MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES

Matriz Cuadrada. Cuando el número de filas es igual al número de columnas.

Ejemplos: ; de orden 2 x 2

Matriz Cuadrada. Cuando el número de filas es igual al número de columnas.

Ejemplos: ; de orden 2 x 2

Arreglo rectangular de elementos o números, que consta de m filas por n columnas.

Se dice que es de orden m x n.

Arreglo rectangular de elementos o números, que consta de m filas por n columnas.

Se dice que es de orden m x n.

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes

Matriz Matriz

Ejemplo:

Ejemplo:

Fila 1 Fila 2 Columna 1

Columna 2 Columna 3 Columna 4

Matriz de Orden 2 x 4

Es el valor que adopta una matriz.

Ejemplo:

 Matriz

 Determinante

|A| = 5(2) – 4(3) = -2 Valor del Determinante

Nota: El determinante de A o |A|

también se denota con .

Es el valor que adopta una matriz.

Ejemplo:

 Matriz

 Determinante

|A| = 5(2) – 4(3) = -2 Valor del Determinante

Nota: El determinante de A o |A|

también se denota con .

Determinante Determinante

Determinantes de Segundo Orden

Para su cálculo efectuamos las operaciones del recuadro indicadas por las flechas :

a b

= = ad – bc

c d

Ejemplos:

Hallar el determinante de las siguientes matrices

1. 3 5 2. 2 3 3. x-1 x

P = Q = R =

7 2 -7 2 2 x+1

Solución:

Apliquemos la RESTA DE PRODUCTOS CRUZADOS en cada ejemplo :

1.

(7)(5)(2)(3)

27

ΔP  53 

P = 6 – 35 P = -29 Rpta.

2.

x2 7)((3)2

27

Q 32  

Δ 

Q = 2 + 21 Q = 23 Rpta.

3.

1)(x (2)(x)1)(x

1x2

ΔR x1x 



 

^{R = x2} – 1 – 2x Rpta.

Determinantes de Tercer Orden

En este curso, sólo emplearemos para el cálculo de estos determinantes la REGLA DE SARRUS, cuyo procedimiento es el siguiente:

Se repite las dos primeras filas (o las dos primeras columnas) a continuación de las existentes, después de lo cual :

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal principal y las dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo S1.

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal secundaria y las dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo S2.

- El valor del determinante estará dado por :  = S1 – S2

Así : Si el determinante a calcular fuera :

t s r

p n m

c b a

Método 1



Por la REGLA DE SARRUS horizontal, volvemos a escribir las dos primeras columnas en el lado derecho :

a b c a b

m n p m n

r s t r s

Método 2



Por la REGLA DE SARRUS vertical, volvemos a escribir las dos primeras filas en la parte inferior :

a b c

m n p

r s t

a b c

m n p

Ejemplos:

Hallar el determinante  :

DS DP

= (ant + bpr + cms) – (cnr + aps + bmt)

DP DS

DS DP

= (ant + msc + rbp) – (cnr + psa + tbm)

DP DS

1 2 3

 = 4 5 6

7 8 9

Solución:

 Por la REGLA DE SARRUS horizontal :

1 2 3 1 2

 = 4 5 6 4 5

7 8 9 7 8

 = [ 1 x 5 x 9 + 2 x 6 x 7 + 3 x 4 x 8 ] – [ 3 x 5 x 7 + 1 x 6 x 8 + 2 x 4 x 9 ]

 = [ 45 + 84 + 96 ] – [ 105 + 48 + 72 ]

 = 225 – 225   = 0 Respuesta

Comprobemos:

 Por la REGLA DE SARRUS vertical:

1 2 3

 = 4 5 6 7 8 9

1 2 3

4 5 6

Aplicando:  = D.P. – D.S.

 = [ 1 x 5 x 9 + 4 x 8 x 3 + 7 x 2 x 6 ] – [ 3 x 5 x 7 + 6 x 8 x 1 + 9 x 2 x 4 ]

 = [ 45 + 96 + 84 ] – [ 105 + 48 + 72 ]

 = 225 – 225   = 0

1. Sea A una matriz: 



 



  0 0

0 A 3

Determinar: |A|

a) 1 b) -1 c)

0³

d) 5 e) -2

2. Sea B una matriz triangular superior:



 



  3 0

2 B 1

Determinar: |B|

3. Sea:





















1 0 4

2 1 2

1 0 3 A























5 4 3

7 0 5

2 1 4 B

Indicar: A + B

a)

















 6 4 7

9 1 7

1 1 7

d)



















 6 4 7

9 1 7

3 2 1

b)















 

6 4 2

9 5 7

1 1 7

e)

















7 6 5

4 1 3

2 1 0

c)























6 4 2

9 1 7

1 1 7

EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIOS DE APLICACIÓN

DS DP

D.S. D.P.

4. Si: 



 



 1 4

3 A 2



 



  1 2

3 B 4



 



  1 2

4 C 5

Indicar el valor de |A| + |B| + |C|

a) 10 b) 15 c)

-15

d) 7 e) -7

5. Dados:



 



 

5 4

m 2 A m



 



  b a

p B 3

Indicar el valor de: E = a + b + p + m Siendo: A = B

a) 6 b) 10 c)

12

d) 16 e) 18

6. Si:



 







 

1 n 1 n 2

n A m



 



  b a

2 B 9

Indicar: a + b

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 20

7. Sea:





















1 2 1 m

4 1 2

3 4 5

A 2



















1 2 3

q k

p n m

B 

Donde: A = B Indicar: “A + B”

a)

















2 4 3

4 1 4

6 8 3

b)

















4 8 6

7 2 4

6 8 10

c)

















2 4 6

4 2 4

6 8 10

d)

















2 8 12

2 8 6

2 4 5

e)

















2 4 3

4 1 4

6 8 3

Calcular los siguientes determinantes:

8. ₁^{7 0}₇

a) 1 b) 6 c) 5

d) 4 e) 7

9. _^3_{1 }^6₂

a) 3 b) 2 c) 1

d) 6 e) 0

10. Resolver:

4 4 2

2

x 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11. Calcular:

 



 

2 x 7 2

2 2 7 2 x

| 2 A

|

a) x b) 4x c)

x²

d) 4x² e) N.A.

12. Calcular:

1 3 2

4 5 3

1 2 5

| B

|













a) 9 7 5 b) 9 7 5 c) 5

14 18 

d) 18 14 5 e) N.A.

13. Calcular:

b a b a

b a b

| a E

|  



 

a) 2ab b) 2(a² + b²) c) a² + b²

d) 4ab e) N.A.

14. Simplificar:

xyz y z 0

0 x y

x 0 z

E 

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

15. Indicar el valor de:

2 2 2 2

2 2

a b ab 2

ab 2 a b

b ab 2 E  a

a) a³ – b³ b) a² + b² c) ab²

d) a + b e) N.A.

Indicar: “x + y”

a) 1 b) -1 c) 0

d) -2 e) 2

1. Calcular el valor de:

a c c b b a

c b b a a c

b a a c c b E





















a) b b) a c) 1

d) 0 e) N.A.

2. Calcular el determinante de:

0 3

2 1

n 0

2 1

n 3

0 1

n 3

2 1

| A

|































Rpta.: n!

3. Simplificar:

3

2 2

2

2 2

2

2 2

2

) z y x (

) y x ( z z

y )

z x ( y

x x

) z y (

P  









a) xyz b) 2xyz c)

3xyz

d) 4xyz e) 6xyz

4. Demostrar:

) a b )(

a c )(

b c ( c b a

c b a

1 1 1

2 2

2    

5. Calcular:

c 2 c b c a

c b b 2 b a

c a b a a 2 E





















a) 2(b + c) (a + c) (a + b) b) 4(b + c) (a + c) (a + b) c) (a + b) (a + c) (b + c) d) a³ + b³ + c³

e) a³ + b³ + c³ – 3abc

TAREA DOMICILIARIA Nº 7

1. Si: 



 



  8 6

4 A 2



 



  0 2

1 B 3

Indicar: A + B

a) 



 



 0 8

5 5

b) 



 



 8 0

5 5

c) 



 



 8 8

5 5

d) 



 



 8 8

3 3

e) 



 



 5 8

8 5

2. Si: 



 



  6 4

3 A 1

Indicar: 2A

a) 



 



 13 8

6 2

b) 



 



 12 8

6 2

c)



 



 10 8

6 2

d) 



 



 8 6

4 2

e)



 



 8 6

12 2

3. Si: A = B Siendo:



















3 2 m

b 5 4

3 2 1 A



















3 2 1

4 5 4

3 2 a B

Indicar: m b a 

a) 3 b) 6 c) 5

d) 10 e) 8

4. Resolver: (siendo x < 0) x 5 2

2

x 

a) 3 b) 4 c) 5

d) -2 e) -3

I. Calcular los siguientes determinantes:

5. ₃¹ ₂²

a) 4 b) -4 c) 2

d) 10 e) 14

6. ³₁ ⁶₂





a) -1 b) 0 c) 1

d) 2 e) -2

7. ²

2 a 2

a

) 4 a 2 a ( a











a) 2 b) 4 c) a

d) a³ e) 8

8. 3 0 1

2 1 0

0 1 3

a) 3 b) 6 c) 9

d) 12 e) 15

9. ⁵_7^2₃¹ ₅^7_2³₁

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10. Calcular:

y x 2

) y x ( y y E x







 

a) 1 b) (x + y)² c)

(x - y)²

d) -2 e) 0

11. Resolver en “x”

5 2 3 1

2 x 2

1 4 2









a) -1 b) -2 c)

-3

d) -4 e) -5

12. Calcular:

n m n m

n m n m









a) 4m b) (m + n)² c)

4mn

d) 3mn e) (m - n)²

13. Calcular el determinante de “A” si: A = B + C

Siendo: 



 



 4 2

7 B 5



 



  0 1

2 C 1

a) -1 b) -2 c)

-3

d) 0 e) 1

14. Sean las matrices:



 



 4 3

2 A 1



 







 

2 3

4 B 1

Determinar: |A|² + |B|²

a) 100 b) 101 c)

102

d) 103 e) 104

15. Sean las matrices:



 





 

1 4

5

A 2 



 



 

 7 4 9 B 5



 



  1 0

0 C 1

Hallar:

I. A + B II. 3A – 2B III.A + 2B + 3C