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Clasificación Estados de Cadenas de Markov
SEMESTRE ACADÉMICO 2022
Escuela Ingeniería Industrial- USAT
Investigación de operaciones II
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• Modela y resuelve problemas de cadenas de Markov.
Competencia
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Ejemplo Adicional-Tiempo de Recurrencia
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Estados Absorbentes
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Recuperado de: https://www.facebook.com/MUNDOIOSAC/videos/901454370412284
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Estado Transitorio
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Recuperado de: https://www.facebook.com/MUNDOIOSAC/videos/901454370412284
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Estado Recurrentes
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Recuperado de: https://www.facebook.com/MUNDOIOSAC/videos/901454370412284
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Clasificación de Estados
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Estado 0 1 2 3 4
0 0.25 0.75 0.00 0.00 0.00
1 0.50 0.50 0.00 0.00 0.00
2 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00
3 0.00 0.00 0.33 0.67 0.00
4 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00
P
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Cadenas Absorbentes
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CADENAS RECURRENTES
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• Si se encuentra en un estado absorbente, no puede ir a otro estado en el futuro.
• Es decir cuando se encuentra en un estado dado, este lo
“absorbe”, y permanecerá en ese estado. Cualquier estado que tiene tal propiedad se llama estado absorbente; un ejemplo es la aplicación de las cuentas por cobrar.
Estados absorbentes y matriz fundamental:
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Cadenas Absorbentes
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Cadenas Absorbentes
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Cadenas Absorbentes
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Cadenas Absorbentes
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Ejemplo 01
15 Recuperado de:https://www.youtube.com/watch?v=WtL7uBxcio0&ab_channel=ProfeJorge%2FIIS
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• En cualquier caso la condición de un estudiante en el siguiente año escolar depende por completo de la condición que tiene este año. Con base en la información en años anteriores se construye la siguiente matriz de transición.
• En esta matriz no es posible pasar a todos los estados a partir de uno específico, por ejemplo un estudiante de primer año no puede graduarse o un estudiante que alcanza el estado de graduado o el de transferido, no puede pasar a ningún estado.
Estado Inicial Primer Año Segundo Año Graduado Trasnferido
Primer Año 0.1 0.7 0.0 0.2
Segundo Año 0.0 0.2 0.6 0.2
Graduado 0.0 0.0 1.0 0.0
Trasnferido 0.0 0.0 0.0 1.0
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Representación Gráfica
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• Una aplicación de contabilidad en la que los procesos de Markov han producido resultados útiles, implica la estimación de la provisión para cuentas de cobro dudoso. Esta provisión es una estimación de la cantidad de cuentas por cobrar que finalmente no podrán ser cobradas (es decir, deudas incobrables).
Análisis de las cuentas por cobrar
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• Considere la situación de las cuentas por cobrar para Heidman’s Department Store. Heidman’s utiliza dos categorías de añejamiento para sus cuentas por cobrar: 1) cuentas clasificadas como de 0-30 días de edad y 2) cuentas clasificadas como de 31- 90 días de edad. Si cualquier parte del saldo de una cuenta excede de 90 días, dicha parte se considera como una deuda incobrable. Heidman’s sigue el procedimiento de añejar el saldo total de la cuenta de cualquier cliente, con base en la cantidad no pagada más vieja.
Ejemplo 02
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• Estado 1. Categoría de pagado
• Estado 2. Categoría de deuda incobrable
• Estado 3. Categoría de 0-30 días
• Estado 4. Categoría de 31-90 días.
• Con base en transiciones históricas de dólares en cuentas por cobrar, desarrollamos la siguiente matriz de probabilidades de transición, P, para Heidman’s Department Store:
Estados y Matriz de Transición.
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Matriz Fundamental – “N”
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• Si multiplicamos la matriz fundamental N por la parte R de la matriz P, se obtienen las probabilidades de que los dólares de cuentas por cobrar que inicialmente están en los estados 3 o 4, finalmente alcanzarán cada uno de los estados absorbentes.
• La multiplicación de N por R en el problema de Heidman Department Store da los siguientes resultados.
Matriz Fundamental “N”
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• Existe una probabilidad de 0.89 de que un dólar que está en la categoría de 0-30 días finalmente será pagado y una probabilidad de 0.11 de convertirse en una deuda incobrable.
• Existe una probabilidad de 0.74 de ser pagado finalmente y una probabilidad de 0.26 de convertirse en incobrable.
NR - Análisis
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Con esta información podemos predecir la suma de dinero que será pagada y el monto que se perderá como deudas incobrables
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• Suponga que el saldo de las cuentas por cobrar de Heidman’s al 31 de diciembre muestra $1000 en la categoría de 0-30 días (estado 3) y $2 000 en la categoría de 31-90 días (estado 4)
Establecimiento de la provisión para cuentas de cobro dudoso
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• Por consiguiente, vemos que $2 370 de los saldos de las cuentas serán cobrados y $630 serán eliminados como gastos por deudas incobrables. Con base en este análisis, el departamento de contabilidad establecería una provisión para deudas de cobro dudoso de $630.
Establecimiento de la provisión para cuentas de cobro dudoso
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• Se procesa un producto en secuencia en dos máquinas, I y II. La inspección se realiza después de que una unidad del producto se completa en cualquiera de las máquinas. Hay 5% de probabilidades de que una unidad sea desechada antes de inspeccionarla. Después de la inspección, hay 3%
de probabilidades de que la unidad sea desechada, y 7% de probabilidades de ser devuelta a la misma máquina para trabajarla de nuevo. De lo contrario, una unidad que pasa la inspección en ambas máquinas es buena.
(a) Para una pieza que se inicia en la máquina 1, determine el promedio de visitas a cada estado.
(b) Si un lote de 1000 unidades se inicia en la máquina I, determine el promedio de unidades buenas completadas.
Ejemplo 03
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Para la cadena de Markov, el proceso tiene 6 estados:
• Iniciar en 1(s1),
• Inspeccionar después de I (i1),
• Iniciar en II (s2),
• Inspección después de II (i2),
• Desechar después de la inspección I o II (J), y buena después de II (G). Los estados J y G son estados absorbentes.
• La matriz de transiciones se da como sigue:
Solución
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Estado Operación A Inspección A Operación B Inspección B EMPAQUE DESECHO
Operación A 0.00 0.95 0.00 0.00 0.00 0.05
Inspección A 0.07 0.00 0.90 0.00 0.00 0.03
Operación B 0.00 0.00 0.00 0.95 0.00 0.05
Inspección B 0.00 0.00 0.07 0.00 0.90 0.03
EMPAQUE 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00
DESECHO 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F=I-N 1 -0.95 0 0
-0.07 1 -0.9 0
0 0 1 -0.95
0 0 -0.07 1
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• La fila superior de (I - N) -1 muestra que, en promedio, la máquina I es visitada 1.07 veces, la inspección I es visitada 1.02 veces, la máquina II es visitada 0.98 veces, y la inspección II es visitada 0.93 veces.
• La razón por la que el número de visitas en la máquina I y la inspección I sea mayor que 1 son el retrabajo y la reinspección. Por otra parte, los valores correspondientes para la máquina II son menores que 1 porque algunas piezas se desechan antes de que lleguen a la máquina II
INVERSA E=(I-N) Estado Operación I Inspección I Operación II Inspección I
Operación I 1.07 1.02 0.98 0.93
Inspección I 0.07 1.07 1.03 0.98
Operación II 0.00 0.00 1.07 1.02
Inspección II 0.00 0.00 0.07 1.07
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• Si los tiempos de procesamiento en las máquinas I y II son de 20 y 30 minutos y si los tiempos de inspección en I y II son de 5 y 7 minutos, entonces una pieza que inicia en la máquina 1 será procesada (es decir, desechada o terminada) en:
(1.07 x 20)+(1.02x5)+(0.98x30)+(0.93x7)= 62.41 minutos.
Caso Adicional
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• La gestión de inventarios hace uso de distintas herramientas metodológicas que abordan 2 preguntas básicas:
¿de qué tamaño debe ser un pedido? y
¿cada cuánto tiempo se debe realizar un pedido?
Ejemplo de Inventarios con Markov
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Ejemplo 04
35 https://www.youtube.com/watch?v=HZBiA-U2mlk&t=575s&ab_channel=SANTIAGOHOYOSTUBERQUIA
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Ejemplo 04…
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Solución
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• Una tienda que mantiene un inventario de un producto dado para satisfacer una demanda (aleatoria). La demanda diaria D, tiene la siguiente distribución de probabilidades:
• Consideremos una política de inventarios denominada (q,Q), que indica que si el nivel de inventarios al final de cada día es menor a q=2 se ordenan Q=1 unidades adicionales (las cuales se asumen disponibles al inicio del día siguiente), en caso contrario no se hace ninguna orden. La demanda no satisfecha es venta perdida y hay 2 unidades al final en n=0 (distribución inicial). Sea In el nivel de inventario al final del día n (esto corresponde a la definición de la variable aleatoria), interesa modelar el problema mediante una Cadena de Markov.
Ejemplo 05
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• Un primer desafío consiste en determinar los posibles estados que puede adoptar la variable aleatoria en una etapa n cualquiera.
Notar que es posible finalizar un día sin unidades en inventario, dado que si bien esta situación genera una reposición de 1 unidad, ésta se asume disponible al inicio del día siguiente.
Adicionalmente también es posible terminar un día con 1 o 2 unidades en inventario (en estos casos no se genera reposición).
Sin embargo, no es posible terminar un día con 3 unidades en inventario (recordar que en n=0 se dispone de 2 unidades en inventario y dada la política de reposición, ésta se genera cuando se dispone de menos de 2 unidades en inventario)
Solución
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Estados posibles para la variable aleatoria son Xn = {0,1,2}.
Solución:
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• Adicionalmente se pueden estimar las probabilidades estacionarias, es decir, que en el largo plazo
(independiente de la distribución inicial) se disponga al final de un día de 0, 1 o 2 unidades en
inventario. Para ello se debe
clasificar los estados de la cadena donde en particular se corrobora
que ésta es irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos.
Solución
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En consecuencia la probabilidad de que en el largo plazo se disponga de 0 unidades al final de un día es de un 50% (1/2), tener una
unidad es un 37,5% (3/8) y 2 unidades un 12,5% (1/8)
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• El análisis de Markov suele ser muy útil para predecir estados futuros.
• Un objetivo primordial es obtener información sobre la probabilidad de cada estado después de un gran número de periodos de tiempo o transición.
• Las cadenas de markov se pueden aplicar diversos campos de la ingeniera industrial
Conclusiones
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• Taha, H. A. (2004). Investigación de operaciones. Pearson Educación.
• Navarrete, (2020), Presentación-Modelos Estocásticos.
• Render, B., Stair, R. M., & Hanna, M. E. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios. Pearson Educación.
• Prácticas de IO con POM-QM (2014): Recuperado de https://jrvargas.files.wordpress.com/2008/08/practicas-de-io-con-
pom-qm2.pdf
• Rojas, C (2021), Mundo IO. Recuperado de:
https://www.facebook.com/MUNDOIOSAC/photos/pcb.4081650281 956255/4081641125290504/
Bibliografía
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