EC 1311 Temario 05 – Campos Macroscopicos en la Materia 2 pdf

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(1)Magnetización. Antes se habló de un dipolo eléctrico – una carga positiva +q y una carga negativa -q de igual magnitud separadas por una distancia d. Un dipolo magnético se forma cuando una corriente I circula en una trayectoria que encierra un área a. El momento dipolar magnético m se define como m = nIa. Am2. 1. donde n es un vector unitario normal al área a y dirigido según la regla de mano derecha, con respecto a la dirección de flujo de la corriente I.. Figura 1. El dipolo eléctrico – el dipolo magnético. Puesto que el modelo de cada átomo consiste de por lo menos un electrón en órbita alrededor del núcleo – una corriente macroscópica – existe un gran cantidad de momentos dipolares magnéticos dentro de cualquier materia. Además hay otro efecto que resulta en que la mayoría de los materiales sean esencialmente no magnéticos, en la ausencia de un campo magnético aplicado. Este efecto se explica al asumir que cada electrón posee un espín sobre su propio eje, además del movimiento orbital alrededor del núcleo. Para la mayoría de los materiales comunes, el campo magnético producido por estos efectos esencialmente se cancelan el uno al otro de manera que cada átomo posee sólo una pequeña fracción de momento dipolar magnético que tendría debido a uno de los efectos. Además, a causa de la forma aleatoria que se orientan estos dipolos, en la ausencia de un campo magnético externo aplicado, el momento dipolar magnético neto sobre cualquier volumen (con dimensiones de varios átomos o más) es nulo. Al aplicar un campo magnético externo se producen fuerzas sobre los electrones en órbita, y éstos tienden a alinearse con el campo aplicado. Sin embargo, a diferencia con un dieléctrico en el cual los dipolos siempre oponen el campo eléctrico aplicado, en el caso magnético los momentos dipolares magnéticos o pueden oponerse o alinearse con el campo magnético aplicado. Los materiales en los cuales el los dipolos se alinean con el campo magnético externo aplicado son materiales diamagnéticos (debido al electrón en órbita). Los otros, en los cuales los dipolos magnéticos se oponen al campo magnético externo aplicado son materiales paramagnéticos (debido al espín de los electrones). Los efectos debido al campo magnético aplicado y el campo total en el medio es menos de 0.1%..

(2) Existe otra clase de materiales en los cuales el efecto producido es más pronunciado – materiales ferromagnéticos o ferrimagnéticos. Ferromagnéticos – compuestos de Fe, acero etc., Ni, Co. Ferritas – materiales con textura de cerámica formada por la sinterización de óxidos de metales bivalentes. Poseen una resistividad de 10 6 o más, una permeabilidad de varios miles y permitividad relativa de 5 - 25. Son compuestos de Fe, O, Zn, más trazas de metales como Ni, Mn. Las propiedades magnéticas se deben principalmente al momento dipolar magnético m asociado al espín del electrón. En estos tipos de materiales los efectos del espín y el movimiento orbital no se cancelan y resultan en un momento dipolar magnético apreciable. Se puede producir un momento dipolar magnético permanente al exponer estos materiales a un campo magnético de manera que al remover el campo externo aplicado, el material no pierde su magnetización. También existen efectos de saturación: Al aplicar un campo magnético externo, llega un momento en que al aumentar aún más el campo aplicado, el campo inducido no aumenta más. En estos materiales el campo inducido no tiene una relación lineal con el campo aplicado. Al variar el campo aplicado el campo inducido depende de la historia de la polarización magnética del material – las curvas de histérisis B – H. El comportamiento del campo magnético dentro del medio magnético puede explicarse en dos formas análogas a los métodos usados para analizar el caso del dieléctrico. (1) Se define el vector de la magnetización M y tratar a todos los materiales como si tuvieran la permeabilidad del espacio libre µ0, o (2) definir una permeabilidad relativa µr de cada material y usar las condiciones de bordes adecuadas. Realmente no se necesita saber mucho acerca de estos tipos de magnetismo especialmente en un análisis microscópico para entender los efectos macroscópicos. Sólo se asume la existencia de una densidad macroscópica de momentos dipolares magnéticos equivalentes con posibles variaciones suaves dentro de la materia. El vector magnetización M. Se define un campo macroscópico M(x, y, z, t), la densidad de magnetización para representar la distribución de dipolos magnéticos por unidad de volumen en cada punto de la materia magnetizada. El momento dipolar magnético dM, por unidad de volumen dV, la figura 2, esta dado por: dM = M(x, y, z, t)dV Am-2. Figura 2 El momento dipolar magnético de un elemento de volumen.. 1.

(3) Como en el caso de P, el conocimiento completo de la dependencia temporal y espacial de M en cada punto del medio magnético es suficiente para conducir a una descripción completa de su comportamiento como una fuente de campos macroscópicas. Aquí hay dos modelos para ver cómo M conduce a su fuente. (1) El modelo de corriente Amperiana y (2) el modelo de la carga magnética. El modelo de la corriente Amperiana - densidad de corriente Amperiana. Se basa en la observación de que dipolos magnéticos se producen en el espacio libre por una corriente eléctrica. El modelo conduce a una descripción de las propiedades electromagnéticas de la magnetización directamente en términos de una corriente eléctrica macroscópica efectiva, de densidad Ja con J a =∇×M Am-2. 2. Ja es la densidad de corriente Amperiana. Se deriva Ja en analogía con ρP. Se encontró ρP al evaluar la carga total ligada desplazada de un volumen dado por el proceso de la polarización. Aquí se evaluará la corriente total desplazada de una región dada por el proceso de la magnetización. Un lazo cerrado de corriente I en el espacio libre que encierra un área a es equivalente (en el campo lejano) a un dipolo magnético de momento m, figura 3. m = Ia Am2. 3. La dirección de a (y m) está relacionada con I por la regla de mano derecha.. Figura 3. Un dipolo magnético. El momento dipolar magnético dM de cada elemento de volumen macroscópico dV de material magnetizada puede relacionarse con un lazo diferencial de corriente dI que fluye a lo largo de la superficie externa de dV. El valor de esta corriente puede encontrarse al igualar dM en (1) con el momento dipolar del lazo de corriente equivalente dIda, formado por la corriente dI encerrando el área da de dV como se muestra en la figura 4. d M = M dV = M⋅d l  d a=dId a. 4.

(4) Figura 4 El momento dipolar magnético de un elemento de volumen. Aquí dV =dlda. 5.  dI =M⋅d l. 6. y dl es la longitud de dV en la dirección de M. La corriente Amperiana macroscópica neta que se induce a salir de un área plana arbitraria S de materia magnética por el proceso de la magnetización se determina al sumar (integrar) las contribuciones diferenciales de (6) sobre todos los elementos de longitudes dl del contorno C que encierra S. La corriente neta inducida a salir del área A en una dirección fuera de la hoja, la figura 5, es entonces:. Figura 5. El efecto total de M. I out =∮ dI =∮ M⋅d l C. C. 7. Como la corriente neta inicialmente es cero dentro de S, la salida de Iout de S deja una corriente Iin dirigida en la dirección opuesta, o sea, dentro de S. La corriente Amperiana macroscópica establecido dentro de V por el proceso de la magnetización es igual en magnitud a Iout pero dirigida en la dirección opuesta, hacia dentro la hoja. I a = I in =∮ M⋅d l =∬ J a⋅d a C. S. 8. Al dividir ambos lados de (7) por S y tomar el límite cuando S  0, se obtiene: J a =∇×M. 9.

(5) Esto es la densidad de corriente Amperiana en cada punto de la material magnetizada. Ia es equivalente a la integral de superficie de Ja sobre S como en la ecuación (8). La ecuación (2) es útil sólo cuando ∇× M es finito o no singular. La relación ∇× M es de poco valor si, por ejemplo, alguna componente de M es discontinua en una dirección normal a sus líneas de flujo. En este caso, ∇ × M  ∞ y se necesita una condición de borde en la frontera entre 2 medios magnéticos. Observando la analogía entre H y M con ∂/∂ t=0 y J y Ja respectivamente la ecuación (8) conduce a la condición de borde en la superficie Σ. La discontinuidad de M tangencial a Σ conduce a una capa de corriente Amperiana superficial Ka, la figura 6, cuya densidad está dada por:. Figura 6. La condición de borde correspondiente a M tangencial. n× M 1− M 2 = K a Am-1. 10. Compare con la condició de borde n× H 1− H 2 =K vista antes. Al final, las leyes básicas también se modifican para tomar en cuenta la magnetización usando el modelo de la corriente Amperiana. ∇×E=− ∂ 0 H a  ∂t ∇×H a −J f . ∂ D ∂ D J a =J f  ∇× M ∂t ∂t. 11 12. ∇⋅D=. 13. ∇⋅0 H a =0. 14. Aquí Ha es el campo magnético producido por la corriente Amperiana y Jf es la densidad de corriente libre. Las condiciones de borde correspondientes de la figura 7 son: n× E 1−E 2 =0. 15. n× H a1− H a2 = K  K a =K n× M 1− M 2 . 16. n⋅ D1− D 2 = s. 17.

(6) n⋅0  H a1− H a2 =0. 18. Figura 7. Frontera que contiene K y Ka. Modelo de la carga magnética – densidad de carga magnética.. Figura 8. Cargas eléctricas y cargas magnéticas formando dipolos. Se puede definir la carga magnética q* en un material magnético por analogía con la carga eléctrica ligada correspondiente encontrada en un material polarizado. Antes se definió el momento dipolar eléctrico p = qd (Cm), la figura 8(a). Ahora se considera un momento dipolar magnético descrito como dos cargas magnéticas puntuales q* de igual magnitud pero de signos opuestos separadas por una distancia d, la figura 8(b). Se define una carga magnética q* de manera que cuando se toma en la forma de un dipolo de momento 0 m=q∗d genera el mismo campo H del dipolo generado por el lazo de corriente. Aquí. 19.

(7) 0 m≡ p . Las unidades de q* son Wb y no C, y aunque q* es similar a q, q* no es físicamente igual a q. q* actúa como el dual de q, como por ejemplo, corriente – voltaje, capacitores – inductores, circuitos paralelos – circuitos en serie, etc. La ecuación (19) significa que: se asume la existencia de una ente q* que actúa como una fuente de campos magnéticos estáticos de la misma forma que q, la carga eléctrica, es la fuente de E. Continuando con esta analogía, se tiene el vector de magnetización M, definido por: dM = M(x, y, z, t)dV Am-2. 20. como la densidad de dipolos magnéticos por unidad de volumen en cada punto del material magnético. Entonces la distribución de fuente macroscópica neta en este modelo de carga magnética debe conducir (por analogía con ρP y JP) a un juego equivalente de densidades de carga magnética y fuente de corriente, ρ* y J* respectivamente:  *=−∇⋅0 M. Wbm-2. 21. J *= ∂ 0 M  ∂t. Vm-2. 22. Aquí ρ* representa de densidad de carga magnética volumétrica ligada y J* representa la densidad de corriente magnética. J* (Vm-2) es el dual de JP (Am-2). Debido al comportamiento de ρP y JP es obvio que la carga magnética debe satisface la ley de conservación de carga. ∂* ∇⋅J *=∇⋅ ∂ 0 M = ∂  ∇⋅0 M =− ∂t ∂t ∂t. . . 23. La ley de conservación de carga magnética es necesario para que *=−∇⋅0 M sea ∂ consistente con J *= ∂ t 0 M . Para completar la especificación de las densidades de fuente de carga magnética equivalente, se debe tomar en cuenta la formación de una densidad de carga magnética superficial ρ*sm a lo largo de cualquier superficie Σ en la cual la componente normal de µ0M sea discontinua. n⋅0  M 1−M 2 =−* sm. 24. Aquí n es el vector unitario normal a Σ y dirigido desde el medio 2 hacia el medio 1 como se observa en la figura 9..

(8) Figura 9. Frontera entre dos medios relacionando las componentes normales de M. Finalmente la densidad de carga magnética superficial debe satisfacer la ley de conservación de carga magnética. n⋅ J *1−J *2 =−. ∂  * sm ∂t. 25. Como en el caso de la polarización, K* no existe en una muestra de materia magnética estacionaria. Ahora con ρ*, J* y ρ*sm se puede completar la derivación del modelo de carga magnética. Sólo hay que especificar las leyes básicas macroscópicas en la materia al insertar ρ* y J* como se hizo con ρP y JP. ∇×E=− ∂ 0 H −J *=− ∂ 0 H − ∂ 0 M  ∂t ∂t ∂t. 26. ∇×H = ∂ 0 E J f J p ∂t. 27. ∇⋅0 E= f  P. 28. ∇⋅0 H =0 *=−∇⋅0 M. 29. Jf es la densidad de corriente libre, ρf es la densidad de carga libre. De igual forma hay que satisfacer las nuevas condiciones de borde n× E 1−E 2 =0. 30. n× H 1−H 2 =K. 31. n⋅0  E 1−E 2 = s sP. 32. n⋅0  H 1− H 2 =0 sm=−n⋅0  M 1 −M 2 . 33.

(9) Aquí la frontera se muestra en la figura 10 y K es la densidad de corriente superficial libre.. Figura 10. Frontera entre dos medios magnéticos. La forma B – D de las leyes de campo en la materia. Se puede simplificar la forma de las relaciones con M y H como se hizo con P y E y se define el nuevo vector B, la densidad de flujo magnético. B=0  H M  Compare con. D=0 EP. Wbm-2. 34 35. Observe la pequeña diferencia, µ0M se añade a µ0H mientras que P se añade con ε0E. La diferencia se debe a que µ0M es análogo a P. Al sustituir por B en las ecuaciones de campo, se consiguen: ∇×E=−. ∂B ∂t. ∇× H =J . ∂D ∂t. 36 37. ∇⋅D=. 38. ∇⋅B=0. 39. Las condiciones de borde son n× E 1−E 2 =0. 40. n× H 1−H 2 =K f. 41. n⋅ D 1− D 2 = s. 42.

(10) n⋅ B 1−B 2 =0. 43. Se ve que las relaciones son libres de una polarización o magnetización explícita. También como en el caso de P, se introduce el concepto de la permeabilidad µ, (parecido a ε), así: B=0  H  M = H Compare con D=0 EP. 44 45. Se tiene un juego de expresiones que sirve para el espacio libre y también para las materias. Las relaciones constitutivas. Los campos macroscópicos en la materia expresan el rotor y la divergencia de E y H en términos de las derivadas temporales de E y H junto con otras fuentes ρ, J, P, M. Estas leyes junto con las condiciones de borde son suficientes para especificar, de manera absoluta, los campos cuando ρ, J, P, M están dadas. Para la mayoría de los problemas físicos estas fuentes no son conocidas a priori, más bien son funciones en sí de los campos. Esto resulta en una relación funcional entre las fuentes y los campos conocidos con el nombre de las relaciones constitutivas, que debe encontrarse para que se pueda determinar los campos. Existe unas relaciones funcionales, como, por ejemplo, en la materia, J puede depender de E de varias maneras. En cuerpos conductores que llevan una densidad de corriente libre J, J=σE. 46. En el caso de la polarización y para materiales lineales, P ∝ E , P =0 e E. 47. Aquí χe es la susceptibilidad dieléctrica. En el caso de la magnetización, M = χm H. 48. En este caso χm es la susceptibilidad magnética.  B=0  H M =0 1m  H = H Aquí la permeabilidad µ está dada por. 49.

(11) =0 1m . 50. La permeabilidad relativa es r =.  =1m 0. Estas relaciones son para materiales lineales.. 51.

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