VECTORES Y RECTAS

(1)

VECTORES EN EL

PLANO

VECTORES EN EL

(2)

2

¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra?

Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad de medida.

Magnitudes escalares y

vectoriales

Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su

intensidad, necesitamos su dirección y su sentido.

Estamos ante dos tipos de magnitudes:

• Las magnitudes escalares, para cuya determinación se necesita un número que exprese su medida.

(3)

• VECTOR FIJO

• VECTORES EQUIPOLENTES

• COMPONENTES DE UN VECTOR

• VECTOR LIBRE

• SUMA DE VECTORES LIBRES

• PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

(4)

4 • Llamaremos vector fijo de origen A y

extremo B, al segmento orientado que va de A a B. Lo indicaremos con

• Llamaremos vector fijo de origen A y

extremo B, al segmento orientado que va de A a B. Lo indicaremos con

Vectores en el plano

AB

A

B

π

• Llamaremos

módulo del vector

a la longitud del segmento AB.

• Su

dirección

será la de la recta determinada por los puntos A y B.

• Su

sentido

es el que va de A a B.

• Diremos que dos vectores son

equipolentes (equivalentes) si tienen el mismo módulo dirección y sentido

• Diremos que dos vectores son

(5)

Llamamos

COMPONENTES

de

un vector al par de números

reales

)

v

,

(v

v



₁ ₂

Componentes de un vector

)

a

b

,

a

(b

)

v

,

(v

AB



₁ ₂



₁



₁ ₂



₂

Dado el vector fijo , hallamos sus componentes restando las

coordenadas del extremo menos las del origen

AB

A =(a₁,a₂)

.

B =(b₁,b₂)

.

v₁ =(b₁ - a₁)

v₂ =(b₂ – a₂)

(6)

6

Módulo de un vector

2 2 2

1

v





Dado el vector con origen en A(a₁,a₂) y extremo en B (b₁,b₂), su módulo es la longitud del segmento AB (o del BA):

B

b₂

b₁

A

a₁ a₂

b₁-a₁

b₂-a₂

Basta aplicar el Teorema de Pitágoras:

Por ejemplo, el módulo siendo A(-3,8) y B(3,5):

(7)

• Si dos vectores fijos son

equipolentes, al unir sus orígenes y sus extremos se forma un

paralelogramo

CD AB 

Vectores libres

B A

• Fijado un vector AB y un punto C, existe un vector

equipolente a AB con origen en C

C

D

Se lee: “El vector AB es equipolente al CD

Llamaremos vector libre al

conjunto de vectores

equipolentes (equivalentes)

a uno dado

Llamaremos

vector libre

al

conjunto de vectores

equipolentes (equivalentes)

a uno dado

B A

C

(8)

8

Vectores libres del plano

w

u

v

El vector libre u es el

_{conjunto de vectores}

equipolentes

(equivalentes) a uno dado.

Análogamente v, w,…

El

vector libre

u es el

conjunto de vectores

equipolentes

(equivalentes) a uno dado.

Análogamente v, w,…

Todos los vectores

equipolentes a uno dado tienen

las mismas componentes.

(9)

Vector de posición de un

punto

De todos los vectores equipolentes a uno dado

(representantes del mismo vector libre)

el más fácil de representar es aquel que tiene origen en el

origen de coordenadas, punto O(0,0)

Ejemplos

Las componentes del vector

coinciden con las coordenadas

del punto que es su extremo.



3 ,4



u









5 ,

-

2 

v



 _

u



(10)

10

Suma de vectores

libres

u

v

u

v

_w

w

La suma de dos vectores libres es otro vector. Decimos que la suma de vectores libres es una operación interna:

2

u

v

V

v

,

u









Podemos emplear también la ley del paralelogramo:

- Fijado O, construimos un vector OA representante de u y OC de v. Siendo éstos dos lados consecutivos de un

paralelogramo, lo completamos y el vector OB será el vector suma

O A

B

O A

B C

Para sumar dos vectores:

- Fijado un punto O del plano, construimos un vector OA que sea representante de u ; después AB equivalente al vector v . El vector OB se llama vector suma

(11)

Propiedades de la suma de

vectores

u

0 u

V

u

V

0 

₂





₂







 

u v w u



v w



V w v

u      

 , , ₂

GEOGEBRA

 La suma de dos vectores libres es operación interna:

2

u

v

V

v

,

u









 Existe elemento neutro:

La suma de vectores tiene las siguientes propiedades

 Es asociativa:

 Existe elemento opuesto: uV₂ uV₂ u

 

u  0

 

0,0 0

 _{Es el vector nulo. Su representación es}

cualquier punto del plano



u

₁

,

u

₂



u





 El vector opuesto de u tiene la misma _{dirección y módulo que u pero sentido} contrario

(12)

12

Propiedades conmutativa y

asociativa de la suma

u

v

u

v

u



w

v

u

v

u







v

u



w

)

w v ( u

w ) v u (

 



v



w



u



v





w



u





v



w



Propiedad asociativa:

Propiedad conmutativa:

(13)

Suma

y

_y

resta

_resta

de

_de

vectores

u

v

Podemos emplear también la ley del paralelogramo:

-El vector OB (diagonal del paralelogramo) es el vector suma u+v, y

-El vector CA (la otra diagonal) es el vector resta u – v (vector que va del extremo de v al extremo de u, en este orden)

-NOTA: El vector v-u es el opuesto u-v (vector que va del extremo de u al extremo de v, en este orden)

v



 

v

u

v

u









v



u



v

 

v

u





La diferencia entre los vectores

u y v es igual a la suma de u

con el opuesto de v

(14)

14

Suma de vectores

en función de sus componentes

Sean

Si los vectores son:

u

w



w u

(2,2)

w



w

u



w u

Para sumarlos gráficamente

construimos el paralelogramo

(15)

Resta de vectores

en función de sus componentes

Sean

Si los vectores son:

u

w



w u

(2,2)

w



w u



w

-)

,-w

(-w

w



₁ ₂



Como

La resta es la suma del opuesto:

w

u



(16)

16

2

R

u

V

u















El producto de un vector u por un escalar λ es otro vector que tiene la misma dirección que u, igual sentido u opuesto según sea λ positivo o negativo, y cuyo módulo es el producto del módulo de u por el valor absoluto de λ

Producto de un vector

por un escalar

u 3

u

2 u

2

3 u

El producto de un vector por un escalar

es otro vector.

u u 0 si u . sent opuesto 0 si u sentido u sentido u dirección u dirección                

u



u

2

5 

(17)

Para multiplicar un vector por un número real, se

multiplica el número real por cada componente del vector

Producto de un vector por un escalar

2

λ

R

λ

u

V

u









Sea

Ejemplo

u



Si

VECTOR OPUESTO

(18)

18

Combinación lineal

de vectores

Cualquier vector w se puede

poner como combinación

lineal de dos vectores

u

,

v

no nulos y no paralelos.

Existen dos números λ y µ,

tales que w=

λ u + µ v

Cualquier vector

w

se puede

poner como combinación

lineal de dos vectores

u

,

v

no nulos y no paralelos.

Existen dos números

λ

y

µ,

tales que

w=

λ u + µ v

u

_v

u



v

u







v



Dados dos vectores

u

,

v

y

dos números λ y µ, el vector

λ u + µ v

se dice que es una

combinación lineal

de

u

y

v

Dados dos vectores

u

,

v

y

dos números

λ

y

µ, el vector

λ u + µ v

se dice que es una

combinación lineal

de

u

y

v

u



v

(19)

Combinación lineal de vectores

Sean los vectores

Definimos un tercer vector w como combinación

lineal de u y v:

Ejemplo:

u

v

(20)

20

Combinación lineal de vectores

Otro ejemplo:

Con los mismos vectores

u

v

u

2 w

v

(21)

Teoría y ejercicios:

http://personales.unican.es/gonzaleof/#

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm

Maneja vectores:

http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html

Hoja de problemas con soluciones:

(22)

22

Propiedades de la

dependencia lineal.

Base del plano

v

 

v w es ligado v w lo quequieredecirquetienen lamisma dirección S

Si  ,  

- Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección.

- Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre.

v

w





v

_w

_

_

_v

- En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente

independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S

- En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente

independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S

w

1

u

2

u

1

u



2

u





u

1

u

2



S



,

Este sistema S libre se llama BASE

del plano y los escalares que sirven para formar las combinaciones

lineales son las componentes de los vectores: w = ( λ, μ )

2 1

u

(23)

Bases del

plano

BASE

1

u

2

u

Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano. Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base.

1

u

2

u

BASE ORTOGONAL:

1

u

2

u

BASE ORTONORMAL:



u

1

u

2



B





u

₁

,

u

₂



(24)

24

Bases del plano

BASE

1

u

2

u

Un vector tiene distintas componentes si cambiamos la base

1

u

2

u

BASE ORTOGONAL:

1

u

2

u

BASE ORTONORMAL:



u

1

u

2



B





u

₁

,

u

₂



B



,

Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base

1

u

2

u

1

u

2

u

1

u

2

u

u(1,1)



u(1'2,0'9)



_u(2,0'6)



(25)

Vectores linealmente dependientes

Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

(26)

26

EL PLANO AFÍN

• TRES PUNTOS ALINEADOS

• PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

• SIMÉTRICO DE UN PUNTO

(27)

Condición para que tres puntos

estén alineados

PR



 

PQ



Tres puntos P(p₁,p₂), Q(q₁,q₂) y R(r₁,r₂)

están alineados si: P

Q

R



r1 p ,r1 2 p2



 



q1 p ,q1 2 p2





r

1



p ,r

1 2



p

2



 



q

1



p ,

1

 



q

2



p

2











1 1 1 1

2 2 2 2

r

p

q

p

r

p

q

p





 



_





 



_

1 1

r



p



  



R _P

Si dos vectores son

linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

Si dos vectores son

linealmente dependientes,

(28)

28

Punto medio de un segmento



q

1



p ,q

1 2



p

2





2 q



1



x,q

2



y



Si M(x,y) es el punto medio de dos P(p₁,p₂) y Q(q₁,q₂):

M

P

Q









1 1 1

2 2 2

q

p

2 q

x

q

p

2 q

y









_







_{ }

1 1 1

2 2 2

q

p

2q

2x

q

p

2q

2y

















_

1 1 1

2 2 2

2x 2q

q

p

2y 2q

q

p















_{ }

1 1 2 2

q

p

x

2 q

p

y

2 





_





_





1 1 2 2

q

p q

p

M

(x,y)

,

2

2 









_{ }

_





M(x,y) es el punto medio

de P(p₁,p₂) y Q(q₁,q₂):

Por análogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales

 

(29)

Simétrico

de un punto respecto a

_{de un punto respecto a}

otro





1 2

x p y p

q ,q ,

2 2

 

 

 _ _

PP '  2PQ



x p ,y p 1  2



 2 q



1p ,q1 2 p2



Para hallar el simétrico P’(x,y) de un

punto P(p₁,p₂) respecto a Q(q₁,q₂): _P

Q

P’









1 1 1

2 2 2

x p

2 q

p

y p

2 q

p









_









_

1 1 1

2 2 2

x 2q

2p

p

y 2q

2p

p















_{ }

O bien:

Q es el punto medio de PP’:

1 1 2 2 x p q 2 y p q 2    _   _   1 1 2 2

2q x p 2q y p

  

   

x 2q p  1 1

2 2

x 2q

p

y 2q

p









(30)

30

Ecuaciones de la recta

• ECUACIÓN VECTORIAL

• ECUACIONES PARAMÉTRICAS

• ECUACIÓN CONTÍNUA

• ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O

CARTESIANA

• ECUACIÓN EXPLÍCITA

(31)

Ecuaciones de la recta(1)

Para determinar una recta r necesitamos:

• Un punto de la recta y una dirección

• Dos puntos de la recta

A

v

r

A

(32)

32

Ecuación vectorial de la recta

O

X(x,y)

v

A(a₁,a₂)

r

Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector direccional de la recta)

a

_x

v

a

x







  

x

,

y



a

₁

,

a

₂

 





v

₁

,

v

₂



  

x

,

y



a

₁

,

a

₂

 





v

₁

,

v

₂



Sea A el punto de

coordenadas A(a₁,a₂) y v un vector de componentes (v₁,v₂)

Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta ECUACIÓN

VECTORIAL DE LA RECTA

OX OA AX

  





(33)

Ecuaciones de la recta

r que pasa por el

punto

A(a

₁

,a

₂

)

y cuyo vector direccional es

v=(v

₁

,v

₂

)



x,y

 

 a₁,a₂



 



v₁,v₂





x,y

 

 a₁,a₂



 



v₁,v₂





x,y

 

 a ,a₁ ₂

 

 v , v₁  ₂





x, y

 

 a₁  v ,a₁ ₂  v₂



      _{  }

1 1 2 2

x a v y a v

      _{  }

1 1

2 2

x a v

y a v

       _    1 1 2 2 x a v y a v





1 2 1 2

x a

y a

v





1 2

x a

y a

v

2 v  a

Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar:

Sumando:

Igualando componentes:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Despejando el parámetro e igualando:

ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA

(34)

34

Ecuaciones de la recta

r que pasa por el

punto

A(2,-3)

y cuyo vector direccional es

v=(5,-1)



x,y

 

 2, 3

 

 5 , 





x,y

 

 2 5 , 3    



x 2 5 y 3

       

x 2 5

y 3         x 2 5 y 3 1     _      _  

x 2

y 3

5

1 







x 2

y 3

5

1 







x 5y 2 15 0

    

x 5y 13 0





x 5y 13 0





Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar:

Sumando:

Igualando componentes:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Despejando el parámetro e igualando:

ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA

Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:

Tenemos: _{ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA}

(35)

Ecuaciones de la recta

r que pasa por el

punto

A(a

₁

,a

₂

)

y cuyo vector direccional es

v=(v

₁

,v

₂

)



x,y

 

 a₁,a₂



 



v₁,v₂





x,y

 

 a₁,a₂



 



v₁,v₂



      _{  }

1 1 2 2

x a v y a v

      _{  }

1 1

2 2

x a v

y a v





1 2

x a

y a

v





1 2

x a

y a

v

ax by c 0



 

ax by c 0



 

Ecuación vectorial :

Ecuaciones paramétricas :

Ecuación contínua :

(36)

36

Ecuaciones de la recta que pasa por

dos puntos.

Ecuación de

r que pasa por los puntos

A(a

₁

,a

₂

)

y

B(b

₁

,b

₂

)





1 2

x a

y a

v

Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r:

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Su vector direccional puede ser





r 1 1 2 2

v



AB



b



a ,b



a

 

1 2

1 1 2 2

x a

y a

b

a

b

a







1 2

1 1 2 2

x a

y a

b

a

b

a







A(a₁,a₂)

B(b₁,b₂) r

A(a₁,a₂) B(b₁,b₂)

P(x,y)

(37)

CONDICIÓN DE PARALELISMO

ENTRE RECTAS

r

s v_r

v_s

Si dos rectas r y s son paralelas, también lo son sus vectores direccionales:

r s

r // s



v // v

 



v



_r

 

v



_s



Sean v_ry v_s los vectores direccionales de dos rectas r y s paralelas.

(Sus componentes serán proporcionales)





r r1 r2 v  v ,v





s s1 s2 v  v ,v



v ,v

r1 r2





v ,v

s1 s2





 





 



r1 s1

r1 r 2 s1 s2

r2 s2

v

v ,v

v , v

v

 





 



_{ }

 



r1 r 2

s1 s2

v

(38)

38 r s v_r v_s r s

r // s



v // v

 



Sean dos rectas r y s dadas de diferentes formas:





r r1 r 2 v  v ,v





s s1 s2 v  v ,v



CONDICIÓN DE PARALELISMO

ENTRE RECTAS

Serán paralelas si:

E

C

U

A

C

I

Ó

N

vectorial

paramé-tricas

contínua

general

r1 r 2

s1 s2

v



v



 









 







1 2 r1 r 2

1 2 s1 s2

r x,y a ,a v ,v s x,y b ,b v ,v

   

   

1 s1 1 r1

2 r 2 2 s2

x b v x a v

r s

y a v y b v

         _  _        

1 2 1 2

r1 r 2 s1 s2

x a y a x b y b

r s

v v v v

   

   

r  A x B y C 0   s  A ' x B' y C' 0   A B A '  B'

A B C

A '  B'  C' Coincidirán si se

cumple:



 





 



r1 r 2 s1 s2

v ,v B,A

v ,v B ',A '

(39)

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

• DEFINICIÓN

• PROPIEDADES

• MÓDULO DE UN VECTOR

• ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES

• ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

• CONDICIÓN DE PARALELISMO Y

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS

• POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

• PENDIENTE DE UNA RECTA

(40)

40

Producto escalar

de dos

vectores(1)

 



u v   u v cos u,v    

Si u  0 ó v   0  u v   0

Si u





v





u v 0

 

 

Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número real que resulta:

Producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1.

2.

3. Si u v 0 y u     0, v 0     u  v

4.

u v

  

v u ,



u,v



V

2

 

(El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0

Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0)

Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares Propiedad conmutativa

5. a u v

   

   au v ,  u,v V ,   ₂  a _ Propiedad “asociativa”





2

u v w

  





   

u v u w ,

   



u,v,w V

 



6. Propiedad distributiva

v





u



(41)

Propiedades del producto escalar

(2)(2)

 



u v   u v cos u,v    

u v '   u v ' cos0º  

u v '   u v ' 

8.

u v

 

 

u v cos

 





7.

Si una base es ortonormal

B

_{= {}_u₁_,_u₂_}

1 2

1 1

2 2

u u

0 u u

1 u u

1 



 





 

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él

  

   



u1  u2



 



2



1 1 1 1 1

u u   u  u cos0º u  1



2



2 2 2 2 2

u u   u  u cos0º u  1

(Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios)



u u1 2  u1  u cos90º 02 



   

 

 2 u u   u u cos u,u      u

9.

u



 

u u

 



El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del _{producto escalar de dicho vector consigo mismo.}

(42)

42

Expresión analítica del producto escalar



1 2



x x ,x





1 2



y y ,y

1 1 2 2

x x u x u

     

Sea una base

B

_{= {}_u₁_,_u₂_} ortonormal y sean dos vectores

1 1 2 2

y y u y u

     



1 1 2 2

 

1 1 2 2



x y

x u

y u



   















 





1 1





1 1





2 1





1 2





1 2





1 2





2 2





2 2



x y   x y u u   x y u u   x y u u   x y u u  





2













2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2

x y u x y x y u u x y u

        

1 1 2 2

x y x y

 



x y1 1



1



x y2 1 x y1 2



0



x y2 2



1

       

Como la base es ortonormal

1 1 2 2

x y x y

 

 

_{1 1}



x y

_{2 2}

x y x y

 

 



x y

2 2 1 2

x



 

x x

 

  

x

₁2



x

₂2

x



 

x x

 

  

x



x

Expresión del producto escalar de dos

vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

Expresión del producto escalar de dos

vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

(43)

Expresión analítica del producto escalar



1 2



x x ,x





1 2



y y , y

1 1 2 2

x x u x u

     

Sea una base

B

_{= {}_u₁_,_u₂_} ortogonal y sean dos vectores

1 1 2 2

y y u y u

     



1 1 2 2

 

1 1 2 2



x y

x u

y u



   















 





1 1





1 1





2 1





1 2





1 2





1 2





2 2





2 2







2













2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2

         Como la base es ortogonal

2 2

1 1 1 2 2 2

x y x y u

 

 

_{1 1}



₁ 2



x y u

_{2 2}



₂ 2

x y x y u

 

 





x y u



Expresión del producto _{escalar de dos}Expresión del producto _{escalar de dos}

(Los vectores de la base son perpendiculares)





2









2

1 1 1 2 1 1 2 2 2 2

x y u x y x y 0 x y u

       





2





2

1 1 1 2 2 2

x y u x y u

(44)

44

Expresión analítica del producto escalar



1 2



x x ,x





1 2



y y , y

1 1 2 2

x x u x u

     

Sea una base cualquiera y sean dos vectores

B

_{= {}_u

1,u2}

1 1 2 2

y y u y u

     

x y



x u

1 1

x u

2 2

 

y u

1 1

y u

2 2





  













 





1 1





1 1





2 1





1 2





1 2





1 2





2 2





2 2







2













2

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2

        

Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector en una base cualquiera





2













2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 x y  



x y u_{1 1}



₁ 2 



x y_{2 1}  x y_{1 2}





u u ₁  ₂







x y u_{2 2}



₂ 2

x y   x y u  x y  x y u u   x y u

 

2





 

2

2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 x   x x   

 

x 2 u2 2x y u u



 





 

x 2 u2

1 1 1 1 1 2 2 2

x   x x    x u  2x y u u   x u





2













2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

(45)

Coseno del ángulo de dos vectores

 



x y   x y cos x,y     x y cos

x y



  



   

En una base ortonormal o canónica :

x y cos

x y



   

 

  2 1 12 2 22 2

1 2 1 2

x y x y

x x y y



  

Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal.

x





y



  

x y 0

 



x y

1 1



x y

2 2



0

(46)

46

Ángulo que forman dos

rectas.

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del ángulo que forman sus vectores direccionales

r

s v_r

v_s



 

r,s

 





r r1 r2

v  v ,v v_s 



v ,v_s1 _s2



r s

v v

cos

v v



 

 

r s

v v

cos

v v



 

 

Valor absoluto de un número real

Módulo de un vector

Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman)

Secantes

Paralelas no coincidentes

Coincidentes

Posición relativa de dos

rectas.

(47)

Ecuación explícita de una

recta. Pendiente de una

recta

Si en la ecuación general de la recta r, despejamos y:

r



A x B y C 0



 

A

C

y

x

B

 





 



r 1 2

v  v ,v  B,A



r

A

tg m

B

  



A C

m n

B B

   

Si llamamos:

y mx n





y mx n





La ecuación explícita

de la recta será:

m nos indica la pendiente de la recta y v



(48)

48

Ecuación punto-pendiente.

Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares.

Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x₀,y₀) perteneciente a ella:

y = m x + n

Falta determinar n ( m ya lo conocemos)

Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente:

y

₀

= m x

₀

+ n

La recta debe pasar por P(x₀,y₀)

Restando ambas expresiones:

y - y

₀

= m (x - x

₀

)

Para hallar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:

P₁(x₁,y₁)

P₂(x₂,y₂)

x₂-x₁= v₁

y₂-y₁= v₂

2 1

y y

m tg

x x

   



1 2

v

(49)

Condición de paralelismo

y perpendicularidad entre rectas

Vector

direccional Serán paralelas si:

Serán

perpendiculares si:

E

C

U

A

C

I

Ó

N

r y=mx+n

s y=m’x+n’

r

Ax+By+C=0

s

A’x+B’y+C’=0

A

B

A '



B'

y=mx+n mx-y+n=0

v

r



(1,m)



Dada la ecuación de una recta r:

r

v



(1,m)



s

v



(1,m')



r

v

 

( B,A)



s

v

 

( B',A ')



m m'



1 mm' 0





(50)

50

DISTANCIAS

EN EL PLANO

DISTANCIAS

EN EL PLANO

• DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

• DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

(51)

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A(a₁,a₂) y B (b₁,b₂) es el módulo del vector AB (o del BA):







 

2



2 1 1 2 2 d A,B





 AB 



b₁ a₁

 

2  b₂ a₂



2

d A,B  AB  b a  b a B

b₂

b₁

A

a₁ a₂

b₁-a₁

b₂-a₂ Basta aplicar el Teorema de _Pitágoras:

(52)

52 El valor absoluto de un número es positivo e igual al de su opuesto

La distancia es siempre una cantidad positiva.

Distancia de un punto a una recta (1)

Recordemos que:

Un vector perpendicular al vector

v x,y







puede ser el vector

n y,x









(Su producto _{escalar es cero)}

Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es

v

r





b,a





El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero

Si un punto A(m,n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuación. Es decir: am+bn+c=0

a

0

(53)

Distancia de un punto a una recta (2)

A P

Q

r v



Vamos a hallar la distancia del punto P(x₀,y₀)

a la recta r de ecuación ax+by+c=0.

Sea A(x₁,y₁) un punto cualquiera de la recta r. ax₁+by₁+c=0

 PQ d(P,r)=d(P,Q)= r





r

v





b,a

y su vector direccional

 

n a,b



El vector es perpendicular a la recta r

La distancia de un punto P a una recta r será igual a la distancia de P al pie de la perpendi-cular a r que pasa por P (lo llamaremos Q)

n

PA n   PA n cos     n PQ  PQ PA n n        



1 0 1 0

  

2 2

x x ,y y a,b

a b

 

 

PQ

   1 0 1 0 2 2

ax ax by by

a b      0 0 2 2

ax by c

a b

  

 

La distancia es siempre una cantidad positiva

(54)

54

Distancia de un punto a una recta

(Ejemplo)

Vamos a hallar la distancia del punto P(-3,5) a la recta r de ecuación

x-3y+7=0.

0 0 2 2

ax by c d(P,r)

a b

  

 ₂

 

2

3 3 5 7 1 3

   

 

 

3 15 7 1 9

  

 



11 10



 

11 11 10 11 10 u 10 10 10 10

  

En el numerador, basta con sustituir las coordenadas del punto P en la ecuación de la recta

En el denominador, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y

(55)

Distancia entre dos rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastará con hallar la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.