CONCEPTO DE CAMPO. INTERACCIÓN A DISTANCIA. La interacción entre dos partículas puede hacerse de dos maneras:

CONCEPTO DE CAMPO. INTERACCIÓN A DISTANCIA

La interacción entre dos partículas puede hacerse de dos maneras:

• Por contacto entre ellas, que sería el caso de dos bolas que chocan

• Por acción a distancia, esto es, perturbando las propiedades del medio donde se

encuentran las partículas. Supongamos a la tierra como una masa aislada, decimos que ella crea un campo (campo de fuerzas gravitatorio) porque produce una perturbación en el espacio que la rodea, de tal manera que si en él colocamos otra masa, se verá sometida a una fuerza (que le llamamos peso). Dicho de otra forma, la tierra ejerce una fuerza sobre la otra masa a distancia, sin necesidad de tocarla.

Para hacernos una idea clara de lo que es un campo, piensa en una fuente sonora, como una radio. Cuando está en funcionamiento, continuamente emite ondas sonoras que se propagan por el espacio que la rodea. Podemos decir que en ese espacio hay un campo de sonido. Ahora vamos a reparar que significa eso:

1. Se necesita un agente que cree el campo. En este ejemplo la radio.

2. En todos los lugares no se percibe la misma intensidad sonora, de manera que si nos acercamos o alejamos lo oímos más o menos fuerte. En general puede decirse que un campo es la región del espacio donde se manifiesta una propiedad física que toma un valor distinto en cada punto.

3. Ya sabemos que la radio crea un campo de sonido, pero ¿cómo sabemos que en un punto hay campo, hay sonido? Evidentemente la manera de saberlo es colocar a alguien que no sea sordo o un micrófono. En general diremos que para probar la existencia de un campo necesitamos un testigo o agente sensible al campo.

4. El testigo debe ser sensible al campo concreto, dicho de otra forma debe tener la misma propiedad que el agente que crea el campo. Para probar la existencia de un campo gravitatorio necesitamos una masa, para un campo eléctrico una carga, para uno magnético una brújula que no es más que un imán.

5. En el caso de la radio, como comprenderá el sonido producido no llega a todos los puntos de forma instantánea, sino que lo hará a la velocidad del sonido. En el caso de los campos gravitatorio y eléctrico la perturbación se propaga a la velocidad de la luz.

6. Finalmente digamos que el campo creado por un agente no ejerce ninguna acción sobre él mismo.

Clases de campos

Los campos se clasifican según que la magnitud física sea escalar o vectorial, así tenemos campos escalares o vectoriales. Si la magnitud física, además de depender de la posición, dependiera del tiempo al campo se le llama dinámico, y estático si no depende del tiempo.

A) Campos escalares: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un escalar.

Por ejemplo, la densidad de un sólido no homogéneo, como la tierra, puede considerarse como un campo escalar. Ya sabes que la densidad de la tierra aumenta si nos acercamos al núcleo, es decir que depende de la posición: ρ⁼ρ^(x,y,z).

Otro campo escalar es la temperatura en la atmósfera, porque en cada punto toma un valor, ya que depende de la altitud, pero además en este caso se trata de un campo dinámico, porque los valores en cada punto varían de unos días a otros es decir que T=T(x,y,z, t). .

Los campos suelen representarse por unas líneas (o también por superficies) obtenidas

uniendo todos los puntos en los que la propiedad física toma el mismo valor, por esa razón, en los campos escalares, se las llama líneas equiescalares. En algunos casos estas líneas tienen nombre propio, como en el caso de las temperaturas, donde se llaman isotermas, o de las presiones, donde se llaman isóbaras.

B) Campos vectoriales: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un vector. Los campos gravitatorio y eléctrico son de este tipo, porque en todo punto de los mismos se puede definir una fuerza cuyo valor es función de la posición en el campo.

Lo que pasa es que para poner de manifiesto la existencia de esta fuerza es preciso colocar a un testigo y resulta que el módulo de la fuerza no solo es función de la posición del punto, sino que también depende de la característica del agente sensible o testigo.

Convención: En lo que sigue llamaremos M o Q a la masa o carga que crea el campo y m o q a la masa o carga del testigo, aunque podrían llamarse m y m´

Suponga una masa M (o una carga eléctrica Q) en el origen de un SR. A su alrededor creará un campo gravitatorio (o un campo eléctrico), de tal forma que si en cualquier punto del mismo colocamos a un testigo m o q sobre él actuará una fuerza que viene dada por la ley de

gravitación de Newton en el caso de las masas o por la ley de Coulomb en el caso de las cargas.

( u )

r

´ m Gm

Fr_{grav 2} r_r

⋅ −

= _{eléctr 2} u_r

r

´ q kq

Fr = ⋅ r

La dirección de la fuerza es siempre según la recta que une las cargas (o las masas), por tanto tiene la misma dirección que el vector de posición de la m o q. En el caso de las masas el sentido siempre es atractivo (en la misma dirección y sentido contrario a rr

, es decir en la dirección y sentido de ur_r

− ) y en el caso de las cargas depende de sus signos.

Resulta que la fuerza que actúa sobre el testigo depende de:

• De la carga o masa que crea el campo (M o Q) y de la posición del punto P, es decir de la distancia entre las cargas (r). Tanto una como otra son magnitudes propias del campo.

• Además depende del valor de la masa o carga que hemos colocado como testigo (m o q)

Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo de fuerzas como la fuerza por unidad de testigo.

• La intensidad del campo gravitatorio se representa por gr

y es la aceleración de la gravedad, que conoces bien, y se mide en N/m o bien en m/s².

• La intensidad del campo eléctrico se representa por E r

y se mide en N/Coulomb

q E F

r r

=

m g F

r r =

La Intensidad de campo gravitatorio es un vector en la dirección y sentido de la fuerza, ya que las masas siempre son positivas. En el caso de la intensidad de campo eléctrico siempre tendrá la misma dirección que la fuerza, pero el sentido dependerá del signo de q´ (recuerda el

producto de un escalar por un vector).

LÍNEAS DE FUERZA

El concepto de campo fue introducido por Faraday y a él se le ocurrió además una forma para visualizarlo mediante unas líneas imaginarias, dibujadas de tal manera que sean en todo momento tangentes al vector Intensidad de campo (o a la fuerza, que como sabemos tiene la misma dirección). Para dibujarlas se siguen los pasos:

1. Coloca al testigo unidad en un punto, ya que si m´=1Kg o q´=+1C, fuerza e intensidad de campo coinciden.

2. Sobre el testigo aparecerá una fuerza en la dirección de la recta que une los centros de las masas o cargas

3. Si el testigo estuviera libre se movería dibujando la línea de campo y además nos dará el sentido.

Además se sigue el criterio de dibujar más o menos líneas en función de que la intensidad de campo sea grande o pequeña.

Siguiendo estos mismos pasos podemos dibujar las líneas de campo para una carga positiva o negativa obteniendo:

En el caso de dos cargas (dipolo) o de dos masas se hace lo mismo, aunque teniendo en cuenta que en cualquier punto del campo, la fuerza es debida a la suma vectorial que cada carga o masa hace por separado sobre ella (es lo que más adelante veremos y que se llama principio de superposición):

El resultado sería:

Propiedades de las líneas de fuerza:

1. Nos dan en todo momento la dirección y sentido de la Intensidad de campo (precisamente para eso se dibujan)

2. Las líneas de fuerza del campo gravitatorio y del eléctrico no se cierran. Como puede observarse en las figuras, las líneas de fuerza se inician en las cargas positivas y terminan en las negativas, por eso a las cargas positivas se las llama fuentes y a las negativas sumideros, así como las masas.

3. Las líneas de fuerza nunca se cortan. En efecto, ya que la intensidad de campo (y la fuerza) es tangente a ellas en cada punto, si se cortaran entonces podríamos dibujar dos tangentes y habría dos fuerzas distintas en el punto, lo que es absurdo.

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Todas las masas en el universo, por el hecho de serlo, se atraen con una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa (medida de centro a centro).

r2

m GM

F= ⋅

La dirección de la fuerza que una masa ejerce sobre la otra es la de la recta que las une, así que para un SR centrado en una de las masas la fuerza tiene la dirección del vector de posición, pero el sentido puesto porque es atractiva. Por tanto vectorialmente sería:

) u r (

m GM

Fr ₂ r_r

⋅ −

=

2 ur

r m GM

Fr =− ⋅ r

• urr

es el vector unitario del vector de posición de la masa m respecto de M, es decir es un vector unitario en la dirección de la línea que une los centros de las masas y el sentido desde la masa que crea el campo hacia la otra.

• El signo “menos” se interpreta como que son fuerzas atractivas, es decir que la fuerza tiene la misma dirección y el sentido opuesto al vector de posición, es decir, la

dirección y sentido de ur_r

−

• G es una constante de proporcionalidad llamada “constante de gravitación universal”

(no debe confundirse con la aceleración de la gravedad, ya que son cosas

completamente distintas). Sus unidades se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula y su valor es:

2 2

11N m /Kg

10 67 , 6

G= ⋅ ⁻ ⋅

Características de la interacción gravitatoria: (e igual para la interacción ente cargas)

Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales ya que al tener la fuerza la dirección de la recta que une a las masas, siempre pasará por la masa que crea el campo, siendo este punto el centro de fuerzas.

Las características de las fuerzas gravitatorias son las propias de las fuerzas centrales:

(Evidentemente el campo eléctrico, al igual que el campo gravitatorio, también es un campo de fuerzas centrales y para él también podríamos decir todo lo que sigue).

1) Las fuerzas gravitatorias tienen simetría esférica porque el módulo de la fuerza de atracción entre dos masas es igual en cualquier punto del espacio que se encuentre a la misma distancia de la masa que crea el campo, y el lugar geométrico de esos puntos es una esfera con centro en M y radio r.

2) Una partícula sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento en un plano.

En efecto, ya que el vector de posición de la masa m respecto de M, su velocidad y su aceleración (fuerza) son siempre coplanarios y la partícula se moverá en el plano que determinan. (Los tres vectores siempre forman un plano porque como la fuerza y el vector de posición siempre tienen la misma dirección, en realidad es como si solo fuesen dos vectores F

r y vr

.)

Un ejemplo sería el movimiento circular uniforme, en el que la fuerza a la que está sometida la partícula (fuerza normal) apunta constantemente hacia el centro (por tanto es central) y tiene la dirección del radio, igual que el vector de posición, de manera que esos dos vectores con la velocidad siempre formarán un plano, es el del movimiento.

Precisamente esto justifica a la primera ley de Kepler, que dice que los planetas describen órbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol.

3) El momento angular L r

de una partícula sometida a fuerzas centrales se conserva en el tiempo. En efecto, ya que como rr

y F r

tienen siempre la misma dirección, el momento de la fuerza es nulo, porque Mr =rr∧Fr =0

. Y como por otro lado

dt L M d

r r

= al ser nulo el momento quiere decir que Ls =cte

Observa que si L r

es constante, también justifica que la trayectoria sea plana, ya que ello quiere decir que no solo no variará ni en módulo ni en dirección, que como sabemos es la perpendicular al plano del movimiento. Si L

r

no cambia en dirección, el plano del movimiento tampoco

4) El trabajo realizado por una fuerza central para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B por una trayectoria circular es nulo. En efecto,

∫

siempre es tangente a la trayectoria y la fuerza, al ser central, siempre tiene la dirección del radio).

5) Las fuerzas centrales son fuerzas conservativas, por tanto, el trabajo para llevar a una masa m desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos. (Es consecuencia del punto anterior, ya que una fuerza central

solamente realiza trabajo cuando mueve un cuerpo en dirección radial, mientras que el trabajo es nulo cuando lo desplaza sobre la tangente).

Sea cual sea la trayectoria seguida siempre podremos descomponerla en tramos infinitesimales verticales y horizontales. En los tramos horizontales (2→3) el trabajo es nulo porque Fr drr

⊥ . Solo hay trabajo en los tramos 1→2 y 3→4

El trabajo que hace la fuerza gravitatoria para llevar a la masa m desde al punto A hasta el B es el mismo por el camino1 que por el camino2.

Al tratarse de un campo de fuerzas conservativas:

La energía que la masa m tiene en cada uno de los puntos del campo creado por M solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar una energía que llamamos energía potencial.

Una partícula sometida a fuerzas conservativas conserva su energía mecánica:

cte Ep Ec+ =

Observación: Es importante tener en cuenta que la fuerza actúa tanto sobre una masa como sobre la otra y que son iguales y de sentidos opuestos (de acuerdo con la tercera ley de Newton), es decir, una es la de acción y la otra de reacción:

21

12 F

F r r =−

21

12 F

F =

Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que la masa que crea el campo ejerce sobre el testigo, por ese motivo no prestamos atención a la que el testigo ejerce sobre la masa que crea el campo, pero ello quiere decir que no exista.

Eso quiere decir que nosotros atraemos a la tierra exactamente con la misma fuerza que ella nos atrae a nosotros. Te preguntarás porqué entonces la tierra no cae sobre los cuerpos y sí al contrario. La respuesta es muy sencilla, y es que, la tierra tiene una masa muy grande

comparada con la nuestra, y por tanto presenta una inercia muy grande. Si la fuerza que ejerce la tierra sobre nosotros es F₁₂ y nuestra masa es m, nos atraerá con una aceleración que

vendrá dada por F₁₂ =m⋅a. Por otro lado, nosotros ejercemos sobre la tierra una fuerza igual en módulo F₂₁ y si la masa de la tierra es M, la aceleración que nosotros ejercemos sobre ella vendrá dada por F₂₁ =M⋅a´. Como ambas fuerzas son iguales, al ser M muy grande la aceleración a´ con que la tierra se mueve hacia nosotros es prácticamente nula.

Ejemplo:

Una partícula se encuentra en un campo de fuerzas del tipo = u_τ r Fr 1s Donde r es la distancia al origen O y ur_τ

es un vector unitario perpendicular al radio a) ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos en los que dicha fuerza tiene el mismo módulo? ¿Tiene simetría esférica?

b) ¿Este campo de fuerzas es de tipo central?

c) Calcular el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada. ¿Es un campo conservativo?

a) Es evidente, que puesto que la fuerza solo depende de la distancia al origen O, la fuerza tendrá el mismo valor en todos los puntos que estén a la misma distancia de O, por tanto el lugar geométrico será una esfera con radio en O. En consecuencia el campo tiene simetría esférica.

b) Como puede verse en la figura, al tener la fuerza la dirección de la tangente a la

circunferencia (perpendicular al radio dice el enunciado) no se trata de un campo de fuerzas centrales porque la dirección de las fuerzas no concurre en un punto.

El campo sería central si el vector unitario en lugar de llevar la dirección de la tangente llevara la dirección del radio, es decir su fuera del tipo u_r

r Fr 1r

=

c) Para calcular al trabajo a lo largo de una circunferencia como la de la figura:

• como puede verse el vector desplazamiento y la fuerza siempre tienen la misma dirección, así que forman 0º.

• el valor del módulo de la fuerza a lo largo de toda la circunferencia es constante, ya que solo es función de r y valdrá F=1/R

• los límites de integración si queremos recorrer la circunferencia completa serán desde 0 hasta 2π^R.

π

= π

=

⋅

⋅

= 2 R 2

R 0 1 cos s F W

Como el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, entonces la fuerza no es conservativa.

Ejemplo:

Calcular la fuerza que la tierra ejercerá sobre un cuerpo de 1Kg de masa situado:

a) Sobre la superficie terrestre b) a 100Km de la superficie

c) Comparar ambos resultados con los que se obtienen aplicando la fórmula P=mg DATOS: Rt=6370Km Mt=5,98.10²⁴Kg G=6,67.10⁻¹¹Nm²/kg²

Como se sabe, a la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos se le llama peso, así que no es más que la fuerza con que se atraen dos masas, pero cuando una de ellas es la tierra, por tanto, aplicaremos la ley de gravitación universal:

r2

m GM

F= ⋅

a) En el caso de que el cuerpo esté sobre la superficie de la tierra, la distancia que separa ambos cuerpos es igual al radio de la tierra, porque se mide desde el centro de una masa al centro de la otra, así que r=Rt

New 83 , 000 9 . 6370

1 10 98 , 10 5 67 , R 6

m GM

F ₂

24 11

2 t

t ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⁻

b) Cuando la masa está a 100Km de la superficie el problema es exactamente el mismo, solo que ahora la distancia que separa las masas es r=R_t+h

New 53 , ) 9 100000 6370000

(

1 10 98 , 10 5

67 , ) 6 h R (

m G M

F ₂

24 11

2 t

t =

+

⋅

⋅ ⋅ + =

= ⋅ ⁻

El resultado es perfectamente lógico, ya que como puede verse en la ley de gravitación universal, a medida que aumenta r disminuirá F.

c) La fórmula P=mg es exactamente la misma que la de más arriba ya que, como veremos enseguida, la aceleración de la gravedad es:

2 t

r GM g=

Por tanto la misma expresión P=mg vale para ambos casos, simplemente lo que ocurre es que la aceleración de la gravedad no vale igual en cada caso, porque, como puede verse depende de r.

Lo que sucede es que cuando vemos la expresión P=mg inmediatamente pensamos en que g=9,81m/s² sin pararnos a pensar que la aceleración de la gravedad no es una constante porque depende de la altura, incluso más adelante veremos que también depende de la latitud.

(Concretamente los pesos que hemos obtenido estarían calculados para el supuesto de que la masa m estuviera en los polos.)

INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE MASAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

La ley de gravitación universal nos da la fuerza con que se atraen dos masas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras masas. Ello nos lleva al principio de superposición:

“Si una masa se encuentra en el campo creado por varias masas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada masa, por separado, ejerza sobre ella.” De igual forma puede decirse que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.

∑

= _i

total F

F

r r

∑

= _i

total m g

Fr r

es decir que grtotal ⁼

∑

Ejemplo:

En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada en el cuarto vértice.

De acuerdo con el Principio de Superposición, la fuerza total sobre la masa de 5Kg es la resultante de las fuerzas que cada masa por separado ejerce sobre ella.

Simplemente calculamos el módulo de las fuerzas de cada masa sobre la de 5Kg (la dirección y sentido la dibujamos teniendo en cuenta que la fuerza siempre es atractiva y en la dirección de la recta que une las masas y luego elegimos un sistema de referencia y las sumamos como vectores que son.

G 1 5

5 G1 r

m Gm

F _{2 2}

1 1

1 = ⋅ = ⋅ =

G 5 ) 2 (

5 G 2 r

m Gm

F 2 2

2 2

2 = ⋅ = ⋅ =

G 1 15

5 G3 r

m Gm

F _{2 2}

3 3

3 = ⋅ = ⋅ =

En el sistema de referencia de la figura, la fuerza en forma de vector creada por cada masa sobre la masa de 5Kg sería:

j G 5 F₁ r r

=

j 45 Gsen 5 i 45 cos G 5 F₂

r r

r =− +

i G 15 F₃ r r

−

=

j G 5 , 8 i G 5 , 18 F

r r r

+

−

=

El módulo sería F= (−18,5G)² +(8,5G)² =20,35G=1,36⋅10⁻¹⁰New

El ángulo con el eje X sería 24,67º G

5 , 18

G 5 ,

arctg 8 =−

= − α

NOCIÓN DE CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL

Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una masa m cuando la colocamos en un punto del campo gravitatorio creado por otra masa M, depende de magnitudes propias del campo (la masa que lo crea M y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la masa m.

Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la masa del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo gravitatorio como la fuerza por unidad de masa. La intensidad del campo gravitatorio se representa por gr

y es la aceleración de la gravedad

2 ur

r GM m

g F r

r

r = =−

• La Intensidad de campo gravitatorio solamente depende de la masa M que crea el campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo.

• La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará sobre un testigo de masa m colocado en ese punto: Fr mgr

= . Como se deduce de la relación, la fuerza es un vector en la dirección y sentido de la fuerza, ya que las masas siempre son positivas.

Por otro lado, hemos visto que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto. grtotal =

∑

es decir se cumple el principio de superposición.

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

Suponiendo que la tierra es una esfera de radio R y de masa M, la fuerza con que atraerá a una masa m colocada en sus inmediaciones vendrá dada por la ley de gravitación universal de Newton:

2 ur

) h R (

m G M

Fr r

+

− ⋅

=

A la fuerza con que la tierra a trae a las masas se le llama peso: Fr mgr

= , así que tenemos que la aceleración de la gravedad en un punto no es más que la Intensidad de campo gravitatorio en ese punto:

2 ur

) h R ( G M

gr r

− +

=

Para el caso concreto de puntos próximos a la superficie terrestre, y si despreciamos por ahora la rotación de la tierra alrededor de su eje, su módulo sería:

2 2

24 11

2 9,83m/s

6370000 10 98 , 10 5 67 , R 6 G M

g= = ⋅ ⁻ ⋅ =

Factores que influyen en la aceleración de la gravedad

La aceleración de la gravedad no es una constante (a veces de tanto utilizar en los ejercicios de mecánica el valor de 9,81 m/s² algunos alumnos llegan a pensar que siempre vale eso) ya que depende de la distancia entre las masas.

a) Variación de la gravedad con la distancia:

1. Disminuye con la altura sobre la superficie terrestre, ya que su módulo es:

2

2 (R h)

G M r GM

g= = +

Como puede verse, el valor de la aceleración de la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia entre las masas.

2. Tiene su valor máximo sobre la superficie de la Tierra: _{T 2} 9,81ms ² R

G M

g = = ⁻

3. Disminuye linealmente en el interior de la Tierra. A primera vista podría pensarse que en el interior de la Tierra la gravedad debería aumentar al disminuir r, pero no es así, ya que solamente la masa encerrada en su interior contribuye al campo y, si te das cuenta, cada vez que nos vamos adentrando en el interior de la tierra cada vez hay menos capas de masas que influyen al campo, de manera que al disminuimos r también disminuimos la masa.

Supondremos de que la densidad de la tierra sea constante.

Teniendo en cuenta que la densidad es ρ=m/V, para una esfera de radio r tenemos que r ³

3 m=ρ⋅4π

La gravedad en el interior de la Tierra y en la superficie de la Tierra vienen dadas por:

2 int

3 int 2

int int

int r

3 r 4 r G

Gm g

π

⋅

= ρ

=

2 T

3 T 2

T T

T R

3 R 4 R G

GM g

π

⋅

= ρ

=

T int T int

R r g

g = →

T int T

int R

g r

g =

Resumiendo, el módulo de la aceleración de la gravedad vale:

T T

int R

g r

g =

fuera 2

r GM

g =

• Dentro de la tierra va aumentando linealmente con la distancia al centro. (es como una recta de ecuación y=mx)

• En la superficie de la Tierra tiene el valor máximo g_T

• Fuera de la Tierra disminuye con el cuadrado de la distancia

b) Variación de la gravedad con la latitud. En la superficie de la Tierra, la gravedad varía con la latitud, debido al giro de la Tierra. Desde el punto de vista de un observador no inercial la aceleración será la resultante de la gravedad en ese punto y de la aceleración centrífuga.

A 45º de latitud y al nivel del mar, la aceleración de la gravedad tiene el valor de 9,81 m/s², que es el valor que suele tomarse en los ejercicios de mecánica.

Ejemplo:

Encontrar la relación entre el valor de la gravedad en la superficie terrestre y el valor que tiene a una altura h sobre la superficie.

Si llamemos g al valor en la superficie terrestre y g´ al valor que tiene a una altura h, tendremos que:

R2

G M g=

)2

h R ( G M

´

g= + ₂

2

R ) h R (

´ g

g = + ⇒ ₂

2

) h R ( g R

´

g= +

Como puede verse a medida que nos alejamos de la superficie terrestre el valor de g´

disminuye.

Ejemplo:

Calcular, en un lugar de la tierra situado a 45º de latitud:

a) la aceleración centrífuga b) la aceleración de la gravedad

a) Hay que tener cuidado y darse cuenta de que la circunferencia que describe el punto de latitud 45º no es igual al radio de la tierra, sino a r. Por tanto la fuerza centrífuga será:

r r m

) r m( r mv

Fc ²

2 2

ω ω =

=

= ⇒ a_c =ω²r como:

• 7,27 10 rad/s

3600 24

2 día

1 2 T

2 ₋₅

⋅

⋅ =

= π

= π

= π ω

• r =R⋅cos45=6370000⋅cos45=4504270m Sustituyendo:

2 2

5 2

c r (7,27 10 ) 4504270 0,024m/s

a =ω = ⋅ ⁻ ⋅ =

b) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, suponiendo no girase, viene dada por:

2 2

24 11

2 9,83m/s

6370000 10 98 , 10 5 67 , R 6 G M

g= = ⋅ ⁻ ⋅ =

Ahora bien, al considerar su rotación, la aceleración real en un determinado lugar es la que resulta de componer vectorialmente la aceleración centrífuga para ese punto con la

aceleración de la gravedad calculada anteriormente:

c

real g a

gr r r

+

=

Para un sistema de referencia como el de la figura, las aceleraciones en forma de vector serían:

j 45 sen 83 , 9 i 45 cos 83 , 9 g

r r r

−

−

=

i 024 , 0 a_c r r

=

j 951 , 6 i 927 , 6 g_real

r r r

−

−

=

El módulo de la aceleración en ese punto sería:

2 2

2

real ( 6,927) ( 6,951) 9,81m/s

g = − + − =

que es el valor que se toma para la aceleración de la gravedad en los ejercicios de mecánica.

Observa que, de acuerdo con lo anterior, el valor máximo para la aceleración de la gravedad la tenemos en los polos, y el valor mas pequeño en el ecuador que es donde la aceleración centrífuga es mayor. (a_c =ω²r para el ecuador r=Rt y además es un vector opuesto a g)

polo 2 ,

real R

G M

g =

R R G M

g_real,ecuad = ₂ −ω²

Ejemplo:

¿Qué relación hay entre el peso de una masa m en las inmediaciones de la tierra y en un planeta que tenga una masa 10 veces superior y el doble de radio?

Muy sencillo, expresamos la fuerza que cada planeta hace sobre la masa y las dividimos miembro a miembro:

tierra 2

R m GM

F = ⋅

planeta 2

) R 2 (

m M G10

F = ⋅

10 4 F

F

planeta

tierra = ⇒

4 F 10 F_planeta = _tierra

El resultado era de esperar ya que la fuerza de atracción gravitatoria (peso) es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las masas, por tanto, será 10 veces mayor y 2² veces más pequeña.

Ejemplo:

En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la intensidad de campo gravitatorio en el cuarto vértice. ¿Qué fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada allí? ¿Y sobre una masa de 6 Kg?

De acuerdo con el principio de superposición, el campo gravitatorio (g) creado por cada masa por separado en el punto P es:

1 G G 1 r Gm

g _{2 2}

1

1 = = =

G ) 2 ( G 2 r Gm

g 2 2

2

2 = = =

G 1 3 G 3 r G m

g _{2 2}

3

3 = = =

Ahora solamente queda sumar vectorialmente. En el sistema de referencia de la figura, la intensidad de campo creada por cada masa sería:

j G g₁ r r

=

j 45 Gsen i

45 cos G g₂

r r r

+

−

= i G 3 g₃ r r

−

=

j G i

G g

r r r

7 , 1 7 ,

3 +

−

=

El módulo sería g= (−3,7G)² +(1,7G)² =4,07G=2,71⋅10⁻¹¹m/s²

El ángulo con el eje X sería 24,67º G

7 , 3

G 7 ,

arctg 1 =−

= − α

La fuerza sobre una masa colocada en el punto P se obtiene simplemente con la expresión F=mg así que:

New 10

36 , 1 10 71 , 2 5 g m

F_5Kg = ₅ = ⋅ ⋅ ⁻¹¹ = ⋅ ⁻¹⁰ New 10

63 , 1 10 71 , 2 6 g m

F_6Kg = ₆ = ⋅ ⋅ ⁻¹¹ = ⋅ ⁻¹⁰

Observación: Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio en un punto (la gravedad) tiene una ventaja enorme, ya que como vemos, una vez conocida, solamente hay que multiplicar por la masa en el punto P y obtenemos la fuerza que actúa sobre ella. (bueno, lo hemos hecho sobre su módulo, pero exactamente igual sería si hubiéramos multiplicado su expresión vectorial). Sin embargo, si hubiéramos calculado la fuerza sobre la masa de 5Kg sumando vectorialmente las fuerzas a partir de ese valor no podemos obtener la fuerza sobre otra masa, como hemos hecho con la de 6Kg, y habríamos tenido que repetir el ejercicio y la suma de vectores.

Esa es la razón por la que se define la intensidad de campo, porque su valor no depende de la masa del testigo, sino de los agentes propios que crean el campo, es decir de las masas que lo crean y de la posición.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA DE UNA MASA EN PRESENCIA DE OTRA

El campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial.

El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía “que solamente

depende de la posición” y que llamamos energía potencial.

(Naturalmente, como es lógico, en un campo de fuerzas conservativo la energía potencial en un punto no depende exclusivamente de la posición de ese punto, también depende de la masa que crea el campo" y de la masa que hayamos colocado en ese punto". Precisamente para que tampoco dependa de la masa colocada en ese punto definiremos más adelante el Potencial (V) como la energía potencial de una masa unidad.)

Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:

B A Campo

. Conserv . F , B

A Ep Ep Ep

W _→ =−∆ = −

Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que

+

→B,F.Conserv.Campo =

WA cuando

Ep

En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos”

Campo . Conserva . F , B A A

B nosotros

, B

A Ep Ep Ep W

W _→ = − =∆ =− _→

Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial gravitatoria, para ello no hay mas que calcular el trabajo que hace el campo gravitatorio para llevar una partícula desde el punto A al B:

∫

∫

∫

=

=

− _→

B

A

2 B

A

2 r B

A grav campo

, B A B

A dr

r m GM r

d r u

m GM r

d F W

Ep

Ep r r r r

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario ur_r y el vector desplazamiento rdr

tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que

r dr 1 r

1

2 =−

∫

que:

B A B

A B

A campo

, B

A Ep Ep

r 1 r m 1 M r G

m 1 M G

W = −







 −

⋅

⋅

−

 =

 

−

⋅

⋅

−

→ =

B A

B

A r

m GM r

m GM Ep

Ep − =− ⋅ − − ⋅

(Nota: aunque matemáticamente no es de lo más correcto escribir dos signos menos seguidos y menos sin un paréntesis, pero lo escribiremos así porque resulta más didáctico. Además lo pondremos en ese orden para que más adelante veas que estas expresiones son similares a las del campo eléctrico)

Energía potencial gravitatoria en un punto. Como vemos, estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la masa m desde uno a otro y por tanto debe haber dos puntos), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno de esos puntos, entonces podremos habar de energía potencial absoluta (en realidad referida al punto que asignemos Ep=0).

Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A.

Dicho de otra manera: La energía potencial de una masa m en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la masa m desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una masa m en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la masa, sin aceleración, desde el infinito hasta ese punto)

∞

− ⋅

⋅ −

−

=

− _∞ M m

G r

m GM Ep

Ep

A A

como 1∞=0

A

A r

m GM

Ep =− ⋅

donde rA es la distancia que separa las dos masas. Como puedes ver la energía potencial en un punto siempre es negativa y tiene su “máximo valor negativo” en la superficie terrestre y va aumentando al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito.

Particularización de la energía potencial para puntos próximos a la superficie terrestre:

En los puntos próximos a la superficie es razonable utilizar la conocida expresión:

mgh Ep

Ep

Ep= _B − _A =

∆

Vamos a ver como se deduce esta expresión particular a partir de la general que hemos obtenido:

Como puede verse en la figura r_A = R_tierra

rB − rA = h (Altura sobre la superficie terrestre)

Si llamamos M a la masa de la tierra y m a la masa del cuerpo, según hemos visto antes:

B A

A B A

B A

B r r

r mr M r G

m GM r

m GM Ep

Ep

Ep ⋅

⋅ −

⋅

⋅ =

−

⋅ −

−

=

−

=

∆

Teniendo en cuenta que:

• rB − rA = h

• al tratarse de puntos próximos a la superficie terrestre, prácticamente rB ≅ ^rA con lo que podemos poner que r_A⋅r_B ≅r_A² =R²_t .

• y recordando que el módulo de la Intensidad de campo, o gravedad viene dada por

2

Rt

G M g=

al final nos quedaría que:

mgh Ep

Ep

Ep= _B− _A =

∆

Cuestión:

De la expresión Ep=mgh, se deduce que la energía potencial es positiva y aumenta con la altura. ¿Cómo es posible, si de la expresión Ep=–GMm/r se deduce que siempre es negativa y aumenta con la altura?

La Ep que tiene una masa m en un punto del campo creado por otra M, como indica su

expresión general, siempre es negativa y su valor máximo es cero, que corresponde a la Ep en el infinito. Lo que pasa es que siempre medimos “diferencias” de energía potencial y cuando restamos obtenemos el mismo valor con independencia de donde tomemos el cero. Por tanto entre dos puntos cualquiera hay la misma ∆Ep si el nivel cero lo tomamos en el infinito (que es lo natural) como si lo ponemos en cualquier otro lugar como la superficie de la tierra o donde sea:

Fíjate que, independientemente de donde tomemos el cero de Ep, el ∆Ep entre dos puntos siempre vale igual: EpB ‒ Ep^A = 20 J. Es exactamente el mismo caso que si montamos a un niño sobre una mesa para medir su altura. Tanto si lo medimos de pies a cabeza, como si medimos desde el suelo a la cabeza y restamos la distancia del suelo a los pies obtendremos lo mismo. “No importa que al cambiar de sistema de referencia en cada medida tengamos

valores distintos, lo que importa que es la diferencia siempre tendrá el mismo valor”.

Energía potencial “de una masa” debida al campo creado por una asociación de masas:

de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la debida al campo que independientemente cada masa crea sobre ella, así que:

∑

−

⋅ =

−

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅ ⋅

⋅ −

−

=

i n i

1 i n

n 2

2 1

1

r Gm m

r m Gm

r m Gm

r m Gm Ep

Energía potencial de una asociación de masas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de masas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:



 



 + +

−

=

23 3 2 13

3 1 12

2 1

r m m r

m m r

m G m Ep

∑

−

=

ij j i

r m G m

Ep

Ejemplo:

Imagina que hay dos masas m₁=10Kg y m₂=20Kg como se indica en la figura. Calcular el trabajo que hemos de hacer para llevar una masa m de 5Kg desde la posición A(4,0) hasta la B(8,0)

Como sabemos el trabajo que hacemos nosotros es igual al incremento de energía potencial, así que solamente tenemos que calcular la Ep que la masa m tiene al final y al principio y restarlas.

. Conservat . F , B A A

B nosotros

, B

A Ep Ep Ep W

W _→ =∆ = − =− _→

De acuerdo al principio de superposición, la Ep que la masa m tiene en el punto A es debida a la que tiene como consecuencia del campo que crea m1 mas la debida al campo que crea la masa m₂, es decir:

G 5 , 5 32

10 4 Gm 10 r

m Gm r

m Gm Ep

A 2 2 A

1 1

A =−



 



 +

−

⋅ =

−

⋅ +

−

=

De igual forma, la Ep cuando está en el punto B será:

G 96 , 54 17

, 8

10 8 Gm 10 r

m Gm

r m Gm Ep

B 2 2 B

1 1

B =−



 



 +

−

⋅ =

−

⋅ +

−

= Por tanto:

G 54 , 15 ) G 96 , 17 ( G 5 , 32 Ep

Ep

W_{A→B,nosotros} = _B − _A =− − − =+

POTENCIAL GRAVITATORIO

Recuerda que la fuerza que actúa sobre una masa m, en un punto de un campo creado por otra masa M, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la intensidad de campo como fuerza por unidad de masa.

Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una masa m entre dos puntos A y B, de un campo creado por otra masa M, que también depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía potencial por unidad de masa y que llamaremos variación Potencial (V):

∫ ∫

•

=

•

=

− =

=

− ^{→ B}

A B

A

Conserv . F Conserv

. F , B B A

A B

A g dr

m r d F

m W m

Ep V Ep

V r r

r r

∫

∫

∫

=

− ^B

A 2 B

A 2 r B

A B

A dr

r GM r

d r u

GM r

d g V

V r r r r

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario ur_r y el vector desplazamiento rdr

tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que

r dr 1 r

1

2 =−

∫







 −

⋅

−

 =

 

−

⋅

−

=

−

B A B

A B

A r

1 r M 1 r G

M 1 G V V

B A

B

A r

GM r GM V

V − =− − −

Obviamente llegaremos al mismo resultado si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo m ya que, como hemos dicho, la ddp entre dos puntos se definie como la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:

B A

B A B

A r

GM r GM m

Ep V Ep

V − = − =− − −

Potencial gravitatorio en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como el trabajo pare llevar a la unidad de masa entre esos dos puntos). No obstante si, por acuerdo, asignamos cero al potencial de uno de esos punts, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo.

Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que

c V W

V_A − _B = ^{A→B,F.Conservat} podemos decir que:

El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una masa de 1Kg desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una masa de 1Kg desde el infinito hasta ese punto).

− ∞

−

−

=

− _∞ M

G r GM V

V

A A

como 1∞=0

A

A r

GM V =−

donde r_A es la distancia que separa la masa que crea el campo del punto A.

Ejemplo:

Calcular el potencial gravitatorio creado por una esfera de 100Kg de masa y dos metros de diámetro en un punto situado a 9m de su superficie. ¿Cuál será la energía potencial de una masa de 1Kg situada en dicho punto?

Suponiendo que la esfera es homogénea podemos considerarla como una masa puntual concentrada en su centro.

a) Como hemos visto la ddp entre el punto A y el infinito será igual al potencial en el punto A, que vale:

Kg / J 10 67 , 10 6

100 10

67 , 6 r

GM

V ¹⁰

11

A A

− −

⋅

−

⋅ =

− ⋅

=

−

=

b) De acuerdo con su definición, la energía potencial de una masa unidad en un punto y el potencial en ese punto son exactamente la misma cosa, así que Ep_A =−6,67⋅10⁻¹⁰Julios Para otro valor cualquiera de m´ la relación entre ambas magnitudes sería:

A

A m´V

Ep = ⋅

RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL Si te das cuenta el campo ( gr

) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial.

Caso particular de campo uniforme, es decir, de puntos cercanos en los que la gravedad puede considerarse constante, entonces, teniendo en cuenta la definición de ddp,

(

)

g r g r d g V

V ^B_{A B A}

B

A B

A − =

∫

Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que puede considerarse constante el valor del campo, es igual al valor del campo por la distancia entre esos puntos. A la misma conclusión llegaríamos restando el potencial en el punto A del que tiene en B:

(

)

r g ) r r ( GM r

r ) r r ( GM r GM r

GM V

V _{2 B A}

A A B B

A A B B

A B

A − =− − − = − ≅ − = − = ⋅

La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo de gr y la del potencial V en un punto:

=

⋅

−

=

−

=

A A A A

A r

r r GM r

GM

V −g_A.r_A

Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del punto a la masa que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto.

Hay un detalle importante:

• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( gr o )

E r

podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente el módulo de la fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que Fr mgr

= o bien F qE r r = )

• Sin embargo, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se moverán hacia donde disminuya su energía potencial.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Como su propio nombre indica (equi significa igual) una superficie equipotencial es aquella en la que en todos sus puntos hay el mismo potencial. Dibujemos una superficie y

supongamos que es equipotencial:

Propiedades de las superficies equipotenciales:

1. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares al vector intensidad de campo.

En efecto, ya que para desplazamos de un punto a otro de la superficie es necesario que el vector desplazamiento rdr

sea coplanario con la superficie, y puesto que según la definición de ddp entre dos puntos:

∫

=

−

B

A B

A V g dr

V r r

si la superficie es equipotencial VA−VB=0 lo que quiere decir que: gr =0

o que drr =0

ambas cosas son absurdas porque si no hay campo o no hay desplazamiento no habría problema, así que la única otra alternativa es que el producto escalar de ambos vectores sea nulo, es decir que formen ángulo de 90º.

2. El trabajo para lleva una masa de un punto A de una superficie equipotencial a otro B de la misma superficie equipotencial es cero. Obvio, ya que W_{A→B,F.Conservat} =m (V_A −V_B) y al movernos por la misma superficie equipotencial VA=VB. Además es cero porque como gr

y F r

tienen la misma dirección, entonces Fr drr

⊥ ^.

3. Para el caso de una masa, o de una carga las superficies equipotenciales son esferas

concéntricas. En efecto, ya que como las líneas de campo son radiales, para que las superficies sean normales a ellas deben ser esferas con centro en la masa o carga que crea el campo.

4. Dos superficies equipotenciales nunca pueden cortarse porque ello implicaría que en los puntos de corte podríamos trazar dos perpendiculares y, como ya vimos, las líneas de campo no se cortan. Además, imagina que dos superficies equipotenciales se cortaran, entonces en ambas habría el mismo potencial y por tanto sería la misma superficie.

Ejemplo:

Imagina tres puntos 1, 2 y 3 en los que el potencial gravitatorio va disminuyendo, es decir que V1>V2>V3. ¿ Hacia donde se movería una masa m si la colocamos en el punto 2 y la dejamos libre?

La masa m (o una carga independientemente del signo) se mueve espontáneamente hacia el punto en el que disminuya su energía potencial. (Recuerda que eso precisamente es lo que indica el signo menos de la definición W_{A→B,F.Conserv.Campo} =−∆Ep=Ep_A −Ep_B)

Como Ep=m^.V y teniendo en cuenta que las masas siempre son positivas (cosa que no ocurre con las cargas) es obvio que Ep₁>Ep₂>Ep₃ y en consecuencia las masas se mueven siempre de forma espontáneamente hacia potenciales decrecientes. En este caso hacia V3.

Si se tratara de una carga, como Ep=q^.V resulta que si la carga es positiva se movería hacia potenciales decrecientes, pero si fuese una carga negativa se movería hacia donde aumente el potencial.

Ahora que sabemos hacia donde se moverá la masa podremos dibujar el vector campo gr

pero no podríamos si solamente conociéramos el potencial en un punto.

Ejemplo:

Entre dos puntos A y B de un campo eléctrico existe una diferencia de potencial de 100 voltios. ¿Qué trabajo realiza el campo para llevar una carga positiva de 2µC desde A hasta B?

Al tratarse de un campo eléctrico, la característica del campo es la carga eléctrica, por tanto podemos poner que:

(

)

campo , B

A q V V

W _→ = −

sustituyendo

Julios 10

2 100 10 2

W_A→B,campo = ⋅ ⁻⁶⋅ = ⋅ ⁻⁴

Como puede verse el Potencial se mide en Julios/Coulombio que recibe el nombre especial de Voltio. De manera análoga el Potencial gravitatorio se mide en Julios/Kg que no tiene un nombre especial.

Si en lugar de preguntarnos por el trabajo del campo, nos hubiesen preguntado ¿qué trabajo hacemos nosotros para llevar la carga de 2µC desde A hasta B? La respuesta, obviamente, sería –2.10⁻⁴J

LEYES DE KEPLER

1. Los planetas describen órbitas elípticas planas, en uno de cuyos focos está el sol.

Esta ley resulta evidente si tenemos en cuenta que las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales y que, por tanto, se conserva el momento angular. Al ser constante el momento angular Lr rr mvr

∧

= (tanto en módulo como en dirección) el plano formado por los vectores rr y vv

también debe permanecer constante.

2. El radio vector que une el sol con uno de los planetas barre áreas iguales en tiempos iguales. Dicho de otra forma, la velocidad con la que el vector de posición del planeta respecto al sol barre áreas es constante.

En la figura hemos representado el área barrida por el vector de posición en el tiempo t∆ . Como recordarás, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman, y obviamente la mitad al triángulo. Y teniendo en cuenta que la velocidad es vr drr/dt

=

dt m L 2 dt 1 v m m r 2 dt 1 v 2 r r 1 d 2 r dA 1

r r s r

r r

r∧ = ∧ = ∧ =

=

. cte m L

2 1 dt

dA = r =

3. Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de la distancia media de los planetas al sol: T² = kR³

La demostración de la tercera ley es consecuencia de la ley de gravitación universal de Newton. Que el planeta se mantenga en órbita supone, desde el punto de vista de un observador no inercial, que el peso del satélite se compense con la fuerza centrífuga:

Fc

Peso= ⇒

r mv r

m GM

2

2 =

⋅

Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y angular del planeta es v=ω⋅r ^y que ω=2π/T

2 2

2 2 2 2

2 r

T 4 r r mv r

m

GM⋅ = = ω = π

despejando el periodo:

3 2

2 r

GM T = 4π

3

2 k r

T = ⋅

Como puede verse todo lo que engloba el círculo son constantes (no aparece la masa del planeta) y el resultado de la operación, lógicamente, corresponde a una constante

SATÉLITES: VELOCIDAD ORBITAL Y VELOCIDAD DE ESCAPE

Velocidad orbital: Para que un satélite de masa m orbite a una distancia r alrededor de la tierra, desde el punto de vista de un observador no inercial, es preciso que la fuerza peso con que lo atrae la tierra sea igual a la fuerza centrífuga:

Fc Fgrav=

r mv r

m GM

2

2 =

⋅

r v_orbital = GM

Órbita geoestacionaria: Como vemos la velocidad orbital del satélite no depende de su masa, solamente depende del radio de la órbita y viceversa. Por tato, habrá un radio para el que el satélite tenga la misma velocidad angular que la Tierra (a esa órbita se le llama

geoestacionaria)

Los satélites geoestacionarios, como los de comunicaciones, son los que se encuentran en todo momento sobre el mismo punto, dicho de otra forman giran con la misma velocidad angular que la tierra (ω=2π/1día). Su órbita, además, debe estar en el plano del ecuador.

Simplemente se trata de poner el radio de la órbita en función del periodo, “que debe ser 1 día”, para gire con la misma velocidad angular de la tierra. Para un SRNI, la fuerza de

atracción gravitatoria debe compensarse por la centrífuga, así que: (es como deducir la tercera ley de Kepler, pero ahora despejamos el radio)

2 2

2 2 2 2

2 r

T 4 r r mv r

m

GM⋅ = = ω = π

despejando el radio de la órbita, y sustituyendo T=1día:

Km 42259 4

) 3600

* 24 ( 10 98 , 5 10 67 , 6 4

T

r GM ³ ₂

2 24

11 3

2 2

π =

⋅

⋅

⋅

= ⋅ π

= ⋅ ⁻