UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAD AZCAPOTZALCO. División de Ciencias Básicas e Ingeniería Departamento de Ciencias Básicas

TEOREMA-HIPERVIRIAL Y ELEMENTOS

DE

MATRIZ

PARA

EL POTENCIAL DE COULOMB

M.C. Raúl Górnez C. Dr. José Luis López Bonilla Mtro. Tomás David Navarrete González

Dr. Jesús Morales Rivas

M.C. Pedro Portillo Diaz

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNIDAD AZCAPOTZALCO. División de Ciencias Básicas e Ingeniería Departamento de Ciencias Básicas

ISBN 970-620-344-3 Julio de 1993

TEOREMA HIPERVIRIAL

Y

ELEMENTOS

DE

MATRIZ PARA EL POTENCIAL

DE

COULOMB

Raúl Górnez C.

División de Ingeniería y Ciencias

instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey Apdo. Postal 214, 53100 Cd. Satélite, Edo. de México

José L. López B., Jesús Morales R.

David Navarrete G., Pedro Portillo D.

Area de Física, División de Ciencias Básicas e Ingeniería

Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco

Av. San Pablo 180, Apdo. Postal 16-306, 02200 México, 0.F

* Instituto Mexicano del Petróleo, Subdirección de Investigación Aplicada

R E S U M E N

Se conoce que el átomo de hidrógeno puede representarse como un

oscilador de Morse; aquí mostramos que este hecho y el teorema hipervirial conducen a un método simple para el cálculo de elementos de matriz para

el

potencial de Coulomb.

HYPERVIRIAL THEOREM AND MATRIX

ELEMENTS

FOR THE COULOMB POTENTIAL

A B S T R A C T

It is known that the hydrogen atom can be pictured as a Morse oscillator; here we show that this fact and the hypervirial theorem leads to a simple method for the calculation

of

matrix elements for the Coulomb potential.

1.- INTRODUCCION

La ecuación de Schrodinger para estados estacionarios en una dimensión está dada por "

donde y - 3 2 12M = 1/2 (en unidades naturales% = 1, M = 1 ) y V es el correspondiente potencial. De (1 .a) es simple obtener el teorema hipervirial [I ,2]:

con la notación de Dirac para los elementos de matriz (funciones de onda normalizadas a la unidad):

en donde los límites de integración dependen del sistema cuántico bajo

análisis.

En [2] se utilizó (1 .b) junto con diferenciación paramétrica para calcular (1 .c) para el oscilador armónico V = k u2/2 cuando f(u) = e - B u

siendo

p

un parámetro arbitrario.

Para el caso vibracional del potencial de Morse [3]:

donde las constantes D y a se han explicado en [3-51,

el

hipervirial (1 .b) da para f(u)

=

e -8 au ,

8

es un parámetro, la relación

con la cual en [6] se demostró que los valores de N2

1

e - au

1

N1

>

y

<

N2

1

e -2 au

I

NI

>

permiten calcular todos

los

elementos de matriz

<

le-oau

I

N, > , 0 = 3 , 4 , 5 ,...

Lo anterior muestra la utilidad del teorema hipervirial en mecánica cuántica. Aquí daremos una aplicación más: Se conoce [7-91 que, el movi- miento radial de todo átomo hidrogenoide es equivalente al movimiento vibracional de un oscilador de Morse para ciertos valores de las constantes D y a, entonces dichos valores se emplean en (2.b) para así obtener relaciones de recurrencia entre los elementos de matriz cn t?

I

rP

1

n I! > para el potencial de Coulomb cuando

p

es un entero.

Opinamos que este resultado es interesante ya que en la literatura [I 0,'l I]

el hipervirial sólo se aplica

al

caso diagonal

el

= e2 ,

2.-

ELEMENTOS DE MATRIZ PARA ATOMOS

HIDROGENICOS.

La función de onda radial para el potencial de Coulomb:

V =

-

1/Qr , Q = ( ~ x s , /Ze2) ₍₃₎ está caracterizada por los números cuánticos total n = 1,2,3,.. y orbital

= O, 1 ,2 ,..., n-1 . Entonces de acuerdo a [7,9] el correspondiente oscilador vibracional de Morse debe tener los parámetros:

a = l , D=n2/2, K=2n, N = n - ( - l ,

y sus respectivos elementos de matriz son proporcionales entre sí [9]:

c

] e - ( P + 2 ) u

I

N,

> =

= [q /( QP n 2~ +

l)ld(

1 + ~ / 2 ) ( ~ +1/2) <n L:

I

rP

I

n > (4. b)

dondeN,=n-ii, - 1 , j = 1 , 2 .

Si ahora sustituimos (4.a,b) en el hipervirial (2.b) para 8 =

p

+ 2 obtenemos la relación de recurrencia

que no hemos localizado explícitamente en la literatura. En [I21 se utiliza la técnica de operadores de Infeld-Hull [5,13,14] para deducir

fórmulas de recurrencia entre elementos de matriz cn2 f:

I

r

P

I

n1 > para el

potencial de Coulomb, sin embargo, cuando nl = n2 sus expresiones no contienen a (5) como caso particular.

Para

p

= -2 de (5) es inmediato el resultado de Pasternack

-

De aquí en adelante aceptaremos que

p

f -2 .

Si (1

=

I$

=

1 entonces (5) conduce a la fórmula de Kramers 15, I O]:

Por otro lado, con (1 1 ) de [9] se obtienen los valores:

Así

(7,8.a) permiten determinar <n E

I

r

p

1

n I =. para

p

= -1,2,3,4,. .., y

similarmente, al colocar (8.b) en (7) pueden calcularse

los

elementos de matriz <n l

I

r

p

I

n 1 > con

j3

= -3,-4,-5,.., . De esta manera se reproducen

resultados de [17-211.

En forma análoga, de (5) con

u"

= ii

+

1 es posible obtener

los

elementos de matriz dados en [I91 apéndice B.

)

los

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