →→ →

R

n

→ →→ →

¯

¯¯

¯













≥

≥≥

≥

<<<<

0 n

]

n

[

f

0 n

0

Es decir que una función causal cumple:

f

∈∈∈∈

Causal := f[n] = f[n] . u[n]

5.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL

Dada una sucesión

{ f[n]}

se define como su Transformada Zeta unilateral a la Transformada Zeta de la sucesión

{ f[n].u[n] } .

(31)



















⊂

∈

A

]

I

[

)

r

,

r

(

A

/

H

F

₁ ₂ γ γγ γ ⇒ ⇒⇒ ⇒







































====

=

==

=

− −− − − −− − +∞ +∞ +∞ +∞ = == =

∫ ∫∫ ∫

∑

ς

ςς

ς

ζ

ζζ

ζ

ζζ

ζ

π

i

γγ γ γ

F

(

)

d

2

1 ]

n

[

u

].

n

[

f

z

]

n

[

f

)

z

(

F

1 n n 0 n

F : Transformada Zeta unilateral de la Sucesión f [Causal]

f : Antitransformada de F

Obs:

Nótese que en la definición de la Transformada Zeta unilateral

1.- La serie sólo tiene las potencias negativas y el término independiente. 2.- El centro de desarrollo es siempre a = 0 como en la Transformada Zeta.

5.3.- CAMPO O REGIÓN DE CONVERGENCIA

El Campo o Región de Convergencia de la Transformada Zeta unilateral es una Bola de centro

∞

y radio r:

A(r

1

, r

2

) = B(

∞∞ ∞ ∞

,r)

5.4.- NOTACIÓN

La notación para la Transformada Zeta unilateral es la misma que la adoptada para la Transformada Zeta

f[n]

→ →→ →

F(z)

manteniéndose las convenciones sobre las letras minúsculas y mayúsculas para la sucesión y su transformada , como así también la de los corchetes y paréntesis para los respectivos argumentos.

5.5.- PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA CAUSAL

La mayor parte de las propiedades de la Transformadas Unilateral son las mismas que las de la Bilateral. Las propiedades específicas se desarrollan a continuación.