Trabajo 3: Funciones de transferencia en Matlab

Facultad de Ingeniería Análisis de Sistemas y Señales

    Alumnas:

ƒ García Luciano Laura

ƒ Rojas Arteaga Karina Grupo: 04 Profesora:

ƒ M.I. Elizabeth Fonseca Chávez.

Fecha de entrega:

ƒ 30-Abril-2008.

Trabajo 3: Funciones de transferencia en Matlab

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

Xi(t) F(t)

1.-Teniendo el modelo de la siguiente manera encontrar su función de transferencia:

Una partícula de masa m unido a un resorte horizontal de constante K, cuando el cuerpo es empujado con una fuerza F. Encontrar su función de transferencia. Sabemos que K =0.3 y m=3 [Kg.]

Y B=0.1

X

(t)

∆xk B

Para poder determinarla se necesitan unas ecuaciones de leyes de elementos que son:

Fk=K∆xk………. (1)

∆Xk=X i (t)-X 0 (t)……… (2) Vemos que:

Fk=K(X ⁱ (t))- K(X 0 (t))……….... (3) Ley elemento de respuesta resorte

Fricción:

F B =B ……….. (4)

F m =m ……… (5)

Leyes de conjunto:

∑ =0 ∑ =0

F(t)= Fk……….( ⁶⁾ Fk= F ^m+ F B ………. (7)

De (6)

F(t)= K[(X i (t))- (X 0 (t))]…………..(8) entonces (9) se convierte en entrada y f(t) en variable implícita K[(X i (t))- (X 0 (t))] = m + B ….. (9)

Agrupando y ordenando

m + B + KX 0 (t)=KX i (t) Normalizando (esto es dividir todo entre m)

+ + X 0 (t)= X i (t) y Transformando la ecuación en Laplace

S ² – S - + [S - 0 ]+ X 0 (S)= X i (S) Agrupando:

s S X 0 (S) = X i (S) + 0

m 

K

  X 0 (s)

Despe

Una v enton

Dado a

b

=

ejando la fun

vez teniendo nces tenemos

o el sistema d a) Respuesta

b) Respuesta

Xi(s) +

nción de tran

la función d que H(s) es:

donde se hal a Impulso

a escalón

H(s) =

nsferencia:

e transferenc

ló su función

H(s) =

=

X 0 (0)

cia sustituimo

de transfere

=

os los valores

encia encontr

=

s K, m y B qu

ar:

e son constan ntes

c

d                                   Conve Para siguie

) Respuesta

d) Respuesta

ertir mediant comenzar a ente:

Trabajo

a ruido

a en frecuenc

te Matlab la transformar

o 3: Funciones

cia 

función de t hacemos la

de Transferen

transferencia función de tr

ncia en Matlab

a en:

ransferencia b.

en términos d de t haciendo lo

Partiendo de esto hacemos

ƒ Z F

ƒ L F

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

ƒ F L

ƒ L Z

ƒ F Z

Pasar de T a S

Pasar de T a Z

Pasar de T a F

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

2.-El carrito con un péndulo invertido, se muestra bajo, es empujado con una fuerza impulsiva, F.

Determinemos las ecuaciones dinámicas de movimiento del sistema, y linealizar cerca del ángulo del péndulo, θ. Encontrar un controlador para satisfacer todos los requerimientos de diseño dados arriba.

Teniendo estos datos:

Haciendo el análisis de fuerzas y realizando los sistemas de ecuaciones.

D.C.L.

Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento:

Sumando los momentos sobre el centroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación:

Se obtiene la segunda ecuación dinámica:

M masa del carro 0.5 kg

m masa del péndulo 0.5 kg

b fricción del carro 0.1 N/m/seg

l longitud al centro de masa del péndulo 0.3 m

I inercia del péndulo 0.006 kg*m^2

F fuerza aplicada al carro

x coordenadas de posición del carro

θ ángulo del péndulo respecto de la vertical

La linealización las dos ecuaciones de movimiento serán:

  (u representa la entrada)

Para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado , debemos tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema.

Las transformadas de Laplace son:

Re-ordenando, la función de transferencia es:

Donde

La función de transferencia de este sistema es:

Sustituyen do los valores constantes obtenemos la función de transferencia completa:

0.5 0.3

0.5 0.5 0.006 0.5 0.3 0.5 0.3 0.1 0.006 0.5 0.3

0.5 0.5 0.006 0.5 0.3 0.5 0.3 0.5 0.5 0.5 9.81 0.3

0.5 0.5 0.006 0.5 0.3 0.5 0.3 0.1 0.5 9.81 0.3

0.5 0.5 0.006 0.5 0.3 0.5 0.3

  Realiz

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ransferencia en términos d de t haciendo lo

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

ƒ Z F

ƒ L F

ƒ F L

ƒ L Z

ƒ F Z

Pasar de T a S

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

Pasar de T a Z

Pasar de T a F

3.- Despreciando la inercia de las ruedas, y si se asume que la fricción (la cual es proporcional a la velocidad del auto) es tal que se opone al movimiento del auto, entonces el problema se reduce al sistema simple de masa y resorte.

Usando la ley de Newton, las ecuaciones de modelado para este sistema son:

u: fuerza

…(1) m= 100[kg]

u = 50[N]

b=20

Transformada de Laplace de las ecuaciones del modelo (1).

Para condiciones iniciales nulas.

Como nuestra salida es la velocidad, sustituyamos V(s) en términos de Y(s)

La función de transferencia del sistema es:

Como m y b son constantes sustituimos para tener la función de transferencia:

u

v m a

1

1

100 20

Dado i)

j)

k

o el sistema d ) Respuesta

) Respuesta

) Respuesta

Trabajo

donde se hal a Impulso

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o 3: Funciones

ló su función

de Transferen

de transfere

ncia en Matlab

encia encontr b.

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) Respuesta

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a en frecuenc

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función de t transferencia a en:

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

ƒ L F

ƒ F L

ƒ L Z

ƒ F Z

Pasar de T a S

Pasar de T a Z

Pasar de T a F

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

Código en Matlab

Ejercicio 1

(Respuestas Impulso, Escalón, Frecuencia y Ruido) num = [1];

den1 =[1 0.0333 0.1];

k=0.1 den = den1;

roots(den);

roots(num);

[ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den);

[num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan);

t = [0:.3:4]';

y = step(num,den,t);

plot (t,y);

figure(1)

title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO');

xlabel ( 'tiempo (seg)');

grid;

figure(2)

impulse ( num,den,t);

title ('RESPUESTA A UN IMPULSO');

xlabel ( 'tiempo (seg)');

grid;

figure(3)

noise = rand(size(t));

y = lsim ( num,den,noise,t);

plot (t,y,t,noise);

title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO');

xlabel ('tiempo(seg)');

grid;

f=15;

w=2*pi*f;

factor=16;

fs=factor*f;

t=0:1/fs:2*(1/f);

frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1;

y=sin(w*t);

yw=fft(y);

figure(5);

subplot(2,1,1);plot(t,y);

subplot(2,1,2);plot(frec,abs(yw));

Ejercicio 2

(Respuestas Impulso, Escalón, Frecuencia y Ruido) num = [2.5 0 0];

den1 =[1 0.1 -2.88 -2.88];

den = den1;

roots(den);

roots(num);

[ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den);

[num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan);

t = [0:.3:4]';

y = step(num,den,t);

plot (t,y);

figure(1)

title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO');

xlabel ( 'tiempo (seg)');

grid;

figure(2)

impulse ( num,den,t);

title ('RESPUESTA A UN IMPULSO');

xlabel ( 'tiempo (seg)');

grid;

figure(3)

noise = rand(size(t));

y = lsim ( num,den,noise,t);

plot (t,y,t,noise);

title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO');

xlabel ('tiempo(seg)');

grid;

f=15;

w=2*pi*f;

factor=16;

fs=factor*f;

t=0:1/fs:2*(1/f);

frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1;

y=sin(w*t);

yw=fft(y);

figure(5);

subplot(2,1,1);plot(t,y);

Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab.

Ejercicio 3

(Respuestas Impulso, Escalón, Frecuencia y Ruido)

num = [1];

den1 =[100 20];

den = den1;

roots(den);

roots(num);

[ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den);

[num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan);

t = [0:.3:4]';

y = step(num,den,t);

plot (t,y);

figure(1)

title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO');

xlabel ( 'tiempo (seg)');

grid;

figure(2)

impulse ( num,den,t);

title ('RESPUESTA A UN IMPULSO');

xlabel ( 'tiempo (seg)');

grid;

figure(3)

noise = rand(size(t));

y = lsim ( num,den,noise,t);

plot (t,y,t,noise);

title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO');

xlabel ('tiempo(seg)');

grid;

f=15;

w=2*pi*f;

factor=16;

fs=factor*f;

t=0:1/fs:2*(1/f);

frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1;

y=sin(w*t);

yw=fft(y);

figure(5);

subplot(2,1,1);plot(t,y);