Treballs de Fi de Grau Titulaci´ o de Matem` atiques
Curs 2020-2021
1 Tipus A. Propostes del professorat
1. Aureli Alabert. [Aureli.Alabert@uab.cat] Algorismes d’optimitzaci´o sense derivades.
2. Aureli Alabert. [Aureli.Alabert@uab.cat] Un algorisme d’optimitzaci´o amb restriccions sense derivades.
3. Aureli Alabert. [Aureli.Alabert@uab.cat] Problemes de m´ınims quadrats lineals i no lineals.
4. Ramon Antoine. [ramon@mat.uab.cat] `Algebres de Hopf.
5. Ramon Antoine. [ramon@mat.uab.cat] Anells de divisi´o: M´es enll`a dels quaternions.
6. Ramon Antoine. [ramon@mat.uab.cat] Localitzaci´o en anells no commutatius.
7. Pere Ara. [para@mat.uab.cat] Representacions de grups finits.
8. Pere Ara. [para@mat.uab.cat] Una introducci´o als grups infinits.
9. Pere Ara. [para@mat.uab.cat] `Algebres associades a grafs.
10. Florent Balacheff texttt[fbalacheff@mat.uab.cat] Grafs amb llarga s´ıstole.
11. Florent Balacheff texttt[fbalacheff@mat.uab.cat] El primer teorema de Minkowski i la seva generalitzaci´o al cas no sim`etric.
12. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz.
13. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] An`aleg de la funci´o zeta en caracter´ıstica positiva, funci´o zeta de Carlitz-Goss.
14. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber.
15. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, Drinfeld-Hayes.
1
16. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] Extensions ciclot`omiques.
17. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer.
18. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. I 19. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. II 20. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] Aritm`etica de corbes planes no singulars.
21. Francesc Bars. [francesc@mat.uab.cat] Forats negres i grups de classes.
22. Giulia Binotto. [gbinotto@mat.uab.cat] Passejos aleatoris recurrents.
23. Josep Maria Burg´es. [josep@mat.uab.cat] Mec`anica qu`antica:
24. Josep Maria Burg´es i Joan Mateu. [mateu@mat.uab.cat, josep@mat.uab.cat] Algunes aplicacions de l’an`alisi complexa a la f´ısica.
25. `Angel Calsina [acalsina@mat.uab.cat] Formulaci´o de problemes de valor inicial amb condicions de frontera no lineals i aplicacions.
26. `Angel Calsina [acalsina@mat.uab.cat] El n´umero reproductiu b`asic en models de din`amica de poblacions i en models d’epidemiologia.
27. `Angel Calsina [acalsina@mat.uab.cat] Valoraci´o num`erica de derivats financers sobre actius amb salts.
28. Joan Josep Carmona [carmona@mat.uab.cat] Transformacions conformes.
29. Magdalena Caubergh [leen@mat.uab.cat] Teoria de Floquet i l’equaci´o d’Hill.
30. Ferran Ced´o [cedo@mat.uab.cat] Solucions conjuntistes de l’equaci´o de Yang-Baxter.
31. ´Alvaro Corral. [alvaro.corral@uab.es] Processos de ramificaci´o a f´ısica, biologia i als desastres naturals.
32. ´Alvaro Corral. [alvaro.corral@uab.es] Huracans: caos o criticitat, i influ`encia del canvi clim`atic.
33. ´Alvaro Corral i Joan Serr`a. [alvaro.corral@uab.es] Modelitzaci´o de sistemes complexos per a les composicions musicals.
34. Juli`a Cuf´ı [jcufi@mat.uab.cat] Condici´o de Lipschitz i diferenciabilitat de funcions.
35. Juan Jes´us Donaire. [JuanJesus.Donaire@uab.cat] Funcions univalents.
36. Juan Jes´us Donaire. [JuanJesus.Donaire@uab.cat] Funcions enteres.
37. Juan Jes´us Donaire. [JuanJesus.Donaire@uab.cat] Productes infinits.
38. Juan Jes´us Donaire. [JuanJesus.Donaire@uab.cat] Les F´ormules de Schwarz-Christoffel per trobar representacions conformes sobre pol´ıgons i pol´ıgons generalitzats.
39. Francesc Font [ffont@crm.cat] Estudi anal´ıtic i num`eric del problem de Stefan.
40. Francesc Font [ffont@crm.cat] Modelitzaci´o matem`atica del creixement de cristalls mitjan¸cant models poblacionals.
41. Francesc Font [ffont@crm.cat] Modelitzaci´o matem`atica del proc´es de captura de carboni en un medi por´os.
42. Eduard Gallego. [egallego@mat.uab.cat] Valoracions, toerema de Hadwiger, geometria integral i probabilitats geom`etriques.
43. Eduard Gallego. [egallego@mat.uab.cat] La formula de Gauss-Bonnet en varietats.
44. Eduard Gallego. [egallego@mat.uab.cat] F´ormula cinem`atica de Blaschke-Santal
45. Yamila Garcia. [ygarcia@mat.uab.cat] Numerical results on graphs theory applied to gain knowledge on single molecule stiffness.
46. Yamila Garcia. [ygarcia@mat.uab.cat] New graphs theory based molecular descriptors to define molecular architectures.
47. Yamila Garcia. [ygarcia@mat.uab.cat] An electrical description of chemical bonds.
48. Yamila Garcia. [ygarcia@mat.uab.cat] A new electrical based molecular descriptor to define intramolecular bonds.
49. Armengol Gasull. [gasull@mat.uab.cat] Equacions diferencials holomorfes.
50. Armengol Gasull. [gasull@mat.uab.cat] Equacions diferencials de Riccati i d’Abel.
51. Armengol Gasull. [gasull@mat.uab.cat] El m`etode del balan¸c harm`onic.
52. Armengol Gasull. [gasull@mat.uab.cat] `Orbites peri`odiques per sistemes din`amics no aut`onoms.
53. Armengol Gasull. [gasull@mat.uab.cat] Ones viatgeres.
54. David Mar´ın. [davidmp@mat.uab.cat] Geometria de webs.
55. David Mar´ın. [davidmp@mat.uab.cat] Grups i geometria.
56. David Mar´ın. [davidmp@mat.uab.cat] Mathematical Omnibus.
57. David Mar´ın. [davidmp@mat.uab.cat] Geometry and the imagination.
58. Joaquim Mart´ın. [jmartin@mat.uab.cat] Optimal Sobolev embeddings.
59. Joaquim Mart´ın. [jmartin@mat.uab.cat] Espais invariants per reordenaci´o i interpolaci´o.
60. Marc Masdeu. [masdeu@mat.uab.cat] Teoria dels m`oduls singulars (singular moduli).
61. Marc Masdeu. [masdeu@mat.uab.cat] Construcci´o de funcions-L p-`adiques.
62. Joan Mateu. [mateu@mat.uab.cat] Equaci´o d’Euler i mec`anica de fluids.
63. Joan Mateu. [mateu@mat.uab.cat] La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar.
64. Tim Myers, (Mathematics for the environment). [tmyers@crm.cat] Carbon Capture.
65. Tim Myers, (Mathematics for the environment). [tmyers@crm.cat] Heat absorption and green roofs.
66. Artur Nicolau. [artur@mat.uab.cat] Funcions Enteres .
67. Artur Nicolau. [artur@mat.uab.cat] El Teorema de Birkhoff sobre la Diferenciaci´o.
68. Artur Nicolau. [artur@mat.uab.cat] El Teorema De Denjoy-Wolff .
69. Marcel Nicolau. [nicolau@mat.uab.cat] Simetria: Grups de Lie cl`assics i les seves representacions.
70. Marcel Nicolau. [nicolau@mat.uab.cat] Geometria de les varietats de Lorentz i Relativitat.
71. Marcel Nicolau. [nicolau@mat.uab.cat] Formes diferencials i topologia.
72. Joan Orobitg. [orobitg@mat.uab.cat] Problema de Dirichlet i el lema de Weyl.
73. Joan Orobitg. [orobitg@mat.uab.cat] Zeros de polinomis al pla complex.
74. Joan Orobitg. [orobitg@mat.uab.cat] El problema del quadrat inscrit.
75. Walter Ortiz. [waortiz@mat.uab.cat] Bi-dimensional rearrangement and Lorentz spaces.
76. Walter Ortiz. [waortiz@mat.uab.cat] A density result for Sobolev spaces in dimension two.
77. Francesc Perera. [perera@mat.uab.cat] Grups amenables.
78. Francesc Perera. [perera@mat.uab.cat] Anells noetherians i anells de polinomis.
79. Francesc Perera. [perera@mat.uab.cat] Monoides commutatius i condicions de refinament.
80. Francesc Perera. [perera@mat.uab.cat] Classificaci´o de m`oduls finitament generats sobre dominis d’ideals principals. Aplicacions a la forma de Jordan d’un endomorfisme.
81. Francesc Perera. [perera@mat.uab.cat] Introducci´o a l’ `Algebra Homol`ogica.
82. Joan Porti. [porti@mat.uab.cat] Superf´ıcies m´ınimes.
83. Joan Porti. [porti@mat.uab.cat] El pla hiperb`olic.
84. Mart´ı Prats. [mprats@mat.uab.cat]Teoremes d’extensi´o.
85. Agust´ı Revent´os. [agusti@mat.uab.cat] Hist`oria de la geometria diferencial.
86. Roberto Rubio [roberto.rubio.nunez@gmail.com] The theory of spinors.
87. Roberto Rubio [roberto.rubio.nunez@gmail.com] Dirac structures and generalized geometry.
88. Roberto Rubio [roberto.rubio.nunez@gmail.com] Exceptional Lie groups.
89. Sergey Tikhonov. [stikhonov@crm.cat] Convergence/ equiconvergence of numeric series.
90. Sergey Tikhonov. [stikhonov@crm.cat] Hardy’s inequality.
91. Sergey Tikhonov. [stikhonov@crm.cat] Convergence of the Fourier series.
92. Merc´e Villanueva. [merce.villanueva@gmail.com] Desenvolupament de software matem´atic en teoria de codis.
2 Tipus B. L´ınies tem` atiques dels tutors
1. Ramon Antoine. [ramon@mat.uab.cat] Semigrups ordenats, Teoria d’anells i m`oduls.
2. Carles Broto. [broto@mat.uab.cat]
(a) Grups de Lie i `algebres de Lie. Cohomologia. Quantificaci´o.
(b) Fibrats. Fibrats principals. Classificaci´o. Teoria K topol`ogica. Temes relacionats.
(c) Funcions reals sobre varietats diferenciables. Punts singulars. Teoria de Morse. Estructura cel·lular.
(d) Extensi´o al cas discret: Funcions de Morse discretes i camps vectorials discrets sobre complexos simplicials. Aquesta versi´o ha rebut molta atenci´o per les seves aplicacions potencials a diferents `ambits incloent-hi Big-Data.
(e) Grups finits. Estructura local: teoremes de Sylow, teorema de fusi´o dAlperin, sistemes de fusi´o i axiomes de saturaci´o. El sistema de fusi´o ex`otic de Solomon.
3. Joaquim Bruna [bruna@mat.uab.cat] Ondetes i mostratge comprimit (wavelets and compressed sensing). 2 treballs com a m`axim.
4. Josep Burgues [josep@mat.uab.cat] Mec`anica Qu`antica des del punt de vista de l’An`alisi (Funcional, Complexa, Real, Harm`onica i/o EDPs)
5. Alejandra Caba˜na [acabana@mat.uab.cat] An`alisi de dades funcionals.
6. Joan Claramunt [jclaramunt@mat.uab.cat]
(a) Teoria de grups, teoria de representacions.
(b) An`alisi funcional, `algebres d’operadors.
7. `Angel Calsina. [acalsina@mat.uab.cat] Equacions en derivades parcials de la din`amica de poblacions. Condicions de frontera no lineals.
8. Natalia Castellana [natalia@mat.uab.cat] Topologia, Topologia Algebraica, Topologia Combinat`oria.
9. ´Alvaro del Corral. [acorral@crm.cat] Fenomens meteorologics, esdeveniments extrems, ling¨uistica matem`atica i economia erg`odica, 10. Juan Jes´us Donaire. [JuanJesus.Donaire@uab.cat] Teoria Geom`etrica de funcions. An`alisi Complexa.
11. Eduardo Gallego. [egallego@mat.uab.cat]
(a) Geometria Diferencial, Geometria Integral i Geometria Hiperb`olica (Gil Solanes, Eduard Gallego) (b) Hist`oria de la Geometria Diferencial (Agust´ı Revent´os)
12. ´Alvaro Gonz´alez. [agonzalez@crm.cat] Fractales, multifractales y procesos puntuales aplicados a fen´omenos naturales. (En colabo- raci´on con ´Alvaro Corral).
13. Maria Jolis. [mjolis@mat.uab.cat]
(a) Processos de Markov.
(b) Processos i successions de variables aleat`ories estacion`aries.
(c) Introducci´o a l’An`alisi estoc`astica.
14. Andrei Korobeinikov. [akorobeinikov@crm.cat] Mathematical modelling cancer evolution, Mathematical modelling viral evolution.
15. David Mar´ın. [davidmp@mat.uab.cat] Geometria diferencial. Sistemes din`amics.
16. Toni Lozano [tonilb@mat.uab.cat] Deep Learning, Deep Reinforcement Learning.
17. Joaquim Mart´ın. [jmartin@mat.uab.cat]
(a) Interpolaci´o i extrepolaci´o d’operadors.
(b) Espais Sobolev. Espais de Besov
18. Marc Masdeu [masdeu@mat.uab.cat] Teoria de nombres.
19. Artur Nicolau. [artur@mat.uab.cat] An`alisi matem`atic.
20. Marcel Nicolau. [nicolau@mat.uab.cat] Geometria Diferencial.
21. Walter Ortiz. [waortiz@mat.uab.cat] Function spaces, Sobolev embeddings.
22. Francesc Perera. [perera@mat.uab.cat] `Algebra No Commutativa, `Algebres d’Operadors, Semigrups ordenats.
23. Wolfgang Pitsch. [pitsch@mat.uab.es] Topolog´ıa algebraica. Teor´ıa de la homotop´ıa. Teor´ıa de nudos. ´Algebra homol´ogica. Teor´ıa de Grupos. M`axim 2 Treballs.
24. Joan Porti. [porti@mat.uab.cat Teoria geomtrica de grups.
La teoria geom`etrica de grups relaciona les propietats algebraiques dels grups amb les propietats geom`etriques dels espais on actuen.
Tamb es veuen els grups com a espais m`etrics, i es planteja quines propietats algebraiques es reflecteixen a nivell de la m`etrica. Despr`es d’introduir les nocions b`asiques, com ara la noci´o de quasi isometria, o el graf de Cayley, es buscaran els resultats que relacionin l’`algebra amb la geometria.
Referencies: L¨oh, Clara. Geometric group theory. An introduction. Universitext. Springer, Cham, 2017. xi+389 pp. ISBN: 978-3-319- 72253-5; 978-3-319-72254-2 Bowditch, Brian H. A course on geometric group theory. MSJ Memoirs, 16. Mathematical Society of Japan, Tokyo, 2006. x+104 pp. ISBN: 4-931469-35-3 Drutu, Cornelia; Kapovich, Michael. Geometric group theory. American Mathematical Society Colloquium Publications, 63. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018. xx+819 pp. ISBN: 978-1-4704-1104-6.
25. Mart´ı Prats. [mprats@mat.uab.cat]
(a) Aplicacions quasiconformes i regularitat (b) Mesura harm`onica i rectificabilitat
(c) Superf´ıcies m´ınimes i altres problemes de frontera lliure (d) Interpolaci´o real i complexa: El problema invers de Calder´on 26. Llu´ı Quer. [quer@mat.uab.cat] Probabilitat i processos estoc`astics.
27. Agust´ı Revent´os. [agusti@mat.uab.cat] Hist`oria de la geometria diferencial.
28. Roberto Rubio. [rubio@mat.uab.cat] Differential geometry (including generalized geometry, Dirac structures, and moduli spaces).
29. Susana Serna. [serna@mat.uab.es] An´alisis Num´erico y aplicaciones.
30. Gil Solanes. [solanes@mat.uab.cat] Geometria Diferencial, Geometria Integral i Geometria Hiperb`olica.
31. Sergey Tikhonov. [stikhonov@crm.cat] Fourier analysis, Approximation theory, Real Functions. Topics: Convergence problem of number series, Inequalities for sums, Convergence of Fourier transforms. Maximum number of students: 3
32. Merc´e Villanueva. [merce.villanueva@gmail.com]
(a) Desenvolupament de software matemtic en teoria de codis.
(b) Teoria de codis correctors d’errors. Codis nolineals sobre l’anell Z/ps.
33. Xavier Xarles [xarles@mat.uab.cat] Teoria de Ramsey. Grups de Galois arboris.
3 Resums dels treballs tipus A
Processos de ramificaci´o a f´ısica, biologia i als desastres naturals. Tutor: ´Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Recerca Matem`atica.
Objectius: Donar a con`eixer a l’alumne les aplicacions interdisciplin`aries d’aquests models estoc`astics.
Breu descripci´o: Estudi bibliogr`afic i simulaci´o de Monte Carlo de variacions del model de Galton-Watson.
Huracans: caos o criticitat, i influ`encia del canvi clim`atic. Tutor: ´Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos, Centre de Re- cerca Matem`atica
Objectius: Explorar comportaments b`asics de la teoria del caos i la criticitat auto-organitzada i verificar la seva ocurr`encia als ciclons tropicals.
Breu descripci´o: An`alisi de models simplificats d’aquests fen`omens i veure els possibles efectes de pertorbacions clim`atiques.
Modelitzaci´o de sistemes complexos per a les composicions musicals. Tutors: Alvaro del Corral, Grup de Sistemes Complexos,` Centre de Recerca Matem`atica.
Joan Serr`a, Institut d’Investigaci´o en Intel·lig`encia Artificial (IIIA-CSIC)
Objectius: Entendre eines b`asiques de l’estudi de la complexitat i aplicar−les a enregistraments de can¸cons o partitures musicals.
Breu descripci´o: Programaci´o algor´ımica de diverses t`ecniques d’an`alisi seq¨uncial i estudi dels resultats a la m´usica.
Funcions Enteres . Tutor: Artur Nicolau
Aquest projecte s una continuaci´o natural d’alguns temes de l’assignatura d’An`alisi Complexa. El treball consistir`a en estudiar els resultats cl`assics que relacionen el creixement d’una funci entera amb la distribuci´o dels seus zeros
El Teorema de Birkhoff sobre la Diferenciaci´o. Tutor: Artur Nicolau
El treball consistir`a en estudiar els resultats cl`assics de Birkhoff i de MacLane sobre la universalitat dels operadors de diferenciaci i de translaci´o en l’espai de funcions enteres. A continuaci´o s’adoptar`a el punt de vista m´es modern d’operadors hiperc´ıclics.
El Teorema De Denjoy-Wolff . Tutor: Artur Nicolau
Aquest projecte s una continuaci´o natural d’alguns temes de l’assignatura d’An`alisi Complexa. S’estudiaran versions generalitzades del Lema d’Schwarz i la noci´o de derivada angular. Aquests resultats s’aplicaran a la demostraci del Teorema de Denjoy-Wolff.
Geometria de webs. Tutor: David Mar´ın
Interpretar geom`etricament una equaci´o diferencial ordinaria impl´ıcita des del punt de vista local i estudiar alguns dels seus invariants com la curvatura de Blaschke i les relacions abelianes.
Grups i geometria. Tutor: David Mar´ın
Triar i desenvolupar (donant les idees de les demostracions) alguns dels temes de la srie de conferncies ”My Favorite Groups que E. Ghys va impartir a l’Escola de Altos Estudos (IMPA), disponibles en youtube.
Mathematical Omnibus. Tutor: David Mar´ın
Triar i desenvolupar alguns dels temes del llibre Mathematical Omnibus de D. Fuchs y S. Tabachnikov disponible en http://www.math.psu.edu/tabachni/Books/taba.pdf Geometry and the imagination. Tutor: David Mar´ın
Triar i desenvolupar alguns dels temes del llibre Geometry and the imagination de D. Hilbert and S. Conh-Vossen.
Exponencial de Carlitz i nombres de Bernouilli-Carlitz. Tutor: Francesc Bars
La funci´o exponencial de Carlitz ´es un analeg en caracter´ıstica positiva de la funci´o exponencial. Els nombres complexos s´on substituits per un altre cos i que t´e una propietat peculiar, hi ha xarxes de rang tan gran com volem. Un com hem entengut l’an`alisi involucrat i definir la exponencial de Carlitz, els nombres de Bernouilli-Carlitz apareixen de manera an`aloga com surten per la exponencial complexa, aquest desenvolupament en series via el factorial es canvia per un factorial convenient. ´Es un problema obert estudi de congru`encies entre aquests nombres, el problema cl`assic va ser resolt per Kummer, congru`encies de Kummer.
Bibliografia:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.
David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.
David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009. To appear
An`aleg de la funci´o zeta en caracter´ıstica positiva, funci´o zeta de Carlitz-Goss. Tutor: Francesc Bars Considerem l’anell de polinomis a coeficients un cos finit Fq i considera la suma
ζ(n) = X
amonic
1 an
Donem un sentit anal´alitic a l’expressi´o donant un valor. Estudiareu si aquests valors s´on algebraics o no, si es pot escriure un an`aleg de funci´o zeta de Riemann, i que succeeix als negatius i amb l’equaci´o funcional. El treball ha de centrar-se en definir i treballar una modificaci´o de la funci´o zeta de Carlitz proposada pel professor Federico Pellarin (2010) i el valor d’aquesta funci´o en el 1, fent una introducci´o a la funci´o zeta de Carlitz i l’analogia amb la funcio zeta de Riemann.
Refer`encies:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer 1996.
David Goss: The ongoing binomial revolution. Preprint 2011.
David Goss: ζ-phenomenology. Preprint 2009. To appear
Extensions abelianes explicites sobre els racionals, teorema de Weber. Tutor: Francesc Bars
Demostrar el teorema de Weber que afirma que tota extensi´o finita K/Q Galois amb grup de Galois abeli`a est`a que K ⊆ Q(e2πi/m) per cert m.
Extensions abelianes explicites sobre el cos de fraccions de l’anell de polinomis sobre un cos finit, Drinfeld-Hayes. Tutor: Francesc Bars
El treball vol demostrar que tota extensi´o finita L/Fq(t) Galois amb grup de Galois abeli`a compleix que L ⊆ Fq(t)[CL] on CL ´es certa torsi´o del m`odul de Carlitz (o de Drinfeld). s pot fer el cas general de Drinfeld en un dels papers clau qu van fer concedir-li la medalla Fields.
Bibliografia:
David Goss: Basic Structures of Function Field Arithmetic, Springer, 1996.
Dinesh Thakur: Function Field Arithmetic. Academic Press.
Extensions ciclot`omiques. Tutor: Francesc Bars
Ja heu vist que el primer lloc on apareixen les extensions ciclot`omiques en l’estudi de la resolubilitat de les equacions per radicals. Aquest tema consisteix en un estudi profund d’extensions ciclot`omiques.
Bibliografia: D. Washington: Cyclotomic Fields, GTM, Springer.
S. Lang: Cyclotomic Fields I, II. GTM, Springer.
Atacant el teorema de Fermat, idees de Kummer. Tutor: Francesc Bars
Un dels resultats matem`atics m´es importants en els ´ultims anys ´es la demostraci´o de Andrew Wiles de l’´ultim teorema de Fermat, ´es a dir que l’equaci´o Xn+ Yn= Zn amb n ≥ 3 no t´e cap soluci´o amb XY Z 6= 0 amb X, Y, Z ∈ Z.
Fixeu-vos que podem escriure l’equaci´o en l’anell Z[e2πi/n] mitjan¸cant:
n
Y
j=1
(X + e2πij/nY ) = Zn
i per tant una primera idea per atacar l’´ultim Teorema de Fermat ´es estudiar factoritzacions d’elements en l’anell Z[e2πi/n].
Lamm´e en l’any 1847 va presentar una demostraci´o en l’Acad`emia de les Ci`encies de Paris. Kummer ja sabia que era err`onea la demostraci´o. Perqu`e? Doncs la demostraci´o de Lamm´e suposava que l’anell Z[e2πi/n] era un DFU (domini de factoritzaci´o ´unica) i Kummer ja havia demostrat en l’any 1844 que per tan sols un nombre finit de n l’anell Z[e2πi/n] ´es un DFU.
El treball consisteix en treballar propietats dels anells Z[e2πi/n] o m´es en general del que es coneixen actualment dels anells anomenats dominis de Dedekind, un cas concret s´on els anells Z[e2πi/n]. En particular el treball consisteix en demostrar que aquests anells tenen factoritzaci´o ´unica amb ideals. Si l’alumne t´e m´es inter´es i vol aprofundir m´es, podr`a intentar donar unes traces de la prova del teorema de Fermat per a primers regulars obtinguda per Kummer (resultat m´es important del teorema de Fermat fins que el 1995 Wiles enunciava una demostraci´o modular seguint la idea de Frey que traslladava el teorema de Fermat al camp modular de corbes el.l´ıptiques).
Bibliografia:
Dino Lorenzini: “An invitation to Arithmetic Geometry”. Chapter I and III§1 − 4. SGM volum 9, American Mathematical Society.
M.F.Atiyah-I.G.Macdonald: “Introducci´on al ´Algebra conmutativa”. Ed. Revert´e. Cap´ıtol 9.
Z.I.Borevich-I.R.Shafarevich:“Number Theory”, Academic Press. Chapter III.
K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 4.
La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. I Tutor: Francesc Bars Considerem la funci´o zeta de Riemann
ζ(s) :=
∞
X
n=1
1
ns (1)
per s ∈ C amb Re(s) > 1, on Re(s) denota la part real del nombre complex s.
Euler als 28 anys va aconseguir sumar ζ(2k)π−2k ∈ Q amb k ≥ 1 un natural. Primer misteri de la funci´o zeta: en els enters positius 2k existeix un nombre transcendent Ω2k sobre Q (anomenat un per´ıode) on ζ(2k)/Ω2k ´es un nombre racional!! conjecturalment aquesta propietat passar`a per ζ(2k + 1) amb k ≥ 1.
Euler als 30 anys va demostrar que la funci´o zeta t´e un producte d’Euler, ´es a dir:
ζ(s) = Y
p primer
(1 − p−s)−1, Re(s) > 1
Euler als 32 anys va avaluar els valors ζ(1 − d) amb d ≥ 1 natural, per`o us preguntar´ıeu: com? Fins ara ζ(s) sol est`a definida per a Re(s) > 1!!! Us recomano llegir la primera refer`encia.
Riemann uns anys m´es tard, va formalitzar ζ(s) per a Re(s) ≤ 1, on tan sols per Re(s) > 1 ´es de la forma anterior (1). Per exemple Euler afirmava:
ζ(0) = −1
2, ζ(−1)−1
12, ζ(−11) = 691 2332· 5 · 7 · 13,
Amb la definici´o formal de Riemann per a ζ(s) amb Re(s) ≤ 1, els valors que va donar Euler s´on els correctes !!!!!
Igualment Euler comparant els valors entre d i 1 − d va obtenir una equaci´o que relacionava la funci´o zeta de Riemann avaluada en s amb la funci´o zeta de Riemann avaluada en 1 − s amb s enter. Amb el anys, va ser Riemann qui demostra formalment aquesta equaci´o:
escrivim Z(s) := π−s/2Γ(s/2)ζ(s) on la funci´o Γ ´es relacionada amb la funci´o apareguda a probabilitat, tenim una equaci´o que relaciona ζ(s) amb ζ(1 − s), mitjan¸cant (segon fet sorprenent)
Z(s) = Z(1 − s).
Quan Z(s) = 0? Riemann va conjecturar (i tamb´e ja ho havia afirmat Euler abans!!!) que aix`o succeir`a tan sols quan Re(s) = 1/2, aquest ´es un altre dels problemes que l’Institut Clay premia amb un mil.li´o de d`olars.
B´e fixem-nos en els seg¨uents fets sorprenents de la funci´o zeta de Riemann: t´e un producte d’Euler, s’est´en a una funci´o anal´ıtica a tots els nombres complexos, admet una equaci´o funcional i misteriosament avaluada als enters apareixen certs valors racionals. Anem a aprofundir en aquesta ´ultima propietat.
T´e alg´un significat aritm`etic ζ(0) = −1/2? S´ı! El resultat 1/2 per ζ(0) ´es el cas concret de la famosa f´ormula de nombre de classes aplicada al cos Q, per exemple el 2 apareix perqu`e ´es el nombre d’arrels de l’unitat que t´e el cos Q, que s´on {1, −1}.
Anem tot seguit a buscar resultats aritm`etics als altres valors de la funci´o zeta avaluada als enters.
De l’equaci´o funcional podem relacionar ζ(r) amb ζ(1 − r) per tant centrem-nos amb r estrictament negatius per a buscar el significat aritm`etic del valor racional que surt. Es demostra que ζ(r) ∈ Q per un enter r negatiu i tan sols ens interessa el significat per r senars ja que en els parells ζ(r) s’anul.la (recordeu la dificultat per ζ(1 + r) si r ´es parell!!). Kummer va donar quins denominadors han de sortir i congru`encies modul primer p per a diversos d’aquests r. Anem per`o a preguntar-nos sobre el significat que aporta que un nombre que surt al numerador de ζ(−2` − 1) amb ` ∈ N . Recordeu per exemple que ζ(−11) = 2332691·5·7·13, hi ha un significat aritm`etic en el fet que surti 691, i que aquest surti en avaluant-ho al n´umero -11?
Doncs la resposta ´es SI!!!! Per a justificar que surt el 691 ´es gr`acies al que s’anomena el criteri de Kummer, que afirma p divideix el numerador de ζ(r) per algun r negatiu senar si i nom´es si aquest primer apareix en l’ordre d’un grup associat al cos Q(e2πi/p) (aquest grup s’escriu Cl(Q(e2πi/p)), m`agic no? Per`o l’anterior criteri de Kummer no ens explica quin paper hi juga el 11. Perqu`e el 691 surt en avaluar al -11? B´e per aix`o s’usa la teoria Iwasawa, teoria molt t`ecnica per`o molt interessant, i resulta que -11 apareix en un factor de fer la descomposici´o del grup Cl(Q(e2πi/691) via l’acci´o del grup Gal(Q(e2πi/691)/Q), aquests resultats en teoria Iwasawa corresponen ja a l’any 1976!!
El treball consisteix en l’estudi aritm`etic dels valor enters de la funci´o zeta, les congruncies de Kummer (congruncies entre nombres de Bernouilli) el teorema de van Staudt i si hi ha molta energia el criteri de Kummer.
Bibliografia:
K.Kato-N.Kurokawa-T.Saito:“Number theory 1: Fermat’s dream”. Iwasawa series, AMS. Chapter 3.
J. Neukirch:“Algebraische Zahlentheroie”, Springer. Tamb´e tradu¨ıt a l’angl`es. Kapitel VII-§1.
La funci´o zeta de Riemann, diverses meravelles de la funci´o. II Tutor: Francesc Bars
Intentar plantejar la hip`otesi de Riemann i els diversos punts de vista per tal que els zeros es trobin tots a 1/2.
Aritm`etica de corbes planes no singulars. Tutor: Francesc Bars
La tesis del meu estudiant Eslam Badr aportem un estudi general de corbes planes no singulars majorit`ariament en caracter´ıstica zero amb automorfismes, respecte el loci dins l’espai de moduli. (Veieu papers de la tesis de l’Eslam Badr a la meva web). Un exemple de corba plana ´es l’equaci´o de Fermat Xn+ Yn = Zn., en general una corba plana no singular es certa expressi´o polinomial de grau d homogeni amb les variables X,Y,Z sota certes condicions.
El treball pot estudiar preguntes que queden obertes de la tesis, sobre cossos finits de caracter´ıstica positiva petita, un estudi dels punts de certes corbes que no siguin la de Fermat ni la de Klein,... i per tant podria ser un treball original.
Forats negres i grups de classes. Tutor: Francesc Bars
Entendre els resultats del treball: BLACK HOLES AND CLASS GROUPS, NATHAN BENJAMIN1, SHAMIT KACHRU1, KEN ONO2, AND LARRY ROLEN. arXiv:1807.00797v1
Grups amenables. Tutor: Francesc Perera
Un grup discret G ´es amenable si admet una mesura de probabilitat (suficientment invariant) finitament additiva. Es pot pensar que aquesta mesura detecta la probabilitat que un element arbitrari de G pertanyi a un determinat subconjunt. Lobjectiu del treball ´es estudiar aquesta classe, a trav´es dexaminar exemples, per veure que es una classe molt `amplia. Tamb´e es veuran caracteritzacions equivalents, m´es algebraiques, com ara lanomenada condici´o de Foelner.
Anells noetherians i anells de polinomis. Tutor: Francesc Perera
Els anells noetherians formen una classe `amplia d’anells. Sestudiar`a aquesta noci´o en el cas no commutatiu, amb la qual cosa cal distingir entre anell noetheri`a dreta o esquerra. Una segona part del treball consisteix en analitzar la classe d’exemples anomenats anells de polinomis skew (dels quals els anells de polinomis de tota la vida en s´on un cas particular). Un dels objectius es provar el teorema de la base de Hilbert: si R ´es un anell noetheri`a (dreta), llavors lanell de polinomis R[x] tamb´e. (Es provar`a la versi´o m´es general utilitzant polinomis skew). Una possible estructura del treball ´es la seg¨uent:
1. M`oduls sobre un anell. Definicions, exemples.
2. Anells noetherians. Exemples.
3. Condici´o de cadena ascendent: M`oduls noetherians 4. Anells de polinomis skew. El teorema de la base.
Monoides commutatius i condicions de refinament. Tutor: Francesc Perera
Un monoide commutatiu es un conjunt amb una operaci´o aditiva, associativa i commutativa i un element neutre. Un exemple obvi ´es el conjunt dels naturals (juntament amb el zero). Lobjectiu del treball ´es analitzar les propietats b`asiques d’aquests objectes, i estudiar la classe dels monoides que satisfan la condici´o anomenada refinament. Sestudiaran tamb´e condicions de cancel·laci´o en aquests objectes, amb aplicacions a problemes de cancel·laci´o dels anomenats m`oduls Noetherians.
Classificaci´o de m`oduls finitament generats sobre dominis d’ideals principals. Aplicacions a la forma de Jordan d’un endomorfisme.
Tutor: Francesc Perera
Un m`odul sobre un anell ´es, col·loquialment, com un espai vectorial on substitum el cos d’escalars per un anell, que pot ser o no commutatiu. Aquesta variaci´o en la definici´o fa que molts dels resultats que podr´ıem esperar deixin de complir-se. Tot i aix´ı, per certes classes d’anells es poden obtenir resultats prou satisfactoris. L’objectiu del treball ´es fer un estudi de la noci´o de m`odul i obtenir un teorema d’estructura i unicitat en el cas finitament generat i quan estem sobre un domini d’ideals principals. Com a conseq¨`encia recuperarem els resultats de classificaci´o d’endomorfismes.
Introducci´o a l’ `Algebra Homol`ogica. Tutor: Francesc Perera
Aquest treball consisteix, en primer lloc, en una introducci´o a la Teoria de M`oduls, que es poden pensar com espais vectorials on els coeficients estan en un anell. L’`emfasi recaur`a en els anomenats m`oduls lliures, projectius i injectius i plans. A continuaci´o s’estudiaran els conceptes imprescindibles de teoria de categories per tal d’estudiar les nocions de complex de cadenes i els complexos Ext i Tor.
Utilitzant aquestes eines, s’establiran possibles aplicacions a l’`algebra i a la topologia.
Equaci´o d’Euler i mec`anica de fluids. Tutors: Joan Mateu
En din`amica de fluids, les equacions d’Euler s´on les que descriuen el moviment d’un fluid compressible no visc´os. La seva expressi’´o correspon a les equacions de Navier-Stokes quan les components dissipatives s´on menyspreables enfront de les convectives. En aquest treball ens proposem estudiar els conceptes de vorticitat i fluids incompressibles a m´es de revisar alguns conceptes de equacions en derivades parcials que ens poden ser d’utilitat.
La transformada de Hilbert i la desigualtat de Cotlar. Tutor: Joan Mateu
Aquest treball es pot considerar una introducci´o a la teoria d’integrals singulars, que ´es un dels camps de la matem´atica en els quals s’ha estat treballant m´es durant els darrers 50 anys, obtenint-se molt bons resultats. La transformada de Hilbert que sorgeix de l’estudi de les propietats de la funci´o harm`onica conjugada ´es el primer exemple de integral singular. En aquest treball es tractaria d’entendre les propietats de la tansformada de Hilbert i la seva acotaci´o sobre els espais Lp.
Algunes aplicacions de l’an`alisi complexa a la f´ısica. Tutors: Josep Maria Burg´es i Joan Mateu
L’objectiu d’aquest treball fi de grau ´es utilitzar eines d’an`alisi complexa en certs problemes de la f´ısica i de la t`ecnica en dos dimensions.
Les aplicacions proposades tenen relaci´o amb Hidrodin`amica, Din`amica de gasos, Electricitat i Elasticitat.
Mec`anica qu`antica: Tutors: Josep Maria Burg´es
Es tracta destudiar i desenvolupar un tema de Mec`anica Qu`antica des del punt de vista de lAn`alisi (Funcional, Complexa, Real, Harm`onica i/o EDPs). Lobjectiu ´es dentendre i aprofundir aspectes de la materia, intentant de fer una aproximaci´o raonable i devitar al m`axim el surrealisme (i altres approximations).
Superf´ıcies m´ınimes. Tutor: Joan Porti.
Les superf´ıcies m´ınimes a l’espai son superfcies que minimitzen localement l’`area i es caracteritzen per tenir curvatura mitjana zero.
L’esquema del treball essencialment ´es donar-ne les diferents caracteritzacions, estudiar les superf´ıcies m´ınimes de revoluci´o i descriure’n diferents exemples (famlia catenoide-helicoide, Scherk, Catalan), seguint sobretot el llibre de do Carmo (s’ampliaran les refer`encies en funci´o dels interessos de l’estudiant). El treball es desenvolupar´a a partir dels coneixements adquirits a l’assignatura de geometria diferencial.
Refer`encia b`asica:
Manfredo P. do Carmo. Geometr´ıa diferencial de curvas y superf´ıcies. Alianza Editorial. 1990 El pla hiperb`olic. Tutor: Joan Porti.
Hist`oricament, el pla hiperb`olic es va desenvolupar com a exemple de geometria no euclidiana (que no satisf el cinqu postulat d’Euclides).
Molts dels objectes en el pla euclidi tenen el seu anleg en el pla hiperb`olic per‘o amb un comportament diferent (geodsiques, polgons, rea del disc, tessel·lacions). El treball comenar amb els bsics de geometria hiperb`olica (models del pla hiperb`olic, geodsiques, isometries) per anar cap a la direcci que trii l’estudiant (accions de grups, trigonometria i frmules per polgons, mtriques hiperb`oliques en superf´ıcies, entre altres). La referncia inicial s el llibre d’Anderson, tot i que s’ampliar segons l’inters de l’estudiant.
Refer`encia b`asica:
Anderson, James W. Hyperbolic geometry. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London, 1999.
x+230 pp. ISBN: 1-85233-156-9.
Simetria: Grups de Lie cl`assics i les seves representacions. Tutor: Marcel Nicolau.
Els grups de Lie, com per exemple els grups ortogonals O(n) i O(p, q), o els grups unitaris U (n) i SU (n), apareixen de forma natural com grups de simetries cont´ınues de determinades estructures geom`etriques i juguen un paper central en moltes branques de les matem`atiques.
Aix´ı mateix, els grups de Lie s´on tamb´e importants en f´ısica matem`atica, des de la mec`anica cl`assica (recordem el teorema de E. Noether segons el qual a tota simetria cont´ınua d’una llei f´ısica li correspon un principi de conservaci´o) fins a les teories d’unificaci´o que utilitzen fortament les propietats algebraiques de grups, com U (1), SU (2) i SU (3), o la teoria de la relativitat on el grup de Lorentz O(1, 3) i el grup de Poincar´e juguen un paper primordial. Aquest treball ´es una introducci´o a l’estudi dels grups de Lie cl`assics a trav´es de les seves representacions lineals considerant en detall algun grup concret de particular inter`es en la f´ısica o la geometria.
Bibliografia:
B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras and representations. Springer, 2003.
Y. Kosmann-Schwarzbach, Groups and symmetries. Springer, 2010.
T. Brcker, - T. tom Dieck, Representations of Compact Lie groups. Springer, 1985.
Geometria de les varietats de Lorentz i Relativitat. Tutor: Marcel Nicolau
Lestudiant interessat est`a familiaritzat amb la geometria de les superf´ıcies de R3, determinada pel comportament de les seves geod`esiques i de la curvatura. La seva generalitzaci´o a dimensions arbitr`aries s´on les varietats de Riemann. Una noci´o matem`atica an`aloga, que permet formular la teoria de la Relativitat General, ´es la de varietat de Lorentz o espai equipat amb una m`etrica de Minkowski. Malgrat compartir propietats comunes amb les varietats de Riemann, les varietats de Lorentz presenten caracter´ıstiques especials remarcables.
Pensem en la incompleci´o de les seves geod`esiques, o laparici´o de singularitats, per exemple els forats negres o el Big-Bang, garantida pels teoremes de Penrose i Hawking. El treball proposa lestudi de les propietats globals, i.e. a gran escala, de les varietats de Lorentz i de les seves simetries i, eventualment, lestudi dalgun model cosmol`ogic concret.
Bibliografia:
B. Shutz, A first course in General Relativity. Cambridge University Press, 2009.
G. Naber, The Geometry of Minkowski spacetime. Springer, 2012.
J. Girbau, Geometria Diferencial i Relativitat. Manuals de la UAB, n.10. 1993.
Formes diferencials i topologia. Tutor: Marcel Nicolau
Una q¨uesti fonamental en lestudi de les varietats diferenciables (els an`alegs n-dimensionals de les corbes i les superf´ıcies) ´es la de descriure la topologia, o propietats a gran escala, dun tal espai. La topologia algebraica aborda aquest problema associant a lespai invariants algebraics (grups, espais vectorials) que descriuen la seva complexitat topol`ogica. En el cas de les varietats diferenciables alguns daquests invariants es poden obtenir de manera relativament econ`omica per medi de les formes diferencials. Es el cas per exemple de la cohomologia de de Rham o la representaci´o per medi de formes diferencials de les classes caracter´ıstiques, a partir de les quals es poden demostrar resultats com el teorema de Gauss-Bonnet en dimensi´o arbitraria o el teorema de lindex de Hopf. El treball consisteix en una introducci´o a la cohomologia de de Rham i les classes caracter´ıstiques i lestudi detallat duna aplicaci´o concreta com pot ser alguna de les mencionades o la classificaci´o dels fibrats plans sobre superf´ıcies.
Bibliografia:
S. Morita, Geometry of Differential Forms. American Mathematical Society, 2001.
R. Bott - L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1982.
Carbon Capture. Tutor: Tim Myers
With oceans overloaded with plastic, the air that we breathe full of noxious substances and even drinking water laced with legal and illegal drugs it is clear that humanity needs to improve its methods for dealing with pollutants. However, cutting down on pollution is not enough, in some cases active removal must be carried out. In this project we will focus on a specific method currently used to reduce emissions and remove contaminants, namely removal via column sorption. Column sorption involves forcing a fluid through a confined tube filled with a porous material capable of removing certain components of the fluid. As the fluid passes through, the component to be removed can attach to the surface of the material (adsorption) or enter into the volume (absorption). It is perhaps the most popular practical sorption method and is used for a wide range of processes such as the removal of contaminants including pharmaceuticals, carbon dioxide, dyes and salts. Mathematically the project deals with an advection-diffusion equation linked to a mass sink term. Possible activities to be carried out include finding travelling wave (analytical) approximations or numerical solutions as well as finding and comparing experimental data with model results.
Heat absorption and green roofs. Tutor: Tim Myers
According to the United Nations, it is predicted that by the year 2050, two-thirds of the global population will live in urban areas. This increase leads to the spread of urban areas into farmlands, causing farm reclamation and deforestation activities. When the vegetative spaces, like farmlands are turned into urban structures, there is often an associated rise in temperature, a phenomenon referred to as the urban heat island effect. It has been recognised that the temperature difference is primarily due to the absorption of radiation by concrete, bitumen, and the roofs that make up the city compared with vegetation in the nearby countryside. For this reason many cities around the world (including Barcelona, see Ecologa, Urbanismo, Infraestructuras y Movilidad) are investing in green architecture: green walls and roofs for example.
The goal of this project is to understand and improve a model for heat absorption on a concrete surface or an equivalent green roof.
Mathematically we will deal with the heat equation subject to solar radiation at the upper surface. Results for the amount of energy stored in each form of surface will be compared so that recommendations can be made on the best form of roof covering.
Equacions diferencials holomorfes. Tutor: Armengol Gasull
Les equacions diferencials de la forma z0 = f (z), on z ´es un nombre complex i f ´es una funci´o holomorfa tenen moltes propietats interessants quan es pensen com equacions diferencials al pla (x, y), on z = x + iy. Per exemple: els punts cr´ıtics no tenen sectors parab`olics ni el.liptics, tots el centres son is`ocrons, no tenen cicles l´ımit,... En aquest treball s’estudiaran totes aquestes propietats i moltes d’altres, posant un especial `emfasi en els casos en que f ´es o be un polinomi o una funci´o racional. En particular es demostraran resultats de conjugaci´o holomorfa entre z0 = f (z) en un entorn del punt cr´ıtic amb altres equacions diferencials molts m´es senzilles.
Aquest resultats es poden interpretar com un Teorema de Hartman millorat en aquest context. L’eina principal ser`a el conegut com m`etode homot`opic. Finalment s’estendran els resultats a les equacions z0 = f (z)g(z), les quals tenen el mateix retrat de fase que les holomorfes, per`o no mantenen la isocronia dels centres.
Equacions diferencials de Riccati i d’Abel. Tutor: Armengol Gasull
Les equacions diferencials no lineals m´es senzilles s´on les ED de Riccati i les d’Abel. Aquestes equacions son casos particulars (n = 2 i n = 3, respectivament) de la familia d’ED polinomials en x,
dx
dt = an(t)xn+ an−1(t)xn−1+ · · · + a1(t)x + a0(t).
En aquest treball es proposa estudiar, tant propietats de aquesta familia d’ED com la seva relaci´o amb temes cl`assics i actuals de recerca. Per exemple: el problema XVI de Hilbert, el seu n´umero de solucions peri`odiques, el conegut com problema dels moments, la caracteritzaci´o dels “centres”, la seva integrabilitat, les seves pertorbacions i les funcions de Melnikov associades, l’estudi de la exist`encia i n´umero de solucions polinomials o racionals, . . . Com a motivaci´o addicional, s’estudiaran problemes de modelitzaci´o on aquestes equacions juguen un paper fonamental. Aix´ı, per exemple, es veur`a com l’estudi d’una equaci´o de Riccati va ser fonamental en l’implantaci´o de la vacunaci´o com a m`etode per a controlar la verola.
El m`etode del balan¸c harm`onic. Tutor: Armengol Gasull
Les solucions peri`odiques d’una equaci´o diferencial es poden aproximar per les seves corresponents series de Fourier. El m`etode del balan¸c harm`onic (MBH) ´es un m`etode heur´ıstic per a trobar aquestes aproximacions que es utilitzat sovint en treballs de f´ısica i enginyeria.
L’objectiu d’aquest treball ser`a aplicar el MBH a certes fam´ılies d’equacions diferencials, tant per aproximar les seves solucions peri`odiques com els seus corresponents per´ıodes, aix´ı com estudiar resultats te`orics que permeten assegurar que prop de les solucions aproximades obtingudes hi ha veritables solucions peri`odiques de l’equaci´o diferencial. Tamb´e es plantejaran m`etodes alternatius al MBH que intenten donar aproximacions m´es acurades de les series de Fourier de les `orbites peri`odiques
Orbites peri`` odiques per sistemes din`amics no aut`onoms. Tutor: Armengol Gasull
En aquest treball s’estudiar`a com controlar el n´umero d’`orbites peri`odiques que bifurquen d’una EDO o d’un sistema din`amic discret, no aut`onoms a Rn, que presenten continus d’`orbites peri`odiques, a partir de les seves equacions variacionals d’ordre k associades. Es veur`a com, usant aquest m`etode, la q¨uesti´o es redueix a un problema de buscar solucions d’un sistema d’equacions. S’aplicaran les t`ecniques desenvolupades a diversos situacions. En particular, a l’estudi del n´umero de cicles l´ımit de certes EDO aut`onomes al pla o a l’estudi de equacions en diferencies de Riccati o Abel.
Ones viatgeres. Tutor: Armengol Gasull
Les ones viatgeres s´on unes cert tipus de solucions d’equacions en derivades parcials (EDP) que es poden trobar a partir de l’estudi del retrat de fase d’una equaci´o diferencial ordin`aria associada. Aquestes solucions son d’enorme import`ancia en el camp de la matem`atica aplicada. En aquest treball estudiarem les ones viatgeres i les seves propietats per certes EDP, com per exemple l’equaci´o de reacci´o difusi´o de Fisher-Kolmogorov i les seves generalitzacions.
Valoracions, toerema de Hadwiger, geometria integral i probabilitats geom`etriques. Tutors: Gil Solanes, Eduard Gallego En poques paraules una valoraci´o ´es un funcional additiu sobre el conjunt de convexos. La caracter´ınstica d’Euler i el volum s´on valoracions. El teorema de Hadwiger diu que les valoracions cont´ınnues i invariants per isometries a l’espai euclidi`a s´on un espai vectorial generat per la caracter´ıntica d’Euler, el volum i els volums intr´ınnsecs. En aquest treball es s’hauria d’estudiar la demostarci´o de Klain d’aquest teorema i veure les implicacions que te en geometria integral i probabilitats geom`etriques.
La formula de Gauss-Bonnet en varietats. Tutors: Gil Solanes, Eduard Gallego
Un dels teoremes m´es importants en geometria diferencial ´es el teorema de Gauss-Bonnet que relaciona la geometria m`etrica de la varietat amb la seva topologia.
En aquest treball s’haur`a d’enunciar la versi´o que Chern va donar de la formula de Gauss-Bonnet. Per arribar a a aquest punt caldr`a passar pels fibrats, les connexions i les classes caracter´ınstiques.
F´ormula cinem`atica de Blaschke-Santal Tutors: Eduard Gallego, Gil Solanes, Agust`ı Revent´os
La f´ormula cinem`atica de Blaschke-Santal est`a relacionada amb la formula de Crofton que sn temes centrals de la geometria integral.
Hi ha diverses variants i an`alegs d’aquestes f´ormules, en part motivades per les aplicacions. En el treball shauran de presentar i provar les f´ormules cl`assiques i explicar els desenvolupaments recents al voltant delles.
Desenvolupament de software matem´atic en teoria de codis. Tutor: Merc´e Villanueva. Departament d’Enginyeria de la Informaci´o i de les Comunicacions. (M`axim 2 estudiants)
Descripci´o: En aquest projecte es pret´en dissenyar i implementar algunes funcions per a ser afegides en un llibreria de MAGMA sobre codis no lineals ja existent i en proc´es de desenvolupament amb la finalitat final de ser incorporada en la distribuci´o oficial de MAGMA.
Els codis q-aris no lineals no han estan tant estudiats com els codis lineals degut a la seva dificultat de representaci´o. Darrerament s’ha proposat una representaci´o basada en el kernel del codi que, en alguns casos, permet una bona representaci´o i manipulaci´o. L’objectiu del projecte ´es, aprofitant aquesta representaci´o, desenvolupar una llibreria de funcions en els sistema MAGMA per tal de manipular aquests codis de forma eficient.
MAGMA is a large, well-supported software package designed to solve computationally hard problems in algebra, number theory, geometry and combinatorics. It provides a mathematically rigorous environment for computing with algebraic, number-theoretic, combinatoric and geometric objects http://magma.maths.usyd.edu.au/magma/.
Actualment, les llibreries de MAGMA ofereixen els algorismes m´es eficients per treballar amb problemes de teoria de codificaci´o. Aquest software permet crear paquets d’usuari i bases de dades per a poder ser inclosos localment. MAGMA est´a escrit amb C i utilitza les funcionalitats d’altres llibreries de C. Tamb´e mencionar que MAGMA proporciona una gran quantitat de llibreries per teor´ıa de codis, per`o ´unicament considerant codis lineals. Des de fa uns anys, utilitzant algunes de les llibreries ja implementades en MAGMA, sest´a desenvolupant una nova llibreria que permeti treballar amb codis no lineals i estigui totalment integrada amb la llibreria per a codis lineals. L’objectiu principal del projecte ´es desenvolupar algunes noves funcions en aquesta llibreria per augmentar la seva funcionalitat.
Les funcions a implementar shan de desenvolupar seguint l’estil i requeriments de la llibreria on seran incloses. A m´es, sha de seguir la metodologia, realitzant test de proves i test d’integraci´o amb la llibreria actual. El projecte es desenvolupar´a dintre del Dept. d’Enginyeria de la Informaci´o i de les Comunicacions i utilitzar´a la infraestructura que disposa aquest departament. A l’alumne se li proporcionar´a les eines necess´aries (bibliografia, infraestructura b´asica i eines de desenvolupament) per poder completar el projecte dintre d’un semestre.
Teoremes d’extensi´o. Tutor: Mart´ın Prats
La funci´o caracter´ıstica d’un disc t´e norma L1 donada per l’`area del disc. Considerada en l’espai ambient, aquesta funci´o no ´es suau al creuar la frontera del disc. Si estenem la funci´o de manera constant a tot el pla, la funci resultant ´es infinitament diferenciable, per`o no
´es integrable.
L’objectiu del curs s estudiar operadors d’extensi´o en espais de Sobolev, `es a dir, formes d’estendre una funci´o definida en un cert domini a tot l’espai ambient, de manera que la norma de la funci´o resultant (i de les seves derivades) estigui controlada per la norma inicial.
Continguts: Espais de Sobolev Extensi´o per a dominis regulars Operadors d’extensi´o per a dominis amb v`ertexs (frontera Lipschitz) i fractals (uniformes).
Requisits: ´Es important que l’alumne hagi cursat l’optativa d’an`analisi real i funcional.
Bibliografia:
Evans, Lawrence C. ”Partial di?erential equations.” Graduate Studies in Mathematics 19 (1998).
Stein, Elias M. Singular integrals and differentiability properties of functions (PMS-30). Vol. 30. Princeton university press, 1970.
Jones, Peter W. ”Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces.” Acta Mathematica 147.1 (1981): 71-88.
The theory of spinors. Tutor: Roberto Rubio
Spinors can be understood by means of the Clifford algebra Cl(V ) of a quadratic vector space V . Indeed, by seeing how reflections by a hyperplane are expressed in terms of the Clifford algebra, we find the Spin group Spin(V ) ⊂ Cl(V )×, which is a double cover of the special orthogonal group SO(V ). The representation of the Clifford algebra on itself, by its algebra product, restricts to Spin(V ) and decomposes into irreducible representations, whose elements are called spinors.
The student is expected to expose her/his personal understanding of the definition of spinors and then focus on one or two aspects of the theory. Some, but not all, possibilities are: classification of Clifford algebras; pure spinors and maximally isotropic subspaces; Majorana, Dirac and Weyl spinors; spin geometry. The recommended references are:
- J. Figueroa-O’Farrill, Spin notes, available online on https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/Spin/. Chapters 1-3.
- D.J.H. Garling, Clifford Algebras: An Introduction. LMS Student Texts, 78. Cambridge University Press, 2011. Part Two.
- F.R. Harvey, Spinors and calibrations. Perspectives in Mathematics, 9. Academic Press Boston, 1990. Part Two.
Dirac structures and generalized geometry. Tutor: Roberto Rubio
Dirac structures and generalized geometry are new approaches to geometric structures. They have the ability to encompass previously known structures (presymplectic and Poisson in the case of Dirac, and symplectic and complex in the case of generalized complex), offer insights about them, and moreover give a suitable framework for some recent physical theories.
The student is expected to give a personal account of the basics of the theory and work on one aspect of her/his choice. Some options include generalized complex geometry, generalized metrics, or their relation with physics.
The main references are:
- H. Bursztyn, A brief introduction to Dirac manifolds, available on https://arxiv.org/abs/1112.5037 - M. Gualtieri Generalized Complex Geometry, PhD thesis, https://arxiv.org/abs/math/0401221 The course Topologia de Varietats is a requirement to take this project.
Exceptional Lie groups. Tutor: Roberto Rubio
The automorphisms and the orthogonal transformations of Rn are well-known groups since we studied linear algebra. These groups, together with the symplectic group, have been used since long ago and are called classical Lie groups. Around 1889, Killing tried to classify simple complex Lie algebras, a linear version of Lie groups. He realized there could exist several groups that were not known before. The work of Killing was finished by Cartan in 1894, who classified and give constructions of all the exceptional complex Lie groups G2, F4, E6, E7 and E8.
Real and complex numbers are not enough to define exceptional Lie groups. One needs to pass to quaternions and get to octonions, a kind of complex numbers with seven imaginary units. With octonions at hand, one considers certain algebra of 3 × 3 matrices with very special properties: the exceptional Jordan algebra. Exceptional Lie groups are then groups of linear transformations of vector spaces defined in terms of octonions or the exceptional Jordan algebra, possibly preserving some extra structure (which is not a pairing as in the classical groups, but a 3 or 4-form).
The student is expected to give a personal view on the Lie algebra of a group of matrices, octonions and the exceptional Jordan algebra.
This will allow her/him to define exceptional Lie groups and algebras and discuss a few of their properties.
- A.-W. Knapp. Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics, 140. Birkh¨auser Boston, 2002. Chapters 1-2.
- I. Yokota. Exceptional Lie groups, available online on https://arxiv.org/abs/0902.0431.
Representacions de grups finits. Tutor: Pere Ara
Aquest treball consisteix en un estudi de les representacions lineals dels grups finits. Les representacions lineals s´on una eina molt potent per entendre l’estructura d’un grup, i tenen moltes aplicacions. Si G ´es un grup i V ´es un espai vectorial de dimensi´o finita sobre un cos K, llavors una representaci´o de G sobre V ´es un morfisme de grups ρ : G → AutK(V ), o sigui, cada element del grup defineix una aplicaci´o lineal bijectiva ρ(g) sobre V , de forma que ρ(gh) = ρ(g) ◦ ρ(h) per g, h ∈ G. Prenent una base de V sobre K, aix`o ´es equivalent a estudiar els morfismes de grups ρ : G → GLn(K), on GLn(K) ´es el grup de matrius invertibles de mida n × n sobre K. L’objectiu del treball ´es arribar a demostrar, utilitzant la teoria de representacions, el Teorema de Burnside, que diu que tot grup d’ordre paqb, on p i q s´on primers diferents, ´es un grup resoluble. Una bona refer`encia per aquest treball ´es el llibre [1].
Bibliografia
[1] Benjamin Steinberg, Representation theory of finite groups. An introductory approach, Universitext, Springer, New York, 2012.
Una introducci´o als grups infinits. Tutor: Pere Ara
Aquest treball consisteix en una introducci´o als grups infinits a trav´es d’exemples de caire geom`etric, seguint la magn´ıfica refer`encia recent [1]. Consistir`a en l’estudi detallat d’una de les seg¨uents classes de grups: Els grups de Thompson, els grups auto-similars, el
“lamplighter” o els grups de Baumslag-Solitar. Per donar una idea, els grups de Thompson es defineixen a trav´es d’arbres binaris, o equivalentment a trav´es d’aplicacions lineals a tro¸cos definides en l’interval unitat i que tenen pendent de la forma 2k on k ´es enter. Els grups de Thompson T i V s´on grups simples (´es a dir, sense subgrups normals no-trivials), infinits, i definits per un nombre finit de generadors i relacions. Aquests van ser els primers grups coneguts amb aquestes propietats. D’altra banda, els grups auto-similars estan definits a partir de certs automorfismes d’un arbre binari infinit que actuen de forma recurrent (auto-similar) en les diferents branques de l’arbre. Existeixen exemples d’aquests grups amb propietats molt remarcables, com l’anomenat grup de Grigorchuk i tamb´e l’anomenat grup “lamplighter”.
Bibliografia
[1] Marianna C. Bonanome, Margaret H. Dean, Judith Putnam Dean, A sampling of remarkable groups. Thompson’s, self-similar, Lamplighter, and Baumslag-Solitar. Compact Textbooks in Mathematics. Birkhuser/Springer, Cham, 2018.
Algebres associades a grafs.` Tutor: Pere Ara
Un graf ´es una estructura combinat`oria b`asica, formada per un conjunt de vertexs i un conjunt d’arestes que connecten aquests vertexs.
Un graf s’anomena dirigit si cada aresta est`a dotada d’una direcci´o, de forma que podem dir que va d’un vertex v a un altra vertex w.
El treball consisteix en estudiar diferents `algebres sobre un cos K que es poden associar a un graf dirigit E. Entre aquestes `algebres figura l’anomenada `algebra de camins de E, PK(E), que t´e com a base el conjunt format per tots els camins dirigits que podem formar en el graf E. El producte de dos camins dirigits es defineix com la concatenaci´o dels camins dirigits, si aquests es poden concatenar, o 0 en cas contrari. En els darrers anys, s’est`a estudiant tamb´e una altra `algebra associada a E, l’anomenada `algebra de camins de Leavitt de E, denotada per LK(E). Aquesta `algebra representa una simetritzaci´o de l’`algebra de camins. Per exemple si An denota el graf
dirigit amb n vertexs v1, v2, . . . , vn i amb arestes e1, e2, . . . , en−1 tals que ei connecta vi amb vi+1, llavors l’`algebra de camins PK(An) ´es l’`algebra U Tn(K) de matrius triangulars superiors, de mida n × n. En canvi, l’`algebra de camins de Leavitt LK(E) ´es l’`algebra Mn(K) de totes les matrius de mida n × n sobre K. El treball consisteix en estudiar com diferents propietats del graf es reflexen en l’estructura algebraica de les `algebres associades. Una bona refer`encia ´es el llibre [1].
Bibliografia
[1] Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina, Leavitt path algebras, Lecture Notes in Mathematics, 2191. Springer, London, 2017.
Convergence/ equiconvergence of numeric series. Tutor: Sergei Tikhonov In various well-known tests for convergence/divergence of number series
∞
X
k=1
ak, (2)
with positive ak, monotonicity of the sequence of {ak} is the basic assumption. Such series are frequently called monotone series. As examples, we mention tests by Abel, Cauchy, de la Vallee Poussin, Dedekind, Dirichlet, du Bois Reymond, Ermakov, Leibniz, Maclaurin, Olivier, Sapogov, Schl¨omilch; several such tests were named after Abel and Cauchy.
Typical result: the Maclaurin-Cauchy integral test. Consider a non-negative monotone decreasing function f defined on [1, ∞). Then the series
∞
X
k=1
f (k) (3)
converges if and only if the integral
Z ∞ 1
f (t) dt (4)
is finite. In particular, if the integral diverges, then the series diverges as well.
Questions : how to relax monotonicity assumption in the Maclaurin-Cauchy test and similar problems?
Hardy’s inequality. Tutor: Sergei Tikhonov The following results are well known.
a). Let ak≥ 0, bk≥ 0,
n
P
k=1
ak = anγn. If 1 ≤ p < ∞, then
(∗)
∞
X
k=1
akX∞
n=k
bnp
≤ C
∞
X
k=1
ak(bkγk)p.
If 0 < p ≤ 1, then
(∗∗)
∞
X
k=1
akX∞
n=k
bnp
≥ C
∞
X
k=1
ak(bkγk)p.
b). Let ak≥ 0, bk≥ 0,
∞
P
k=n
ak= anβn. If 1 ≤ p < ∞, then
(∗)
∞
X
k=1
ak
Xk
n=1
bn
p
≤ C
∞
X
k=1
ak(bkβk)p.
If 0 < p ≤ 1, then
(∗∗)
∞
X
k=1
ak
Xk
n=1
bn
p
≥ C
∞
X
k=1
ak(bkβk)p.
Questions : is it possible to obtain analogues of (*) for 0 < p < 1 and of (**) for 1 ≤ p < ∞ under some additional conditions on ak ?
Convergence of the Fourier series. Tutor: Sergei Tikhonov
We first have to discuss integral operators. Integral transforms have their genesis in nineteenth century work of J. Fourier and O.
Heaviside, subsequently set into a general framework during the twentieth century. The fundamental idea is to represent a function f in terms of a transform F , using an integral transform pair, F (p) =R K(p, x)f (x)dx and f (x) = R L(x, p)F (p)dp. The functions K and L are kernels. O. Heaviside invented his operational calculus to solve differential equations, such as those arising in the theory of electrical transmission lines. The formalization of Heaviside’s work leads one to the Laplace transforms K(p, x) = e−px. One the most important integral transforms is the Fourier transform that represents functions as linear combinations of periodic functions, an idea pioneered by J. Fourier; here K(p, x) = e−ipx.
Fourier analysis began with studying the way general functions may be represented by sums of simpler trigonometric functions. It received its name after Joseph Fourier, who showed that representing a function by a trigonometric series greatly simplifies the study of heat propagation. Today, the subject of Fourier analysis encompasses a vast spectrum of mathematics. In the sciences and engineering, the process of decomposing a function into simpler pieces is often called Fourier analysis, while the operation of rebuilding the function from these pieces is known as Fourier synthesis. The decomposition process itself is the Fourier transform.
Questions : we are interested in convergence of Fourier series and integrals with certain restriction on considered functions.
Bibliografia:
D.D. Bonar and M.J. Khoury, Real Infnite Series, MAA, Washington, DC, 2006.
E. Li yand, S. Tikhonov, M. Zeltser, Extending tests for convergence of number series, Jour. Math. Anal. Appl. Vol. 377, 1 (2011), 194–206. [3]
A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1959.
Problema de Dirichlet i el lema de Weyl. Tutor: Joan Orobitg
Donada una funci´o cont´ınua a la vora d’un domini es tracta de trobar una funci´o harm‘onica a l’interior del domini i cont´ınua fins a la frontera que coincideixi amb la funci´o donada a la vora del domini. Una soluci es basa en el principi del m`axim per a funcions subharm`oniques (m`etode de Perron). Tamb´e considerarem la soluci mitjanant espais de Sobolev. A m´es de funcions harm`oniques (que es corresponen a funcions de laplaci`a nul), el problema de Dirichlet tamb´e es pot plantejar per a altres solucions d’equacions en derivades parcials. En la vessant hist`orica, veurem com en aquest context hi apareix el lema de Weyl i la desigualtat de Garding. Naturalment, la profunditat i l’abast dels resultats dependran dels interessos de qui realitzi el treball.
Zeros de polinomis al pla complex. Tutor: Joan Orobitg.
Des dels temps de Gauss hi ha hagut un inter`es constant en els problemes que se centren en la ubicaci´o dels zeros d’un polinomi. Els zeros d’un polinomi P(z) s´on funcions dels coeficients. Per tant un problema `es especificar regions, determinades per aquests coeficients, en les quals es trobin els zeros. Molt sovint al polinomi P(z) li podem associar un altre polinomi (freq¨uentment aquest ´es P’(z)), i sorgeix el problema de relacionar la ubicaci´o dels zeros del polinomi associat amb la ubicaci´o dels zeros de P(z). Pel que fa als m`etodes i eines
que pensem utilitzar hi ha els teoremes de Cauchy, Rouch´e i Hurwitz de zeros de funcions anal´ıtiques. Molts resultats impliquen, ja sigui en la seva demostraci´o o en la seu enunciat, conceptes geom`etrics i algebraics de car`acter elemental. Per exemple,
Sigui Q(z) un polinomi de grau 3 amb arrels z1, z2 i z3 que no siguin punts col·lineals del pla complex. Sigui T el triangle amb v`ertexs z1, z2 i z3. Hi ha una ´unica el·lipse inscrita a T i tangent als punts mitjos de cada costat. Els focus d’aquesta el·lipse s´on les arrels de Q’(z).
En aquest treball proposat hi ha un punt de partida clar, i el cam´ı a seguir dependr`a molt de la persona que el dugui a terme.
El problema del quadrat inscrit. Tutor: Joan Orobitg.
El problema del quadrat inscrit ´es un problema encara sense resoldre. La conjectura diu que tota corba tancada simple del pla cont´e sempre els 4 v`ertexs d’algun quadrat. Se sap que aix`o ´es cert per a corbes suaus a trossos i en altres casos especials. Naturalment, no es tracta pas de resoldre la conjectura, encara que sempre es pot intentar ! El treball consisteix en estudiar els casos coneguts, el m´es recent de Terence Tao quan la corba est`a formada per dues gr`afiques de funcions Lipschitz amb norma estrictament menor a 1, i tamb´e algunes variants (rectangles, triangles equil`aters, altres pol´ıgons).
Funcions univalents. Tutor: Juan Jes´us Donaire Funcions enteres. Tutor: Juan Jes´us Donaire Productes infinits. Tutor: Juan Jes´us Donaire
Les F´ormules de Schwarz-Christoffel per trobar representacions conformes sobre pol´ıgons i pol´ıgons generalitzats. Tutor: Juan Jes´us Donaire
Teoria dels m`oduls singulars (singular moduli). Tutor: Marc Masdeu.
Es molt famosa la seg¨´ uent “coincid`encia num`erica”:
eπ
√
163' 262537412640768743.99999999999925 . . . Sembla que una combinaci´o de quantitats transcendents (e i π) amb nombres algebraics (√
163) resulti en un nombre enter. De fet, el valor exacte del membre de l’esquerra no ´es enter (ni tan sols racional) per`o s’hi apropa molt!
L’objectiu del treball ´es el d’entendre d’on surt aquesta “coincid`encia”. Aix`o ens dur`a a estudiar funcions modulars i els seus valors en punts quadr`atics, que ´es el comen¸cament d’una teoria d’una enorme bellesa.
Bibliografia:
* Cox, D.A. “Primes of the form x2+ ny2”.
Construcci´o de funcions-L p-`adiques. Tutor: Marc Masdeu.
Considerem la funci´o zeta de Riemann, que es defineix com ζ(s) =P
n≥1n−s per s > 1. Fixem tamb´e un primer p. El treball consistir`a en entendre qu`e vol dir que aquesta funci´o (que pren valors complexos, en general) es pugui “interpolar p-`adicament”. Aquest proc´es d´ona lloc a una “versi´o p-`adica”, posem ζp(s), on ara tant la variable s com els valors que pr`en la funci´o s´on nombres p-`adics. De l’exist`encia d’aquesta versi´o p-`adica se’n poden extreure propietats importants de la funci´o complexa ζ(s) original
Bibliografia:
* Koblitz, N. “p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions”.
* Iwasawa, K. “Lectures on p-adic L-functions”.
Formulaci´o de problemes de valor inicial amb condicions de frontera no lineals i aplicacions. Tutor: `Angel Calsina.
El n´umero reproductiu b`asic en models de din`amica de poblacions i en models d’epidemiologia. Tutor: `Angel Calsina.
Valoraci´o num`erica de derivats financers sobre actius amb salts. Tutor: `Angel Calsina.
Solucions conjuntistes de l’equaci´o de Yang-Baxter. Tutor: Ferran Ced´o
Grafs amb llarga s´ıstole. Tutor: Florent Balacheff
L’objectiu d’aquest TFG ser`a d’entendre diferents construccions de grafs amb llarga s´ıstole. La s´ıstole ´es pot pensar com el temps m´ınim amb el qual un cam´ı del graf torna al seu punt inicial. Per tant els grafs amb llarg ´ı modelitzan xarxas on la informaci´o viatja el m´es efica¸cment perqu`e el temps de retorn d’una informaci´o ´es maximal en relaci´o amb la mida del graf. En una segona part, estudiarem aplicacions d’aquestes construccions a la geometria Riemanniana.
