Máquinas térmicas cuánticas en el límite cuasi estacionario

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(1)PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE INSTITUTO DE FÍSICA. MÁQUINAS TÉRMICAS CUÁNTICAS EN EL LÍMITE CUASI-ESTACIONARIO. por. Matı́as Batarce Pérez-Garcı́a. Tesis presentada a la Facultad de Fı́sica de la Pontificia Universidad Católica de Chile para optar al grado académico de Magister en Fı́sica. Supervisor. :. Dr. Enrique Muñoz. Comité. :. Dr. Gustavo Düring Dr. Ángel Abusleme. Diciembre 2019 Santiago, Chile c 2019, Matı́as Batarce Pérez-Garcı́a.

(2) AGRADECIMIENTOS En primero lugar, le quiero agradecer a mi familia por el apoyo incondicional que me han brindado para perseguir mis proyectos cualquiera que fuesen. En segundo lugar quiero agradecer a mi profesor guı́a Enrique Muñoz. Su paciencia y esfuerzo a lo largo de este trabajo fue indispensable para llevarlo a cabo. Nuestras conversaciones en torno a la tesis me ayudaron a profundizar mi comprensión en los problemas fı́sicos que abordé. No menos importante, también agradezco las conversaciones casuales en otros temas. Estas me ayudaron a aprender más de la fı́sica y mantener el buen humor. También quiero agradecer al profesor Ángel Abusleme por las palabras de motivación que me brindo al inicio de este proyecto. Me dieron un impulso para empezar este trabajo de la mejor forma. Por último quiero agradecer a mis amigos que se interesaron por esta tesis este último año. Me permitieron mejorar la forma en que explicaba los temas tratados y entregar una mejor redacción. También agradecer Miguel Sánchez por nuestras conversaciones en los temas que trabajé. Su visión me dio otras perspectivas útiles para este trabajo.. i.

(3) Abstract La termodinámica de sistemas cuánticos abiertos permite el análisis de las máquinas térmicas cuánticas o Quantum Heat Engines. Estas consisten en un sistema cuyo fluido de trabajo posee una descripción cuántica y cuyo estado descrito por variables termodinámicas promediadas en un ensamble estadı́stico recorren un ciclo termodinámico. El detalle de la dinámica fuera del equilibrio para estos sistemas que intercambian energı́a con el ambiente es un problema complejo que requiere el uso de aproximaciones sobre la ecuación maestra. En este trabajo se consideró un ciclo termodinámico análogo al ciclo de Otto en donde se reemplaza la variación del volumen del fluido de trabajo por la acción de una variación en un campo magnético externo uniforme. También se tomó el lı́mite en que la máquina opera de forma cuasi-estacionaria, en donde las transiciones que ocurren lo hacen de forma cuasi-estática, manteniendo el sistema siempre en equilibrio termodinámico, y recorriendo la máquina un ciclo estacionario. De esta forma se ignora el detalle de la dinámica fuera del equilibrio de modo de evaluar la realización de la máquina en condiciones ideales. Para este análisis se utilizaron dos modelos, uno basado en puntos cuánticos, y el otro en una lámina de grafeno bajo tensión, ya que esta da origen a fermiones de Dirac en el lı́mite de bajas energı́as. También para cada uno de estos sistemas se analizaron tres casos de interés. Primero el caso en cada sistema estuviese cargado con exactamente un electrón. En segundo lugar se consideró que cada sistema estuviese cargada con dos electrones no interactuantes respetando el principio de incertidumbre y finalmente, en el tercer caso, se consideró cada sistema cargado con un número variable de electrones modulado por un potencial quı́mico constante. Para cada uno de estos casos se evalúo la realización del ciclo mediante su eficiencia en función del cambio en el campo magnético externo.. ii.

(4) Índice general 1. Introducción. 1. 1.1. Máquinas Térmicas Cuánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Teorı́a General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Relajación al equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.4. Evolución cuasiestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2. Máquina térmica cúantica para un arreglo de puntos cuánticos 2.1. Puntos Cuánticos: Historia. 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2. Punto Cuántico: Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.2.1. Espectro para una partı́cula en un punto cuántico cilı́ndrico bajo el efecto de un campo magnético externo . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.3. Ciclo de Otto para un arreglo de puntos cuánticos cargados con una partı́cula 18 2.3.1. Matriz de densidad y función partición . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.3.2. Cantidades Termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.3.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.4. Ciclo de Otto para un arreglo de puntos cuánticos cargados con dos partı́cula no interactuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.4.1. Matriz de densidad y función partición . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.4.2. Cantidades Termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.4.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.5. Ciclo de Otto para un arreglo de puntos cuánticos cargados con un gas de fermiones no interactuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. 34.

(5) ÍNDICE GENERAL. 2.5.1. Matriz de densidad y función partición . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 2.5.2. Cantidades Termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 2.5.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3. Máquina térmica cúantica para un arreglo de Hojuelas de Grafeno bajo tensión. 47. 3.1. Grafeno: Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.2. Marco teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.2.1. Estructura cristalina del grafeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.2.2. Estructura de Bandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 3.2.3. Limite continuo para bajas energı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 3.2.4. Espectro para grafeno bajo tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.3. Ciclo de Otto para una hojuela de grafeno bajo tensión y campo magnético externo cargada con una partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 3.3.1. Matriz de densidad y función partición . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 3.3.2. Cantidades termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 3.3.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3.4. Ciclo de Otto para una hojuela de grafeno bajo tensión y campo magnético externo cargada con dos partı́culas no interactuantes . . . . . . . . . . . . .. 69. 3.4.1. Matriz de densidad y función partición . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 3.4.2. Cantidades termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 3.4.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 3.5. Ciclo de Otto para una hojuela de grafeno bajo tensión y campo magnético externo cargada un gas de fermiones no interactuantes . . . . . . . . . . . .. 74. 3.5.1. Matriz de densidad y función partición . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 3.5.2. Cantidades termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 3.5.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 4. Conclusiones y discusión. 83. iv.

(6) 5. Apendice. 85. 5.1. Derivación de la matriz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 5.2. Cálculo de Z1 (B, β) para una partı́cula en un punto cuántico . . . . . . . .. 87. 6. Bibliografı́a. 88.

(7) Capı́tulo 1. Introducción 1.1.. Máquinas Térmicas Cuánticas. La materia de la termodinámica cuántica, la cual se basa ampliamente en la teorı́a de sistemas cuánticos abiertos [1, 2], provee un marco teórico para el estudio de máquinas térmicas cuánticas (QHEN, Quantum Heat Engines). El análisis de una QHEN que opera lejos del equilibrio térmico es un problema interesante y, en gran medida, un problema abierto. La dinámica de dichos sistemas, cuyos estados se determinan mediante la matriz de densidad reducida fuera del equilibrio, está descrita por distintas aproximaciones a la ecuación maestra [1–3]. Las QHENs han sido propuestas en la literatura [4–18] como una alternativa para recuperar energı́a térmica en forma de trabajo útil en nanodispositivos. Dentro de la definición general de una QHEN, cuyo fluido de trabajo es de naturaleza cuántica, es importante distinguir aquellas que tienen una operación alternativa [3, 19]. Se ha demostrado [19] que bajo condiciones no muy restrictivas, una QHEN alternativa converge a un ciclo limite estacionario. Dicho ciclo limite, en analogı́a directa a una maquina clásica, puede ser vista como una secuencia de estados de equilibrio, donde su trayectoria es determinada por un conjunto minimal de variables [1, 19, 20]. Ejemplos interesantes de estos conceptos son la fotosı́ntesis en plantas [21], como también fotoceldas diseñadas por humanos [11, 12], en donde la sustancia de trabajo son fotones termalizados. Además, recientemente ha sido propuesto que si los reservorios también son de naturaleza cuántica, entonces estos podrı́an 1.

(8) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. ser preparados en estados cuánticos coherentes [11, 12] o en estados termalizados comprimidos [11, 12, 22]. Estos ejemplos no constituyen en ningún caso las únicas configuraciones posibles, dado que en la literatura se han propuesto diversos diseños basados en distintos principios, tales como estados entrelazados en un qubit [23] y versiones cuánticas de los ciclos de Diesel [15] y de Otto [16, 22, 24, 25]. A modo conceptual, un ensamble estadı́stico de sistemas de una partı́cula confinada puede someterse a un ciclo de transformaciones reversibles llevadas a cabo por un campo externo generalizado. Este campo puede ser una fuerza mecánica [4–7, 9] que, al variar una escala espacial de confinamiento, modifica el espaciado entre niveles del espectro del sistema de una partı́cula, lo que induce una secuencia de transiciones en la población estadı́stica de estados de una partı́cula, análogo a lo que le ocurre a un gas clásico confinado en un pistón. Generalizaciones de esta idéa han sido discutidos en el contexto de partı́culas de Dirac relativistas [26]. También se ha propuesto una QHEN impulsada magnéticamente [27], basada en el efecto combinado de un potencial de confinamiento parabólico, que representa un quantum dot en un semiconductor, y un campo magnético externo. En el caso de un sistema de una partı́cula, esta configuración posee una solución exacta en términos de niveles de Landau efectivos, que constituyen un espectro discreto, y una longitud de confinamiento efectiva determinada por el radio de Landau. Aquı́, la distancia entre niveles de Landau puede ser modulada variando el campo magnético externo [27], con el efecto de modular el radio de Landau. Una variación interesante de esta idea es en la implementación en un ensamble de hojuelas de grafeno bajo deformación [28].. 1.2.. Teorı́a General. Para la descripción del marco teórico, esta y las siguientes secciones están basadas principalmente en la revisión [29]. Para el análisis de las QHEN, primero hace falta presentar las principales definiciones y cantidades fı́sicas utilizadas en la teorı́a de la termodinámica cuántica, lo que permitirá formular una teorı́a básica y los supuestos requeridos. Primero hace falta introducir el operador que representa la matriz de densidad reducida que caracteriza los estados fuera del equilibrio de un sistema cuántico abierto, como también. 2.

(9) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. la aproximación Markoviana que llevan a la ecuación maestra que gobierna su evolución temporal. De esta descripción se deriva una versión microscópica fuera del equilibrio de la primera ley de la termodinámica para sistemas cuánticos abiertos. El enfoque será en la aproximación cuasi-estática de esta ley, que constituye la base teórica para los casos tratados en esta tesis. En términos generales, una QHEN puede ser vista como un sistema cuántico abierto en contacto con uno o más reservorios térmicos, con los que el sistema interactúa e intercambia energı́a e información. Como se puede ver en el esquema de la figura 1.1, si el sistema abierto S y el reservorio B fuesen entidades aisladas, estos estarı́an descritos por los operadores Hamiltonianos ĤS y ĤB que actúan sobre los estados en los espacios de Hilbert HS y HB respectivamente. Si se agrega la interacción ĤI que mezcla los grados de libertad de ambos subsistemas S y B, el Hamiltoniano para el espacio de Hilbert compuesto por la combinación HS ⊗ HB es:. Ĥ = ĤS ⊗ 1B + 1S ⊗ ĤB + ĤI. (1.1). Figura 1.1: Esquema para un sistema microscópico S interactuando con el reservorio B. Se define ρ̂, el operador matriz de densidad que describe el estado mezclado del sistema completo H = HS ⊗ HB . Luego el operador matriz densidad reducida que caracteriza el estado del sistema S, denotado ρ̂S , se obtiene trazando sobre los grados de libertad del. 3.

(10) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. reservorio B:. ρ̂S = TrB ρ̂. (1.2). La ecuación que gobierna la evolución de la matriz densidad reducida de la ecuación (1.2) es [29]: dρ̂S (t) i = − TrB [Ĥ, ρ̂(t)] dt ~. (1.3). Bajo suposiciones fı́sicas generales, principalmente concernientes al corto tiempo de correlación para observables en el reservorio B, que se discutirá en más detalle más adelante, la ecuación (1.3) puede ser aproximada por una ecuación maestra Markoviana [1, 2] en la forma de Lindblad. Matemáticamente, esto involucra la existencia de un mapeo dı́namico del espacio de matrices de densidad del sistema S a si mismo. Dicho mapeo combina una evolución unitaria con un término disipativo descrito por el super operador LD y puede ser visto como una versión en mecánica cuántica de la ecuación de Liouville [1, 2]: i dρ̂S (t) = − [ĤS0 , ρ̂S ] + LD ρ̂S dt ~. (1.4). Aquı́, el super operador LD representa la constribución disipativa que sale de la interación entre el sistema abierto S y el reservorio B. Nótese que, en general, ĤS0 puede incluir una renormalización del Hamiltoniano ĤS debido a la interación del sistema con el reservorio [2]. Más adelante se revisará este tema en más detalle. La forma general [1] del super operador LD , que representa la disipación, dentro de los supuestos que permiten llegar a la ecuación maestra Markoviana (1.4), puede ser expresada mediante un conjunto de operadores de Lindblad V̂j tales que, para cualquier observable Ô:. LD Ô =. X j. 1 † † † γj V̂j ÔV̂j − {V̂j V̂j , Ô} 2. (1.5). Ahora se analizarán las implicancias de la descripción anterior en el contexto de la termodinámica fuera del equilibrio para la dinámica del sistema abierto. La energı́a promedio. 4.

(11) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. del ensamble para el sistema fuera del equilibrio está dada por [29]: E(t) = TrS ρ̂S (t)ĤS. (1.6). Donde la traza se aplica sobre los grados de libertad del sistema abierto S. Luego el balance de energı́a que resulta de esta ecuación es [29]: dE = Tr dt. . dρ̂S ĤS dt. *. +. ∂ ĤS ∂t. + = Q̇ + Ẇ. (1.7). Esta es una versión cuántica, fuera del equilibrio, de la primera ley de la termodinámica, donde Q̇ representa la tasa de disipación de calor intercambiado entre el sistema y el reservorio, mientras que Ẇ representa la potencia. Estos términos se definen mediante las expresiones [29]: Q̇ = TrS ĤLD ρ̂S = TrS LD ĤS ρ̂S = hLD ĤS i ! * + ∂ ĤS ∂ ĤS Ẇ = TrS ρ̂S = ∂t ∂t. (1.8). Ahora se procederá a revisar los supuestos generales necesarios para obtener la forma de Lindblad de la ecuación maestra Markoviana presentada en la ecuación (1.4), partiendo una derivación microscópica explicita. A lo largo de este trabajo se asumirá que el reservorio B es verdaderamente macroscópico comparado con el pequeño tamaño del sistema abierto S. Bajo este supuesto, es seguro decir que la escala de tiempo de relajación para la dinámica del reservorio τB es mucho menor que la correspondiente para el sistema S, i.e., τB τS . Además, al ser considerado el reservorio un objeto macroscópico, los autoestados de ĤB forman un continuo. Bajo estos supuestos, en el lı́mite de acoplamiento débil, la aproximación de Born-Markov [2] es válida,. ρ̂(t) ∼ ρ̂S (t) ⊗ ρ̂B. (1.9). La forma más general para el Hamiltoniano de interacción se puede expresar de la. 5.

(12) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. forma:. ĤI =. X. Âα ⊗ B̂α. (1.10). α. Donde Âα y B̂α son dos conjuntos de operadores hermı́ticos que actúan sobre los espacios de Hilbert HS y HB respectivamente. Asumiendo una descomposición espectral para el Hamiltoniano del sistema abierto g PP |i ihi | y definiendo la familia de operadores en espacio de frecuencia [2]: ĤS = i=1. Âα (ω) =. X. P̂ ()Âα P̂ (0 ). (1.11). 0 −=ω. Con P̂ () =. g P. |i ihi | operadores de proyección al subespacio de autoestados de ĤS. i=1. con autovalor y posible degenerancia g ≥ 1. Bajo el supuesto mencionado anteriormente de τB τS , es posible separar dos escalas de tiempo para las dinámicas del sistema y reservorio. Por esto, una nueva aproximación involucra promediar la rápida oscilación de los términos de la dinámica del reservorio, también conocida como la aproximación de onda rotatoria (rotating wave aproximation), donde los operadores del reservorio promedian cero, hB̂α (t)i = Tr(B̂α (t)ρ̂B ) = 0. Bajo estas aproximaciones, la dinámica [2] del operador matriz de densidad reducida, en la imagen de Schrödinger, viene dada por la ecuación maestra de Born-Markov : i dρ̂S ih = − ĤS + ĤLS , ρ̂S (t) + LD ρ̂S (t) dt ~. (1.12). Matemáticamente, esto implica la existencia de un mapeo dinámico de un parámetro V (t) : S(HS ) → S(HS ), desde el espacio de matrices de densidad a si mismo, con ρ̂(0) → ρ̂(t) = V (t)ρ̂(t), para t > 0. Este mapeo posee una propiedad de semigrupo V (t1 )V (t2 ) = V (t1 + t2 ). Su generador infinitesimal, como se puede ver en la ecuación (1.12), combina evolución unitaria con un término disipativo descrito por el super operador LD [1, 2]. La terminologı́a de super operador refiere al hecho que, tanto el mapeo dinámico como V (t) como LD , actúan sobre operadores (la matriz de densidad reducida), en lugar de vectores en el espacio de Hilbert. En la ecuación (1.12), también se ha definido el operador de Lamb. 6.

(13) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. shift [2]:. ĤLS =. XX ω. σαβ Â†α (ω)Âβ (ω). (1.13). α,β. Cuyo significado fı́sico es una renormalización del Hamiltoniano del sistema abierto debido a su interacción con el ambiente de fluctuaciones rápidas [2], en analogı́a con el Lamb shift [30] en fı́sica atómica. Por otra parte, el super operador de disipación de la ecuación (1.12) está dado de forma explı́cita por [2]:. LD ρ̂S =. XX α,β. ω. 1 † † γαβ Âβ (ω)ρ̂S (t)Âα (ω) − {Âα (ω)Âβ (ω), ρ̂S (t)} 2. (1.14). Los coeficientes tanto de la disipación como del operador de Lamb shift, vienen dados por las partes real e imaginarias de la transformada de Fourier de la función de autocorrelación del reservorio [29]: Z. ∞. Γαβ (ω) =. dseiωs hB̂α† (s)B̂β (0)i. 0 (1.15) 1 = γαβ (ω) + iσαβ (ω) 2 Cabe mencionar que la ecuación (1.14) puede ser llevada a la forma estándar de Lindblad. de la ecuación (1.5) diagonalizando las matrices γαβ .. 1.3.. Relajación al equilibrio. Dado que se está considerando a los reservorios como objetos macroscópicos, estos se pueden asumir en equilibrio térmico, con una distribución de Gibbs a temperatura inversa β:. ρ̂B =. e−β ĤB TrB e−β ĤB. (1.16). Bajo este supuesto, es natural preguntar luego si el sistema abierto S se relajará a una distribución estacionaria correspondiente a su propia distribución térmica a la misma. 7.

(14) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. temperatura del reservorio, i.e., si se cumple: lı́m ρ̂S = ρ̂S,eq. t→∞. =. (1.17). e−β ĤS TrS e−β ĤS. Esto resulta ser el caso para la dinámica Markoviana aproximada descrita por la ecuación maestra de Born-Markov (1.12). De las relaciones de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) para los correladores de los operadores del reservorio [29]: hB̂α† (t)B̂β (0)i = Tr ρ̂B B̂α† (t)B̂β (0) =. hB̂β (0)B̂α† (t. (1.18). + iβ)i. que siguen de forma directa de la ecuación (1.16) para la distribución térmica del reservorio, se obtienen las propiedades [29]: γαβ (−ω) = e−ωβ γαβ (ω) ρ̂S,eq Âα (ω) = eβω Âα (ω)ρ̂S,eq. (1.19). ρ̂S,eq Â†α (ω) = e−βω Â†α (ω)ρ̂S,eq Usando estas relaciones, es fácil probar que el término de disipación desaparece para la distribución canónica Gibbsiana de la ecuación (1.17) [29]:. LD ρ̂S,eq = 0. (1.20). Por otro lado, es evidente que el operador de Lamb-shift ĤLS de la ecuación (1.13) conmuta con el Hamiltoniano ĤS del sistema abierto, lo que implica [29]: h i ĤLS , ĤS = 0 h i ⇒ ĤS + ĤLS , ρ̂S,eq = 0. (1.21). Por lo tanto, de las ecuaciones (1.20) y (1.21) sigue que la distribución térmica de la ecuación (1.17) es de hecho una solución estacionaria para la ecuación maestra del sistema pequeño (1.12) en la aproximación de Born-Markov, tomando en cuenta que el reservorio macroscópico B está en un estado de equilibrio térmico. 8.

(15) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 1.4.. Evolución cuasiestática. Hasta el momento se han discutido condiciones suficientes bajo las cuales la evolución dinámica del operador matriz de densidad reducida ρ̂(t), cuando está en contacto con un reservorio macroscópico en equilibrio térmico, se relajará hacia la distribución ρ̂S,eq . Para el desarrollo del cuerpo de esta tesis falta concebir, asumiendo que el sistema parte en dicho estado de equilibrio y en analogı́a con el análisis termodinámico clásico, una secuencia de procesos cuasiestáticos que lleven al subsistema por una secuencia de estados de equilibrio. Esta es una dinámica especialmente particular, en la que se asume que uno o más parámetros fı́sicos en el conjunto {λj } (como pueden serlo una dimensión geométrica o algun campo externo), en los cuales el Hamiltoniano ĤS ({λj }) depende de forma explı́cita, puden ser variados a una tasa arbitrariamente lenta. Para ser más preciso, se asume que |n; {λj }i constituye un conjunto de autovectores de ĤS :. ĤS |n; {λj }i = En ({λj })|n; {λj }i. (1.22). Donde n representa un multi-indice (los cuales pueden ser tanto continuos como discretos), que etiquetan los autovalores delHamiltoniano. Luego el operador matriz de densidad en equilibrio debe ser diagonal en dicha base:. ρ̂S,eq =. X. ρn ({λj })|n; {λj }ihn; {λj }|. (1.23). n. La condición de normalización TrS ρ̂S,eq = 1 implica: X. ρn ({λj }) = 1. (1.24). n. En esta representación, la entropı́a de Von Neumann [31] adquiere una expresión simple en término de los coeficientes ρn ({λj }): S({λj }) = −kB TrS ρ̂S log ρ̂S X = −kB ρn ({λj }) log ρn ({λj }) n. 9. (1.25).

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN D E Luego, la energı́a promedio del ensamble E = ĤS del sistema abierto S viene dada por: E({λj }) = TrS ρ̂S,eq ĤS X ρn ({λj })En ({λj }) =. (1.26). n. El ensamble estadı́stico recién descrito puede ser sometido a un proceso cuasiestático arbitrario que involucre la modulación de uno o más de los parámetros {λj } [26, 27], y por lo tanto, la energı́a promedio del ensamble de la ecuación (1.26) varı́a acorde a [29]:. dE = TrS (ĤS δ ρ̂S,eq ) + TrS (ρ̂S,eq δ ĤS ) XX XX ∂ρS,eq ({λj }) ∂En ({λj }) = En ({λj }) δλj + δλj ρn ({λj }) ∂λj ∂λj n n j. (1.27). j. = δQ + δW. El primer término en la ecuación (1.27) representa un proceso en el cual el espectro no se altera, mientras que el segundo representa un proceso isoentrópico. Ambos términos están en correspondencia con las nociones macroscópicas de calor y trabajo respectivamente. Por lo que la ecuación (1.27) representa una versión microscópica para la primera ley de la termodinámica para el ensamble estadı́stico de sistemas de una partı́cula [26–28]. Vale notar que la ecuación (1.27) es muy similar a las relaciones fuera del equilibrio descritas por las ecuaciones (1.6),(1.7) y (1.8). En efecto, el proceso cuasiestático descrito en la ecuación (1.27) puede ser considerado como un caso muy particular de un proceso dinámico bajo dos consideraciones. En primer lugar hace falta suponer que el proceso se realiza arbitrariamente cerca del equilibrio, de modo que la dinámica este determinada únicamente por la tasa de cambio del conjunto de parámetros {λ̇j }. En concreto, para un intervalo de tiempo δt, se tendrı́a δλj = λ̇j δt. En segundo lugar, para que el sistema se mantenga arbitrariamente cerca del equilibrio en cualquier instante del proceso, se debe asumir que la tasas de cambio son lo suficientemente lentas para satisfacer que δλj /λ̇j τS τB , con τS y τB los tiempos de relajación caracterı́sticos del sistema y reservorio respectivamente.. 10.

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. Esto último es una idealización, dado que dicho proceso tomarı́a un tiempo muy largo para cualquier cambio finito en las cantidades δW = Ẇ δt y δQ = Q̇δt En los siguientes capı́tulos se desarrollaran ejemplos explı́citos de la aplicación de este formalismo en la realización de una QHEN. En particular se trataran dos sistemas distintos, un modelo para un quantum dot y otro para una hojuela de grafeno. Para cada uno de estos modelos se tomará el caso de un ensamble estadı́stico de sistemas de una partı́cula para luego extenderlo a dos partı́culas no interactuantes y para un gas de fermiones no interactuantes.. 11.

(18) Capı́tulo 2. Máquina térmica cúantica para un arreglo de puntos cuánticos 2.1.. Puntos Cuánticos: Historia. El principio de la década de 1970 marcó una nueva era en la investigación de la estructura electrónica de sistemas cuya dimensiones está limitada a dos, el descubrimiento los llamados pozos cuánticos o quantum wells [32,33]. Estos correspondı́an a una capa delgada y plana de semiconductor intercalado entre otras dos capas de otro semiconductor con una mayor energı́a para la banda de conducción [34]. La diferencia entre las energı́as de las bandas de conducción de los materiales atrapa a los electrones en la capa delgada [35]. El movimiento de electrones atrapados en una capa tan delgada como varias mono capas cristalinas tiene dos dimensiones y las excitaciones en la dirección perpendicular están fuertemente cuantizadas [35]. Este tipo de interfaz es llamada heterounión, que, a diferencia de las homouniones como la unión p-n en semiconductor presente en diodos y transistores, en las que se utilizan materiales similares, pero con distinto dopaje, las heterouniones utilizan materiales distintos. El material más utilizado para la creación de pozos cuánticos es el areseniuro de galio (GaAs), que en combinación con una solución de areseniuro de galio-aluminio (Alx Ga1−x As) que hace de barrera, permite la creación de capas epitaxiales muy delgadas [35].. 12.

(19) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS Las nuevas e inusuales propiedades de estos sistemas cuasi-bidimensional, que prometı́an aplicaciones principalmente en la electrónica y optoelectrónica, resultaron en un rápido desarrollo y producción de tecnologı́as y extensiva investigación. Dentro de los descubrimientos importantes se pueden mencionar el descubrimiento del efecto Hall cuántico entero [36], por el cual Klaus von Klitzing recibió el premio Nobel en 1985; el descubrimiento del efecto Hall fraccionario [37], que le valió el premio Buckley a sus descubridores Daniel C. Tsui, Horst C. Stormer, y Arthur C. Gossard como también lo obtuvo Robert B. Laughlin por su trabajo teórico para comprender el efecto Hall cuántico [38–40]. Hoy en dı́a las propiedades de sistemas cuasi-bidimensional son bien comprendidas y se han producido e implementado pozos cuánticos por años en numerosos dispositivos. Luego, a principios de 1980, el rápido progreso tecnológico, especialmente en el desarrollo de técnicas litográficas muy precisas, permitió seguir confinando los electrones ahora en estructuras cuasi-unidimensional, los llamados hilos cuánticos [41]. Estas se producen, por ejemplo, en la forma de tiras miniatura grabadas en una muestra que contenga un pozo cuántico [35]. Pero la completa cuantización del movimiento libre del eletrón fue implementada confinándolo en una estructura cuasi-cero-dimensional, el punto cuántico o quantum dot. Esto fue logrado por primera vez por cientı́ficos de Texas Instruments Incorporated. Reed et al. [42] reportó la creación de un punto cuántico cuadrado de lado de 250 nm, grabado por medio de litografı́a. Estas nuevas estructuras, que se crean a partir de la superposición o grabado de pozos cuánticos, y por lo tanto con la superposición de heterouniones, son llamadas heteroestructuras o superlattice. El proceso de grabado y la configuración de las capas de la heteroestructura que conforma el punto cuántico se pueden ver ejemplificados en las figuras 2.1 2.2. Posteriores publicaciones reportando la creación de más puntos cuánticos aparecieron prontamente de la mano de AT &T Bell Laboratories [43, 44] y de Bell Communication Research Incorporated [45]. En estos casos los diámetros de los puntos cuánticos ya eran mucho menores de 30 − 40 nm. Como resultado del fuerte confinamiento impuesto en las tres dimensiones espaciales, los sistemas de puntos cuánticos son similares a átomos y por eso son frecuentemente llamados átomos artificiales [35]. Lo que los hace objetos tan inusuales es, antes que todo, la posibilidad de controlar su forma, dimensiones, estructura de sus niveles de energı́a y núme-. 13.

(20) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. ro de electrones confinados [35]. Esto permite implementar y estudiar modelos académicos, tales como potenciales rectangulares o parabólicos que confinen una o más partı́culas de igual o distinta carga; la cuantización de Landau para un eletrón; la recombinación radiativa para sistemas de unas pocas partı́culas, entre otros [35]. El pequeño número de elecrones tı́picamente en puntos cuánticos, lo que facilita los cálculos, hace que estos sistemas sean pequeños laboratorios para la fı́sica de muchos cuerpos y de particular interés para la fı́sica teórica [35]. Una idea fascinante que promete mucho es observar la formación de la estructura de bandas para redes cristalinas de un gran número (∼ 108 ) de puntos cuánticos idénticos uniformemente espaciados con formas y tamaños que no se encuentren en la naturaleza [35]. Se han reportados las propiedades de moléculas artificiales formadas por unos cuantos puntos cuánticos interactuantes [46]. A más de 30 años de su descubrimiento, los puntos cuánticos siguen siendo de gran interés tanto por la fı́sica que emerge del fuerte confinamiento de excitaciones electrónicas como por el gran número de aplicaciones prospectivas que permite la posibilidad de sintonizar las propiedades de estos objetos [47]. De hecho, las propiedades electrónicas y ópticas de los puntos cuánticos, en conjunto con los avances en su sintonización, han permitido acercarse a tecnologı́as como láseres de puntos cuánticos [48, 49], nuevos dispositivos fotovoltáicos [50,51] como también dispositivos emisores de luz en base a puntos cuánticos [52]. Estos avances también han despertado interés de posibles aplicaciones en investigaciones en biologı́a y biomedicina [53].. 14.

(21) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.1: Proceso de grabado de un punto cuántico [54]. Figura 2.2: Estructura de un punto cuántico grabado en una heteroestructura en GaAs/AlGaAs, basado en [42]. 2.2.. Punto Cuántico: Modelo. Para la realización del ciclo termodinámico a estudiar, un sistema que es fı́sicamente posible de construir en laboratorio y del cual existen varios ejemplos [35, 55], es un arreglo bidimensional de puntos cuánticos cilı́ndricos en semiconductor casi idénticos. En la figura 15.

(22) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. 2.3 se puede ver una imagen de un arreglo de puntos cuánticos de laboratorio, tomada por un microscopio electrónico de transmisión (TEM por transmission electron microscope). Para el propósito de este trabajo, el arreglo no necesita ser periódico y, al asumir que los puntos cuánticos no interactúan entre ellos, la distancia que los separa debe ser lo suficientemente para que no ocurran efectos de tunelaje de carga. Además se asume que se aplica un potencial de compuerta constante en cada punto cuántico de modo que se pueda controlar la densidad de carga local. Siguiendo con la idealización del problema, se aumirá primero que cada punto cuántico quedará cargado con un solo electrón. Posteriormente se estudiaran casos idealizados en que los puntos cuánticos se cargan con dos electrones y finalmente se considerará que dicho potencial de compuerta supone un potencial quı́mico para el caso de un gas de fermiones. De este modo, el total del arreglo de puntos cuánticos no interactuantes, constituye un ensamble de réplicas idénticas de un mismo sistema. Bajo estos supuestos, se considera además la acción un campo magnético externo uniforme en la dirección perpendicular del arreglo. El confinamiento geométrico, en combinación con el campo magnético externo, lleva a la emergencia de niveles discretos de Landau, con una escala espacial de confinamineto caracterı́stica definida por un radio de Landau efectivo [55]. Esta longitud caracterı́stica puede ser sintonizada modulando la intensidad del campo magnético externo, de modo que se pueda llevar a cabo una secuencia de procesos para construir ası́ una QHEN, tal como se discute en [27].. 16.

(23) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.3: Imágen tomada por un microscopio electrónico de transmisión de un arreglo de puntos cuánticos de InGaAs/GaAs [56]. 2.2.1.. Espectro para una partı́cula en un punto cuántico cilı́ndrico bajo el efecto de un campo magnético externo. El modelo a utilizar consiste, como en [27], a un modelo simplificado de un punto cuántico cilı́ndrico en semiconductor, bajo el potencial de confinamiento [27, 35, 55]:. V (x, y) =. m∗ 2 2 ωd x + y 2 2. (2.1). Donde m∗ corresponde a la masa efectiva del electrón atrapado en este sistema. Para efecto de los cálculos, se considera un sistema en arsienuro de galio, donde m∗ ∼ 0.067 m0 [35, 55]. Adicional a este confinamiento geométrico, se impone un campo magnético uniforme en la dirección del eje z B = B ẑ. Por conveniencia se elige el gauge simétrico A=. B 2 (−y, x, 0).. Además se considera la interacción de Zeeman del spin del electrón con. el campo magnético, de modo que el sistema queda representado por el Hamiltoniano de una partı́cula: 1 Ĥ = 2m∗. ". eBy px − 2. 2. # eBx 2 gµB + py + + V (x, y) + σz B 2 2. 17. (2.2).

(24) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Donde µB =. ~e 2m0. corresponde al magnetón de Bohr, g = |g| el módulo de la razon. giromagnética del electrón, que para electrones en la banda de conducción en GaAs se tiene g ∼ −0.44 [57, 58] y σz la matriz de Pauli en la dirección del eje z. El espectro correspondiente a los autoestados de una partı́cula [55], sumado el efecto Zeeman, queda:. En,m,σ (B) = ~Ω (2n + |m| + 1) − m. ~ωB gµB +σ B 2 2. (2.3). Donde n = 0, 1, 2, · · · , m = 0, ±1, ±2, · · · y σ = ±1, son los números cuánticos radial, azimutal y de spin, respectivamente. Estos niveles están caracterizados por una frecuencia efectiva: r ωd2 +. Ω= Donde ωB =. eB m∗. 2 ωB 4. (2.4). es la frecuencia de ciclotrón dependiente del campo. Las autofunciones. están expresadas en término de los polinomios de Laguerre [55]: s ! s ρ2 e−imφ 2 n! ρ |m| − 2l2e,B |m| ρ2 hr|Ψn (B)i = √ e Ln ⊗ χσ (2.5) 2 2 (n + |m|)! le,B le,B le,B 2π q Donde le,B = m~∗ Ω corresponde al radio de Landau efectivo que captura los efectos de confinamiento del potencial geométrico como también del campo magnético externo, n = (n, m, σ) el multi-indice que etiqueta el estado, y χ+ = (1, 0), χ− = (0, 1) los autoestados de σz . Por otro lado, el efecto de confinamiento puramente geométrico, sin considerar el q efecto del campo externo, viene dado por el radio de Landau ld = m∗~ωd , y un valor tı́pico para puntos cuánticos es de 70 nm [35], valor del cual se puede obtener ωd para efectos de los cálculos numéricos en secciones posteriores.. 2.3.. Ciclo de Otto para un arreglo de puntos cuánticos cargados con una partı́cula. Ahora se procederá a analizar la QHEN para un ensamble estadı́stico de sistemas conformado por puntos cuánticos no interactuantes cargados con un solo electrón y consi18.

(25) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. derando el spin. Dicho ciclo consiste en dos trayectorias isoentrópicas, en donde el sistema intercambia trabajo, y dos isocóricas, en donde se intercambia calor con los reservorios. En el contexto de este sistema, como análogo al volumen se tiene la longitud de confinamiento; esta puede ser modulada a través de la variación del campo magnético externo, por lo que en lugar de trayectorias a volumen constante se tienen trayectorias donde el campo magnético se mantiene constante, tal como se estudia en [27, 28]. En este sentido, un aumento en el campo magnético significa un proceso de compresión en términos de la longitud efectiva de confinamiento, localizando espacialmente aún más a las funciones de onda de los electrones atrapados. El diagrama para el proceso descrito se puede observar en la figure 2.4.. Figura 2.4: Diagrama del ciclo de Otto cuántico descrito, el cual se pone en contacto con los reservorios macroscópicos a temperaturas TH > TC .. 2.3.1.. Matriz de densidad y función partición. Tal como se discutió en la introducción, bajo el supuesto de una evolución cuasiestática del sistema y de la aproximación de Born-Markov, el sistema se considerará en un estado estacionario correspondiente a su distribución térmica. Al ser un estado estacionario, se tiene que el operador matriz de densidad conmuta con el Hamiltoniano del sistema y por lo tanto P puede ser expresado en la base de los autoestados de energı́a ρ̂n = ρn |Ψn (B)ihΨn (B)|. n. Luego, al estar el sistema en equilibrio a lo largo de procesos cuasiestáticos, la entropı́a de. 19.

(26) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Von Neumann se maximiza bajo la distribución de Boltzmann [31, 59]:. ρn (B, β) = con β =. 1 kB T. e−βEn (B) Z1 (B, β). (2.6). y el factor de nomalización está dado por la función partición [27]: Z1 (B, β) =. X. e−βEn (B). n. = 2 cosh (βZ ). X. e−βEn,m (B). (2.7). n,m. = 2 cosh (βZ ) Z(B, β) Donde se define En,m = En,m,σ=0 , Z =. gµB B 2. y Z = Z + Z − con:. Z ± (B, β) = 2 sinh. 1 . β~ω± 2. . (2.8). y. ω± = Ω ±. 2.3.2.. ωB 2. (2.9). Cantidades Termodinámicas. Las cantidades termodinámicas relevantes del sistema vienen dadas por los promedios en el ensamble estadı́stico y se calculan explı́citamente utilizando la expresión para la matriz de densidad para el espectro de la ecuación (2.3). De esta forma la energı́a promedio del ensamble, de la ecuación 1.26, queda: D E E = Ĥ ∂ log Z1 =− ∂β   ω ω + + −  − Z tanh (βZ ) = ~ β~ω+ β~ω− 2 tanh 2 tanh 2 2. 20. (2.10).

(27) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. También es posible encontrar una expresión para la entropı́a promedio a partir de la expresión para la entropı́a de Von Newmann (1.25), en combinación con las ecuaciones (1.26), (2.6), (2.7) y (2.10): S/kB = −. X. ρn log ρn. n. (2.11). = βE + log Z1 Nótese también que, utilizando esta expresión para la entropı́a, o la expresión de Von Neumann (1.25), en conjunto con la ecuación (2.6) para la matriz densidad, se puede calcular la variación de la entropı́a con respecto a una variación en el campo magnético B. Al comparar esta variación con la ecuación (1.27) para el balance de energı́a se obtiene: T dS = T kB d (βE + log Z1 ) ! T dS = T kB d β. X. ρn En + log. X. n. T dS =. X ∂ρn n. ∂B. n. e. −βEn. (2.12). En dB. T dS = δQ Por otro lado, el trabajo que puede realizar este ensamble de sistemas de puntos cuántiP ∂En cos es de carácter magnético δW = ρn ∂B dB = −M dB, por lo que el balance de energı́a n. de la ecuación (1.27) derivada en la introducción queda:. dE = T dS − M dB. (2.13). En este punto se elige la convención para el signo del trabajo como positivo si este se realiza sobre el sistema, aumentando ası́ su energı́a promedio [60]. Utilizando la energı́a libre de Helmholtz, a través de la transformación de Legendre F = E − T S, y las ecuaciones (2.11) y (2.13) , se tiene: F = −kB T log Z1 dF = −SdT − M dB. 21. (2.14).

(28) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Lo que permite calcular la magnetización promedio en el ensamble M como:. M =−. X n. ρn. ∂En ∂B. ∂F =− ∂B T ∂ log Z1 = kB T ∂B  =−. (2.15) . ~e  ω+ ω− gµ −  + B tanh (βZ ) β~ω− 2m∗ Ω 2 tanh β~ω+ 2 2 tanh 2 2. En esta ecuación se pueden identificar dos componentes que aportan a la magnetización promedio. Por un lado se tiene el término con signo positivo. gµB 2. tanh (βZ ), correspon-. diente al efecto del alineamientos de los spines del ensamble y se podrı́a considerar como una respuesta de tipo ferromagnética. Por otro lado, el otro término, siempre de signo negativo, se puede interpretar como una respuesta diamagnética producto del momento magnético orbital de los estados de los electrones. Dado que ω± y Ω son de magnitudes similares, este término también es del orden del magnetón de Bohr ya que se tiene. ~e 2m∗. =. µB mr ,. donde mr = me /m∗ es la masa relativa de los electrones. De esta diferencia en signo se tiene que estos dos términos compiten. A campo magnético grande se pueden hacer las aproximaciones: B→∞ ωB Ω→ 2 ω+ → ωB. (2.16). ω− → 0 ⇒M ∼ −. µB gµB kB T + + mr 2 B. De donde se ve que, dado que 1/mr > g/2, a B grande gana la componente diamagnética y la magnetización se establece en el lı́mite en −(1/mr − g/2)µB = −14.705µB .. 22.

(29) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Otra cantidad relevante para la caracterización del sistema es el capacidad calorı́fica a campo constante CB :. ∂E CB = ∂T. B. 2.  = kB β 2 . 2. . ~ω+ ~ω−  +   + β~ω+ β~ω− 2 sinh 2 sinh 2 2. . Z cosh (βZ ). 2. . (2.17). . Realizando el mismo cálculo anterior para campo magnético grande para CB , es fácil ver que el primer y tercer término decaen exponencialmente y 2 sinh (β~ω− /2) → β~ω− , por lo tanto CB → kB . Luego, hace falta calcular el trabajo y calor intercambiado para el desarrollo del ciclo. Para las trayectorias a campo magnético constante 1 → 2 y 3 → 4 de la figure 2.4, el calor intercambiado con los reservorios viene dado por: b. Z Qa→b =. δQ a b. Z. ∂E ∂S. = a. dS. (2.18). B. = Eb − Ea Donde a, b etiquetan los estados de los vértices del ciclo de la figura 2.4 descritos por el valor de la entropı́a y campo magnético en esos puntos. Por otro lado, para las trayectorias isoentrópicas 2 → 3 y 4 → 1, el trabajo que realiza el sistema (o que se realiza sobre este) viene dado por: b. Z Wa→b =. δW a b. Z = a. ∂E ∂B. . = Eb − Ea. 23. dB S. (2.19).

(30) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. La eficiencia de la QHEN viene dada por: W2→3 + W4→1 QH QC =1− QH. η=. (2.20). Entonces, vale preguntarse por la eficiencia máxima que se puede obtener del ciclo. En efecto, dado que las funciones involucradas son continuas y diferenciables para B 6= 0, es posible utilizar el teoréma del valor medio: Z Qa→b =. b. T dS = Tc ∆S. (2.21). a. con Tc un valor intermedio entre Ta y Tb . Luego, dado que el cambio en la entropı́a ∆S es igual para ambos procesos en que se intercambia calor, se obtiene: QC QH Ti =1− Tj. η =1−. (2.22). C , Con TC ≤ Ti , Tj ≤ TH , por lo que la eficiencia máxima se obtiene cuando ηmax = 1− TTH. lo cual va en concordancia con la eficiencia máxima obtenible de un máquina clásica. Para calcular las temperaturas intermedias T1 y T3 del ciclo descrito en la figura 2.4, se utilizan las restricciones que imponen las trayectorias isoentrópicas: S(TC , B2 ) = S(T1 , B1 ). (2.23). S(TH , B1 ) = S(T3 , B2 ) y se resuelven numéricamente.. 2.3.3.. Resultados. Para el estudio numérico del modelo, se consideró el sistema de puntos cuánticos en GaAs, con los parámetros mencionados en las secciones anteriores.. 24.

(31) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.5: Isotermas para la entropı́a promedio del sistema en función del campo magnético. Del gráfico 2.5 para la entropı́a del sistema se puede apreciar que, a entropı́a constante, la temperatura disminuye para un aumento en el campo magnético. Esto implica que las temperaturas máximas y mı́nimas que se alcanzan en el ciclo corresponden a los vértices superior izquierdo e inferior derecho de la figura 2.4 respectivamente. Esto, a su vez, define el sentido del ciclo; ya que es en las trayectorias a campo magnético constante en donde se pone el sistema en contacto con los reservorios, esto hace que, por ejemplo, para llegar al punto de menor temperatura, se debe partir en la esquina superior derecha de la figura 2.4, obteniendo ası́ un sentido horario.. 25.

(32) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.6: Isotermas para la Magnetización promedio del sistema en función del campo magnético. Con respecto al análisis hecho en la sección anterior con respecto a la magnetización promedio, se aprecia en el gráfico que predomina la respuesta diamagnética, ya que esta es siempre negativa, y se ve la tendencia hacia el lı́mite calculado de −14.705µB .. Figura 2.7: Isotermas para el Capacidad Calorı́fica a campo constante del sistema en función del campo magnético. 26.

(33) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Dada la temperatura de los reservorios y el valor inicial del campo magnético B1 , la eficiencia del motor será una función de B2 . Para parametrizar la eficiencia se utiliza la razón entre las longitudes caracterı́stica de confinamiento del sistema, análogo a una razón de compresión:. r(B2 ) =. le,B1 le,B2. (2.24). Figura 2.8: Eficiencia del ciclo en función de la razón de compresión r(B2 ). Se utilizó B1 = 4T con temperaturas para los reservorios TC = 30K y TH = 100K. 27.

(34) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. 2.4.. Ciclo de Otto para un arreglo de puntos cuánticos cargados con dos partı́cula no interactuantes. Para el caso de un sistema de dos fermiones que no interactúan entre ellos, el desarrollo del ciclo procede de forma similar, con la diferencia que se toma en consideración el efecto del principio de exclusión de Pauli. En este caso los autoestados resultantes pertenecen a Λ2 (H), subespacio del espacio de Hilbert H2 ; es decir, estos corresponden al producto tensorial antisimetrizado de los estados pertenecientes a H, el espacio para los autoestados del problema para una partı́cula. |α1 α2 i ∈ Λ2 (H) 1 1 |α1 α2 i = √ |α1 i ⊗ |α2 i − √ |α2 i ⊗ |α1 i 2 2. (2.25). |α1 i, |α2 i ∈ H En donde α1,2 etiqueta los autoestados para el Hamiltoniano de una partı́cula de (2.2), con autofunciones descritas en (2.5) y el espectro de (2.3). Además, se considerará al sistema como un gas con Hamiltoniano Ĥ2 :. Ĥ2 = Ĥ ⊗ 1 + 1 ⊗ Ĥ. (2.26). Con Ĥ el Hamiltoniano para una partı́cula de (2.2). En este sentido, los autovalores para este sistema corresponden a una suma de dos de los autovalores distintos del espectro descrito en (2.3).. 2.4.1.. Matriz de densidad y función partición. Al igual que en la sección anterior, la consideración de que se tienen estados estacionarios permite escribir el operador matriz de densidad en la base de los autoestados del Hamiltoniano Ĥ2 y esta se calcula bajo el mismo argumento de maximización de la. 28.

(35) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. entropı́a [31, 59]:. ρα1 α2 =. e−βEα1 α2 Z2 (B, β). (2.27). Donde Eα1 α2 = Eα1 + Eα2 al considerar el sistema como gas; ραα = 0 en virtud de la antisimetrización; y Tr ρ̂ = 1, donde la traza se toma considerando los autoestados antisimetrizados de Ĥ2 , considerando también que |α1 α2 i, |α2 α1 i = −|α1 α2 i representan el mismo estado dado que solo difieren en una fase constante. Falta luego encontrar una expresión para el factor de normalización, la función partición Z2 (B, β) = Tr e−β Ĥ2 . Del espectro de la ecuación (2.3), se tiene que los multi-indices α1,2 que etiquetan los autoestados de una partı́cula corresponden a una 3-tupla (n, m, σ) de elementos que provienen de conjuntos numerable. Esto hace posible enumerar estos multiindices, lo que implica la existencia de una biyección entre las 3-tuplas α1,2 y los naturales N. Supóngase entonces alguna enumeración, luego esta se utiliza para comparar los estados en el calculo de la traza e incluir todos los autoestados antisimetrizados sin repetición: Z2 (B, β) =. X. e−β(Ei +Ej ). i<j. 1 X −β(Ei +Ej ) 1 X −β(Ei +Ej ) e − e 2 2 i,j i=j !2 1 X −βEi 1 X −2βEi − e e = 2 2 =. i. (2.28). i. 1 1 = Z12 (B, β) − Z1 (B, 2β) 2 2 Donde Z1 (B, β) corresponde a la función partición de una partı́cula de la ecuación (2.7).. 29.

(36) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. 2.4.2.. Cantidades Termodinámicas. Ya teniendo la expresión para la función partición, se procede de igual manera que para el caso de una partı́cula de la sección anterior. ∂ log Z2 ∂β 1 ∂Z1 ∂Z1 =− Z1 (B, β) (B, β) − (B, 2β) Z2 (B, β) ∂β ∂β. E2 = −. (2.29). Dejando todo en términos de Z = Z + Z − definido en (2.8): ∂Z1 ∂Z (B, β) = 2 (B, β) cosh (βZ ) + 2Z Z(B, β) sinh (βZ ) ∂β ∂β   ∂Z ω+ ω− +  (B, β) = −~Z(B, β)  β~ω β~ω− + ∂β 2 tanh 2 tanh 2. (2.30). 2. La ecuación (2.11) para la entropı́a sigue siendo válida, pero con la energı́a promedio E2 y la función partición Z2 correspondientes:. S2 /kB = βE2 + log Z2. (2.31). De igual forma, para la magnetización M2 se tiene: ∂ log Z2 ∂B kB T ∂Z1 1 ∂Z1 = Z1 (B, β) (B, β) − (B, 2β) Z2 (B, β) ∂B 2 ∂B. M 2 = kB T. (2.32). Con ∂Z1 ∂Z (B, β) = 2 (B, β) cosh (βZ ) + βgµB Z(B, β) sinh (βZ ) ∂B ∂B   ∂Z β~e ω ω + − −  (B, β) = − ∗ Z(B, β)  β~ω+ ∂B 2m Ω 2 tanh 2 tanh β~ω− 2. 30. 2. (2.33).

(37) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Por último, para la expresión para el capacidad calorı́fica CB,2 : CB,2. ∂E2 = ∂T. B. ∂ ∂ log Z2 = kB β ∂β ∂β 2 2 2 ∂ Z2 1 − E2 = kB β ∂β 2 Z2 2. (2.34). Dejando todo expresado en término de expresiones conocidas:. ∂ 2 Z2 ∂ 2 Z1 (B, β) = Z (B, β) (B, β) + 1 ∂β 2 ∂β 2. . 2 ∂Z1 ∂ 2 Z1 (B, β) − (B, 2β) ∂β ∂β 2. ∂2Z ∂Z ∂ 2 Z1 (B, β) = 2 (B, β) cosh (βZ ) + 4Z (B, β) sinh (βZ ) + 22Z Z(B, β) cosh (βZ ) 2 2 ∂β ∂β ∂β (2.35) ∂2Z ∂β 2. 2. ". ω+  β~ω+ 2 sinh 2 2  ω−  + − 2 sinh β~ω 2  2 # ω ω + + −  + β~ω+ β~ω− 2 tanh 2 tanh 2 2. (B, β) = ~2 Z(B, β) . (2.36). Por analogı́a con la sección anterior, el trabajo y calor intercambiado se calculan de la misma manera que en las ecuaciones (2.18) y (2.19), pero utilizando la energı́a promedio del ensamble correspondiente a la ecuación (2.29). Lo mismo ocurre con las restricciones (2.23) para la entropı́a de la ecuación (2.31).. 31.

(38) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. 2.4.3.. Resultados. Figura 2.9: Isotermas para la entropı́a promedio del sistema en función del campo magnético. Figura 2.10: Isotermas para la Magnetización promedio del sistema en función del campo magnético. 32.

(39) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.11: Isotermas para el Capacidad Calorı́fica a campo constante del sistema en función del campo magnético. De los gráficos anteriores se aprecia que estos tienen una forma muy similar a los obtenidos en la sección 2.3.3 para el caso del sistema de una partı́cula. Una diferencia que se aprecia es que los valores de las cantidades de los gráficos parecieran ser el doble que en su contraparte de una partı́cula. Esto hace sentido y muestra que las cantidades termodinámicas calculadas son, al menos aproximadamente, extensivas con el número de partı́culas.. 33.

(40) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.12: Eficiencia del ciclo en función de la razón de compresión r(B2 ). Se utilizó B1 = 4T con temperaturas para los reservorios TC = 30K y TH = 100K. La eficiencia del ciclo en función de la razón de compresión en este caso tiene la misma forma que para el caso de una partı́cula y alcanza la eficiencia máxima para la misma razón de compresión r(B2 ) = 3.448. Por otro lado, los valores del calor y trabajo intercambiados por el sistema fueron aproximadamente el doble en este caso, como se podı́a esperar dado el carácter extensivo observado en los gráficos anteriores.. 2.5.. Ciclo de Otto para un arreglo de puntos cuánticos cargados con un gas de fermiones no interactuantes. Se continúa el estudio para el caso en que se cargan los puntos cuánticos con un gas de fermiones no interactuantes sin un número fijo de partı́culas. En este caso, los estados del sistema pertenecen al espacio de Fock :. |αi ∈ F =. ∞ M. Λk (H). k=0. |αi = |n1 n2 · · ·i ni = {0, 1}. 34. (2.37).

(41) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Donde |αi corresponde a un autoestado del Hamiltoniano completo para el gas de fermiones Ĥgas con autovalor Eα ; la etiqueta i enumera los autoestados del Hamiltoniano de una partı́cula y los {ni } representan el número de ocupación del autoestado de una partı́cula i por algún fermión. Luego, el Hamiltoniano puede ser representado tanto en la base de los autoestados |αi, como en la representación en término de los números de ocupación |n1 n2 · · ·i: Ĥgas =. X. |αihα|Eα. α∈F. =. X. |n1 n2 · · ·ihn1 n2 · · ·|. X. (2.38) ni Ei. i. {ni =0,1}. Donde en la segunda expresión se suma sobre todas las combinaciones para los ni ∈ P ni Ei considerando el estado |αi = |n1 n2 · · ·i con ni ∈ {0, 1} {0, 1} y se usa que Eα = i. para la suma. En el formalismo de segunda cuantización, sean â†i y âi los operadores de creación y destrucción respectivamente para a un fermión en el autoestado i para el Hamiltoniano de una partı́cula y n̂i = âi â†i el operador número correspondiente. Luego se satisface n̂i |n1 n2 · · ·i = ni |n1 n2 · · ·i con ni ∈ {0, 1} y el Hamiltoniano puede ser reescrito como:. Ĥgas =. X. Ei âi â†i. (2.39). i. Al igual que en los casos anteriores, se mantiene la condición para el operador matriz de densidad que conmute con el Hamiltoniano completo. Además, se debe incluir la restricción que, para un estado estacionario, el número de partı́culas también esté en equilibrio y conmuta de igual forma con el Hamiltoniano. De esta forma los operadores matriz de densidad y número de partı́culas se pueden escribir como:. ρ̂ =. X. ρα |αihα|. α∈F. 35. (2.40).

(42) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. N̂ =. X. =. X. n̂i. i. (2.41) âi â†i. i. Es fácil verificar que los estados |αi = |n1 n2 · · ·i son autoestados del operador N̂ con P autovalor ni y por lo tanto N̂ conmuta con Ĥgas como se querı́a. Luego, también se {ni }. tiene: N = Tr N̂ ρ̂ ! =. X. hα|. X. =. XX α∈F. =. X. n̂i. 0. 0. |α ihα |ρα0. α0 ∈F. i. α∈F. ! X. |αi (2.42). hα|n̂i |αiρα. i. nα ρα. α∈F. Donde se define nα =. P. hα|n̂i |αi como el número de partı́culas para el estado |αi ∈ F.. i. 2.5.1.. Matriz de densidad y función partición. La expresión para el operador matriz de densidad se encuentra de la misma forma en que se ha hecho hasta el momento, con la diferencia de que se debe restringir el número de partı́culas para un estado en equilibrio. Esto es, se utiliza el mismo argumento de maximización de la entropı́a de Von Neumann [31, 59], agregando un multiplicador de Lagrange para la restricción Tr ρ̂N̂ = N (explicado en el apéndice 5.1 en más detalle):. ρα =. e−β(Eα −µnα ) Ξ(B, β, µ). (2.43). En este caso, al variar el número de partı́culas con el estado del sistema, se llega al formalismo gran canónico con potencial quı́mico µ y función partición Ξ, la cual se puede. 36.

(43) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. desarrollar: Ξ=. X. e−β(Eα −µnα ). α∈F. =. Y. X. e−β(ni Ei −µni ). (2.44). i ni ={0,1}. =. Y. −β(Ei −µ). 1+e. . i. 2.5.2.. Cantidades Termodinámicas. La ecuación (2.44) para este caso cumple una doble función. La primera igualdad en (2.44) permite encontrar expresiones para las cantidades promedio en el ensamble en términos de las derivadas de Ξ, mientras que la última igualdad entrega una expresión más simple matemáticamente que permite el calculo numérico de dichas cantidades. El número promedio de partı́culas se calcula a partir de la ecuación (2.42) en combinación con (2.44): D E X N = N̂ = nα ρα α∈F. 1 ∂ log Ξ = β ∂µ X 1 = β(E 1 + e i −µ) i. (2.45). De igual forma se obtiene la expresión para la energı́a promedio: D E X Egas = Ĥgas = Eα ρα α∈F. =. X. (Eα − µnα ) ρα + µ. α∈F. X α∈F. ∂ log Ξ + µN =− ∂β X Ei = 1 + eβ(Ei −µ) i. nα ρα (2.46). Similar a las secciones anteriores, del desarrollo de la entropı́a de Von Neumann (1.25). 37.

(44) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. en conjunto con las expresiones para la matriz de densidad (2.43), la función partición (2.44), número de partı́culas promedio (2.42) y energı́a promedio (2.46), se obtiene: Sgas /kB = −. X. ρα log ρα (2.47). α∈F. = β (Egas − µN ) + log Ξ Falta ahora obtener una expresión para el balance de energı́a similar al de (1.27). Variando la energı́a promedio Egas con respecto a una variación del campo magnético y una variación en el número de partı́culas (o potencial quı́mico µ): dEgas = Tr Ĥgas δ ρ̂ + Tr ρ̂δ Ĥgas X X = Eα δρα + ρα δEα α∈F. =. X. α∈F. Eα δρα +. α∈F. X. ρα. α∈F. (2.48). ∂Eα dB ∂B. En la última igualdad se usó el hecho que para un estado |αi el número de partı́culas es fijo y su autovalor de energı́a Eα solo depende del campo magnético. De modo similar, su autovalor de número de partı́culas nα no depende de factores externos y solo del estado |αi ∈ F, lo que se traduce en:. δN =. X. nα δρα. (2.49). α∈F. Por otro lado, calculando la variación de la entropı́a de la ecuación (2.47) y usando las ecuaciones (2.48) y (2.49): T dSgas = δ (Egas − µN ) −. X α∈F. =. X. (Eα − µnα ) δρα. α∈F. 38. ρα δ (Eα − µnα ) (2.50).

(45) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Luego se obtiene el balance de energı́a juntando las ecuaciones (2.48), (2.49) y (2.50): ∂Eα dB ∂B α∈F α∈F X X ∂Eα X = (Eα − µnα ) δρα + ρα dB + µ nα δρα ∂B. dEgas =. X. Eα δρα +. X. ρα. α∈F. α∈F. (2.51). α∈F. = T dSgas − Mgas dB + µdN Al igual que como se obtuvo las ecuaciones (2.14) para la energı́a libre de Helmholtz, se usa la transformación de Legendre A = Fgas − µN = Egas − T Sgas − µN para obtener el gran potencial. Luego, de las ecuaciones (2.51) y (2.47) se obtiene: A = −kB T log Ξ X = −kB T log 1 + e−β(Ei −µ). (2.52). i. dA = −Sgas dT − Mgas dB − N dµ De donde se puede obtener la magnetización promedio Mgas : Mgas. ∂A =− ∂B =−. T,µ. X i. 1+. ∂Ei ∂B eβ(Ei −µ). (2.53). Con ∂En,m,σ ~e ~e gµB = ωB (2n + 1 + |m|) − m+ σ ∗ ∗ ∂B 4Ωm 2m 2. (2.54). Finalmente el Capacidad Calorı́fica CB,gas viene dado por: CB,gas. ∂Egas = ∂T. B,N. X Ei (Ei − µ) eβ(Ei −µ) = −kB β 2 2 1 + eβ(Ei −µ) i. 39. (2.55).

(46) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Por último falta calcular el calor y trabajo que intercambia el sistema con su entorno. b. Z. δQ. Qa→b = a b. Z =. T dSgas (2.56). a b. Z. dEgas − µdN. = a. = (Eb − µNb ) − (Ea − µNa ) b. Z Wa→b =. δW a. Z. b. =− Mgas dB a Z b = dEgas − µdN. (2.57). a. = (Eb − µNb ) − (Ea − µN a). 2.5.3.. Resultados. Para el estudio numérico se usaron los mismos parámetros utilizados en los casos anteriores con la diferencia que se agrega un potencial de compuerta para cargar los puntos cuánticos en la forma del potencial quı́mico µ = 0.001 eV .. 40.

(47) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.13: Isotermas para el número promedio de partı́culas del sistema en función del campo magnético. Figura 2.14: Isotermas para la entropı́a promedio del sistema en función del campo magnético. 41.

(48) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.15: Isotermas para la entropı́a promedio por número de partı́culas del sistema en función del campo magnético. A diferencia de los casos anteriores, en la figura 2.14 se observa que, a entropı́a constante, la temperatura aumenta ante un aumento en el campo magnético externo. Este cambio en el comportamiento del sistema se debe a que el número de partı́culas no se mantiene constante. De hecho, comparando con el gráfico para el número de partı́culas de la figura 2.13 y para la entropı́a promedio por partı́cula de la figura 2.15, se observa que, para un aumento de temperatura a campo magnético constante, la entropı́a promedio aumenta en conjunto con el número promedio de partı́culas, pero la entropı́a promedio por partı́cula disminuye. Por otro lado, este comportamiento implica un cambio en la ubicación de las temperaturas máximas y mı́nimas que consigue el ciclo, quedando estas en las esquinas superior derecha e inferior izquierda respectivamente como se muestra en la figura 2.16. Esto a su vez invierte la dirección del ciclo quedando en sentido anti-horario.. 42.

(49) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.16: Diagrama del ciclo de Otto cuántico descrito para el sistema cargado con un gas de fermiones no interactuantes, el cual se pone en contacto con los reservorios macroscópicos a temperaturas TH > TC .. Figura 2.17: Isotermas para la Magnetización promedio del sistema en función del campo magnético. 43.

(50) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.18: Isotermas para la Magnetización promedio por número de partı́culas del sistema en función del campo magnético. Al igual que en las casos anteriores para una y dos partı́culas, en este caso también domina el comportamiento diamagnético por sobre una magnetización positiva del alineamiento de los spines. También se aprecia en la figuras 2.18 que la magnetización por partı́cula tiene forma similar a la magnetización de los casos anteriores e incluso pareciera tender al mismo lı́mite. Una forma de ver porqué ocurre esto es considerar que, dado un valor para µ, para B lo suficientemente grande se tendrá que En,m,σ >> µ para cualquier valor de [n, m, σ]. De esta forma se tiene la aproximación: 1 1+. eβ(En,m,σ −µ). ∼ eβµ e−βEn,m,σ. Que a su vez implica que Mgas /N ∼ M1 para B lo suficientemente grande.. 44. (2.58).

(51) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.19: Isotermas para el Capacidad Calorı́fica a campo constante del sistema en función del campo magnético. Figura 2.20: Isotermas para el Capacidad Calorı́fica a campo constante por número de partı́culas del sistema en función del campo magnético. 45.

(52) CAPÍTULO 2. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE PUNTOS CUÁNTICOS. Figura 2.21: Eficiencia del ciclo en función de la razón de compresión r(B2 ). Se utilizó B1 = 4T con temperaturas para los reservorios TC = 30K y TH = 100K. En este caso si se aprecia una diferencia en la eficiencia en relación a los sistemas anteriores, tanto en la forma de la curva como en la razón de compresión para la eficiencia máxima r(B2 ) = 3.602, la cual resulta ser mayor que en los casos anteriores.. 46.

(53) Capı́tulo 3. Máquina térmica cúantica para un arreglo de Hojuelas de Grafeno bajo tensión 3.1.. Grafeno: Historia. El grafeno es un alótropo de carbono, como el grafito o el diamante, es decir, son sustancias simples de carbono con estructura molecular diferentes. El grafeno en particular corresponde a una estructura cristalina de un átomo de espesor que forma un enrejado hexagonal o tipo panal de abeja [61–63]. En cierto sentido, antes de su descubrimiento, el grafeno era el alótropo faltante de materiales de carbono después del descubrimiento del diamante, grafito, nano-tubos de carbono y fullereno.. 47.

(54) CAPÍTULO 3. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE HOJUELAS DE GRAFENO BAJO TENSIÓN. Figura 3.1: Distintos alótropos de carbono [64]. Los estudios teóricos del espectro electrónico y conductividad de la mono-capa de grafito se remontan al trabajo seminal de Wallace [65] en 1947, pero ya una década antes se creı́a que las estructuras cristalinas bidimensioanles eran termodinámicamente inestables y no podrı́an existir [63, 66, 67]. El argumento consistı́a en que la contribución de las fluctuaciones térmicas en cristales de unas cuantas decenas de átomos de espesor provocarı́a desplazamientos en los átomos comparables con las distancias inter-atómicas a cualquier temperatura finita [68]. En efecto, esto se observaba experimentalmente; la temperatura de fusión disminuı́a rápidamente con una disminución en el espesor, llegando a ser inestable para un espesor, tı́picamente, de unas docenas de mono-capas atómicas [63, 69, 70]. Por esa razón, las mono-capas atómicas se veı́an únicamente como parte de una estructura tridimensional mayor, donde usualmente se crecı́an epitaxialmente sobre un mono-cristal de estructura cristalina correspondiente. Esta concepción cambió dramáticamente el año 2004 cuando en la Universidad de Manchester Konstantin Novoselov y Andre Geim lograron aislar satisfactoriamente distintas mono-capas cristalinas y, en particular, producir grafeno [61–63]. Este y sus sucesivos trabajos en torno al grafeno les valió el premio Nobel de fı́sica el año 2010. El método original utilizado fue el de la exfoliación micromecánica de la superficie de grafito [62], el también llamado método de la cinta Scotch. En términos simples, se frota un pedazo de grafito sobre una cinta adhesiva ordinaria, lo cual produce escombros de grafito [71]. Luego esta 48.

(55) CAPÍTULO 3. MÁQUINA TÉRMICA CÚANTICA PARA UN ARREGLO DE HOJUELAS DE GRAFENO BAJO TENSIÓN. cinta con los escombros se presiona sobre un bloque de silicio oxidado de unos 300 nm de ancho. Como consecuencia, estos escombros se adhieren al bloque de silicio oxidado y bajo microscopio se pueden observar pequeños cristalitos de grafeno [71]. Mas allá del logró de aislar una mono-capa de grafito, el grafeno despertó y sigue generando interés cientı́fico debido a sus sorprendentes propiedades mecánicas, térmicas y electrónicas [71–76]. Desde el punto de vista electrónico, este es un semiconductor sin diferencia de energı́a entre sus bandas de conducción y valencia (semiconductor de band gap cero) y se caracteriza por la parecencia de puntos de Dirac en su estructura de bandas [72, 73] que le confieren propiedades pseudo-relativistas a los portadores de carga del material. La existencia de estos puntos de Dirac, esquematizados en la figura 3.2 como los puntos en donde se tocan las bandas de conducción y de valencia, implica que, a bajas energı́as y cerca de estos puntos, se obtiene una relación de dispersión lineal, los conos de Dirac. Esto a su ves da a lugar a cuasi-partı́culas llamadas fermiones de Dirac sin masa, gobernados por la ecuación de Dirac en el régimen de bajas energı́as [77, 78]. Como consecuencias de este fenómeno, se tiene la existencia de un efecto Hall cuántico anómalo, también llamado efecto Hall cuántico quiral [63, 77, 78], efecto que, sorprendentemente, en grafeno es observable incluso a temperatura ambiente [79]; los portadores de carga además se comportan como partı́culas relativistas sin masa y, por lo tanto, se mueven a una velocidad efectiva vf ≈ 106 m/s [63, 77, 78, 80] , la velocidad de Fermi del grafeno, análoga a la velocidad de la luz en el sentido de que es la velocidad a la que se mueven las partı́culas sin masa en el material; por último, cabe mencionar otro atributo igualmente espectacular que es que se alcanza una conductividad mı́nima incluso cuando la densidad de carga tiende a cero [63, 77].. 49.