Modelos de distribuciones de Probabilidad

(1)

Tema 5

Modelos de distribuciones de Probabilidad

Variable aleatoria unidimensional

Dado un espacio de Probabilidad (E, F, P), una variable

aleatoria X es una aplicación del espacio muestral E al conjunto de los números reales R, tal que la imagen inversa de cada

intervalo de R es un suceso.

X : E R

s X(s)

Por tanto, para cualquier número real x, el conjunto S de sucesos elementales tales que X(s)<x constituye un suceso.

F x

s X E

s

S = { ∈ ; ( ) ≤ } ∈

• Tipos de variable aleatorias

•Discretas: Si los números asignados a los sucesos elementales de E constituyen puntos aislados.

•Continuas: Los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de

ciertos intervalos

(2)

Tema 5

Modelos de distribuciones de Probabilidad

Distribución de probabilidad de una Variable aleatoria

Variable aleatoria discreta

Sea una variable aleatoria X que toma un conjunto de valores x1, x2, …, xk.

Se define la función de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) i=1, …, k, donde pi=P(X=xi) y la suma de las probabilidades es 1

∑

= k

=

i

pi

1

1 •Podemos expresarla en una tabla, de modo similar a las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas discretas.

•La probabilidad pi=P(X=xi) es la probabilidad del suceso S formado por los

sucesos elementales a los que asignamos mediante X el número real xi

(3)

Tema 5:Modelos de distribuciones de Probabilidad

Variable aleatoria continua

Sea una variable aleatoria X continua. La función de densidad de X , que notaremos con f(x), cumple la siguientes propiedades:

1) f(x) es siempre mayor o igual a cero

2) Dado un intervalo (a, b), la probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo es igual al área que encierra la curva en dicho

intervalo.

3) El área total que encierra la curva vale 1

f(x) f(x)

a b

P(a<X<b

Área=1

X X

Dado un intervalo infinitesimal (x-dx/2, x+dx/2) de amplitud dx, f(x) es el límite del cociente entre la probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo y la amplitud del mismo

dx x dx x dx

P x

f

dx

2 ) 2 ,

( )

(

lim

0

+

= −

→

(4)

Tema 5: Modelos de distribuciones de Probabilidad

Función de distribución de una variable aleatoria

Dada una variable aleatoria X, ligada al espacio de probabilidad (E, F, P), la función de distribución F es una aplicación del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales:

F : R R

x F(x)=P(X<x)

A partir del conocimiento de la función de distribución, F(x), podemos obtener la probabilidad de que la variable esté

comprendida en cualquier intervalo.

Propiedades de la Función de distribución:

F(a) - F(b) b)

X P(a 3.

) F(x' F(x)

x' x que tal , x' x, decir, Es

e.

decrecient no

es F . 2

1 ) (

; 0 ) ( . 1

=

≤

<

≤

⇒

<

∀

= +∞

=

−∞ F

F

(5)

Tema 5: Modelos de distribuciones de Probabilidad

Función de distribución de una variable aleatoria discreta y continua

Dada una variable aleatoria discreta

∑

≤ ≤

=

≤

=

x xi x

xi

pi xi

X P x

F ( ) ( ) ( )

Dada una variable aleatoria continua X

∫

−∞

=

≤

= P X x

^x

f t dt x

F ( ) ( ) ( )

Es el área que encierra la función de densidad en el intervalo desde menos infinito a x.

F(x)

x

(6)

Tema 5:Modelos de distribuciones de Probabilidad

Ejemplos de Variable aleatoria unidimensional

1) Sea el experimento lanzar un dado. Se define la variable X=1 si el número es impar y X=0 si es par

Función de probabilidad X

X : E R

X P(X=x)

0 1/2

1 1/2

1 1

6 / 3 }) 6 , 4 , 2 ({

)

(Suceso par = P = P

6 / 3 }) 5 , 3 , 1 ({

)

(Sucesoimpar = P = P

2 0

3 1

…

0 6

2) Sea el experimento seleccionar un trabajador al azar de

una empresa determinada, donde el 20% no tienen hijos, el

30% tienen 1, 30% tienen 2 y el resto tiene 3. Se define la

variable Y=número de hijos del trabajador

(7)

Tema 5 Modelos de distribuciones de Probabilidad

Función de probabilidad de Y

R Y : E

1

^Y ^P(Y=y)

0 0,2

1 0,3

2 0,3

3 0,2

0 2

3

100 / 20 ) 1 (SucesoA = P

100 / 20 ) 4 (Suceso A = P

1 … 2

6

Trab. sin hijos Trab. 1 hijo

Trab. 2 hijos

Trab. 3 hijos

A1

A2 A3

A4

100 / 30 ) 3 (SucesoA = P

100 / 30 ) 2 (Suceso A = P

3 1)Función de distribución de X 2)Función de distribución de Y

Y F(y)

0 0,2

1 0,5

2 0,8

3 1

X F(x)

0 1/2

1 1

(8)

Esperanza de una variable aleatoria X:

∑

=

⋅

= ^k

i

pi xi X

E

1

)

Variable discreta (

Variable continua ^+∞∫

∞

−

⋅

= x f x dx X

E( ) ( )

Varianza de una variable aleatoria X:

+∞

∫

∞

−

= x E X f x dx

X

V( ) ( ( ))² ( )

2 2

2 1

2 ( ) ( ) ( )

)) ( ( )

(X xi E X pi xi pi E X E X E X

V

k

i k

i

−

=

−

=

⋅

−

=

∑ ∑

=

Variable discreta Variable continua

Ejemplos:

∑

=

⋅

= ^k

i

pi xi X

E

1

) X P(X=x) (

0 1/2

1 1/2

2 / 1 2 / 1 1 2 / 1 0 )

(X = ⋅ + ⋅ = E

25 , 0 5 , 0 ) 2 / 1 1 2 / 1 0 ( ) ( ) ( )

(X =E X² −E X ² = ²⋅ + ²⋅ − ² = V

(9)

Ejemplos:

∑

=

⋅

=

^k

i

pi xi X

E

1

)

Y P(Y=y)

(

0 0,2

1 0,3

2 0,3

3 0,2

5 , 1 2 , 0 3 3 , 0 2 3 , 0 1 2 , 0 0 )

( X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

E

2 2

2

) ( ) ( 0 0 , 2 1 0 , 3 2 0 , 3 3 0 , 2 ) 1 , 5

( )

( X = E X − E X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −

V

Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO BERNOULLI

Se aplica este modelo a una situación derivada de un experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso. Se define la variable aleatoria X =1 si tiene lugar un éxito y X=0, si es un fracaso.

p X

E ( ) =

X P(X=x)

0 q

1 p

Función de probabilidad

q p X

V( ) = ⋅

(10)

Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas

MODELO BERNOULLI (continúa)

∑

=

⋅

= ^k

i

pi xi X

E

1

)

( _E₍_X₎₌₀_⋅_q₊₁_⋅_p₌ _p

pq p p p p p p q

X E X E X

V( )= ( ²)− ( )² =(0²⋅ +1²⋅ )− ² = − ² = (1− )=

Ejemplo

La proporción de parados en una población es de 0,2. Se selecciona un individuo al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria

Y =1 si está en paro, e Y=0, si no lo está.

Determina le media y varianza de Y.

E(Y)=0,2; V(Y)=0,16

(11)

MODELO BINOMIAL

Se aplica este modelo a una situación derivada de repetir n veces una prueba o experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso.

Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso.

La probabilidad de éxito permanece constante en las n repeticiones o realizaciones

Las pruebas son independientes. El resultado de cualquiera de ellas no afecta a los resultados de las otras.

Se define la variable aleatoria

X =número de éxitos entre las n repeticiones del experimento aleatorio.

La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n. La función de probabilidad viene dada por

n ..., 2, 1, 0, k )! con

(

! ) !

( =

= −

= p^kqⁿ^−k

k n k k n X P

np X

E ( ) =

_V₍_X₎ ₌ _n_⋅ _p_⋅_q

Función de probabilidad

Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo binomial de parámetros n y p

) , ( n p B

X →

(12)

EJEMPLO MODELO BINOMIAL

La proporción de parados en una población es de 0,2. Se seleccionan 4 individuos al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria

Y=número de parados entre los 4 seleccionados a) Determina la media y varianza de Y.

b) P(ninguno esté en paro) c) P(al menos 2 parados)

n ..., 2, 1, 0, k con )

2 , 0 1 ( 2 , )!0 (

! ) !

( − =

= −

= ^k ⁿ^−k

k n k k n Y

Función de probabilidad P )

2 , 0 , 4 ( B Y →

8 , 0 2 , 0 4 )

( X = np = ⋅ =

E

^V⁽^X⁾ ⁼ ⁿ^⋅ ^p^⋅^q ⁼ ⁴^⋅⁰^,²^⋅⁰^,⁸ ⁼ ⁰^,⁶⁴

a)

4096 , 0 8 , 0 8 , 0 2 , )!0 0 4 (

! 0

! ) 4

0

( ⁰ ⁴ = ⁴ =

= −

= Y

b)

P

[ ⁽ ⁰ ⁾ ⁽ ¹ ⁾ ]

1 ) 2 (

1 ) 2

( Y ≥ = − P Y < = − P Y = + P Y = c) P

4096 , 0 8 , 0 2 ,

!0 3

! 1

! 8 4 , 0 2 , )!0 1 4 (

! 1

! ) 4

1

( ¹ ³ = ¹ ³=

= −

= Y P

[ ⁽ ⁰ ⁾ ⁽ ¹ ⁾ ] ¹ ⁰ ^, ⁴⁰⁹⁶ ⁰ ^, ⁴⁰⁹⁶ ⁰ ^, ¹⁸⁰⁸

1 ) 2

( Y ≥ = − P Y = + P Y = = − − =

P

(13)

MODELO POISSON

Se aplica este modelo a una situación derivada de observar sobre un espacio continuo

(tiempo, longitud, área, etc.) el número de veces que ocurre un suceso determinado (éxito).

Por ejemplo, número de accidentes laborales ocurridos en un año en una empresa.

La probabilidad del suceso éxito permanece constante en todo el espacio continuo.

Dadas dos partes disjuntas del espacio continuo, el número de éxitos ocurridos en una de ellas es independiente del número ocurrido en la otra.

Se define la variable aleatoria

X =número de éxitos ocurridos por unidad de espacio continuo.

La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n,…

La función de probabilidad viene dada por

...

n, ..., 2, 1, 0, con x ) !

( = = ⁻ =

x x e

X P

λ

x

Función de probabilidad λ

continuo espacio

de unidad por

éxitos de

medio º

n )

( X = λ =

Donde

E

λ

= ) ( X V

Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo Poisson de parámetro lambda:

)

( λ

P

X →

(14)

EJEMPLO MODELO POISSON

El número de clientes nuevos diario que llega a una asesoría laboral sigue en modelo de Poisson. Se sabe que el número medio de clientes nuevos diario es de 1,3

Determina

a) Probabilidad de que en un día dado no llegue ninguno b) Probabilidad de que lleguen al menos 2.

...

n, ..., 2, 1, 0, con x

! 3 , ) 1

(

3 ,

1 =

=

= ⁻

x x e

X P Función de probabilidad x

) 3 , 1 ( P X →

Donde e=

2,718281828

2725 ,

! 0 0

3 , 1 0) e

P(X ¹^,³

0

-1,3 = =

=

= e⁻

a)

[

( 0) ( 1)

]

1 ) 1 (

1 ) 2 (

1 ) 2

(X ≥ = −P X < = −P X ≤ = − P X = + P X =

b)

P

3543 , 0 3 ,

! 1 1

3 , 1 1) e

P(X ¹^,³

1

-1,3 = =

=

= e⁻

3543 , 0 2725 , 0 1 ) 2

(X ≥ = − −

P

(15)

Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas

MODELO NORMAL

Este modelo es uno de los más utilizados en la estadística clásica. Presenta una función de densidad simétrica, con forma de campara (campana de Gauss). En el centro de la

distribución coinciden la media, mediana y moda. Notaremos con las letras mu y sigma la

media y desviación típica, respectivamente. Estos dos parámetros caracterizan a la distribución

) , ( µ σ N

X →

2

2 1

2 ) 1

(

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ −

=

^σ

µ

σ π

x

e x

f

Función de densidad

µ

(16)

MODELO NORMAL (continúa)

Existen tablas de la función de distribución de la variable normal estadarizada, Z, que permiten determinar las probabilidades en un modelo normal cualquiera X, sin más que tener en cuenta la siguiente propiedad:

) 1 , 0 ( X N

Z = − → σ

) µ , ( µ σ N

X →

La probabilidad de que la variable X tome valores en un intervalo cualquiera (a, b) es igual a la probabilidad de que la variable estandarizada tome valores en el intervalo estandarizado.

) (

)

( b P z_a Z z_b

a Z b P

X P a

b X a

P − = < <

<

− <

− =

− <

=

<

σ

µ σ

µ

µ X

a b

Estandarización o tipificación

za 0 zb

Z

(17)

EJEMPLO DE MODELO NORMAL

El consumo energético anual por hogar en una ciudad sigue un modelo normal de media 1200 y desviación típica 400 €.

a) Probabilidad de que seleccionado al azar un hogar, tenga un consumo superior a 2000.

b) ¿Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800€?

c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?

0228 , 0 9772 , 0 1 ) 2 (

1 ) 2 (

400 ) 1200 2000

400 ( 1200 )

2000

( > = X − > − = P Z > = −P Z < = − =

P X

P

) 400 , 1200 (

N

X → ( 0 , 1 )

400 1200 N

Z X − →

= a)

0 2

X

2000

0,0228

0,0228 1200

Estandarización o tipificación

Z

(18)

EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa)

b) ¿Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800€?

) 1 , 0 400 (

1200 N Z = X − → )

400 , 1200 (

N X →

1587 ,

0 ) 1 (

400 ) 1200 ( 800

) 800

( − = < − =

<

=

< P Z P Z

X b) P

1200

X

Z

0 800

-1 0,1587

0,1587

Estandarización o tipificación

c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?

(19)

EJEMPLO DE MODELO NORMAL (continúa)

c) ¿A partir de qué valor está el 10% de los que más consumen?

) 1 , 0 400 (

1200 N Z = X − → )

400 , 1200 (

N X →

28 , 1 90 )

90 (

400 ) 1200 ( 90

) 90 (

9 ,

0 = < _X = < P ^X − =P Z < P _Z ⇒P _Z = Z

P P

X

c)

P

1200

X

Z

P90

0 P90 0,1

0,1 0,9

0,9

1200 400

90 400 90

1200

90_Z = P90^X − ⇒P _X =P _Z ⋅ + P

1712 1200

400 28 , 1

90_X = ⋅ + =

P

(20)

Aproximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas

Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad Si el parámetro n de una distribución binomial es grande y p no presenta valores muy extremos (fuera del intervalo de extremos 0,1 y 0,9) la distribución del

modelo de Binomial se puede aproximar a la de un modelo normal:

( ^np ^npq )

N p

n

p n B X

=

⎯

⎯ →

⎪ ⎯

⎭

⎪ ⎬

⎫

<

>

→

σ µ , 9

, 0 1

, 0

30 ) , (

aproxima se

) , ( n p B

X →

Aproximación

) ,

( np npq N

X →

Esta estrategia de aproximación es útil para simplificar los cálculos en aquellos casos que no se dispone de tablas de distribución binomial para valores altos de n

(21)

Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad Observa que para aproximar la variable discreta a la continua hemos de asignar al suceso constituido por un punto (X=k), todos aquellos valores que están más próximos a k, es decir, el suceso formado por el intervalo (k-0,5; k+0,5)

) , ( n p B

X →

0,5 0,5

k-1 k k+1

) 7 , 0 3 , 0 50 ,

3 , 0 50

( ⋅ ⋅ ⋅

→ N X

Ejemplo:

En una variable X que sigue un modelo B(50,0,3) la P(X=7) se aproxima a P(6,5 < X < 7,5)

en una normal

(22)

Ejemplo: Aproximación del modelo Binomial al modelo Normal

Se ha seleccionado una muestra de 300 trabajadores de una población grande.

La probabilidad de pertenecer a un sindicato A es 0,25.

a)Determina la probabilidad de que en la muestra seleccionada, haya más 100 afiliados al sindicato.

b)P(más de 70 y menos de 77)

Aproximación )

25 , 0 , 300 ( B

X → X → B ( 75 , 7 , 5 )

0 ) 4 , 3 (

1 5 )

, 7

75 5

, ( 100

1 ) 5 , 100 (

1 ) 100 (

1 ) 100

( − = − < =

≤

−

=

≤

−

≈

≤

−

=

> P X P X P Z P Z

X P

Normal Binomial

Binomial

a)

b)

) 2 , 0 6

, 0 ( 5 )

, 7

75 5 , 76 5

, 7

75 5 , (70 )

5 , 76 5

, 70 ( ) 76 71

( ) 77 70

( < X < = P ≤ X ≤ ≈ P ≤ X ≤ = P − ≤ Z ≤ − = P − ≤ Z <

P

Normal Binomial

Binomial

305 , 0 2743 , 0 5793 , 0 ) 6 , 0 (

) 2 , 0 (

) 2 , 0 6

, 0

(− ≤ ≤ = ≤ − ≤− = − =

=P Z P Z P Z

Modelos de distribuciones de Probabilidad

Tema 5