CÁLCULO SUPERIOR
CÁLCULO SUPERIOR
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltos de Máxim
de Máximos y
os y mínimos
mínimos
1.
1. Determine y clasifique los puntos críticos Determine y clasifique los puntos críticos dede f f , donde:, donde: 3 3 22 22 33 1 1 1 1 11 ( ( ,, )) 44 3 3 2 2 33 f f x x y y
y y
y y x x y
y
x x xx Solución: Solución: 2 2 22 1 1 4 4 2 2 x x f f
y y
xx f f y y
y y 22
yx yx 22yy f f yy = 0 = 0 y y 22
yx yx
2 2 yy
00 y y(( y y + + x x – – 2) = 0 2) = 0
y y = 0, = 0, y y = - = - x x + 2 + 2 i. i. y y = 0 = 0 f f xx = 0 = 0 11 2 2 22 4 4 00 2 2 y y
xx
x x22 – – 4 = 0, 4 = 0, x x = 2, = 2, x x = -2 = -2 Puntos: (2, 0) y (-2,0) Puntos: (2, 0) y (-2,0) ii.ii. y y = - = - x x + 2 + 2 2 2 22 1 1 4 4 00 2 2 y y
xx
2 2 22 1 1 ( ( 22) ) 4 4 00 2 2
x x
xx
11( ( 2 2 4 4 44) ) 22 4 4 00 2 2 x x
x x
xx
2 2 22 4 4 4 4 2 2 88 0 0 2 2 x x
x x
xx
3 3 x x22 – – 4 4 x x – – 4 = 0 4 = 0 x x = 2, = 2, x x = = 22 3 3
Puntos: Puntos: (2, (2, 0) 0) yy 2 2 8,,8 3 3 33
Punto
Punto
f f xx xx= 2
= 2
x x f f yyyy= 2
= 2
y y+
+
x x- 2
- 2
f f xy xy = =y y=
=
f f xxxxf f yyyy–
–
[
[
f f xyxy]
]
22
Tipo de punto
Tipo de punto
(2,0)
(2,0) 4 4 0 0 0 0 0 0 Falta Falta informacióninformación (-2, (-2, 0) 0) -4 -4 -4 -4 0 0 16 16 MáximoMáximo 2 2 88 ,, 3 3 33
4 4 3 3
88 3 3 8 8 3 3 32 32 3 3
2. De entre todos los rectángulos de área 8 dm2, determine, usando Multiplicadores de Lagrange, las dimensiones del rectángulo cuya diagonal tenga el valor mínimo.
Solución:
Sean x, y las medidas de los lados del rectángulo, entonces por la información x· y = 8, además, que la diagonal del rectángulo viene dada por x2
y2 , se tiene que en términos de Multiplicadores de Lagrange, la función a plantear sería:) 8 ( ) , , ( x y
x2
y2
xy
F , de donde: F x = 2 x + λ y Fy = 2 y + λ x F x = 0 2 x + λ y = 0 y x 2
(*) Fy = 0 2 y + λ x = 0 x y 2
(**) De (*) y (**) se tiene que: x y y x 2 2
, de donde tenemos que
2 x2
2y2, o sea que x
yComo x, y son medidas de un rectángulo, entonces son positivas y se cumple que x = y. De x· y = 8, obtenemos que x = 8, y
8Respuesta:
Las medidas del rectángulo que cumplen las condiciones solicitadas son x = 8, y
83. Sea f
x, y
x2
2 x
y4
2y2, determine el punto o puntos (si existen) donde la función f alcanza un máximo relativo, mínimo relativo o un punto silla.(4 puntos)
Solución:
F x =2 x – 2 F y = 4 y3 – 4y
F x = 0 2 x – 2 = 0
x = 1
Fy = 0 4y3 – 4y = 0
y(4 y2 – 4) = 0
4 y( y – 1)( y + 1) = 0 y = 0; y = 1; y = -1
Puntos críticos: (1, 0); (1,1); (1, -1) Además: F xx = 2; F xy = 0; F yy = 12 y2 - 4
Punto F xx = 2 Fyy = 12 y – 4 F xxF yy – (Fxy) = 24 y – 8 Tipo de punto Imagen
(1, 0) 2 0 -8 Punto de silla -1
(1, 1) 2 8 16 Mínimo local -2
4. Determine los puntos pertenecientes a la curva de intersección entre las superficies de ecuación: 2 z
16
x2
y2, y x
y
4 que estén más cerca al origen.Solución:
Si P = ( x, y, z ) denota el punto buscado y O = (0, 0, 0) las coordenadas del origen, entonces la distancia de P a O viene dada por:
d(P, O) = ( x
0)2
( y
0)2
(z
0)2 = x2
y2
z 2Planteando la situación como un problema de multiplicadores de Lagrange, tendríamos que buscar los puntos críticos de:
F ( x, y, z , , ) = x2
y2
z 2
( x2
y2
2 z
16)
( x
y
4) Derivando parcialmente, tendríamos:
y x x F 2 2
y y y F 2 2
2 2 z z F 16 2 2 2
z y x F 4
y x F Resolvamos el sistema: 0 2 2 x
x
(1) 0 2 2 y
y
(2) 0 2 2 z
(3) 0 16 2 2 2
z y x (4) 0 4
y x (5)Restando a la ecuación (1) la ecuación (2), se tiene que: 0 2 2 2 2 x
x
y
y
(2 x
2 y)
(2 x
2y
)
0 2( x
y)(1
)
0 x = y; = -1ecuaciones (4) y (5) se obtendría el siguiente sistema:
4 14 2 2 y x y xDe x + y = 4 se obtiene que y = 4 – x, sustituyendo en x2
y2
14, obtenemos: 14 ) 4 ( 2 2
x x x2
16
8 x
x2
14 2 x2
8x
2
0 x2
4x
1
0 2 12 4
x = 2 3 2 4
= 2
3 Si x
2
3 entonces y
4
2
3 = 2 + 3 Si x
2
3 entonces y
4
2
3 = 2 - 3ii. Si x = y entonces, por la ecuación (5) , de x + y = 4, se tendría que x = y = 2,
sustituyendo estos valores en la ecuación x2
y2
2z
16
0, se obtiene que z = 6Respuesta:
Los puntos buscados son: 2
3, 2
3,1
, 2
3, 2
3,1
y (2, 2, 6)5. Determinar la mínima distancia del origen a la hipérbola de ecuación 225 7 8 2 2
xy
y
x .Solución:
Sea F ( x, y, z ,
)= x2
y2
x2
8 xy
7y2
225
, entonces:
x x y F x 2 2 8
y y x F y 2 14 8Por lo que tenemos que resolver, el sistema:
(2) 0 4 7 (1) 0 4 x y y y x x Despejando “ x” en la ecuación (1): x
x
4
y
0 x(1
)
4y
0, si -1
1 4 y x (3)Note que en (3), debe ser diferente de – 1, por que si = -1, entonces por (1), se tendría que y = 0, sustituyendo = -1, y = 0 en (2) se tendría similarmente que x = 0. Sustituyendo los valores de x, y obtenidos en la ecuación x2
8 xy
7y2
225 se tendría una contradicción.Sustituyendo en (2), el valor de “ x” indicado en (3), se tendría: 0 4 7
y x y 0 1 4 4 7
y y y y(1
)
7 y
(1
)
16y
2
0 y
1
7
7
2
16
2
0 y = 0;
9
2
8
1
0 y = 0; = 1; 9 1
i. Si y = 0 , entonces por (3) se concluye que x = 0, pero como estos valores no satisfacen la ecuación x2
8 xy
7y2
225, por lo que y no puede ser cero. ii. Si = 1, entonces sustituyendo en (3) se tiene que x = -2 y (4)Por lo que: 225 7 8 2 2
y xy x
2 y
2
8(
2 y) y
7y2
225 4 y2
16 y2
7y2
225 225 5 2
y ¡Imposible! iii. 9 1
Volviendo otra a vez a (3) y sustituyendo el valor de , obtenemos que:
1 4 y x = 9 1 1 9 1 4
y = 9 8 9 4 y = 2 y y = 2 x.Sustituyendo, este valor de y en la ecuación de la superficie dada: 225 7 8 2 2
y xy x 225 ) 2 ( 7 ) 2 ( 8 2 2
x x x x 225 45 x2
5 45 225 2
x x
5; x
5Por lo que los puntos obtenidos serían: 5, 2 5
y
5,
2 5
Respuesta:
La menor distancia del origen a la hipérbola dada es de
2 25 2
5
= 5
20 = 5 (u.l.)6. Una caja rectangular sin tapa debe tener un volumen de 32 unidades cúbicas. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie total sea mínima? (NO utilice Multiplicadores de Lagrange).
Solución:
Si S denota la superficie total de la caja, entonces de la información dada se tiene que: i. xyz = 32
ii. S( x, y, z ) = xy + 2 xz + 2 yz (función a optimizar)
De xyz = 32 se tiene que
xy z
32 (*) Sustituyendo (*) en (ii):S( x, y, z ) = xy
2 xz
2 yz =
xy y xy x xy 2 32 2 32 = x y xy
64
64Por lo que la función que debemos optimizar, expresada en términos de dos variables sería: S( x, y) = x y xy
64
64 S x= 2 64 x y
S y = 2 64 y x
S x = 0 2 64 xy
, sustituyendo este valor en la ecuación S y = 264 y x
= 2 2 64 64
x x = ) 64 )( 64 ( 64 x4 x
= 64 4 x x
= 64 64 x
x4 =
64 64 x3 x
= 0 x = 0; x3
64 x = 0; x = 4. La solución x = 0 debe descartarse ¿Por qué?
Si x = 4, se obtiene que y = 4, y como el volumen es de 32 unidades cúbicas entonces z = 2.
Queda como ejercicio, verificar que efectivamente para los valores obtenidos, la superficie total es mínima.
7. Determine el punto que está más cerca del origen y sobre la recta que resulta de la intersección de los planos: 2 x – y + z = 1; 3 x – 2 y + 3 z = 22.
Solución:
Aplicando el criterio de Multiplicadores de Lagrange, se tiene que la función a analizar sería:
G( x, y, z ) = x2
y2
z 2
(2 x
y
z
1)
(3 x
2 y
3z
22), la cual para efectos de buscar los puntos críticos, la podemos plantear como:F( x, y, z ) = x2
y2
z 2
(2 x
y
z
1)
(3 x
2 y
3z
22) Fx = 2 x
2
3
Fy = 2 y
2
Fz = 2 z
3
0 3 2 0 2 2 0 3 2 2 z y x
2 3 2 2 2 3 2 z y xSustituyamos los valores de x, y, z en las dos ecuaciones: 2 x – y + z = 1; 3 x – 2 y + 3 z = 22 i. 2 x – y + z = 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2
4
6
2
3
2 6
11
2 (1)ii.3 x – 2 y + 3 z = 22
Sustituyamos los valores de x, y, z en la ecuación anterior: 3 x – 2 y + 3 z = 22 22 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3
6
9
2
4
3
9
44 11 + 22 = 44 + 2 = 4 (2)Resolvamos el sistema de ecuaciones:
4 2 2 11 6De la ecuación (2) tenemos que = 4 - 2, sustituyendo este valor en la ecuación (1) tenemos que: 6 + 11 = 2 6(4 - 2) + 11 = 2 24 - 12+ 11 = 2 24 - = 2; = 22 De = 4 - 2, se obtiene que = -40. Por lo que: x = 2 3 2
