Aproximaci´on en Espacios de Banach

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Aproximaci´ on en Espacios de Banach

por

Luis F. S´ anchez Gonz´ alez

Trabajo de investigaci´on (Madrid, 2008)

Dirigido por la profesora

Mar Jim´enez Sevilla (Universidad Complutense de Madrid)

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´ Indice general

Introducci´on 1

1. Preliminares 5

2. Particiones de la unidad 10

1. Preliminares . . . 11

2. Resultados principales . . . 13

2.1. Demostraci´on del teorema 2.2.1 . . . 14

3. Problemas abiertos . . . 24

3. Aproximaci´on por funciones anal´ıticas 26 1. Preliminares . . . 27

2. Aproximaci´on anal´ıtica en dimensi´on finita . . . 30

4. Aproximaci´on fina 57 1. Preliminares . . . 59

(4)

5. Aproximaci´on por funciones diferenciables Lipschitz 71

1. Preliminares . . . 72

2.2. Demostraci´on del teorema 5.2.5. . . 82

6. Convoluciones 88 1. Convoluciones integrales . . . 88

2. Convoluciones infimales . . . 90

2.1. Resultados principales . . . 91

3. Relaci´on entre las convoluciones y algunas EDP’s . . . 98

Bibliograf´ıa 101

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Introducci´ on

El propósito de este trabajo es exponer algunos resultados y métodos sobre la aproxi- mación por funciones diferenciables y anal´ıticas en espacios de Banach.

El cap´ıtulo 1 est´a compuesto por unas cuantas definiciones y propiedades de la geometr´ıa de espacios de Banach, que utilizaremos en los siguientes cap´ıtulos. Para ver m´as sobre estas definiciones y proposiciones se pueden consultar los libros [DGZ] y [FHHSPZ].

El cap´ıtulo 2 está dedicado a la existencia de particiones de la unidad diferenciables y su relación con la aproximación diferenciable. Más concretamente, veremos que en un espacio de Banach es equivalente la existencia de partición de la unidad de clase C^k a la aproximación uniforme de funciones continuas por funciones de clase C^k, y si el espacio es separable o reflexivo (más general, si es WCD) tendremos que es equivalente a la existencia de una función meseta de clase C^k. Todo este cap´ıtulo está sacado del libro [DGZ], pero los resultados originales se encuentran divididos en varios art´ıculos, entre ellos el art´ıculo de Bonic y Frampton [BF], el art´ıculo de Toruńczyk [To] y el art´ıculo [GTWZ].

El problema de aproximar funciones continuas por funciones anal´ıticas en espacios de Banach será tratado en el cap´ıtulo 3. Este problema fue resuelto para el caso finito dimensional por H. Whitney quien, en el art´ıculo [W], demostró que toda función continua que toma valores reales, definida en un espacio de Banach de dimensión finita se puede aproximar uniformemente por funciones anal´ıticas. La prueba que dió no sirve para espacios de Banach generales y este problema fue retomado por Kurzweil en [K1], que reemplaza la norma eucl´ıdea por un polinomio separante para demostrar que en todo espacio de Banach real separable que admite un polinomio separante (como Lp y lp para p entero par), toda función continua puede ser uniformemente aproximada por funciones anal´ıticas. En el mismo art´ıculo, Kurzweil demuestra que existen espacios, como L_p y l_p para p no entero par, donde no se puede aproximar funciones continuas por funciones anal´ıticas de una forma uniforme. Por esto la pregunta es clara, ¿la propiedad de existencia de polinomio separante es necesaria? Deville, en su art´ıculo [D], demostró que si el espacio es real separable y no admite una copia de c₀, entonces, la existencia de polinomio separante no sólo es una condición suficiente sino que

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es necesaria para la aproximaci´on uniforme de funciones continuas por funciones anal´ıticas.

Pero en los espacios que admiten una copia de c₀ sigue siendo un problema abierto.

M. Cepedello, P. Hájek y R. Fry demostraron, independientemente, que existe una clase de espacios más grande donde las funciones uniformemente continuas se pueden aproximar uniformemente por funciones anal´ıticas. Estos espacios son los que cumplen la propiedad (K), como es el caso de c₀. Volvemos a preguntarnos ¿en qué espacios se puede aproximar uniformemente funciones uniformemente continuas por funciones anal´ıticas?

Dada una función diferenciable, consideramos el problema de aproximar esta función y su derivada por otra función (y su derivada, resp.) con un mayor orden de diferenciabilidad.

Este es el problema de aproximaci´´ on fina, que tratar´e en el cap´ıtulo 4. En dimensi´on finita, H.

Whitney en [W] demostró que toda función diferenciable se puede aproximar finamente por funciones anal´ıticas. Pero qué ocurre en dimensión infinita. Fue fundamental la respuesta que dió Nicole Moulis en [M] en esta dirección quien demostró que en c0y en lpse puede aproximar funciones de clase C¹ por otras de clase C^α (donde α = ∞ si p es entero par o si estamos en c₀, α = p − 1 si p es entero impar y α = [p] si p no es entero) de forma C¹-fina, es decir, que la derivada de la función aproximante aproxime a la derivada de la función aproximada. En esta l´ınea y siguiendo los mismo argumentos, varios autores demostraron en [AFGJL] que si un espacio de Banach admite base de Schauder incondicional y una función meseta de clase C^k y Lipschitziana, toda función de clase C¹ se puede aproximar de forma C¹-fina por funciones de clase C^k. ¿Podemos extender este resultado a espacios sin base incondicional? ¿Podemos aproximar de forma C^k-fina? Son problemas que todav´ıa están abiertos.

En el cap´ıtulo 5 nos preguntamos si podemos aproximar por funciones diferenciables o anal´ıticas y que a la vez sean funciones Lipschitzianas. Fry en [F1] demostró que un espacio de Banach que admita una norma de clase C¹, toda función uniformemente continua y acotada que tome valores reales puede ser aproximada por funciones de clase C¹ y Lipschitz. Este resultado se generaliza en [AFM], donde se prueba que en todo espacio de Banach que admite una función meseta de clase C^k y Lipschitz, toda función uniformemente continua y acotada que tome valores reales puede ser aproximada por funciones de clase C^k y Lipschitz.

Volviendo a la aproximación fina, en el art´ıculo [F5], Fry demuestra que en un espacio de Banach que admite base incondicional y función meseta de clase C^k y Lipschitz, toda función uniformemente continua y definida en un convexo, puede ser aproximada de forma C¹-fina por funciones de clase C^k y Lipschitz. La demostración de este resultado sigue la estructura expuesta en el art´ıculo [AFGJL]. Y siguiendo la estructura de la demostración del teorema de Kurzweil en [K1], en el art´ıculo [FK] se demuestra que en todo espacio de Banach real separable que admite un polinomio separante, toda función real valorada, uniformemente continua y definida en un acotado, puede ser uniformemente aproximada por funciones anal´ıticas y Lipschitz.

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En el cap´ıtulo 6 trato brevemente las convoluciones. Con este método, obtenemos una fórmula expl´ıcita de las funciones aproximantes. En dimensión finita se tiene el resultado clásico de aproximación por convoluciones integrales, que aproxima a funciones continuas uniformemente en los acotados y, además, las funciones aproximantes conservan algunas de las propiedades de la función aproximada (como convexidad y Lipschitzianidad). En dimen- sión infinita no podemos definir tales convoluciones integrales, ya que no tenemos una medida positiva, invariante por traslaciones y que dé un valor positivo a las bolas, entonces se define lo que llamaremos convoluciones infimales. Lasry y Lions, en [LL], demostraron que en un espacio de Hilbert, toda función uniformemente continua y acotada puede ser aproximada uniformemente por estas convoluciones y además heredan propiedades básicas de la función aproximada (como la convexidad y la Lipschitzianidad). Realmente, sobre convoluciones infimales existe una gran cantidad de literatura, en este cap´ıtulo únicamente pretendo demostrar la importancia que tienen para aproximar funciones y guardar propiedades fundamentales de la función aproximada. Para ver más información sobre convoluciones infimales se puede consultar el libro [St]. Por último hablaré brevemente de la relación entre las convoluciones y algunas EDP’s.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

Para ver con m´as detalle los siguientes resultados se puede consultar los libros [DGZ] y [FHHSPZ].

Sea X un espacio de Banach.

Definición 1.0.1 Una función meseta es una función f : X → R que cumple: f 6= 0 y sop(f ) = cl{x ∈ X : f (x) 6= 0} es acotado.

Diremos que el espacio X es C^k-suave si existe una funci´on meseta de clase C^k.

Proposición 1.0.2 Si X es un espacio de Banach de dimensión finita, entonces, existe una función meseta de clase C^∞.

Demostraci´on de la proposici´on. Lo veremos para X = Rⁿ. Definimos ϕ : R → R tal que:

ϕ(t) = (

e⁻^x2¹ si x > 0 0 si x ≤ 0.

Es claro que la funci´on ϕ es de clase C^∞en R (pero no anal´ıtica).

Ahora definimos la funci´on b : Rⁿ→ R tal que:

b(x) = ϕ(2 − kxk)

ϕ(kxk − 1) + ϕ(2 − kxk),

donde k · k es la norma eucl´ıdea en Rⁿ. La funci´on b es de clase C^∞, b 6= 0 y sop(b) ⊂ B(0, 2).

Definici´on 1.0.3 Diremos que una norma es diferenciable (respectivamente de clase C^k) si lo es en X r {0}.

Proposici´on 1.0.4 Si X admite una norma equivalente de clase C^kentonces X es C^k-suave.

5

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Demostración de la proposición. La norma k · k : X → R es de clase C^k en X r {0}. Definimos la función θ : R → R de clase C^∞, con 0 ≤ θ ≤ 1 y cumpliendo:

θ(t) =

(1 si |t| ≤ 1 0 si |t| ≥ 2.

Ahora definimos la funci´on ψ : X → R tal que ψ(x) = θ(kxk), entonces, ψ es de clase C^k (pues es constante en un entorno de 0), ψ(0) = 1 y ψ(x) = 0 si kxk ≥ 2. Por tanto, ψ es una funci´on meseta de clase C^k.

A continuaci´on veamos unas cuantas propiedades que pueden cumplir las normas de algunos espacios.

Definici´on 1.0.5 Sea (X, k · k) un espacio de Banach, diremos que k · k es localmente uniformemente rotunda (LUR, para abreviar) en y ∈ X, si para toda sucesi´on de elementos de X, (xn)n, con kxnk−−−→ kyk y^n→∞ ^kxⁿ₂^+yk −−−→ kyk, se cumpla que kx^n→∞ _n− yk−−−→ 0.^n→∞

Diremos que la norma k · k es LUR en X si lo es para todo punto de X.

Diremos que la norma k · k es rotunda (R, para abreviar) en X, si para todo x, y ∈ X que cumpla kxk = kyk = ^kx+yk₂ se tiene que x=y.

Diremos que la norma k · k es uniformemente convexa, si para todo > 0 existe δ > 0 tal que si x, y ∈ X con kxk = kyk = 1 y kx − yk ≥ , entonces, 1 − k^x−y₂ k ≥ δ.

Propiedades 1.0.6 Algunas normas que cumplen estas propiedades:

(i) Todo espacio de Hilbert es LUR (gracias a la regla del paralelogramo).

(ii) Todo espacio LUR es R.

Proposici´on 1.0.7 Sea (X, k · k) un espacio de Banach y x0∈ S_X. Son equivalentes:

(1) La norma k · k es LUR en x₀.

(2) Toda sucesi´on (x_n)_n∈N∈ S_X tal que kx_n+ x₀k−−−→ 2, cumple que kx^n→∞ _n− x₀k−−−→ 0.^n→∞

(3) Si 2(kxnk²+ kx0k²) − kxn+ x0k^{2 n→∞}−−−→ 0, entonces, kx_n− x₀k−−−→ 0.^n→∞

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Demostración de la proposición. (1) ⇒ (2) es evidente. Demostremos (2) ⇒ (1). Sea (xn)_n∈Nuna sucesión de X tal que kxnk → kx₀k y ^kxⁿ^+x₂ ⁰^k → kx₀k cuando n → ∞; podemos suponer que los xn6= 0 para todo n, entonces, definimos y_n= _kx^xⁿ

nk ∈ S_X para todo n ∈ N y se cumple:

kx₀+ y_nk ≤ kx₀+ x_nk + kx_n− y_nk = kx₀+ x_nk + kx_nk|1 − 1

kx_nk|−−−→ 2.^n→∞

Adem´as, 2 = l´ım

n→∞(kx_n+ x₀k − kx_n− y_nk) ≤ kx₀+ y_nk, por tanto, utilizando (2) tenemos que ky_n− x₀k−−−→ 0.^n→∞

(3) ⇒ (1) es inmediato, as´ı que veamos (1) ⇒ (3) y terminemos la demostraci´on. Sea (x_n)_n∈N una sucesi´on de X tal que 2(kx_nk²+ kx₀k²) − kx_n+ x₀k^{2 n→∞}−−−→ 0. Como 2(kx₀k²+ kx_nk²) − kx0+ xnk² ≥ (kx₀k − kx_nk)² ≥ 0. Entonces, kx_nk−−−→ kx^n→∞ ₀k. As´ı:

n→∞l´ım kx_n+ x0k² = 2 l´ım

n→∞(kx0k²+ kxnk²) = 4kx0k²,

deducimos que kx₀+x_nk−−−→ 2 y utilizando el apartado (1) tenemos que kx^n→∞ _n−x₀k−−−→ 0.^n→∞

Proposici´on 1.0.8 Sea (X, k · k) un espacio de Banach. Son equivalentes:

(1) La norma k · k es R.

(2) Para todo x, y ∈ X tal que 2kxk²+ 2kyk²− kx + yk² = 0, entonces, x = y.

(3) Para todo x, y ∈ X tal que kx + yk = kxk + kyk con x 6= y, existe λ 6= 0 tal que λy = x.

Demostración de la proposición. (1) ⇔ (2) es análogo a la anterior prueba. Veamos (1) ⇒ (3); si x, y ∈ X son tales que kx + yk = kxk + kyk, supongamos kxk ≤ kyk (sino, se razona de igual forma con la y):

2 ≥ k x kxk+ y

kykk ≥ k x

kxk+ y

kxkk − k y kxk− y

kykk = 1 +kyk

kxk−kyk − kxk

kxk ≥ 1 + kyk

kxk+ 1 − kyk kxk = 2.

Por el apartado (1) tenemos _kxk^x = _kyk^y , entonces, x = ^kxk_kyky.

Veamos, para finalizar, (3) ⇒ (1). Si kxk = kyk = kx + yk/2 = 1, entonces, por el apartado (3), existe λ > 0 tal que λy = x y |λ| = 1. Como 1 = ^kx+yk₂ = ^|1+λ|₂ , se tiene que λ = 1 y, por tanto, x = y.

Proposici´on 1.0.9 Sea (X, k · k) un espacio de Banach y sea k · k^∗ su norma dual.

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1. Si k · k^∗ es LUR, entonces, la norma k · k es Fr´echet diferenciable.

2. Si k · k^∗ es R, entonces, la norma k · k es Gˆateaux diferenciable.

3. Si la norma k · k^∗ es Gˆateaux diferenciable en X^∗, entonces, la norma k · k es R.

La demostraci´on de esta proposici´on se puede encontrar en [DGZ, Proposition II.1.5].

Por ´ultimo, veamos qu´e entendemos por espacios WCD y WCG.

Definición 1.0.10 Sea X un espacio de Banach, diremos que X es WCD (débilmente nu- merablemente determinado) si existe una familia de ω^∗-compactos de X^∗∗, {Kn: n ∈ N}, tal que para todo x ∈ X y para todo u ∈ X^∗∗r X existe n ∈ N tal que x ∈ Kn y u 6∈ K_n. Definición 1.0.11 Sea X un espacio de Banach, diremos que X es WCG (débilmente com- pactamente generado) si existe un ω-compacto K ⊂ X tal que span(K) = X.

Ejemplos:

(1) Los espacios de Banach reflexivos son WCG.

(2) Los espacios de Banach separables son WCG.

(3) c0(Γ), donde Γ es un conjunto cualquiera, es WCG.

Proposici´on 1.0.12 Todo espacio WCG es WCD.

Una idea de la demostraci´on de esta proposici´on se encuentra en [DGZ, Example VI.2.2].

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Cap´ıtulo 2

Particiones de la unidad

Hemos visto que si tenemos un espacio de Banach de dimensión finita existe una función meseta de clase C^∞, aqu´ı veremos que en espacios de Banach separables, esto es equivalente a la existencia de particiones de la unidad de clase C^∞, que, a su vez, equivale a la aproximación de funciones continuas por funciones de clase C^∞. Por tanto, en espacios de Banach de dimensión finita toda función real valorada y continua puede ser aproximada uniformemente por funciones de clase C^∞. Aqu´ı veremos cuándo ocurre esto (o una situación más débil, cuando son aproximadas uniformemente por funciones de clase C^k) en espacios de Banach de dimensión infinita.

Veremos la relación existente entre aproximaciones diferenciables de funciones continuas en espacios de Banach y la existencia de particiones de la unidad diferenciables. De hecho, veremos que es equivalente la aproximación de funciones continuas por funciones de clase C^ka la existencia de particiones de la unidad de clase C^ken espacios de Banach.También veremos que es equivalente a la existencia de funciones meseta de clase C^ken espacios separables, más aún, en espacios WCD. Pero el caso general es un problema abierto, R. Haydon ha constru´ıdo un espacio de Banach no separable que posee una función meseta de clase C^∞, pero no admite normas equivalentes Gâteaux diferenciables. Por tanto, aunque la existencia de una función meseta diferenciable en X es una condición necesaria para la existencia de particiones de la unidad diferenciables en X, la cuestión de suficiencia es un problema abierto.

Son numerosos los espacios que admiten particiones de la unidad diferenciables, por ejemplo, todo espacio de Hilbert admite funci´on meseta de clase C^∞y por tanto, toda funci´on continua en un Hilbert puede ser uniformemente aproximada por funciones de clase C^∞; los espacios reflexivos admiten aproximaciones de la unidad de clase C¹; c0 y L^p con p ∈ N y par, admiten particiones de la unidad de clase C^∞. En cambio, otros espacios como C(K), donde K es un compacto no numerable, no admiten particiones de la unidad de clase C¹ y los espacios L^p con p ∈ N y p no par, admiten particiones de la unidad de clase C^p pero no C^p+1.

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1. Preliminares

Sea X un espacio de Banach.

Proposición 2.1.1 Existe una función meseta, f : X → R, de clase C^k en X si, y sólo si, C^k(X) separa puntos de cerrados (es decir, si C es un cerrado de X y x ∈ X \ C, existe g ∈ C^k tal que g(x) = 1 y g|_C = 0).

Demostración de la proposición. Si C^k separa puntos de cerrados es evidente que existe una función meseta de clase C^k. Si f : X → R es una función meseta de clase C^k en X, C es un cerrado de X y x ∈ X \ C, tomo r > 0 tal que C ∩ B(x, r) = ∅.

Sea R > 0 y a ∈ X tal que sop(f ) ⊂ B(a, R) y f (a) 6= 0. Definimos δ : X → X tal que δ(z) = ^z−x_r R + a. Es claro que δ es de clase C^∞, δ(x) = a y lleva B(x, r) a B(a, R).

Definimos g : X → X tal que g(y) = ^{f (δ(y))}_{f (a)} y, por tanto, g es de clase C^k, g(x) = 1 y g(z) = 0 para todo z ∈ X con kz − xk > r, por lo que g = 0 en C.

Definici´on 2.1.2 Una partici´on de la unidad de clase C^k en X es una familia de funciones de clase C^k, {ϕi : i ∈ I}, tales que:

(1) para todo i ∈ I se tiene 0 ≤ ϕi ≤ 1,

(2) {sop ϕ_i}_i∈I es una familia localmente finita, (3) para todo x ∈ X se tiene que P

i∈I

ϕ_i(x) = 1.

Antes de continuar aclaremos dos puntos de la definici´on anterior:

En el punto (2), que una familia {U_i: i ∈ I} sea localmente finita quiere decir que para todo x ∈ X, existe un abierto U de X con x ∈ U tal que el n´umero de i ∈ I tales que U ∩ Ui 6= ∅ es finito.

En el punto (3), la suma P

i∈I

ϕ_i(x) siempre está bien definida, ya que gracias al punto (2), si tomamos un x ∈ X, existe un r > 0 tal que el número de los i ∈ I que tienen intersección no vac´ıa con B(x, r) es finito, entonces, la suma que en principio es infinita es finita y, por tanto, existe.

Definici´on 2.1.3 Decimos que X admite particiones de la unidad de clase C^k, si para todo recubrimiento U de abiertos de X, existe una partici´on de la unidad de clase C^k, {ϕi}_i∈I, subordinada al recubrimiento U, es decir, para todo i ∈ I existe U_i ∈ U tal que el sop ϕ_i ⊂ U_i. Definiciones 2.1.4

11

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(1) Sea (X, Γ) un espacio topol´ogico, U = {A_i : i ∈ I} un recubrimiento por abiertos de X, diremos que otro recubrimiento por abiertos de X, V = {B_j : j ∈ J }, es un refinamiento de U si para todo j ∈ J existe i ∈ I tal que Bj ⊂ A_i.

(2) Sea (X, Γ) un espacio topológico, diremos que es Lindelöf, si para todo recubrimiento por abiertos de X existe un subrecubrimiento numerable de éste.

(3) Sea (X, Γ) un espacio topol´ogico, diremos que es paracompacto si para todo recubrimiento por abiertos de X existe un refinamiento localmente finito.

(4) Sea (X, Γ) un espacio topológico y sea U un recubrimiento por abiertos de X. Diremos que V es una contracción de U si para todo A ∈ U existe V_A ∈ V tal que V_A ⊂ A y V está formado, únicamente, por estos V_A, es decir, V = {V_A: A ∈ U}.

Para ver la siguiente proposici´on se puede consultar cualquier libro de topolog´ıa general, por ejemplo [Mun].

Proposici´on 2.1.5

1. Si (X, Γ) es un espacio m´etrico, entonces es paracompacto.

2. Si (X, Γ) es un espacio topológico que cumple el 2ô axioma de numerabilidad, entonces es Lindelöf.

3. Si (X, Γ) es un espacio m´etrico, entonces todo recubrimiento por abiertos de X admite una contracci´on.

Definici´on 2.1.6 Una familia U = {Ui : i ∈ I} es σ-localmente finita si U = S

α∈Λ

Vα, donde Vα es una familia localmente finita para todo α ∈ Λ.

La siguiente definici´on juega un papel importante en el teorema principal.

Definici´on 2.1.7 Sea Γ un conjunto, definimos el conjunto c₀(Γ) como sigue:

c0(Γ) = {x = {xγ}_γ∈Γ: xγ → 0}.

Es decir, los x = {xγ}_γ ∈ Γ tales que para todo > 0, existe J ⊂ Γ finito y tal que para los j ∈ Γ r J se tenga |xγ| < . O, lo que es lo mismo, para cada > 0 s´olo exista un n´umero finito de elementos de Γ tales que |x_γ| ≥ .

Sea f : c0(Γ) → R una funci´on, diremos que f es localmente dependiente de un n´umero finito de coordenadas de clase C^k (con k ∈ N ∪ {∞}), si para todo x ∈ c0(Γ) existe un natura

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n = n(x) ∈ N, existen γ1, γ₂, ..., γ_n∈ Γ, existe U = U (x) un entorno abierto de x en c₀(Γ) y existe una funci´on ϕ ∈ C^∞(Rⁿ, R) tal que f (y) = ϕ(yγ1, ..., y_γ_n) para todo γ ∈ U .

Definimos:

S0 = {f : c0(Γ) → R : f es localmente dependiente de un n´umero finito de coordenadas de clase C^∞}.

U_S₀ = {f⁻¹(0, ∞) : 0 ≤ f ≤ 1, f ∈ S₀}.

U_k= {f⁻¹(0, ∞) : f ∈ C^k(X); 0 ≤ f ≤ 1}, con k ∈ N ∪ {∞}.

Notar que en las últimas definiciones, la condición 0 ≤ f ≤ 1 es superflua, pues si tomamos la función θ : R → R tal que:

θ(t) =

(0 si |t| ≤ 0 1 si |t| ≥ 1,

con 0 < θ(t) ≤ 1 para los t ∈ (0, 1) y θ ∈ C^k. Si definimos U = f⁻¹(0, ∞) con f ∈ S₀, se tiene que θ ◦ f ∈ S₀, 0 ≤ θ ◦ f ≤ 1 y (θ ◦ f )⁻¹(0, ∞) = U .

2. Resultados principales

La demostración del siguiente teorema que aqu´ı expongo está sacada del libro [DGZ], pero las demostraciones se deben a diferentes autores. La versión separable del resultado 9 ⇒ 8 fue dada por Bonic y Frampton en [BF], en la implicación 4 ⇒ 2 retrocedemos a Kuratowski (ver [AH]) y Bonic y Frampton [BF]. La idea clave de la equivalencia entre 4 y 8 (pasando por 5,6 y 7) se debe a Toruńczyk en [To] y la implicación 9 ⇒ 8 en el caso WCD fue probada en [GTWZ].

Teorema 2.2.1 Sea X un espacio de Banach y k ∈ N ∪ {∞}. Son equivalentes:

1. Si f : X → R es continua en X y > 0, entonces, existe una funci´on g : X → R de clase C^k en X tal que |f (x) − g(x)| < para todo x ∈ X.

2. Si X e Y son espacios de Banach, : X → (0, ∞) continua y f : X → Y continua en X, entonces, existe g : X → Y de clase C^k en X tal que kf (x) − g(x)k < (x) para todo x ∈ X.

3. Si g es semicontinua superiormente y G es semicontinua inferiormente en X con g(x) <

G(x) para todo x ∈ X, existe h : X → R de clase C^k en X y g < h < G.

4. X admite particiones de la unidad de clase C^k.

5. Si A y B son cerrados disjuntos de X, entonces, existe f ∈ C^k(X) tal que f |_A = 1, f |_B = 0 y 0 ≤ f ≤ 1.

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(19)

6. Si A ⊂ W ⊂ X, donde A es cerrado y W es abierto, entonces, existe U ∈ U_k tal que A ⊂ U ⊂ W .

7. La familia U_k contiene una base σ-localmente finita de la topolog´ıa de X.

8. Existe Γ un conjunto y existe ϕ : X → c0(Γ) un homeomorfismo inyectivo tal que las funciones coordenadas (ϕ(·))_γ son de clase C^k en X para todo γ ∈ Γ.

Las 8 equivalencias que acabo de escribir se cumplen en todo espacio de Banach; si a˜nadimos que X es un espacio WCD entonces tenemos la siguiente nueva equivalencia:

9. X admite una funci´on meseta de clase C^k.

2.1. Demostraci´on del teorema 2.2.1

1 ⇒ 5. Si A y B son cerrados disjuntos de X, definimos la funci´on f : X → R tal que f (x) = dis(x,A)+dis(x,B)^dis(x,B) , donde f es continua en X y f |_A= 1, f |_B= 0.

Por el apartado 1, existe g : X → R de clase C^k en X tal que kf − gk∞< ¹₃. Definimos δ : R → R de clase C^k tal que:

δ(t) =

(0 si |t| < ¹₃ 1 si |t| > ²₃.

Sea h : X → R tal que h(x) = δ(g(x)), entonces, h es de clase C^k en X y cumple:

Para todo x ∈ B, se tiene |g(x)| < ¹₃ y, por tanto, h(x) = 0.

Para todo x ∈ A, se tiene |g(x)| > ²₃ y, por tanto, h(x) = 1.

As´ı. h es la funci´on que busc´abamos.

5 ⇒ 4. Sea U = {U_i}_i∈I un recubrimiento por abiertos de X. Como X es un espacio de Banach, tenemos que es paracompacto y, por tanto, existe V = {V_i}_i∈I un refinamiento localmente finito de U. Por ser X un espacio de Banach, tambi´en podemos tomar W = {Wi}_i∈I una contracci´on de V (es decir, W_i⊂ V_i para todo i ∈ I).

Por el punto 5, existe una funci´on fi : X → R de clase C^k en X, tal que fi|_W

i = 1, f_i|_XrV_i = 0 y 0 ≤ f_i ≤ 1. Como sop(f_i) ⊂ V_i, la familia {sop(f_i) : i ∈ I} es localmente finita.

(20)

Definimos f (x) = P

i∈I

f_i(x), que es una funci´on de clase C^k en X (pues {sop(f_i) : i ∈ I}

es una familia localmente finita). Para cada x ∈ X existe i ∈ I tal que x ∈ W_i y, por tanto, f_i(x) = 1, lo que implica: f ≥ 1.

Definimos g_i= fi

f que es de clase C^ken X y sop(g_i) ⊂ sop(f_i) ⊂ V_i ⊂ U_i para todo i ∈ I.

Entonces:

(i) La familia {sop(gi) : i ∈ I} es localmente finita.

(ii) P

i∈I

gi = 1.

(iii) 0 ≤ gi ≤ 1 para todo i ∈ I y g_i es de clase C^k.

Por todo esto, la familia {g_i}_i∈I es una partici´on de la unidad de clase C^k subordinada a la familia V y, por tanto, a la familia U.

4 ⇒ 3. Sea g y G funciones semicontinuas inferiormente y superiormente, respectivamente, y g < G. Definimos para todo r ∈ Q el siguiente abierto de X:

Ur= {x ∈ X : g(x) < r} ∩ {x ∈ X : G(x) > r}.

Si x ∈ X, existe r_x ∈ Q tal que g(x) < rx < G(x) y, por tanto, la familia {U_r_x : x ∈ X}

es un recubrimiento por abiertos de X. Por el punto 4, existe una partici´on de la unidad {ψ_r}_r∈Q subordinada a la familia anterior.

Definimos h : X → R tal que h(x) = P

r∈Q

rψ_r(x). Como {sop(ψ_r)} es localmente finito, entonces la suma est´a bien definida para todo x ∈ X y es de clase C^k.

Si ψ_r(x) > 0, tenemos que x ∈ U_r, por tanto, g(x) < r < G(x) y:

g(x) = g(x)X

r∈Q

ψr(x) = X

r∈Q:ψr(x)>0

g(x)ψr(x) < X

r∈Q:ψr(x)>0

rψr(x) = h(x).

An´alogo se demuestra h(x) < G(x).

3 ⇒ 1. Si f : X → R es continua y > 0, entonces, f es semicontinua superiormente, f + es semicontinua inferiormente y f < f + . Por el punto 3, tenemos que existe una función h de clase C^k en X, tal que f < h < f + . Y h es la función que buscábamos.

15

(21)

2 ⇒ 1. Es inmediato.

4 ⇒ 2. Primero supongamos que (x) = > 0 para todo x ∈ X.

Como f es continua en X, entonces, para todo x ∈ X existe δ_x > 0 tal que si para todo y ∈ X se tiene que kx − yk < δ_x entonces, se cumple que kf (x) − f (y)k < . Tomamos U= {B(x, δx) : x ∈ X}, recubrimiento por abiertos de X.

Por el punto 4, existe una partici´on de la unidad de clase C^k, {ψ_x}_x∈X, subordinada al recubrimiento U. Definimos g : X → Y tal que g(z) = P

x∈X

ψx(z)f (x); como la familia {sop(ψ_x) : x ∈ X} es localmente finito y de clase C^k es X, entonces, g est´a bien definida y es de clase C^k en X.

Si z ∈ X y si ψx(z) > 0, tenemos que kf (z) − f (x)k < , que implica:

kg(z) − f (z)k = kX

x∈X

ψ_x(z)f (x) −X

x∈X

ψ_x(z)f (z)k = kX

x∈X

ψx(z)(f (x) − f (z))k = k X

x∈X:ψx(z)>0

ψx(z)(f (x) − f (z))k ≤ .

Ahora ve´amoslo para una funci´on : X → (0, ∞) continua.

Sea x ∈ X, entonces, existe g_x: X → Y de clase C^k en X y tal que para todo z ∈ X se tiene que kg_x(z) − f (z)k < ^(x)₂ .

Definimos U_x= {z ∈ X : ^(x)₂ < (z)} 6= ∅. Si x ∈ X y z ∈ U_x, entonces, kg_x(z) − f (z)k <

(x)

2 < (z). Como {U_x : x ∈ X} es un recubrimiento por abiertos de X, aplicando el punto 4 tenemos que existe {ψx : x ∈ X} una partici´on de la unidad de clase C^k subordinada al recubrimiento {Ux: x ∈ X}.

Definimos g : X → Y por g(z) = P

x∈X

ψ_x(z)g_x(z), que es de clase C^k en X. Si x, z ∈ X y son tales que ψx(z) > 0, entonces, x ∈ sop(ψx) ⊂ Ux, por lo que tenemos que kgx(z)−f (z)k <

(x) y, finalizamos la prueba:

(22)

kf (z) − g(z)k = k X

x∈X:ψx(z)>0

ψ_x(z)(f (z) − g_x(z))k < (z).

5 ⇒ 6. Sea A ⊂ W ⊂ X con W abierto y A cerrado, entonces, definimos B = X r W , que es cerrado y A ∩ B = ∅. Aplicando el apartado 5, existe una funci´on f de clase C^k en X, tal que f |A= 1, f |B = 0 y 0 ≤ f ≤ 1. Si definimos U = f⁻¹(0, ∞), tenemos que U ∈ Uk y A ⊂ U ⊂ W .

6 ⇒ 4. Se demuestra de igual forma que 5 ⇒ 4.

Ya hemo visto que 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son equivalentes; antes de pasar a ver el resto de demostraciones, veamos unos resultados.

Teorema 2.2.2 Si Γ es un conjunto no vac´ıo, entonces existe una base W ⊂ U_S₀ de la topolog´ıa de c₀(Γ) que es σ-localmente finita.

Demostraci´on del teorema 2.2.2. Veamos que dado r > 0 se tiene que B(0, r) ∈ U_S₀.

Definimos ϕr: R → R de clase C^∞en R, con 0 ≤ ϕr ≤ 1, ϕ(t) > 0 si |t| < r y cumpliendo:

ϕ_r(t) =

(0 si |t| ≥ r 1 si |t| ≤ ^r₂. Definimos fr : c0(Γ) → R tal que fr((xα)_α∈Γ) = Q

α∈Γ

ϕr(xα), entonces:

(i) 0 ≤ fr ≤ 1.

(ii) Si (xα)α∈Γ ∈ c₀(Γ), existe un n´umero finito de coordenadas (γ1, ..., γs) de Γ, tal que

|x_γ| > ₄^r.

Sea U = B(x,^r₄), si y ∈ U , entonces para todo γ 6= γ₁, ..., γ_s se tiene que |y_γ| < |x_γ| +

r

4 ≤ ^r₂, luego ϕr(yγ) = 1 y fr(y) =

s

Q

j=1

ϕr(yγj) = ϕ(yγ1, ..., yγs), donde ϕ(x1, ..., xs) = Qs

j=1

ϕ_r(x_j) es de clase C^∞. Y, por tanto, f ∈ S₀. (iii) fr⁻¹(0, ∞) = B(0, r), entonces, B(0, r) ∈ U_S₀.

17

(23)

Una vez visto que las B(0, r) ∈ US0; definamos

K_n= {(a, r) ∈ Qⁿ× Q : a = {ai}ⁿ_i=1, |a_i| > r para todo i = 1, ..., n}

y Hn= {(h1, ..., hn) ∈ Γⁿ: hi6= h_j para todo i 6= j}.

Sea h ∈ H_n, definamos T_h: Rⁿ→ c₀(Γ) de forma que:

T_h(a) = ((T_h(a))_α)_α∈Γ=

(aj si α = hj para alg´un j = 1, ..., n 0 si no.

Entonces T_h(a) + B(0, r) ∈ U_S₀, para todo (a, r) ∈ K_n y para todo h = (h₁, ..., h_n) ∈ H_n. La demostraci´on es an´aloga a la ya vista, pero f_h,r(x) = Q

γ6=h1,...,hn

ϕ_r(x_γ) Qn j=1

ϕ_r(x_h_j− a_j).

Definimos:

W:= {B(0, r)}_r∈Q+∪ {T_h(a) + B(0, r) : (a, r) ∈ K_n, h ∈ H_n y n ∈ N}.

Veamos que W es lo que buscamos:

· W es una base de la topolog´ıa de c₀(Γ).

Sea x ∈ c0(Γ) y > 0. Si kxk < , entonces, existe r ∈ Q⁺ tal que B(0, r) ∈ W y x ∈ B(0, r) con diam(B(0, r)) < 2.

Si kxk ≥ , definimos C = {|xγ| : γ ∈ Γ} = S

n∈N

{|x_γ| ≥ _n¹} ∪ {0}, como {|x_γ| ≥ _n¹} es finito para todo n ∈ N, se tiene que C es numerable.

Tomamos r ∈ ((0,₂) r C) ∩ Q⁺, sea {h₁, ..., h_n} = {γ ∈ Γ : |x_γ| > r}. Sea a = (a₁, ..., a_n) ∈ Qⁿ tal que |a_j| > r y |a_j − x_h_j| < r para todo j = 1, ..., n. Entonces, (a, r) ∈ Kny h ∈ Hn.

Sea γ 6∈ {h₁, ..., h_n}, entonces (T_h(a))_γ = 0 y |x_γ| < r − µ con µ > 0, pues C es compacto.

Si γ ∈ {h₁, ..., h_n}, γ = h_j para alg´un j = 1, ..., n, tenemos que (T_h(a))_γ_j = a_j y

|a_j − x_h_j| < r. Entonces: kT_h(a) − xk < r, es decir, x ∈ T_h(a) + B(0, r) ∈ W y diam(Th(a) + B(0, r)) = 2r < .

· W es σ-localmente finita.

Es claro que S

r∈Q⁺

{B(0, r)} es uni´on numerable de familias localmente finitas.

(24)

Veamos que cada {T_h(a) + B(0, r) : h ∈ H_n} es localmente finito para cada n ∈ N y (a, r) ∈ K_n.

Sea x ∈ c₀(Γ), 0 < < ¹₂m´ın{|a_j| − r} y sean (h₁, ..., h_n) = {γ ∈ Γ : |x_γ| > }.

Sea {yγ}_γ∈Γ∈ B(x, ):

Si γ 6= h₁, ..., h_n, tenemos |x_γ− y_γ| < , |x_γ| ≤ y entonces, |y_γ| < 2.

Si {y_γ} ∈ T_h(a) + B(0, r), entonces, |y_h_j − a_j| < r para j = 1, ..., n y, por tanto,

|y_h_j| > |a_j| − r > 2.

Luego, si h = (h₁, ..., h_n) ∈ H_n e {y_γ} ∈ B(x, ) ∩ {T_h(a) + B(0, r)}, se tiene que para todo j = 1, ..., n, hj ∈ {h₁, ..., hm}. Por tanto, B(x, ) ∩ {T_h(a) + B(0, r)} 6= ∅ implica que h_j ∈ {h₁, ..., h_n} para todo j = 1, ..., n.

Entonces, tenemos que W es una base σ-localmente finita.

Lema 2.2.3 Sea X un espacio de Banach y k ∈ N ∪ {∞}. Dado {Un}^∞_n=1 ⊂ U_k un recubrimiento por abiertos de X, entonces, existe {Vn}^∞_n=1⊂ {U_n}^∞_n=1 un recubrimiento por abiertos de X, tal que:

* V_n⊂ U_n y V_n∈ U_k para todo n ∈ N.

* {V_n} es localmente finita.

Demostraci´on del lema. Para todo n ∈ N existe fn : X → R de clase C^k en X, con 0 ≤ f_n≤ 1 y U_n= f_n⁻¹(0, ∞). Definimos V_n= U_n∩ (f₁⁻¹(−∞,_n¹) ∩ ... ∩ f_n−1⁻¹ (−∞,_n¹)) ⊆ U_n.

Sea θn: R → R de clase C^∞ en R, cumpliendo para todo 0 < t < ¹_n que 0 < θn(t) ≤ 1 y tal que:

θ_n(t) =

(1 si t ≤ 0 0 si t ≥ _n¹.

Tenemos: (θ_n◦ f₁)⁻¹(0, ∞) = f₁⁻¹(−∞,¹_n), luego V_n∈ U_k, pues V_n= [f_n· (θ_n◦ f₁) · ... · (θ_n◦ f_n−1)]⁻¹(0, ∞).

Si x ∈ X, entonces puede ocurrir que x ∈ U1 = V1, o que existe n = n(x) ∈ N tal que x ∈ U_n y x 6∈ U_i para i < n. Entonces, x ∈ U_n y f₁(x) = ... = f_n−1(x) = 0, por lo que x ∈ f₁⁻¹(−∞,_n¹) ∩ ... ∩ f_n−1⁻¹ (−∞,_n¹) ∩ Un.

As´ı, demostramos que {V_n}_n∈N es un recubrimiento de X. Veamos que es localmente finito.

19

(25)

Sea x ∈ X, existe n = n(x) ∈ N tal que x ∈ Un y f_i(x) = 0 para todo i < n.

Sea V = f_n⁻¹(^fⁿ₂^(x), ∞) y V entorno de x. Si m ∈ N y m > m´ax{n(x),_f_n(x)²_(x)}, entonces, V ∩ Vm = ∅, pues si existe y ∈ V ∩ Vm, se tiene, fn(y) > fn(x)/2 y fn(y) < _m¹, luego,

1

m > f_n(x)/2. Y llegamos a un absurdo, por lo que la hipótesis es errónea y conclu´ımos la demostración.

Volvamos a la demostraci´on del teorema principal.

4 ⇒ 7. Para todo n ∈ N, definimos Wn un recubrimiento de X por bolas de radio _n¹. Gracias al punto 4, para cada n ∈ N existe {ψn,α : α ∈ An} una partici´on de la unidad de clase C^k subordinada a W_n.

Definimos por Un,α = ψ_n,α⁻¹(0, ∞) ∈ Uk para cada n ∈ N y α ∈ An. Es f´acil ver que {U_n,α}_(n,α) es una familia σ-localmente finita. Veamos que es una base de X.

Si x ∈ X y V un entorno abierto de x, entonces existe n0 ∈ N tal que _n²₀ < dis(x, X r V ) y existe α0 ∈ A_n₀ tal que x ∈ Un0,α0. Como Un,α ⊂ sop(ψ_n,α) y el sop(ψn,α) est´a contenido en una bola de radio _n¹, entonces diam(U_n₀_,α₀) < _n²

0. Como x ∈ Un0,α0, diam(Un0,α0) < _n²

0 y _n²

0 < dis(x, X r V ) tenemos que x ∈ Un0,α0 ⊂ V .

7 ⇒ 6. Sea A ⊂ W ⊂ X con A cerrado y W abierto de X. Por el punto 7, existe V ⊂ U_k una base de X, tal que V = S

n∈N

V_ny V_nson localmente finitos para todo n ∈ N. Definimos:

V¹_n= {V ∈ Vn: V ⊂ W } y V_n¹= S

V ∈V¹_n

V . V²_n= {V ∈ V_n: V ∩ A = ∅} y V_n²= S

V ∈V²_n

V .

Como Vn es localmente finito, entonces V¹_n y V²_n son localmente finitos. Sabemos que si V ∈ V_n, entonces, existe f_V de clase C^k, con 0 ≤ f_V ≤ 1 y V = f_V⁻¹(0, ∞). Luego, si definimos f_n¹ = P

V ∈V¹_n

f_V y f_n² = P

V ∈V²_n

f_V, como V¹_n y V²_nson localmente finitos, las funciones

(26)

f_n¹ y f_n² son de clase C^k. Tomando:

fe_n¹(x) = f_n¹(x)

f_n¹(x) + 1 y fe_n²(x) = f_n²(x) f_n²(x) + 1

tenemos que V_n¹ = ( ef_n¹)⁻¹(0, ∞), V_n² = ( ef_n²)⁻¹(0, ∞) y ef_n¹, ef_n² ∈ C^k, con 0 ≤ ef_n¹, ef_n² ≤ 1. Por tanto V_n¹, V_n² ∈ U_k.

Veamos que {V_n¹} ∪ {V_n²} es un recubrimiento de X. Si x ∈ X, entonces, x ∈ W ´o x ∈ X r A.

Si x ∈ W , entonces, existe V ∈ V tal que x ∈ V ⊂ W y V ∈ V_n para alg´un n ∈ N, entonces x ∈ V ⊂ V_n¹.

Si x 6∈ W , entonces, razonamos de forma an´aloga y llegamos a que x ∈ V ⊂ V_n².

Por el lema 2.2.3, existe { eV_n¹} ∪ { eV_n²} ⊂ U_k recubrimiento de X, localmente finito y tal que: eV_n¹ ⊂ V_n¹ y eV_n² ⊂ V_n² para todo n ∈ N.

Sea U =

∞

S

k=1

Ve_k¹, como { eV_k¹} es localmente finita, tenemos: U ∈ U_k y U ⊂ W .

Y terminamos viendo que A ⊂ U , pues eV_n² ⊂ X r A para todo n ∈ N, lo que implica:

Ve_n²∩ A = ∅ para todo n y A ⊂

∞

S

n=1

Ve_n¹= U .

8 ⇒ 7. Por el teorema 2.2.2, existe V ⊂ US0, base de c0(Γ) y V es σ-localmente finita.

Sea ϕ : X → c₀(Γ) homeomorfismo inyectivo, entonces, {ϕ⁻¹(V ) : V ∈ V} es una base σ-localmente finita de X.

Si V ∈ V, entonces, V = f⁻¹(0, ∞) con f ∈ S0 y 0 ≤ f ≤ 1, por lo que ϕ⁻¹(V ) = ϕ⁻¹(f⁻¹(0, ∞)) = (f ◦ ϕ)⁻¹(0, ∞). Como las funciones coordenadas de ϕ son de clase C^k en X y f ∈ S0, es decir, f : c0(Γ) → R depende localmente de un n´umero finito de coordenadas de clase C^∞, entonces, f ◦ ϕ es de clase C^k y tenemos una base σ-localmente finita de X contenida en U_k.

7 ⇒ 8. Por 7, existe una base V ⊂ Uk de X, σ-localmente finita, es decir, V = S

n∈N

V_n

21

(27)

y V_n son localmente finitas para todo n ∈ N. (Podemos suponer que si n 6= m ,entonces, V_n∩ V_m = ∅).

Si V ∈ V, entonces, existe f_V ∈ C^k(X) tal que 0 ≤ f ≤ 1 y f_V⁻¹(0, ∞) = V .

Definamos ϕ : X → c0(V) tal que ϕ(x) = ((ϕ(x))V)V ∈V con (ϕ(x))V = ¹_nfV(x), siendo n ∈ N tal que V ∈ Vn (como n es ´unico est´a bien definido).

· Como para todo n ∈ N se tiene que Vn es localmente finita y fV ≤ 1 para todo V ∈ V, entonces, ((ϕ(x))_V)_{V ∈V}∈ c₀(V).

· Veamos que ϕ es continua. Si (x_j)^∞_j=1 converge hacia x, dado > 0, existe n0 ∈ N con n₀ > ² y elegimos V ∈ V tal que x ∈ V y k ∈ N tal que el n´umero de entornos de V₁, ..., Vn0 que intersecan con V es k, sean estos entornos: V1, ..., Vk.

Dado j0 ∈ N tal que xj ∈ V , si j ≥ j₀ y |fVi(x) − fVi(xj)| < , para todo i = 1, ..., k y j ≥ j₀.

Si W ∈ V1∪ ... ∪ V_n₀ y W 6= V1, ..., V_k, entonces, W ∩ V = ∅; y para todo j ≥ j0, x_j 6∈ W , x 6∈ W , entonces, |f_W(x_j) − f_W(x)| = 0 < .

Si W ∈ S

n>n0

V_n, entonces, |_n¹fW(xj) − _n¹fW(x)| ≤ _n² ≤ _n²

0 < y, por tanto, k((ϕ(x_j))V)V ∈V− ((ϕ(x))_V)V ∈Vk < .

· Veamos que ϕ⁻¹ es continua. Sea (xj)^∞_j=1, x ∈ X tal que ϕ(xj) converge hacia ϕ(x), entonces, para todo V ∈ V fV(xj) → fV(x). Supongamos que xj no converge hacia x, entonces existe una subsucesi´on (x_j_k)^∞_k=1 de (x_j)^∞_j=1 y existe un entorno de x, V ∈ V tal que x_j_k 6∈ V para todo k ∈ N. Entonces, fV(x_j_k) = 0 y f_V(x) 6= 0, lo que implica que fV(xj) no tiende hacia fV(x) y, por tanto, la hip´otesis inicial, que xj no converge hacia x, es falsa.

· (ϕ(·))_V es de clase C^k en X para todo V ∈ V, pues fV ∈ C^k(X).

4 ⇒ 9. Para esta implicaci´on no es necesario que el espacio sea WCD, sirve para todo espacio de Banach.

Sea U = {B(a, r) : a ∈ X}, donde r > 0, un recubrimiento por abiertos de X; por 4 existe una partición de clase C^k subordinada a U y toda función no nula de esta partición de la unidad es función meseta de clase C^k.

9 ⇒ 1. Veremos ´unicamente el caso separable, para ver una demostraci´on del caso WCD consultar el libro [DGZ].

(28)

Sea X un espacio C^k-suave, entonces, C^k(X) separa puntos por cerrados, gracias a la proposici´on 2.1.1.

Sea h una funci´on continua en X y > 0, para todo u ∈ X existe ru > 0 tal que para todo x ∈ B(u, r_u) se tiene que |h(x) − h(u)| < , entonces para todo u ∈ X existe f_u de clase C^k en X tal que fu(u) = 1 y fu(B(u, ru)^c) = 0.

Definimos Vû = {x ∈ X : f_u(x) > ¹₂} y como u ∈ Vû, entonces {Vû : u ∈ X} es un recubrimiento por abiertos de X. Un espacio métrico separable es Lindelöf, por lo que existe un subrecubrimiento {Vûⁿ}^∞_n=1= {Vn}^∞_n=1 de {Vû}_u∈X.

Sea θ : R → R tal que 0 ≤ θ ≤ 1, θ es de clase C^∞ y cumple:

θ(t) =

(0 si t ≤ 0 1 si t ≥ ¹₂.

Definimos ef_u = θ◦f_u para todo u ∈ X, llamamos ef_n= ef_u_nque es de clase C^ky 0 ≤ ef_n≤ 1.

Sean:

g1 = ef1,

g₂ = ef₂(1 − ef₁), ...

g_n= ef_n(1 − ef₁)...(1 − ef_n−1), que son de clase C^k en X.

Llamamos g =

∞

P

n=1

g_n. Si x ∈ X, sea N = m´ın{k ∈ N : x ∈ Vk}, luego ef_N(x) = 1 y entonces g_n(x) = 0 para todo n > N . Por lo que existe la suma para todo x ∈ X, g est´a bien definida y, adem´as, es de clase C^k en X.

Demostremos por inducci´on la siguiente propiedad:

N

P

n=1

gn= 1 −

N

Q

n=1

(1 − efn).

Es claro que g₁= 1 − (1 − ef₁) = ef₁. Si se cumple para k entonces veamos que se cumple para k + 1:

k+1

X

n=1

gn=

k

X

n=1

gn+ gk+1 = 1 −

k

Y

n=1

(1 − efn) + efk+1 k

Y

n=1

(1 − efn) =

23

(29)

1 − (1 − ef_k+1)

k

Y

n=1

(1 − efn) = 1 −

k+1

Y

n=1

(1 − efn).

Para cada x ∈ X, existe N ∈ N tal que x ∈ VN, entonces

∞

P

n=1

gn(x) = 1 y, por tanto, g = 1.

Definimos f (x) :=

∞

P

n=1

g_n(x)h(u_n) para todo x ∈ X y se tiene:

|f (x) − h(x)| = |

∞

X

n=1

g_n(x)h(u_n) −

∞

X

n=1

g_n(x)h(x)| < .

Aunque con estas demostraciones ya hemos probado el teorema, es interesante ver la demostraci´on directa de 9 ⇒ 8; para ello se puede consultar el libro [DGZ], p´ag. 360.

3. Problemas abiertos

En el libro [DGZ] se formula el siguiente problema, dado k ∈ N∪{∞}, si X es un espacio de Banach que admite una funci´on meseta de clase C^k, nos preguntamos: ¿X admite particiones de la unidad de clase C^k? En el art´ıculo [HH] los autores demuestran que si K es un espacio compacto Hausdorff y X = C(K), entonces, la respuesta es afirmativa.

Pero el problema general sigue abierto.

(30)

(31)

Cap´ıtulo 3

Aproximaci´ on por funciones anal´ıticas

En esta sección trataremos sobre la aproximación uniforme por funciones anal´ıticas. El primero en tratar el problema fue Whitney en [W], dónde demostró que toda función continua definida en un abierto de un espacio de dimensión finita es uniformemente aproximada por funciones anal´ıticas. En su prueba es fundamental que el cuadrado de la norma del espacio es anal´ıtica, por lo que no se puede extender a espacios de Banach generales.

Kurzweil estudi´o el problema para espacios de Banach de dimensi´on infinita, en [K1]

probó que en todo espacio de Banach real separable que admite un polinomio separante, es decir, un polinomio que separa el origen de la esfera unidad del espacio, se puede aproximar uniformemente funciones continuas por funciones anal´ıticas. La existencia de un polinomio separante asume el papel que jugaba la norma de los espacios de dimensión finita en [W]. En el mismo art´ıculo, Kurzweil demuestra que no todo espacio admite aproximación anal´ıtica, más concretamente, demuestra que en el espacio C[0, 1] y en los espacios lp para p ≥ 1 y p no par, la norma no puede ser aproximada por funciones anal´ıticas.

Poco después, Kurzweil en [K2], vió que la propiedad de poseer un polinomio separante era, no sólo suficiente sino, necesaria en espacios de Banach real separables con norma uniformemente convexa, para conseguir aproximar uniformemente funciones continuas por funciones anal´ıticas. Deville en [D] extendió este resultado a los espacios que no admiten copias de c₀, es decir, vió que en estos espacios era equicalente la existencia de polinomios separantes a la aproximación uniforme de funciones continuas por funciones anal´ıticas.

El tema fue retomado por Fry, quién en [F] demostró que aunque c0 no posea polinomios separantes, gracias a la función anal´ıtica f : c₀ → R, definida por f(x) := P∞

k=1x^2k_k , se puede seguir la estructura de [K1] y sustituir el polinomio separante por f para llegar a la

(32)

aproximaci´on uniforme de funciones uniformemente continuas por funciones anal´ıticas.

Poco después, Cepedello y Hájek, independientemente, generalizaron este resultado en [CH], demostrando que en un espacio de Banach real separable que cumple la propiedad (K), es decir, si existe una función definida en X, uniformemente anal´ıtica y cumpliendo

∅ 6= {x ∈ X : d(x) < α} ⊂ B_X, para algún α ∈ R, toda función uniformemente continua puede ser uniformemente aproximada por funciones anal´ıticas. La demostración de este resultado se fundamenta en la demostración que dió Kurzweil en [K1].

Es f´acil ver que el espacio c0 y los espacios que admiten polinomios separantes cumplen la propiedad (K) y, por tanto, las funciones uniformemente continuas pueden ser uniformemente aproximadas por funciones anal´ıticas en estos espacios.

En el art´ıculo [FK], Fry utiliza las herramientas del art´ıculo [K1], para demostrar que en espacios de Banach, reales y separables, que admiten polinomio separante, toda funci´on real valorada y continua puede ser aproximada por una funci´on anal´ıtica y Lipschitz.

En este trabajo veré la demostración que dió Whitney en [W], la que dió Kurzweil en [K1] y la de Cepedello y Hájek en [CH].

1. Preliminares

En esta parte serán de mucha utilidad los polinomios separantes, es decir, polinomios que separan el origen de la esfera unidad del espacio. El primero en usarlos fue Kurzweil en [K1] y [K2], relacionándolos con la aproximación uniforme por funciones real anal´ıticas, como veremos más adelante.

Antes de ver la definici´on de un polinomio separante, recordemos qu´e entendemos por polinomios en espacios de Banach.

El espacio X denotar´a un espacio de Banach real.

Definiciones 3.1.1

Una aplicación P : X → R se dice que es un polinomio continuo y k-homogéneo, si existe una aplicación k-lineal y continua, A : X × ... × X → R tal que para todo x ∈ X cumple que P (x) = A(x, ..., x).

Un polinomio P : X → R es una suma finita de polinomios continuos y k-homog´eneos

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