ÁLGEBRA LINEAL Ingenierías ÁLGEBRA II. Unidad Nº 3 LM - PM. Espacios Vectoriales. FCEyT - UNSE

ÁLGEBRA

LINEAL

Ingenierías

ÁLGEBRA II

LM - PM

Unidad Nº 3

Espacios Vectoriales

FCEyT - UNSE

Unidad 2 1

Unidad Nº 3:

1.- ESPACIOS VECTORIALES Definición 1

Sean A ≠ ∅ y K ≠ ∅ , * es una Ley de Composición Externa (L.C.E.) en A con operadores en K si y sólo si * es una función con dominio en el producto cartesiano

K

×

A

y toma valores en A, en símbolos * : ( , ) * K A A a a × → α

֏

α

Otra forma de expresar que * es una L.C.E es: α ∈K a, ∈A ⇒ α ∈ a A

Definición 2

Sean V un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, (F, +, ⋅⋅⋅⋅) un cuerpo cuyos elementos se llaman escalares y dos operaciones llamadas suma de vectores y la multiplicación por escalares (es decir multiplicación de escalar por vector) representadas por + y ⋅⋅⋅⋅ respectivamente.

La terna (V, +, ⋅⋅⋅⋅) es un espacio vectorial sobre un cuerpo (F, +, ⋅⋅⋅⋅) si y sólo si se verifican los siguientes axiomas:

V1. (V, +) es grupo abeliano, es decir:

a) ∀ u, v ∈ V ; u + v ∈ V (+ es LCI en V)

b

) ,

∀

u v, w

∈

;

V

(

u

+ + = + +

v

)

w

u

(

v

w

)

(+ es asociativa) c) V V V

0

:

V

u

V u

;

0

0

u

u

∃

∈

∀

∈

+

=

+ =

(0v es elemento neutro) d) V

∀

u

∈

V

,

∃− ∈

u

V u

:

+ − = − + =

(

u

)

(

u

)

u

0

(-u es el opuesto de u) e)

∀

,

u v V u

∈

;

+ = +

v

v

u

(+ es conmutativa) V2. ∀ ∈a F, ∀ u∈V; au ∈ V ( ⋅⋅⋅⋅ es LCE en V con escalares en F) V3. ∀ ∈a F, , ∀ u v V a u∈ ; ( +v) = au+av (⋅ es distributiva respecto a la suma de vectores) V4. ∀ , a b∈F, ∀ u∈V; (a+b u) = au+bu (⋅ es distributiva respecto a la suma de escalares) V5. ∀ , a b∈F, ∀ ∈u V a bu; ( )=(ab u) (asociatividad de la multiplicación por escalares) V6.∀ u∈V; 1 u=u (1 es la unidad del cuerpo F)

Notas

Si (V, +, ⋅⋅⋅⋅) es un espacio vectorial sobre un cuerpo (F, +, ⋅⋅⋅⋅),

1.- Se expresa simplemente diciendo “V es un espacio vectorial definido sobre un cuerpo F”, y para simplificar la notación se escribe “VF”

Unidad 2 2 2.- Los vectores de V se suelen designar con las últimas letras del abecedario (ej. u, v, w).

3.- Los escalares del cuerpo F usualmente se designan con las primeras letras del abecedario (ej. a, b, c), o las primeras letras del alfabeto griego (ej. α, β, γ).

4.- La suma de vectores es una ley de composición interna en V, esto es

( )

u,

v

u

v

V

V

V

+

→

×

+

֏

:

5.- La multiplicación por escalares es una ley de composición externa en V con escalares en el cuerpo F.

( , )

:

F

V

V

a u

au

×

→

⋅

֏

A esta ley también se le denomina “producto por escalares” o “producto de un escalar por un

vector”

6.- Si bien tanto la ley de composición interna en V como la ley de composición interna en F se simbolizan con +, éstas representan operaciones diferentes en general.

Ejemplos

a)

El conjunto R2 de vectores del plano cartesiano, representados por los pares ordenados de números reales, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, ⋅). Donde la suma de vectores del plano real viene dada por

(

)

2 2 2 : , R R R u v u v + × → + ֏ donde u=( ,x y_{1 1}), v=(x y₂, ₂)∈ R2 y ( 1 2, 1 2) 2 def u+v = x +x y +y ∈ R .

y el producto de un número real por un vector del plano real está definido por: 2 2 : ( , ) R R R a u au ⋅ × → ֏ en donde, , ( , ) 2 ( , ) 2 def a∈ R u= x y ∈ R y au = ax ay ∈ R .

Interpretación geométrica de la suma y de la resta en el espacio vectorial 2 R

R

Geométricamente, cada par ordenado de números reales (x, y) se puede interpretar como un punto del plano cartesiano

R R

×

, y también como un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y su extremo el punto (x, y).

Por lo tanto la suma de dos vectores u=( , ) y x₁ y₁ v = ( ,x y_{2 2}) de R , viene definido por el 2 vector u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂), el cuál geométricamente representa la diagonal del

paralelogramo de lados u y v que contiene al origen de ambos vectores, como se puede observar en la Figura 1.

Con respecto a la resta de vectores, en todo grupo está definida por u – v = u + (-v).

Unidad 2 3 En esta situación, como u=( , ) y x₁ y₁ v = ( ,x y_{2 2}), y el opuesto de v es − = −v ( x₂,−y₂), se tiene

u− = + − =v u ( v) ( , )x y_{1 1} + −( x₂,−y₂)=(x₁−x y₂, ₁−y₂)

Así, la diagonal del paralelogramo de lados u y v que une los extremos de ambos vectores, representa al vector libre u – v con origen en el extremo del vector v y extremo en el extremo del vector u, como se puede observar en la Figura 1.

Figura 1

Interpretación geométrica de producto de un escalar por un vector

El producto de un escalar 2

, por un vector ( , )

a∈ R u= x y ∈ R viene dado por el vector

2

( , )

au = ax ay ∈ R .

El vector au tiene distintas características según sea el valor del escalar a. En la Tabla 1, se describe el comportamiento del vector au para los posibles valores de a.

au

a = 0 es igual al vector nulo (0,0) a = 1 es igual al vector u

0 < a < 1 igual sentido y dirección de u, pero de menor longitud que u a > 1 igual sentido y dirección de u, pero de mayor longitud que u

u = (1,3), v = (2, 1)

Unidad 2 4 -1 < a < 0 igual dirección, pero sentido contrario a u y menor longitud que u

a < -1 igual dirección, pero sentido contrario a u y mayor longitud que u Tabla 1

Ejemplo Los vectores v = (2, 1), 2v = (4, 2) y

2

1

−

v = (-1, -

2

1

) se pueden visualizar geométricamente en la Figura 2 Figura 2

b)

El conjunto R3=

{

(

x y z, ,

)

/ , , x y z∈R

}

de vectores del espacio, representados por los ternas ordenadas de números reales, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, ⋅).

La suma de vectores de R3 es una ley de composición interna dada por + : R3 × R3 → R3

(u, v) ֏ u + v

en donde u=( , , ) y x y z_{1 1 1} v = ( ,x y_{2 2}, )z₂ ∈ R3 y la suma de u y v está definida por ( ,1 1, )1 ( ,2 2, 2) ( 1 2, 1 2, 1 2)

def

u+ =v x y z + x y z = x +x y +y z +z

y el producto de un escalar real por un vector de R3 es una ley de composición externa con escalares en el cuerpo de los números reales dada por

⋅⋅⋅⋅ : R x R3 → R3

(a, u) ֏ au

Unidad 2 5 ( , , ) ( , , )

def

au=a x y z = ax ay az

Nota

En la Figura 3 se muestra la representación de un vector u = (a1, b1, c1) ∈ R3

Figura 3

c)

En general, para n ∈ N, el conjunto Rn de las n-uplas ordenadas de números reales es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (R, +, ⋅⋅⋅⋅) con la suma de n-uplas y el producto de un número real por una n-upla.

En Símbolos:

(

)

{

1, 2, , / , 1, 2, ,

}

n R n i R R R R R a a a a R i n n veces R = × × ×…× = … ∈ ∀ = …

La suma de n-uplas es una ley de composición interna + : Rnx Rn → Rn

(u, v) ֏ u + v definida del siguiente modo,

si

₍

₁, ₂, , n

₎

,

₍

₁, ₂, , n

₎

n n u= a a … a ∈R v= b b … b ∈R , se define

(

1, 2, ,

) (

1, 2, ,

) (

1 1, 2 2, ,

)

def n n n n u+v = a a … a + b b … b = a +b a +b … a +b

El producto de un escalar por una n-upla es una ley de composición externa : ( , ) n n R R R u u ⋅ × → α ֏α

Unidad 2 6 si α ∈R, u=

(

a a1, 2,…,an

)

∈R,

(

1, , 2 ,

) (

, , 1 2 ,

)

def n n u a a a a a a α = α … = α α … α Observación

Es claro que para n = 1, RR es un espacio vectorial, es el espacio vectorial del conjunto de los

reales sobre el cuerpo de los números reales. Geométricamente los vectores de este espacio vectorial se representan en la recta real.

d)

El conjunto Rm n× de las matrices reales que tienen m filas y n columnas es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales (R, +, ⋅⋅⋅⋅) con la suma de matrices y la multiplicación de un número real por una matriz. En símbolos:

La suma de matrices es una ley de composición interna en m n

R × esto es, : ( , ) m n m n m n R R R A B A B × × × + × → + ֏ , definida del siguiente modo,

si A=_{  } a_ij , B=_{  } b_ij ∈ Rm n× , _ij def _ij j j A B a b a b i i       + =_{  }+_{ }=_ + _    

La multiplicación de un escalar real por una matriz es ley de composición externa : ( , ) m n m n R R R A A × × × → α ֏ α ⋅ , definida por si α ∈R A, =_{  } a_ij ∈Rm n× , se define αA= α_{  } a_ij def= α_ a_ij_

e)

Sea F un cuerpo y sea X un conjunto no vacío. Sea el conjunto FX formado por las funciones con dominio X y con valores en F, esto es

FX = {f / f : X → F}

Las siguientes operaciones definen sobre FX una estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo (F, +, ⋅)

Suma: f g, ∈ FX ⇒

(

f +g

)( )

x = f x

( )

+g x

( )

, ∀ ∈x X

Producto: a∈F ∧ f ∈ FX ⇒

(

a f

)( )

x =a f x

( )

, ∀ ∈x X

Es claro que la suma y el producto están bien definidos, ya que

,

f g∈ FX ⇒ f +g∈ FX a

∈

F ∧ f

∈

FX ⇒ a f ∈ FX

Unidad 2 7

Es decir que la suma es una ley de composición interna en FX, y que el producto es ley de composición externa en FX con escalares en el cuerpo F. Es fácil mostrar que efectivamente el conjunto FX con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuerpo (F, +, ⋅) PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo F Proposición 1 El escalar 0 ∈ F, multiplicado por cualquier vector de V es igual al vector nulo de V. En símbolos, ∀ u ∈ ; 0 V u=0_V Demostración Sean α∈ F y u ∈ V, entonces ( 0) (1) 0 (2) 0 0 (3) 0 0 (4)

V V u u u u u u u u u α = α + α = α + α + = α + = Referencias: (1) El 0 es elemento neutro aditivo en el cuerpo F. (2) Por Axioma V4 de espacio vectorial. (3) El vector nulo 0V es el elemento neutro aditivo en el espacio vectorial V. (4) Vale la ley cancelativa en el grupo abeliano (V, +). Proposición 2 Cualquier escalar del cuerpo F multiplicado por el vector nulo de V es igual al vector nulo de V. En símbolos, ∀ α ∈ F ; 0α _V =0_V Demostración Sean α∈ F y 0V∈ V, entonces ( 0 ) (1) 0 (2) 0 0 (3) 0 0 (4) V V V V V V u u u u u u α = α + α = α + α α + = α +α = α Referencias:

(1) El vector nulo 0V es elemento neutro aditivo en el espacio vectorial V.

(2) Por axioma V3 de espacios vectoriales.

(3) El vector nulo 0V es el elemento neutro aditivo en V.

Unidad 2 8

Proposición 3

Cualesquiera sean α∈ F y u ∈ V, se verifica

(−α) u= α − = − α ( u) ( )u

Demostración

i) Sean

α

∈ F y u ∈ V, entonces

α

u ∈ V, luego por ser ( V, +) un grupo se tiene - (

α

u) ∈ V y se verifica

α

u + [- (

α

u)] = [- (

α

u)] + α u = 0V (I)

Además

α

u + (-

α

) u

) 1

(

=

(

α

+ (-

α

)) u (

=

2) 0 u (

=

3) 0V (II)

De (I) y (II) resulta

α

u + (-

α

) u = α u + [- (

α

u)] y por la ley cancelativa en el grupo ( V, +) es, (-

α

) u = - (

α

u) Referencias:

(1) Por el axioma V4 de espacio vectorial.

(2) En el grupo abeliano (F,+), un elemento más su opuesto es igual al escalar cero. (3) Por Proposición 1.

ii) Sean

α

∈ F y u ∈ V, entonces

α

u ∈ V, luego por ser ( V, +) un grupo se tiene - (

α

u) ∈ V y se verifica

α

u + [- (

α

u)] = [- (

α

u)] +

α

u = 0V (I)

Además

α

u +

α

(- u)

) 1

(

=

α

(u + (- u)) (

=

2)

α

0V (

=

3) 0V (II)

De (I) y (II) resulta

α u +

α

(-u) =

α

u + [- (

α

u)] Y por la ley cancelativa en el grupo ( V, +) es,

α

(-u) = - (

α

u) Referencias:

(1) Por axioma V3 de espacio vectorial.

(2) En el grupo abeliano (V,+): un elemento más su opuesto es igual al vector nulo. (3) Por Proposición 2.

Proposición 4

Cualquiera sea u∈ V se verifica (-1) u = - u Demostración

Unidad 2 9

Proposición 5

Cualesquiera sean α∈ F y u ∈ V, se verifica que

αu=0 _V ⇒ α = 0 ∨ u=0_V

Demostración

Sean α∈ F y u ∈ V tales que α u=0 _V ∧ α ≠ , entonces 0

1 1 1 (1) (2) (3) (4) 0_V ( ) 0 _V ( ) 0 _V 1 0_V 0_V u − u − − u u u α = ⇒ α α = α ⇒ α α = ⇒ = ⇒ = Referencias:

(1) Ya que α ≠0, existe α-1. Se multiplica en ambos miembros por α-1 (2) Por axioma V5 de espacio vectorial y por Proposición 2.

(3) En el grupo abeliano (F-{0}, ⋅), cada elemento por su inverso es igual a la unidad (4) Por axioma V6 de espacio vectorial

Proposición 6

Cualesquiera sean α∈ F y u, v ∈ V, se verifica que α (u−v)= α −αu v. Demostración Sean α∈ F y u, v ∈ V, entonces (1) (2) (3) (4) (u v) (u ( v)) u ( v) u ( ( )) v u v α − = α + − = α + α − = α + − α = α −α Referencias:

(1) Por definición de resta de vectores (2) Por axioma V3 de espacio vectorial (3) Por Proposición 3

(4) Por definición de resta de vectores

2. - SUBESPACIOS VECTORIALES Definición 1

Sea VF un espacio vectorial y sea S un subconjunto no vacío de V ( S⊂ ∧ ≠ ∅ ). S es un V S

subespacio vectorial de V si y sólo si S con la ley de composición interna + y la ley de composición externa ⋅ definidas en V pero restringidas a S es un espacio vectorial.

Ejemplos

Sea el espacio vectorial R2R. Son subespacios vectoriales de R2:

Los conjuntos {(0,0)} y R2.

Toda recta que contiene al origen. Por ejemplo:

El eje OX, que viene representado analíticamente por

{

2

}

0 ( , ) / 0

S X x y R y

→

Unidad 2 10 El eje OY, que viene representado analíticamente por T 0Y

{

( , )x y R2 /x 0

}

→

= = ∈ =

La primera bisectriz, que está representada analíticamente por H =

{

(x,y)∈R2/y=x

}

Proposición 1

Sea VF un espacio vectorial y sea S un subconjunto no vacío de V. Son condiciones necesarias y

suficientes para que S sea un subespacio vectorial de V, que S sea cerrado para suma de vectores y para el producto por escalares. En símbolos

   

∈

⇒

∈

∧

∈

∈

+

⇒

∈

⇔

S

u

S

u

F

S

v

u

S

v

u

ii

i

V

S

,

)

)

α

α

≺

Demostración

⇒) Las condiciones son necesarias. ) , ) i u v S u v S S V ii F u S u S  ∈ ⇒ + ∈  ⇒   α ∈ ∧ ∈ ⇒ α ∈  ≺

Por hipótesis S es subespacio vectorial de V, entonces por Definición1 resulta que S es un espacio vectorial. Por lo tanto

1) la suma es ley de composición interna en S, es decir que se verifica i).

2) el producto por escalares es ley de composición externa en S con escalares en F, por lo tanto se verifica ii).

⇐) Las condiciones son suficientes.

Hipótesis espacio vectorial ) , ) V S V S i u v S u v S ii F u S u S    ⊂   ≠ ∅   _{∈ ⇒ + ∈}   _{α ∈ ∧ ∈ ⇒ α ∈}  Notas

1.- Si S es un subespacio vectorial de V, se denotará

S ≺

V

.

2.- Si S es un subespacio vectorial de V, los conjuntos

{ }

0

_v

y V son subespacios vectoriales triviales de VF.

Unidad 2 11

1) 2) 3) ( , ) 4) , ; : 5) , , ; ( ) 6) , , ; ( ) 7) , , ; ( ) ( ) 8) S V S S es grupo abeliano a F u S au S Tesis S V a F u v S a u v au av a b F u S a b u au bu a b F u S a bu ab u ⊂ ≠ ∅ + ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ≡ ∀ ∈ ∀ ∈ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ + = + ∀ ∈ ∀ ∈ = ∀ ≺ ; 1 u S u u               _{∈ =}  En efecto 1) S ⊂ V, por hipótesis 2) S ≠∅ , por hipótesis

3) (S, +) es grupo abeliano. En efecto

La condición i) nos indica que + es ley de composición interna en S. + es asociativa, ya que se verifica por herencia puesto que S ⊂ V.

0_V S

∃ ∈ : ∀ u∈S u; +0_V =0_V + =u u

En efecto, por hipótesis ii)

α ∈F∧ ∈ ⇒ αu S u∈ , S entonces para α = 0 ∧ u∈ se tiene S

Prop1 de Esp Vect

0 u∈S ⇒ 0_V ∈S.

V

; : ( ) ( ) 0

u S u S u u u u

∀ ∈ ∃− ∈ + − = − + =

Por hipótesis ii)

α ∈F∧ ∈ ⇒ αu S u∈ S Luego tomando

α =−

1

∧ u∈ , resulta S

Prop 4 EspVect

( 1) − u∈ S ⇒ − ∈u S.

+ es conmutativa en S. Se verifica por herencia, pues S ⊂ V. 4), 5), 6), 7) y 8) se verifican por herencia, pues S ⊂ V.

Q.E.D.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIALES Proposición 2

Sea VF un espacio vectorial y sean S1, S2 dos subespacios vectoriales de V entonces S1∩S2 es

Unidad 2 12 Demostración Por definición, _{1 2}

_{

/ _{1 2}

_}

def S ∩S = v∈V v∈S ∧ v∈S

Este conjunto es un subespacio vectorial de V, en efecto, 1. S₁∩S₂⊂V por definición de S₁∩S₂. 2. S₁∩S₂≠ ∅, ya que: 1 1 1 2 2 2 0 0 0 V V V S S V S S S S V  ∈ ⇒ _ ⇒ ∈ ∩   ∈ ⇒ _ ≺ ≺ 3. u v, ∈S₁∩S₂ ⇒ u+ ∈v S₁∩S₂ En efecto, _{1 2 1 2} (1) (2) , , , u v ∈ S ∩S ⇒ u v∈S ∧ u v ∈ S ⇒ 1 2 1 2 (2) u v S u v S (3) u v S S ⇒ + ∈ ∧ + ∈ ⇒ + ∈ ∩ Referencias: Complete el alumno (1) (2) (3) 4. α ∈F∧ ∈u S₁∩S₂⇒ α u∈S₁∩S₂ 1 2 1 2 (1) (2) 1 2 1 2 (2) (3) F u S S F u S u S u S u S u S S α ∈ ∧ ∈ ∩ ⇒ α ∈ ∧ ∈ ∧ ∈ ⇒ ⇒α ∈ ∧ α ∈ ⇒ α ∈ ∩ Referencias: Complete el alumno (1) (2) (3)

Luego por 1., 2., 3., y 4. se tiene que S₁∩S₂ es un subespacio vectorial de V.

Q.E.D.

Proposición 3

Sea VF un espacio vectorial y sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales de V. Entonces la suma de

S1 y S2 es también un subespacio de V. En símbolos,

S

1

≺

V

∧

S

2

≺

V

⇒

S

1

+

S

2

≺

V

Demostración

Se define _{1 2}

{

/ _{1 2}, _{1 1 2 2}

}

def

Unidad 2 13 Es decir, el conjunto S1 + S2 está formado por todos los vectores de V que se pueden

descomponer como suma de dos vectores v1∈S1 y v2∈S2.

1.

S

1

+

S

2

⊂

V

por definición de S1+S2 2.

S

₁

+

S

₂

≠

∅

, pues

0

_v

∈

S

₁

∧

0

_v

∈

S

₂

∧

0

_v

=

0

_v

+

0

_v

⇒

0

_v

∈

S

₁

+

S

₂ 3.

u

,

v

∈

S

₁

+

S

₂

⇒

u

+

v

∈

S

₁

+

S

₂ En efecto 2 1 2 1 2 1

,

v

S

S

u

u

u

v

v

v

u

∈

+

⇒

=

+

∧

=

+

con

u

₁

,

v

₁

∈

S

₁

∧

u

₂

,

v

₂

∈

S

₂⇒

)

(

)

(

u

₁

u

₂

v

₁

v

₂

v

u

+

=

+

+

+

⇒

, con

u

₁

,

v

₁

∈

S

₁

∧

u

₂

,

v

₂

∈

S

₂⇒

)

(

)

(

u

₁

v

₁

u

₂

v

₂

v

u

+

=

+

+

+

⇒

, con

u

1

+

v

1

∈

S

1

∧

u

2

+

v

2

∈

S

2

⇒

u

+

v

∈

S

1

+

S

2 4.

α

∈

F

∧

u

∈

S

₁

+

S

₂

⇒

α

u

∈

S

₁

+

S

₂ En efecto, 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1

con

,

)

(

con

,

,

S

u

S

u

u

u

u

u

u

S

u

S

u

u

u

u

F

S

S

u

F

∈

∧

∈

+

=

+

=

⇒

⇒

∈

∧

∈

+

=

∧

∈

⇒

+

∈

∈

α

α

α

α

α

α

α

α

Luego

α

u

∈

S

₁

+

S

₂

De 1., 2., 3. y 4. se tiene que S1+S2 es un subespacio vectorial de V.

Q.E.D.

Observación:

La unión de subespacios vectoriales en general no es un subespacio vectorial.

Contraejemplo:

Sea el espacio vectorial R2R , y sean los subespacios vectoriales

S₁=

{

(

x y,

)

∈R2 /y=x

}

y S₂=

{

(

x y,

)

∈R2/y=0

}

, entonces la unión de estos dos subespacios es el conjunto

S₁∪S₂ =

{

( )

x y, ∈R2/ y = ∨ =x y 0

}

Es claro que, − 2 2 1 S R S ∪ ⊂ , por definición de S₁∪S₂ − S1∪S2 ≠∅, pues

( )

0

,

0

∈

S

1

∪

S

2

Pero, S1 ∪ S2 no es cerrado para la suma de vectores, ya que

(1, 1) ∈ S1 ∪ S2 ∧ (1, 0) ∈ S1 ∪ S2 , sin embargo (1, 1) + (1, 0) = (2, 1) ∉ S1 ∪ S2

Unidad 2 14 COMBINACIONES LINEALES DE VECTORES

Definición 2

Sea VF un espacio vectorial y sea A un subconjunto (finito o infinito) no vacío de V.

Sean

u

1

, u

2

, …, u

n vectores de A diferentes entre sí y

α

1,

α

2, …,

α

n

elementos cualesquiera del

cuerpo F.

Se denomina combinación lineal de vectores del conjunto A con escalares del cuerpo F a la expresión

∑

=

=

+

+

+

n i i i n n

u

u

u

u

1

2 2 1 1

α

α

α

α

…

(1)

Es claro que al efectuar las operaciones indicadas en (1) se obtiene como resultado un vector del espacio vectorial V. Sea v tal vector, es decir

1 1 2 2 1

n n n i i i

u

u

u

u

v

=

α

+α

+

+α

=

α

=

…

_∑

Al vector

v

se le llama “valor de la combinación lineal”. También se dice que “v se ha obtenido por medio de la combinación lineal de vectores del conjunto A”.

Si se considera una nueva selección de escalares

,

,

,

_n

F

2

1

β

β

∈

β

…

_{se puede formar “otra”}

combinación lineal de los vectores

u

1

, u

2

, …, u

n , esto es

β

₁

u

₁

+

β

₂

u

₂

+

…

+

β

_n

u

_n (2) Si

u

es el valor de esta combinación lineal se tiene

u

=

β

₁

u

₁

+

β

₂

u

₂

+

…

+

β

_n

u

_n

También se puede formar la siguiente combinación lineal

1 2

0

u

+

0

u

+

…

+

0

u

_n

Esta combinación lineal de los vectores

u

1

, u

2

, …, u

n se denomina “combinación lineal trivial ” la

cual obviamente tiene el valor 0V

Ejemplo

Sea el espacio vectorial R_R2, y sea A=

{

( ) (

1,1 , 2, 3 , 1, 0

) (

)

}

⊂ R2. Si se consideran los escalares 1, 2, -2 ∈ R, se puede formar la siguiente combinación lineal de vectores del conjunto A

1 1, 1

(

)

+

2 2,3

(

) (

+ −

2 1, 0

) ( )

=

1, 1

(

) (

+

4, 6

) (

+ −

2, 0

) (

=

3, 7

)

Unidad 2 15

Combinaciones Lineales Idénticas Definición 3

Dos combinaciones lineales son idénticas si tienen los mismos términos no triviales. . Por ejemplo

1 u2 , 0 u1 + 1 u2 + 0 u3, 0 u1 + 1 u2 ,

son combinaciones lineales idénticas.

Es claro que las combinaciones lineales idénticas tienen el mismo valor.

De acuerdo a este concepto, dado un conjunto A y una combinación lineal de vectores de A

α

1

u

1

+

α

2

u

2

+

…

+

α

n

u

n

se puede suponer siempre que es una combinación lineal de todos los vectores de A, pues bastará completarla con términos triviales.

Así por ejemplo, si A = {v1, v2, v3}, la combinación lineal

a1v1+ a2v2

es una combinación lineal de todos los vectores de A, pues es idéntica a la combinación lineal a1v1+ a2v2+ 0 v3

Observación

Aún cuando A sea un conjunto infinito, una combinación lineal no trivial de sus vectores tendrá siempre (por la forma en que fue definido el concepto) un número finito de términos no triviales.

SUBESPACIO VECTORIAL GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES

Sean VF un espacio vectorial y

A

⊂

V

∧

A

≠

∅

.

Se designa con A al conjunto de todos los vectores de V que se obtienen por medio de combinaciones lineales de vectores del conjunto A.

En símbolos













=

∀

∈

∧

∈

=

+

+

+

=

∈

=

∑

=

a

u

a

F

u

A

i

n

u

a

u

a

u

a

v

V

v

A

_{n n i i} n i i i

,

,

2

,

1

,

,

/

1 2 2 1 1

…

…

Nota

El conjunto A se lee “A barra”

Proposición 4

Unidad 2 16 Demostración

1.

A

⊂

V

, se cumple por definición de

A

. 2.

A

≠

∅

, pues 0v ∈A, ya que

0

_v

=

0

u

₁

+

0

u

₂

+

…

+

0

u

_n

,

u

_i

∈

A

,

∀

i

=

1

,

2

,

…

,

n

Es decir, 0v es combinación lineal de vectores del conjunto A

3.

u

,

v

∈

A

⇒

u

+

v

∈

A

En efecto,

∑

∑

= = = ∧ = ⇒ ∈ n i i i n i i iu v b u a u A v u 1 1 , con a_i,b_i∈F ∧ u_i ∈A , ∀i=1 ,2 ,…,n Luego

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + = + = + = + n i i i n i i i i n i i i i i n i i i n i i iu b u au bu a b u c u a v u 1 1 1 1 1 ) ( Con c_i =a_i +b_i,∀i=1,2,…,n

Así, u + v es una combinación lineal de vectores de A. Por lo tanto u+v∈A

4.

α

∈F∧u∈A ⇒

α

u∈A Es claro que

∑

= = ⇒ ∈ n i i i u a u A u 1 con a_i∈F ∧ u_i∈ ∀ =A, i 1 2, ,…, n luego, α _u=

∑

∑

(

)

∑

∑

= = = = = = = n i i i n i i i n i i i n i i i u a u a u c u a 1 1 1 1 ) (α α α con c_i =

α

a_i,∀i=1,2,…,n

es decir que

α

u es una combinación lineal de vectores del conjunto A. Por lo tanto

α

u∈A. Entonces de 1., 2., 3. y 4. se tiene que

A

es un subespacio vectorial de V.

Q.E.D

Definición 4

a) Al subespacio vectorial

A

se le denomina “subespacio vectorial generado por el conjunto A”.

b) Diremos también que “A es un generador del subespacio vectorial

A

”, pues “todo vector de

A

es combinación lineal de vectores del conjunto A.

Nota

Unidad 2 17 x y O (1, 1) Ejemplos

a) Sea el espacio vectorial R_R3 y sea A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, el subespacio generado por A es A={(x,y,z)∈R3/ (x, y, z) = a1(1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) con a1 ,a2 ∈ R}

Todo vector de

A

se expresa como

(x, y, z) = a1(1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) con a1 ,a2 ∈ R

(x, y, z) = (a1, 0, 0) + (0, a2, 0)

(x, y, z) = (a1, a2, 0)

Como a1 y a2 representan cualquier número real entonces la condición para que (x, y, z) sea

combinación lineal de vectores de A es que z = 0 es decir,

(x, y, z) ∈

A

⇔ z = 0

por lo tanto, el subespacio vectorial de R3 generado por el conjunto A= {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} es

A

= {(x, y, z) ∈ R3 / z = 0}

Así, por ejemplo, el vector (5, -1, 0) es combinación lineal de los vectores de A, pues (5, -1, 0) = 5 (1, 0, 0) + (-1) (0, 1, 0)

b) Sea el espacio R y el conjunto A = {(1, 1)}. El subespacio generado por el conjunto A es R2

A=

{

( )

x,y ∈R2/

( ) ( )

x,y =a 1,1

}

Es decir todo vector de

A

tiene la forma

(

x, y

)

= a

( )

1,1 con a ∈R

( ) ( )

x ,y = a ,a

luego, ( x, y) ∈

A

⇔ x = y

es decir A=

{

( )

x,y ∈R2/y= x

}

La representación geométrica de

A

es la recta de ecuación y = x (es la primera bisectriz). Para generar este subespacio vectorial bastó sólo un vector el (1, 1).

Unidad 2 18

Definición 5

Dado un espacio vectorial VF y un subconjunto no vacío A de V, se dice que A genera al espacio V

si y sólo si

A

= V, es decir que todo vector de V es combinación lineal de vectores del conjunto A.

Nota

En esta situación las siguientes expresiones son equivalentes a) A es un generador de V

b) El espacio vectorial V es generado por el conjunto A c) A genera a V

d) Todo vector de V se combinación lineal de vectores de A

Ejemplo

Sea el espacio R2R y el conjunto A = {(1, 1), (1,0)}. El subespacio generado por el conjunto

A por definición viene dado por

( )

( )

( )

( )

{

, ∈ 2 / , =α 1,1 +β 1,0

}

= x y R x y A

esto es equivalente a decir que

(x, y) ∈ A ⇔∃α, β∈R :

( )

x,y =

α

( ) ( )

1 ,1 +

β

1 ,0

Partiendo de la igualdad

( )

1,1 +

β

( ) ( )

1,0 = x , y

α

,

y realizando las operaciones indicadas se tiene

(

α α + β,

) (

, 0

) (

= x y,

)

(

α

+

β

,

β

) ( )

= x,y x y α +β =   β = 

Uno de los modos de resolver este sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es empleando el Método de Gauss (o Método de Eliminación Gaussiana)

Unidad 2 19 2 1 2 1 1 1 0 1 1 ( 1) 0 1 1 1 ( 1) 0 1 x y x f f x y y f x y + − − − + − − Es claro que a 2 º rg A=rg A = =n incógnitas

y por Teorema de Rouché-Frobenius y su Corolario, el sistema es compatible determinado. Es decir, cualesquiera sean x e y, existen y son únicos los escalares α, β∈ R tales que

( )

x,y =

α

( ) ( )

1 ,1 +

β

1 ,0 .

Luego A=R2, es decir A es generador del espacio R2, o bien todo vector de R2 se puede expresar como combinación lineal de vectores del conjunto A.

Observación

Todo espacio vectorial es generador de sí mismo.

Proposición 5

Sea VF un espacio vectorial y sean A y B dos subconjuntos de V no vacíos tales que A ⊂ B,

entonces el subespacio generado por A está incluido en el subespacio generado por B. En símbolos, A⊂B⇒A⊂B

Demostración

Sean A = {u1, u2, …, un} y B = {u1, u2, …, un, un+1, un+2, …, um}. Es claro que

A

⊂

B

Probar que A⊂B equivale probar que

u

∈

A

⇒

u

∈

B

. En efecto

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 n n n n n n m u A u a u a u a u a u a u a u u ₊ u ₊ u u B ∈ ⇒ _{= + + + =} = + + + + + + + ⇒ _∈ … … …

Esto es porque u resulta una combinación lineal de los elementos de B.

ESPACIO FILA DE UNA MATRIZ

Sea una matriz M de tipo m×n con elementos en un cuerpo (F, +, ⋅).

            = mn m m n n a a a a a a a a a ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋯ 2 1 2 22 21 1 12 11 M ∈ Fm n×

Es claro que los vectores fila de la matriz M son vectores del espacio vectorial 1 n F

F× (1)

(1) _{El espacio vectorial} 1 n

F

Unidad 2 20

[

]

[

]

[

]

1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 ... n n m m m mn f a a a f a a a f a a a  =  =     =  … … … ∈ F1 n×

Si F es el conjunto de los vectores fila de la matriz M, es claro que F es un subconjunto del espacio vectorial F1xn

F = {f

1

, f

2

, …, f

m

}

⊂

F1 n×

Definición 1

El Espacio Fila de la matriz M, denotado por Sf (M), es el subespacio vectorial generado por el

conjunto de las filas de la matriz M, es decir es el subespacio generado por el conjunto F = {f1, f2, … , fm} ⊂ F1 n× . En símbolos,

( )

1

f

S M =_F ≺F ×n

En otras palabras, el Espacio Fila de la matriz M, es el conjunto de todos los vectores del

espacio F1xn que se expresan como combinación lineal de los vectores fila de la matriz M, esto es

S

f

(M) = {f

∈

F1 n×

/

,

1,

2,

...,

;

fila

de

M

1 i i m i i i

f

i

m

F

f

f

=

∑

∀

=

∈

∧

=

α

α

} Es decir, Sf (M) = {f ∈ 1 n F × / f =

α

1 f1 +

α

2 f2 + … +

α

m fm , ∀ i = 1, 2, …, m;

α

i∈ F ∧ fi fila de M}

ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

Sea una matriz M de tipo mxn con elementos en un cuerpo (F, +, ⋅).

            = mn m m n n a a a a a a a a a ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋯ 2 1 2 22 21 1 12 11 M ∈ Fm n×

Es claro que los vectores columnas de la matriz M son vectores del espacio vectorial m 1 F F × (2)             =             =             = mn n n n m m a a a c a a a c a a a c ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 , , , ∈ 1 m F ×

Si denotando con C al conjunto de los vectores columnas de la matriz M, resulta que C es un subconjunto del espacio vectorial Fmx1

(2) _{El espacio vectorial} m 1

F

Unidad 2 21 C =

{c

1

, c

2

, …, c

n

}

⊂

Fm×1

Definición 2

El Espacio Columna de la matriz M, denotado por Sc (M), es el subespacio vectorial generado

por el conjunto de las columnas de la matriz M, es decir es el subespacio generado por el conjunto C =

{c

1

, c

2

, … , c

n

}

⊂

F

mx1

.

En símbolos,

S M_c

( )

=C≺Fm×1.

En otras palabras, el Espacio Columna de la matriz M, es el conjunto de todos los vectores del espacio Fmx1 que se expresan como combinación lineal de los vectores columnas de la matriz M

S

c

(M) ={c

∈

Fm×1

/

, 1, 2, ..., ; columna de M 1

c

_{j j} n j j j c F n j c ∀ = ∈ ∧ =

_∑

=

α

α

}.

Esto es, Sf (M) ={c ∈Fm×1 / c =

α

1 c1 +

α

2 c2 +…+

α

n cn , ∀ j =1, 2, …, n;

α

j∈ F ∧ cj columna de M}.

INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES Definición 1

Sea VF un espacio vectorial y sea A⊂V ∧A≠∅

El conjunto A es linealmente independiente si y sólo si el único modo de obtener el vector nulo

como combinación lineal de vectores de A es a través de la combinación lineal trivial. En símbolos, A es linealmente independiente 1 0 1, 2, , ; 0 n i i v i i def a u i … n a =  _  ⇔ _ = ⇒ ∀ = = _   

∑

 Ejemplos

a. En el espacio vectorial R , el conjunto A = {(1, 2, -5)} es linealmente independiente. En efecto, _R3 se toma una combinación lineal de valor (0, 0, 0) del único vector de A

a (1, 2, -5) = (0, 0, 0) operando se tiene

(a, 2a, -5a) = (0, 0, 0)

Por igualdad de ternas ordenadas, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo (SELH) 0 2 0 5 0 a a a  =   ₌  _{− =} 

Unidad 2 22 Este sistema tiene tres ecuaciones lineales con una incógnita. Es evidente que se trata de un sistema compatible determinado, en el cual la única solución es a = 0 (solución trivial). Luego el conjunto A es linealmente independiente.

b. En el espacio vectorial R_R2, el conjunto A = {(1, 2), (1, 1)} es linealmente independiente. Procediendo de manera análoga al ejemplo precedente se tiene

α (1, 2) + β (1, 1) = (0, 0) (α, 2α) + (β, β) = (0, 0) (α + β, 2α + β) = (0, 0) + 0 2 0  α β =    α + β = 

Aquí se tiene un sistema homogéneo (SELH) de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y se sabe que todo SELH es compatible, es decir tiene al menos la solución trivial. Resta averiguar si es determinado o indeterminado. Resolviendo el sistema por el método de eliminación gaussiana,

f2+ −( 2)f1

2

( 1) f−

Es evidente que rg A=rg Aa = =2 n incógnitasº ,

y según el Teorema de Rouché-Frobenius y su Corolario, el SELH es compatible determinado, luego la única solución es la trivial, esto es

α

= 0 ∧

β

= 0.

Luego por definición, el conjunto A es linealmente independiente.

c. En el espacio vectorial R2R, el conjunto D = {(1, 2), (2, 4)} no es linealmente independiente.

En efecto, procediendo de manera análoga al ejemplo precedente, se toma una combinación lineal de vectores del conjunto A que tenga valor cero vector,

1

2

1

1

0

0

1

0

1

1

−

0

0

1

0

1

1

0

0

Unidad 2 23 operando

( )

( ) ( )

(

) (

) ( )

(

2 , 2 4

) ( )

0 ,0 0 , 0 4 , 2 2 , 0 , 0 4 , 2 2 , 1 = + + = + = +

β

α

β

α

β

β

α

α

β

α

e igualando se obtiene el SELH siguiente    = + = + 0 4 2 0 2

β

α

β

α

Se toma la matriz ampliada del sistema y se determina el rango de la matriz de coeficientes

rg A = 1 ≠ 2 = nº incógnitas

Se trata de un SELH compatible indeterminado cuyo conjunto solución es So=

{

(

α β ∈,

)

R2 /α = − β 2

}

De modo que existen infinitas soluciones no triviales de la forma

(

− β β2 ,

)

, como por ejemplo α = 2 y β = -1, por lo que el vector nulo se puede escribir como una combinación no trivial de los vectores de D

2 (1, 2) + (-1) (2, 4) = (0, 0)

y como existe al menos una combinación lineal no trivial de vectores de D de valor 0V se tiene

que el conjunto no es linealmente independiente.

Definición 2

Sea VF un espacio vectorial y sea A⊂V ∧A≠∅.

El conjunto A es linealmente dependiente si y sólo si existe una combinación lineal no trivial de

valor 0v. En símbolos, A es linealmente dependiente def ⇔

{

}

1 1, 2, , : 0 0 n i i i v i i n a a u =  _ ∃ ∈ ≠ ∧ =   _    …

∑



Observación: A es linealmente dependiente si y sólo si A no es linealmente independiente

4

2

2

1

0

0

0

0

2

1

0

0

Unidad 2 24

Ejemplo

El conjunto D del ejemplo c. precedente, es linealmente dependiente.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES

Sea VF un espacio vectorial y A⊂V∧A≠∅ Proposición 1

Si el vector nulo pertenece al conjunto A, entonces A es linealmente dependiente Demostración

Sin perder generalidad, se puede suponer que u1 = 0V∈ A, entonces la siguiente combinación lineal

de vectores de A

a u_{1 1}+0 u₂ +…+0 u_n = 0_V , con a1≠ 0 ∧∀ i = 1, 2, …, n, ui ∈ A

es una combinación lineal no trivial de valor 0V. Luego A es Linealmente dependiente.

Q.E.D.

Ejemplos

a. En el espacio vectorial R_R3, el conjunto A = {(1, 2, -5), (1,-1, 4), (0, 0, 0)} es linealmente dependiente.

b. En el espacio vectorial R_R2 3× , el conjunto A =

                  − 0 0 0 0 0 0 , 0 3 0 1 2 1 es linealmente dependiente Proposición 2

El conjunto A es linealmente dependiente si y sólo si existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores de A.

Demostración

⇒) La condición es necesaria

“Si A es linealmente dependiente entonces existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores”

En efecto, por hipótesis A es linealmente dependiente, entonces por Definición 2 existe una combinación lineal no trivial de vectores de A de valor 0V, es decir

{

1,2, ,

}

talque 0 y ∈ ≠ ∃ j … n a_j V 1 1 1 1 2 2 1 1u +a u + +aj− uj− +ajuj +aj+ uj+ + +anun =0 a … … _{, donde uj}∈ _A, ∀ _{j = 1, 2, …, n}

Unidad 2 25 luego a_ju_j =−a₁u₁−a₂ u₂ −…−a_j−1u_j−1−a_j+1u_j+1−…−a_n u_n

Como aj ≠ 0, existe

1

j

a , entonces pre-multiplicando por

1

j

a en ambos miembros de la igualdad

precedente se tiene 1 _{j j} 1

(

_{1 1 2 2 j 1 j 1 j 1 j 1 n n}

)

j j a u a u a u a u a u a u a = a − − − − − − − + + − − … … operando n j n j j j j j j j j j u a a u a a u a a u a a u a a u 2 ₂ 1 ₁ 1 ₁ 1 1 − − − − − − − = + ₊ − − _… … ₍α₎ Sea i n i j a a b j i i ∀ = ≠ − = , 1 ,2 ,…, ;

al reemplazar en (α), se tiene que

n n j j j j j b u b u b u b u b u u = 1 1+ 2 2 +…+ −1 −1+ +1 +1+…+

luego uj es una combinación lineal de los restantes vectores de A.

⇐) La condición es suficiente

“Si existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores de A, entonces A es linealmente dependiente”

Sea uj ∈ A tal que, uj es combinación lineal de los restantes vectores de A. Esto es,

∑

≠ = = n j i i i i j b u u 1 es decir n n j j j j j b u b u b u b u b u u = _{1 1}+ _{2 2} +…+ _{−1 −1}+ _{+1 +1}+…+ sumando en ambos miembros (- uj ) = (-1) uj

0_v =b₁u₁+b₂u₂+…+b_j−1u_j−1+b_j+1u_j+1+…+b_nu_n +(−1)u_j reordenando los términos

0_v =b u_{1 1}+b u_{2 2}+ +… b_j−1 u_j−1+( 1) − u_j+b_j+1 u_j+1+ +… b u_{n n}

Esta es una combinación lineal no trivial (uno de los escalares es −1) de vectores de A de valor 0V. En consecuencia, el conjunto A es linealmente dependiente.

Q.E.D.

Unidad 2 26 Sea A un subconjunto no vacío del espacio vectorial V y tal que A ≠ {0V}. El conjunto A es

linealmente dependiente si y sólo si existe un subconjunto propio de A que genera el mismo subespacio que genera A.

En símbolos

Aes linealmente dependiente ⇔ ∃ A'⊂ A ∧ A'≠ A : A '= A Demostración

⇒) La condición es necesaria

A es linealmente dependiente ⇒ ∃ A'⊂ A ∧ A'≠ A : A' = A

Por hipótesis A es linealmente dependiente y A ≠ {0V}, entonces por Proposición 2

: ₁ n u_j A u_j a u_{i i} i i j ∃ ∈ = ∑ = ≠ (β) con ai∈ F ∧ ui∈ A, ∀ i = 1, 2, …, n.

Sea A

′

= A – {uj} entonces, es claro que existe A

′

⊂ A ∧ A

′

≠ A

Ahora se debe probar que

A'= A

que por definición de igualdad de conjuntos equivale a demostrar que A' ⊂ A ∧ A ⊂ A'

a) Como

A

'

⊂

A

, se sigue que A'⊂ A, ( por Proposición 5 de subespacios vectoriales) b) Se debe probar que A ⊂ A'

Sea u∈A, entonces u es una combinación lineal de vectores del conjunto A. Es decir,

n n j j j j j j u b u b u b u b u b u b u= 1 1+ 2 2 +…+ −1 −1+ + +1 +1+…+

Pero como uj es una combinación lineal de los restantes vectores de A por (β), entonces

1 1 2 2 1 1 1 1 1 j j j j j n n n u b u b u b u b a u_{i i} b u b u i i j − − + + = + + + + ∑ + + + = ≠ … … Operando se tiene 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

_{j j j}

(

_{j j j j n}

)

_{n j j n n}

u

=

b u b u

+

+…+

b u

_{− −}

+

b a u a u

+

+…+

a u

_{− −}

+

a u

_{+ +}

+…+

a u

+

b u

_{+ +}

+…+

b u

y aplicando axiomas de la estructura de espacio vectorial y agrupando convenientemente se llega a la expresión

u= +(b b a u1 j 1) 1+ +(b2 b a uj 2 ) 2+…+(bj−1+b a uj j−1) j−1+(bj+1+b a uj j+1) j+1+…+ +(bn b a uj n) n

Luego u es una combinación lineal de vectores del conjunto A

′

, esto significa que u ∈ A' .

Unidad 2 27 ∃A'⊂ A∧ A'≠ A: A'= A ⇒ A es linealmente dependiente

Supóngase que existe A

′

subconjunto propio de A tal que A' = A . Entonces A− A'≠ ∅ ⇒ ∃v_j∈ A− A'⇒ v_j∈ A∧v_j∉ A'

además como vj ∈ A, entonces vj∈ A y como por hipótesis A = A' resulta que

vj∈ A '

Por lo tanto vj es una combinación lineal de los vectores de A

′

. Pero los vectores de A

′

son

vectores de A pues

A

'

⊂

A

, por lo tanto vj es combinación lineal de los vectores de A, excepto él

mismo. Y como vj ∈ A existe un vector de A que es combinación lineal de los restantes vectores de

A, entonces por Proposición 2 el conjunto A es linealmente dependiente.

Proposición 4

Todo conjunto que contiene a un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente. En símbolos,

' '

A ⊂ A ∧ A es linealmente dependiente ⇒ A es linealmente dependiente Demostración

Sea

A

'

⊂

A

y

A

'

linealmente dependiente. Entonces existe una combinación lineal de vectores de

'

A

no trivial de valor 0V. Pero toda combinación de vectores de

A

'

es combinación de vectores de

A, pues

A

'

⊂

A

. Luego A es linealmente dependiente.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Se puede enunciar las propiedades referidas a conjuntos linealmente independientes tomando los contra-recíprocos de los condicionales de las propiedades de los conjuntos linealmente dependientes.

Proposición 1’

Si el conjunto A es linealmente independiente, entonces el vector nulo no pertenece al conjunto A.

Proposición 2’

El conjunto A es linealmente independiente si y sólo si ningún vector de A es combinación lineal de los restantes vectores de A.

Proposición 3’

El conjunto A es linealmente independiente si y sólo si ningún subconjunto propio de A genera el mismo subespacio que el que genera A.

Proposición 4’